2024年南昌市某中學(xué)高三數(shù)學(xué)高考三模試卷（附答案解析）

2024年南昌市十中高三數(shù)學(xué)高考三模試卷

試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的

1.已知由小到大排列的5個樣本數(shù)據(jù)13,19,21,22,x的極差是11,則x的值為（）

A.23B.24C.25D.26

2.若以集合A的四個元素。，瓦為邊長構(gòu)成一個四邊形，則這個四邊形可能是（）

A.矩形B.平行四邊形C.梯形D.菱形

3.若函數(shù)/（x）滿足/（￡|=-/（x）,則稱"X）為滿足“倒負”變換的函數(shù)，在下列函數(shù)中，滿足“倒負”變

換的函數(shù)是（）

A.f（x）=-----B.無）=尤2C.f（x）—x-i—D.f（x）=x

1+xXX

4.如圖，在扇形中，C是弦48的中點，。在初上，。0,48.其中。/=。3=廠，益長為/（/＜廠）.則

CD的長度約為（提示：時，COSX?1-）（）

rr「/「尸

AA.r-----Bo.——C.r-----D.——

8r8r4r4r

5.某校舉辦運動會，其中有一項為環(huán)形投球比寒，如圖，學(xué)生在環(huán)形投擲區(qū)￡內(nèi)進行投球.規(guī)定球重心

投擲到區(qū)域A內(nèi)得3分，區(qū)域B內(nèi)得2分，區(qū)域C內(nèi)得1分，投擲到其他區(qū)域不得分.已知甲選手投擲一

次得3分的概率為0.1,得2分的概率為6,不得分的概率為0.05,若甲選手連續(xù)投擲3次，得分大于7

分的概率為0.002,且每次投擲相互獨立，則甲選手投擲一次得1分的概率為（）

II

A13「49-1753

A.—B.—,C.—D.—

20602060

6.(1+°+/)9-：］6的展開式中的常數(shù)項為()

A.-2B.-3C.-4D.-5

7.如圖，在正四棱臺MCD—44GA中，AD=2A】B「為上底面/BCD的對角線，且下底面/4GA

的面積和側(cè)面8CC內(nèi)的面積分別為20和15VL則該正四棱臺NBCD-44GA外接球的表面積是（）

BiG

C.21071

已知函數(shù)/（力=加2瓦+2+x2-x有唯一零點，則加的值為（

二、多選題:本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)2="??2,且」的虛部為3,則（）

（z+2）.（l-3i）為純虛數(shù)

筌在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限

10.已知橢圓沙:匕+，=1,點片,8分別為少的左、右焦點，點C,D分別為少的左、右頂點，過原點且

斜率不為0的直線/與少交于48兩點，直線Ng與少交于另一點W,則（）

A.少的離心率為迫

B.|/閶的最小值為2-6

27r

C.少上存在一點P,使/3。=三

D.面積的最大值為2

11.函數(shù)/⑺及其導(dǎo)函數(shù)g（x）的定義域均為R,/（x+1）和g（2x-l）都是奇函數(shù)，則（）

A.g（無）的圖象關(guān)于直線x=-l對稱B./（X）的圖象關(guān)于點（1,0）對稱

C.g（x）是周期函數(shù)D.￡g(/)=2024

三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)圓心在x軸的圓C過點（1,1）,且與直線＞=2x7相切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

—.-3—.

13.在中，AB=4,AC=3,力。=90。,。在邊5C上，延長AD至UP,使得4尸=9,若尸4=加尸3+q—相）尸。

2

（小為常數(shù)），則CD的長度是.

14.正方形螺旋線是由多個不同大小的正方形旋轉(zhuǎn)而成的美麗圖案，如圖，己知第1個正方形4801。的

邊長為印一，且舞弓依次類推，下一個正方形的頂點恰好在上一個正

方形對應(yīng)邊的3;分點處，記第1個正方形的面積為耳，第〃個正方形的面積為S〃，則

含加鼠=

07/1=1

四、解答題共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知公差不為0的等差數(shù)列｛%｝滿足=443，且。2%-。5=.

（1）求｛%｝的通項公式;

（2）記J是數(shù)列｛4｝的前〃項和,證明：g+g+g+…+g<2.

16.如圖1,在直角梯形48CD中，ABUCD,AB1BC,AB=2CD=2BC,8。為梯形對角線，將梯

形中的A42。部分沿4S翻折至N3E位置，使A48E所在平面與原梯形所在平面垂直（如圖2）.

（1）求證：平面平面BCE；

FP

（2）探究線段E4上是否存在點尸，使EC//平面尸5。？若存在，求出若不存在說明理由.

EA

22

17.已知尸（1,0）為橢圓￡卞+方=1（。>6>0）的右焦點，過E的右頂點A和下頂點3的直線的斜率為

V2

~T'

（1）求￡的方程；

3

⑵若直線/：》=左(工-1)+1與E交于MN兩點(均異于點5),記直線9和直線BN的斜率分別為人后，

求左1+左2的值.

18.已知函數(shù)/(%)=〃x+——2—x—lux

2

⑴求“X)的圖象在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)討論“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對任意xe(l,+oo),都有/(x)Wln2-l,求。的最大值.(參考數(shù)據(jù)：ln2?0.7)

19.為落實食品安全的“兩個責(zé)任”，某市的食品藥品監(jiān)督管理部門和衛(wèi)生監(jiān)督管理部門在市人民代表大

會召開之際特別邀請相關(guān)代表建言獻策.為保證政策制定的公平合理性，兩個部門將首先征求相關(guān)專家的

意見和建議，已知專家?guī)熘泄灿?位成員，兩個部門分別獨立地發(fā)出批建邀請的名單從專家?guī)熘须S機產(chǎn)

生，兩個部門均邀請2位專家，收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)督管理部門的邀請后，專家如約參

加會議.

(1)設(shè)參加會議的專家代表共X名，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(2)為增強政策的普適性及可行性，在征求專家建議后，這兩個部門從網(wǎng)絡(luò)評選出的100位熱心市民中抽

取部分市民作為群眾代表開展座談會，以便為政策提供支持和補充意見.已知這兩個部門的邀請相互獨

立，邀請的名單從這100名熱心市民中隨機產(chǎn)生，食品藥品監(jiān)督管理部門邀請了切(加?N*,2<用<100)名

代表，衛(wèi)生監(jiān)督管理部門邀請了M〃eN*,2<〃<100)名代表，假設(shè)收到食品藥品監(jiān)督管理部門或衛(wèi)生監(jiān)

督管理部門的邀請后，群眾代表如約參加座談會，且加+〃>100,請利用最大似然估計法估計參加會議

的群眾代表的人數(shù).(備注:最大似然估計即最大概率估計，即當(dāng)尸(X=k)取值最大時，X的估計值為8

1.B

【分析】由極差的定義即可求解.

【詳解】由題知最小的數(shù)據(jù)是13,最大的數(shù)據(jù)是x,則極差為x-13=ll,解得x=24.

故選：B.

2.C

【分析】根據(jù)集合中元素的互異性，可得。，瓦四個元素互不相等，結(jié)合選項，即可求解.

【詳解】由題意，集合A的四個元素a,b,c,d為邊長構(gòu)成一個四邊形，

根據(jù)集合中元素的互異性，可得四個元素互不相等，

以四個元素a,bed為邊長構(gòu)成一個四邊形，結(jié)合選項，只能為梯形.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)(x)逐一將選項的每個函數(shù)進行驗證即可.

【詳解】解：由題得〃x)滿足了-/(x),則稱〃幻為滿足“倒負”變換的函數(shù),

4

=-/（尤），不符合要求;

=-/仇），符合要求

4.B

【分析】根據(jù)弧長公式，結(jié)合已知求出角的余弦的近似值，求出C。,最后得到CD即可.

【詳解】設(shè)圓心角a=，，l<r,1=

r22/I2

故選：B.

5.B

【分析】先由已知條件確定b=《，再計算1-0.1-b-0.05即可得到結(jié)果.

【詳解】由于甲選手投擲3次后，如果得分大于7分，則3次的得分必定是3,3,3或3,3,（不考

慮順序），所以其概率pMO.F+SxO.fi=（）001+0.036.

而已知。=0.002,故0,001+0.036=0.002,所以。=事.

17149

從而甲選手投擲一次得1分的概率為1—0.1-6—0.05=0.85—6=/—缶=a.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于利用已知概率逆向確定6的值.

6.D

【分析】根據(jù)兩個二項式相乘，結(jié)合二項式展開式的通項公式，即可求得答案.

【詳解】由［一￡|可知［一：）=（-l）rC；?6-2r,其展開中常數(shù)項為-20,

令6-2r=-l,廠無整數(shù)解，不存在含的項,

令6-2--2/=4,故含尸項為(-1)4C,一2=15個，

5

的展開式中的常數(shù)項為1x（-20）+15=-5,

故選：D.

7.A

【分析】先確定該棱臺的上下底面邊長和高，然后解出外接球球心到下底面的距離，最后求出外接球半

徑和表面積.

【詳解】由于該棱臺是正四棱臺，故每條側(cè)棱的長度都相等，且上下底面都是正方形.

而下底面的面積是20,所以下底面的邊長6=20.

而片，所以上底面的邊長0=40.

由于每個側(cè)面都是上下底分別為4右和2。的等腰梯形，而面積為S'=15股,

故每個等腰梯形的高人言=君黑=布'

所以每個等腰梯形的側(cè)棱長/==而*=VB.

由于每條側(cè)棱在底面上的投影長都是李（〃-9，所以該棱臺的高

Y

H=Al2-^(a-b)=V15-10=y/5.

最后設(shè)該棱臺外接球球心到下底面的距離為無，則外接球球心到上底面的距離為因-尤|,并設(shè)外接球的

半徑為R.

(A77(歷弋(F)\

則(〃一x)?+—a=R2,x2+—b=R2,所以(〃一x『+—a=x2+—b

7I2,

即(右一J+(2炯2=f+(炯［解得x=苧，

所以爐=x：+［烏］/述］+(Vio)2=10=

22^>44

所以該外接球的表面積等于4位?2=4TI?1=285K.

4

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于設(shè)出外接球球心到下底面的距離，再列方程組求解.

8.D

_2J._2J

【分析】將函數(shù)變形，換元后得到加_一’+%，研究得到〃八=二。為偶函數(shù)，由/（X）有唯一零點,

一2+2-㈠—2+2一

6

得到函數(shù)〃⑺的圖象與>=加有唯一交點，結(jié)合〃⑺為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標(biāo)為0,代入后求出

m=〃（0）=".

【詳解】“X）有零點，貝u加，"；+2「"，=-X2+》=-［》一；）+；,

令/=X一；，則上式可化為加（2'+2一'）=一/+；,

_21

因為2'+2T>0恒成立，所以,'+4>

III一■

，+2一

71/\2101

A-t-\--rrl.r-（—/）-!---IH--

A（0=-~v則〃（T）=—；~r-=-~~*

v72'+2-'v72T+2'2'+2T、'

故〃（。為偶函數(shù)，

因為〃x）有唯一零點，所以函數(shù)〃⑺的圖象與歹=加有唯一交點,

結(jié)合〃⑺為偶函數(shù)，可得此交點的橫坐標(biāo)為0,

故加=M0）=/F

8

故選：D

9.AC

【分析】利用向量的除法運算和虛部為3,即可求出。=1,再利用復(fù)數(shù)乘除運算和模的運算以及復(fù)平面

內(nèi)對應(yīng)點的表示，就能作出選項判斷.

【詳解】由6=e7=6i(〃+i)66a

+口】的虛部為3,則=3,

za—i(q_i)(q+i)/+1a2+l

解得。=1,所以選項A正確.

,.333(l+i)33.

z=l—i,-=----=----------=—I—i

z1-i(l-i)(l+i)22

所以,所以選項B錯誤.

由（z+2>（l-3i）=（3-i）-（l-3i）=-10i為純虛數(shù)，所以選項C正確.

2+i2+i（2+i）（3+i）J1

出z+23-i（3-i）（3+i）22，

所以復(fù)數(shù)組在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為［上（］，位于第一象限，所以選項D錯誤,

z+2122J

故選：AC.

10.ACD

7

【分析】熟悉橢圓的離心率公式￡,橢圓焦半徑取值范圍為[q-c,a+c],焦半徑三角形頂角在上頂點時

a

取最大，先對選項A、B、C作出判斷，對于選項D,就需要設(shè)出直線的方程為x=+與橢

圓方程聯(lián)立，再把三角形面積計算公式轉(zhuǎn)化到兩根關(guān)系上來，最后代入韋達定理得到關(guān)于加的函數(shù)式，

從而求出最值.

【詳解】由題知，該橢圓中a=2,6=l,c=6,所以離心率為5,A正確；

根據(jù)橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點得，距離最大為a+c,距離最小為c,

又直線的斜率不為0,所以|/巴|＞。-。=2-6,B錯誤；

當(dāng)橢圓的對稱可知當(dāng)P為短軸頂點時，NCPD取得最大值，此時尸|=設(shè)尸|=6,|。|=4,

\CP^+\DP^-\CD^312TI

由余弦定理得cos/CPD=J~二~L=—<—,故/CP0>一,

2\CP1\-\DP\523

2兀

即少上存在一點尸，使/CPZ)=3-,C正確；

設(shè)直線AM的方程為x=my+^),聯(lián)立直線與少的方程得("/+4)/+2&y-1=0,

設(shè)"(X],yJ,M(X2，%)，則y+y=-2,二，為為=1'

m+4m+4

2

,(.-----,,.-----I12m44(/+1)

所以|/叫=而7H-%卜河3?+定暮=病+4，

又點O到直線4M的距離為d=■/?

+1

4^/3xdm2+1

所以邑施=2邑皿邛”田=

m2+4

=^|^>1),/+->2A/3

令人”2+1,則

*+3二t

3

當(dāng)且僅當(dāng)/=，，即/=。時，等號成立,

所以面積的最大值為2,D正確；

故選：ACD.

11.BC

【分析】由g（2x-l）是奇函數(shù)可判斷A；利用/（x+1）向右平移1個單位后可得/（x）可判斷B；利用

/（x+1）是奇函數(shù)，得到關(guān)系式，兩邊同時求導(dǎo)可得g（r+2）=g（x）,再由8（力=-8（--2）可求出8（力

的周期可判斷C由g（x+4）=-g（x）可得g⑴+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g⑺+g（8）=0,即可

8

判斷D.

【詳解】對于A,因為g(2尤-1)是奇函數(shù)，所以g(-2x-l)=-g(2x-l),

則有g(shù)(-xT)=-g(xT)，g(x)的圖象關(guān)于點(TO)對稱，故A錯誤;

對于B,/(x+1)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，

/(x+1)向右平移1個單位后可得/(X),所以/'(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，故B正確;

對于C,因為/(x+1)是奇函數(shù)，所以4-x+l)=-/(尤+1),

所以-T(-X+I)T(X+I),所以/(-》+1)=/。+1),

所以g(-尤+l)=g(x+l),所以g(-x+2)=g(x)①，

因為g(-x_l)=_g(x_l),所以g(x)=_g(-x_2)②，

由①②可得：g(-x+2)=-g(-x-2),所以g(x)=-g(x-4),

所以g(尤+4)=-g(x),g(x+8)=-g(x+4)=g(x),

所以8是函數(shù)g(x)的一個周期函數(shù)，所以g(x)是周期函數(shù)，故C正確；

對于D,因為g(x+4)=-g(x),所以g(l)=-g(5),

g(2)=-g(6),g(3)=-g(7),g(4)=-g(8),

所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g⑺+g(8)=0,

2024

而?(。=253口6+42)+/3)+44)+《，+4@+《力+&8]=(,故D錯誤.

i=[

故選：BC.

【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論

(1)/卜+。)=/(6-/。/(“關(guān)于工=苫^軸對稱,

(2)/(x+a)+/(6-x)=2c=/(x)關(guān)于中心對稱，

(3)/(x+a)=/(尤+b)n/(x)的-—個周期為7=卜-耳，

(4)/■(x+a)=-/(x+b)n/(x)的一個周期為7=2|"升

可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.

12.(JC-3)2+J；2=5

9

【分析】設(shè)圓。的圓心為（如o）,根據(jù)已知條件得出半徑為口等，再將（1,1）代入卜_加），必=色F

即可解出機=3,從而得到答案.

【詳解】設(shè)圓C的圓心為（如o）,則由于該點到直線了=2x-l的距離4=考』=飛」，結(jié)合圓。與

直線相切，知圓C的半徑為與

所以圓。的方程是。_加/+聲=（2加；1）2.

而圓C過點（1,1）,所以（1_加）2+仔=（2加；1）2,解得加=3.

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-3）2+爐=5.

故答案為：（X-3『+/=5.

13.—或0

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)秒=加（/>0）,結(jié)合用=汨+（|-3定與民“三點共線，可求得人再

根據(jù)勾股定理求出8C,然后根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】：4。,P三點共線，

???可設(shè)蘇=丸而（4>0）,

?<,PA=mPB

3

若招。且"丁,則以A。三點共線,

VAP=9,：.AD=3f

AB=4,AC=3,ZBAC=90°,

：.BC=5,

設(shè)CD=x,/CDA=e,貝I」3D=5—X,ABDA=7i-0.

心+BD?-信二（5-耳-7

根據(jù)余弦定理可得COS0="。；牛丁2=￡cos（萬一6）=

2ADCD62ADBD6（5-x）'

*.*cos3+cos（萬一6）=0,

10

解得=與

66(5-x)5

1Q

???C。的長度為

當(dāng)加=0時，PA=^PC,C,。重合，此時CD的長度為0,

3_鼻_.

當(dāng)加=—時，PA=-PB,民。重合，此時尸4=12,不合題意，舍去.

22

1Q

故答案為：0或1.

【點睛】本題考查了平面向量知識的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出

P3=2P5(2>O).

5

14.8-(3〃+8)-

【分析】據(jù)已知條件可確定s“=［然后使用數(shù)列求和方法即可.

【詳解】由于第〃個正方形的邊長為瘋，而第(〃+1)個正方形的面積等于第"個正方形的面積減去四

個直角三角形的面積，故二-富嗎=

M+1

而岳=1,故s“

a?a?m-\

所以《為月,=-^7-5

3m=\"/n=l

11

5

5

=8-(3〃+8〉

故答案為：8-（3九+8）1?.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于從相似圖形中辨別出等比數(shù)列.

15.（1）%=27-1⑵證明見解析

【分析】（1）設(shè)％=赤+C,再用已知條件列出兩個方程并解出其中的參數(shù)；

（2）直接求出再用裂項法即可.

【詳解】（1）設(shè)?！?而+C,則由已知有（3d+C）2=（d+C）（13d+C）,（2d+C）（34+C）-（54+C）=3d.

將第一個等式展開化簡可得屋+24C=0,故由dwO知C=-《.

再代入第二個等式可得當(dāng)?"-q=3",解得4=2,從而C=-g=-l.

2222

故｛%｝的通項公式是

（2）由于S,=

111111111111

22222

以SiS?s3Snl23nI1-22-3-1）n

,11111,1

=1+1-----1------------1-...H----------------=2—<2.

223n-1nn

FP1

16.（1）見解析（2）存在點尸，且方時，有EC//平面尸友）,詳見解析

EA3

【分析】（1）取48中點尸，連結(jié)。尸，證明/E_L平面8CE,得到平面4DE_L平面.

FP1

（2）存在點尸，且時，有CE//P。從而得到￡。//平面尸如.

EA3

【詳解】（1）取48中點尸，連結(jié)DF,

則。尸=8尸=冗4,故/BD/=90°,

12

又平面/3CZ）1平面4E8,且平面4BCDC平面=

BCLAB,8Cu平面/BCD,

二8C1平面/3E,又/Eu平面/BE,BC±AE.

又AELBE,BCCBE=B,；.NE_L平面BCE,又4Eu平面/DE,

平面ADE1平面BCE.

pp1

（2）存在點尸，且——=—時，有EC//平面尸5。，

EA3

COCD1

連結(jié)/C交于。，由CQ//4B知音=一m=彳，

QAAB2

Ep]co

又"7=彳=刀7，故CE//P。，又CEu平面PBO,尸。u平面P8D,

PA2QA

：.CEV/平面尸BD.

【點睛】本題考查了面面垂直，線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.

17.⑴1+1（2）2

【分析】（1）根據(jù)已知條件列出關(guān)于。力的兩個方程，再解出。力即可；

（2）將直線和橢圓聯(lián)立，利用韋達定理即可化簡并求出結(jié)果.

【詳解】（1）

由尸（1,0）有l(wèi)=c=J7H；而/（。刀），8（0,-。），故也=3=幺

2a

所以1=Ja?-b。=ajl—.J=a11-=-^-a，從而a=V^，故6=1.

所以E的方程是]+/=L

y=左(％—1)+1

：

(2)設(shè)N（x2,y2）,將直線/與E聯(lián)立:X22?

——+y=1

12

將直線代入橢圓，得至lj/+2,（x-1）+1『一2=0.

展開即為（1+2左2）/+4左（1-甘尤+2左（左一2=0.

4左("1)2k(k-2)

故再+馬二

1+2左23=不歹

由于8（0,—1）,故一1w左（0—1）+1,即左02,

13

從而占+%=%±1+匹土1=位1）吧+-J）+2

=2k+（2-k）

X]x2X]

4MI）

="+（2一吐獎=2打（2/）.^1r2左+（2-外?1^=2"2（14）=2.

\+2k2

所以尢+e=2.

18.(i)y=-1；

(2)答案見解析；

⑶2.

【分析】(1)求得/(1),廣⑴，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得切線方程；

(2)討論參數(shù)。與0和1的大小關(guān)系，在不同情況下，求函數(shù)單調(diào)性，即可求得單調(diào)區(qū)間；

(3)將問題轉(zhuǎn)化為/(x)在(1,+8)上的最大值/(X)皿Vln2-1,根據(jù)(2)中所求單調(diào)性，求得/(尤)

再構(gòu)造函數(shù)解關(guān)于。的不等式即可.

［詳解］(1)/(x)=a［x+一tax),/'⑴=“_二"_「=(x+l)(xJ)(ax),又

/(l)=-p/⑴=0，

故〃x)的圖象在點(1，/⑴)處的切線方程為歹一［一￡|=0,即尸一；.

(2)/(x)J(x+l)(x」(i),又x>0,x+l>0,

X

則aW0時，當(dāng)尤e(O,l),f'(x)>0,了=/(無)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(l,+oo),/(x)<0,了=/(無)單調(diào)遞減;

0<a<l時，當(dāng)xe(O,a),/(x)<0,y=/(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(a,l),/(x)>0,V=/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(l,+oo),/(X)<0,y=/(x)單調(diào)遞減；

a=l時,當(dāng)xe(0,+oo),f\x)<0,了=/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減；

a>l時，當(dāng)xe(O,l),f\x)<0,y=/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(l,a),/(x)>0,V=/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(a,+co),/(x)<0,V=/(x)單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)aVO,/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1),單調(diào)減區(qū)間為(1,+8)；

當(dāng)0<a<l,/(尤)的單調(diào)減區(qū)間為(O,a),(l,+8),單調(diào)增區(qū)間為(a,1)；

14

當(dāng)a=l,/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)增區(qū)間;

當(dāng)。>1,/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(a,+8),單調(diào)增區(qū)間為(1,a).

(3)若對任意xe(l,y),都有;■(x)Wln2-l,則/'(x)在(1,+s)上的最大值/'(x)1mxVln2-1；

由(2)可知，當(dāng)a>l,/(尤)在(1,。)單調(diào)遞增，在(d+oo)單調(diào)遞減,

故/3皿=-2a-Ina\=lnQ*d—2a+1；

令機(x)=Inx+'f-2x+l,x>1,貝um\x)=-+x-2>2,1--x-2=0,

2x\x

故了=加3在(l,+8)單調(diào)遞增，Xm(2)=ln2+2-4+l=ln2-l,則加(2)Wln2-l；

2

故當(dāng)a=2時，f(^)niax=Ina+^-a-2a+1<In2-1,

也即當(dāng)a=2時，對任意xe(l,+8),都有/(x)Vln2-l.

故。的最大值為2.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問處理的關(guān)鍵是，將/(x)Vln2-l在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為

/(x)max<ln2-l,再根據(jù)第二問中所求函數(shù)單調(diào)性求得;'(x)1mx,再構(gòu)造函數(shù)解不等式

1,

InaH—a—2。+1WIn2—1即nJ*.

2

19.(1)分布列見解析，3.2(2)詳見解析.

【分析】(1)根據(jù)離散型隨機變量的概率公式計算得分布列及期望；

⑵設(shè)收到兩個部門邀請的代表的集合為/U8,人數(shù)Card(AUB)=k,Card(A^B)=m+n-k,設(shè)參加

「k-n

會議的群眾代表的人數(shù)為Y,則由離散型隨機變量的概率公式可得尸(丫=左)=L100一加

^100

設(shè)尸(y=k)>P(Y=k+}],P(Y=k)>P(Y=k-1),

由組合數(shù)公式計算得一----1-------<k<—----1----------+1,

102102

分類討論則竺止竺二1是否為整數(shù)即可得出結(jié)果.

102

r2

【詳解】(l)x的可能取值為2,3,4,則尸(X=2)=B=0.1,

C5c5

p(X=3)=53丁=06,P(X=4)=T~^=O3,