2025年湖南省洞口縣九中高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查(一)數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2025年湖南省洞口縣九中高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查(一)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列滿足,且,則的值是()A. B. C.4 D.2.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.3.費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的,形如的素?cái)?shù)(如:)為費(fèi)馬索數(shù),在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是()A. B. C. D.4.已知,,為圓上的動(dòng)點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn),若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知向量,是單位向量,若,則()A. B. C. D.6.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.57.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8.如圖,在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線,于不同的兩點(diǎn),若,,則()A.1 B. C.2 D.39.已知復(fù)數(shù)z滿足i?z=2+i,則z的共軛復(fù)數(shù)是()A.﹣1﹣2i B.﹣1+2i C.1﹣2i D.1+2i10.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.11.已知,則()A. B. C. D.12.已知為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位,當(dāng)它的底面半徑和高的比值為_(kāi)_____.時(shí),可使得所用材料最省.14.若變量x,y滿足:,且滿足,則參數(shù)t的取值范圍為_(kāi)______.15.如圖,在平面四邊形中,點(diǎn),是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,,記和的面積分別為,,則______.16.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),不等式的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若,,,求證:.18.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過(guò)檢測(cè)將其區(qū)分,每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品,檢測(cè)后不放回,直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率;(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用元,設(shè)表示直到檢測(cè)出件次品或者檢測(cè)出件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單位:元),求的分布列.19.(12分)數(shù)列滿足,,其前n項(xiàng)和為,數(shù)列的前n項(xiàng)積為.(1)求和數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求的前n項(xiàng)和,并證明:對(duì)任意的正整數(shù)m、k,均有.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≤h(x)恒成立,求a的取值范圍;(2)當(dāng)x<0時(shí),研究函數(shù)F(x)=h(x)﹣g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)求證:(參考數(shù)據(jù):ln1.1≈0.0953).21.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)對(duì)及,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+|x|(a>0).(1)若不等式f(x)﹣|x|≥4x的解集為{x|x≤1},求實(shí)數(shù)a的值;(2)證明:f(x).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】由,可得,所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,所以,則,則,故選B.點(diǎn)睛:本題考查了等比數(shù)列的概念,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,試題有一定的技巧,屬于中檔試題,解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用,尤其需要注意的是,等比數(shù)列的性質(zhì)和在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)該要分類討論,有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.2.A【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域?yàn)椋ㄟ^(guò)定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項(xiàng),觀察選項(xiàng)的圖象,可知代入,解得,排除選項(xiàng),即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)?,所以的定義域?yàn)?,則,∴為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對(duì)稱,排除選項(xiàng),且當(dāng)時(shí),,排除選項(xiàng),所以正確.故選:A.本題考查由函數(shù)解析式識(shí)別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.3.B【解析】

基本事件總數(shù),能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和只有,,,共有個(gè),根據(jù)古典概型求出概率.【詳解】在不超過(guò)的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù),基本事件總數(shù)能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有,,,共有個(gè)則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是本題正確選項(xiàng):本題考查概率的求法,考查列舉法解決古典概型問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.4.A【解析】

由題意得,即可得點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn),的雙曲線,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖,連接OP,AM,由題意得,點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn),的雙曲線,.故選:A.本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.5.C【解析】

設(shè),根據(jù)題意求出的值,代入向量夾角公式,即可得答案;【詳解】設(shè),,是單位向量,,,,聯(lián)立方程解得:或當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;綜上所述:.故選:C.本題考查向量的模、夾角計(jì)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意的兩種情況.6.C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的模7.C【解析】

由復(fù)數(shù)除法求出,寫(xiě)出共軛復(fù)數(shù),寫(xiě)出共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析:,,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第三象限.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.8.C【解析】

連接AO,因?yàn)镺為BC中點(diǎn),可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點(diǎn)共線可知,其表達(dá)式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點(diǎn)可得,,、、三點(diǎn)共線,,.故選:C.本題考查了向量的線性運(yùn)算,由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問(wèn)題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】

兩邊同乘-i,化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】i?z=2+i兩邊同乘-i得z=1-2i,共軛復(fù)數(shù)為1+2i,選D.的共軛復(fù)數(shù)為10.C【解析】

利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.11.B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.12.D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理,對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng),,時(shí),則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng),,時(shí),則,故不能作為的充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.本題考查了面面垂直的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導(dǎo)數(shù)求出最值,從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí),取得最小值,即材料最省,此時(shí).故答案為:.本題考查函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出表面積的表示式,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.14.【解析】

根據(jù)變量x,y滿足:,畫(huà)出可行域,由,解得直線過(guò)定點(diǎn),直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可,再結(jié)合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x,y滿足:,畫(huà)出可行域如圖所示陰影部分,由,整理得,由,解得,所以直線過(guò)定點(diǎn),由,解得,由,解得,要使,則與可行域有交點(diǎn),當(dāng)時(shí),滿足條件,當(dāng)時(shí),直線得斜率應(yīng)該不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,綜上:參數(shù)t的取值范圍為.故答案為:本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.15.【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上,然后設(shè)出圓心,由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo),進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo),再由計(jì)算比值即可.【詳解】因?yàn)?,所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,直徑為,又A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,所以圓心E在x軸上,設(shè)圓心E為,則圓的方程為,聯(lián)立橢圓方程消y得,解得,故B的橫坐標(biāo)為,又B、D中點(diǎn)是E,所以D的橫坐標(biāo)為,故.故答案為:.本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問(wèn)題,考查學(xué)生基本計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想,本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo),是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.16.【解析】

先求得與關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點(diǎn),即方程有解.對(duì)分成三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為,因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),所以與的圖象有交點(diǎn),方程有解.時(shí)符合題意.時(shí)轉(zhuǎn)化為有解,即,的圖象有交點(diǎn),是過(guò)定點(diǎn)的直線,其斜率為,若,則函數(shù)與的圖象必有交點(diǎn),滿足題意;若,設(shè),相切時(shí),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,解得,切線斜率為,由圖可知,當(dāng),即時(shí),,的圖象有交點(diǎn),此時(shí),與的圖象有交點(diǎn),函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),綜上可得,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)以及對(duì)稱性,函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識(shí).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1),.(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)分三種情況討論即可(2)將,的值代入,然后利用均值定理即可.【詳解】解:(1)不等式可化為.即有或或.解得,或或.所以不等式的解集為,故,.(2)由(1)知,,即,由,得,,當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號(hào)成立.故,即.考查絕對(duì)值不等式的解法以及用均值定理證明不等式,中檔題.18.(1);(2)見(jiàn)解析.【解析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率;(2)由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、,計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率,由此可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】(1)記“第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品”為事件,則;(2)由題意可知,隨機(jī)變量的可能取值為、、.則,,.故的分布列為本題考查概率的計(jì)算,同時(shí)也考查了隨機(jī)變量分布列,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19.(1),;(2),證明見(jiàn)解析【解析】

(1)利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和,進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數(shù)列,,,當(dāng)時(shí),數(shù)列的前項(xiàng)積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用,裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題.20.(1);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析【解析】

(1)令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),求得導(dǎo)數(shù),討論a>1和a≤1,判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),由恒成立思想可得a的范圍;(2)求得F(x)=h(x)﹣g(x)的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),判斷F'(x)的單調(diào)性,討論a≤﹣1,a>﹣1,F(xiàn)(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù);(3)由(1)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對(duì)x>0恒成立,令;由(2)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對(duì)x<0恒成立,令,結(jié)合條件,即可得證.【詳解】(Ⅰ)解:令H(x)=h(x)﹣f(x)=ex﹣1﹣aln(x+1)(x≥0),則,①若a≤1,則,H'(x)≥0,H(x)在[0,+∞)遞增,H(x)≥H(0)=0,即f(x)≤h(x)在[0,+∞)恒成立,滿足,所以a≤1;②若a>1,H′(x)=ex﹣在[0,+∞)遞增,H'(x)≥H'(0)=1﹣a,且1﹣a<0,且x→+∞時(shí),H'(x)→+∞,則?x0∈(0,+∞),使H'(x0)=0進(jìn)而H(x)在[0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)H(x)<H(0)=0,即當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f(x)>h(x),不滿足題意,舍去;綜合①,②知a的取值范圍為(﹣∞,1].(Ⅱ)解:依題意得,則F'(x)=ex﹣x2+a,則F''(x)=ex﹣2x>0在(﹣∞,0)上恒成立,故F'(x)=ex﹣x2+a在(﹣∞,0)遞增,所以F'(x)<F'(0)=1+a,且x→﹣∞時(shí),F(xiàn)'(x)→﹣∞;①若1+a≤0,即a≤﹣1,則F'(x)<F'(0)=1+a≤0,故F(x)在(﹣∞,0)遞減,所以F(x)>F(0)=0,F(xiàn)(x)在(﹣∞,0)無(wú)零點(diǎn);②若1+a>0,即a>﹣1,則使,進(jìn)而F(x)在遞減,在遞增,,且x→﹣∞時(shí),,F(xiàn)(x)在上有一個(gè)零點(diǎn),在無(wú)零點(diǎn),故F(x)在(﹣∞,0)有一個(gè)零點(diǎn).綜合①②,當(dāng)a≤﹣1時(shí)無(wú)零點(diǎn);當(dāng)a>﹣1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn).(Ⅲ)證明:由(Ⅰ)知,當(dāng)a=1時(shí),ex>1+ln(x+1)對(duì)x>0恒成立,令,則即;由(Ⅱ)知,當(dāng)a=﹣1時(shí),對(duì)x<0恒成立,令,則,所以;故有.本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求單調(diào)區(qū)間,考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用,考查分類討論思想方法,以及運(yùn)算能力和推理能力,屬于難題.對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,它和方程的根

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