2023-2024學年9上數(shù)學期末考點（北師大版）猜題06 直角三角形的邊角關系（易錯必刷30題8種題型專項訓練）解析版

直角三角形的邊角關系（易錯必刷30題8種題型專項訓練）銳角三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)的增減性特殊角的三角函數(shù)值解直角三角形解直角三角形的應用解直角三角形的應用-坡度坡角問題解直角三角形的應用-仰角俯角問題解直角三角形的應用-方向角問題一．銳角三角函數(shù)的定義（共8小題）1．正方形網格中，∠AOB如圖放置，則cos∠AOB的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：如圖，C為OB邊上的格點，連接AC，根據(jù)勾股定理，AO＝＝2，AC＝＝，OC＝＝，所以，AO2＝AC2+OC2＝20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB＝＝＝．故選：B．2．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，則cosA的值等于（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解答】解：當△ABC為直角三角形時，存在兩種情況：①當AB為斜邊，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．∴cosA＝＝＝；②當AC為斜邊，∠B＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴cosA＝＝；綜上所述，cosA的值等于或．故選：C．3．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A的坐標為（0，3），tan∠ABO＝，則菱形ABCD的周長為（）A．6 B．6 C．12 D．8【答案】D【解答】解：∵點A的坐標為（0，3），∴AO＝3，∵tan∠ABO＝，∴＝，∴＝，∴BO＝，∵△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝2，∵菱形的四條邊相等，∴菱形ABCD的周長為2×4＝8．故選：D．4．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，則cosB的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：如圖：∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，∴BC＝＝＝1，∴cosB＝＝，故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos∠A＝，則BC的長為（）A．8 B．12 C．13 D．18【答案】B【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cos∠A＝，∴＝，∴AB＝13，∴BC＝＝12，故選：B．6．如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A、B、O都在格點上，則∠OAB的正弦值是．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖，過點O作OC⊥AB的延長線于點C，則AC＝4，OC＝2，在Rt△ACO中，AO＝，∴sin∠OAB＝．故答案為：．7．如圖，在4×4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上，則圖中∠ABC的正弦值是．【答案】見試題解答內容【解答】解：由圖可知，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，AB2＝32+42＝25，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝．故答案為：．8．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，則BC的長為8．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，∴cosA＝＝＝，∴AB＝10，∴BC＝＝＝＝8．故答案為：8．二．銳角三角函數(shù)的增減性（共1小題）9．若∠A是銳角，且sinA＝，則（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°【答案】A【解答】解：∵∠A是銳角，且sinA＝＜＝sin30°，∴0°＜∠A＜30°，故選：A．三．特殊角的三角函數(shù)值（共2小題）10．在△ABC中，如果∠A、∠B滿足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝75°．【答案】見試題解答內容【解答】解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0∴tanA＝1，cosB＝∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝75°．故答案為：75°．11．計算：（1）tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°；（2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°．【答案】（1）；（2）2﹣1．【解答】解：（1）tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos245°＝1﹣×﹣（）2＝1﹣﹣＝；（2）3tan30°﹣tan245°+2sin60°＝3×﹣12+2×＝﹣1+＝2﹣1．四．解直角三角形（共5小題）12．如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．【答案】A【解答】解：如圖：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根據(jù)勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．設OD＝OF＝x，則AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．故選：A．13．將一副三角板如圖擺放在一起，組成四邊形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，連接BD，則tan∠CBD的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖所示，連接BD，過點D作DE垂直于BC的延長線于點E∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°∴設DE＝CE＝1，則CD＝在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD＝，則AC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝故選：D．14．閱讀理解：為計算tan15°三角函數(shù)值，我們可以構建Rt△ACB（如圖），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．類比這種方法，請你計算tan22.5°的值為（）A．+1 B．﹣1 C． D．【答案】B【解答】解：如圖：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，設AC＝BC＝1，則AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故選：B．15．四邊形具有不穩(wěn)定性，對于四條邊長確定的四邊形，當內角度數(shù)發(fā)生變化時，其形狀也會隨之改變．如圖，改變邊長為2的正方形ABCD的內角，變?yōu)榱庑蜛BC'D'，若∠D'AB＝45°，則陰影部分的面積是（）A． B．5﹣ C． D．5﹣2【答案】D【解答】解：設BC與C′D′交點為E，則BE⊥C′D′，因此C′E＝BC′?cosC′，∵四邊形ABC′D′為菱形，則∠C′＝∠D′AB＝45°，∴C′E＝BC′?cosC′＝2×＝，同理BE＝BC′?sinC′＝，∴D′E＝2﹣，BE＝，∴梯形D′EBA面積為：S′＝（D′E+AB）×BE×＝2﹣1，陰影面積為：S＝SSABCD﹣S′＝2×2﹣（2﹣1）＝5﹣2．故選：D．16．我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°，那么稱這兩個角互為半余角．如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且，則tanA＝．【答案】．【解答】解：過點B作BD⊥AC，交AC的延長線于點D，∵，∴設BC＝2a，AC＝3a，∵∠A，∠B互為半余角，∴∠A+∠B＝45°，∴∠DCB＝∠A+∠B＝45°，在Rt△CDB中，BD＝BCsin45°＝2a?＝2a，CD＝BCcos45°＝2a?＝2a，∵AC＝3a，∴AD＝AC+CD＝3a+2a＝5a，在Rt△ABD中，tanA＝＝＝，故答案為：．五．解直角三角形的應用（共3小題）17．如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，則高AD約為（）（參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故選：B．18．如圖2，有一塊四邊形的鐵板余料ABCD，經測量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tanB＝tanC＝，若要從這塊余料中裁出頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，則該矩形的面積為1944cm2．【答案】1944．【解答】解：如圖，延長BA、CD交于點E，過點E作EH⊥BC于點H，交PQ于點G，如圖，設矩形PQMN，∵tanB＝tanC＝，∴∠B＝∠C，∴EB＝EC，∵BC＝108cm，且EH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝54cm，∵tanB＝＝，∴EH＝BH＝×54＝72cm，∴EG＝EH﹣GH＝72﹣QM，∵PQ∥BC，∴△EQP∽△EBC，∴＝，即＝，∴PQ＝（72﹣QM），設QM＝x，則S矩形PQMN＝PQ?QM＝x（72﹣x）＝﹣（x﹣36）2+1944，∴當x＝36時，S矩形PQMN最大值為1944，所以當QM＝36時，矩形PQMN的最大面積為1944cm2，答：該矩形的面積為1944cm2．故答案為：1944．19．勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”．已知主塔AB垂直于橋面BC于點B，其中兩條斜拉索AD、AC與橋面BC的夾角分別為60°和45°，兩固定點D、C之間的距離約為33m，求主塔AB的高度（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）．【答案】78m．【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高約為78m．六．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共2小題）20．如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．【答案】B【解答】解：如圖，過點B作BC⊥AF于點C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．21．為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比．已知斜坡CD長度為20米，∠C＝18°，求斜坡AB的長．（結果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【答案】斜坡AB的長約為10.3米．【解答】解：過點D作DE⊥BC，垂足為E，由題意得：AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3：4，∴＝，∴設AF＝3x米，則BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x（米），在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD?sin18°≈20×0.31＝6.2（米），∴AF＝DE＝6.2米，∴3x＝6.2，解得：x＝，∴AB＝5x≈10.3（米），∴斜坡AB的長約為10.3米．七．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共6小題）22．荊州市濱江公園旁的萬壽寶塔始建于明嘉靖年間，周邊風景秀麗．現(xiàn)在塔底低于地面約7米，某校學生測得古塔的整體高度約為40米．其測量塔頂相對地面高度的過程如下：先在地面A處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，再向古塔方向行進a米后到達B處，在B處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°（如圖所示），那么a的值約為24.1米（≈1.73，結果精確到0.1）．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖，設CD為塔身的高，延長AB交CD于E，則CD＝40，DE＝7，∴CE＝33，∵∠CBE＝45°＝∠BCE，∠CAE＝30°，∴BE＝CE＝33，∴AE＝a+33，∵tanA＝，∴tan30°＝，即33＝a+33，解得a＝33（﹣1）≈24.1，∴a的值約為24.1米，故答案為：24.1．23．在一次綜合實踐活動中，某小組對一建筑物進行測量．如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端B的仰角為60°，沿山坡向上走20m到達D處，測得建筑物頂端B的仰角為30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，請你幫助該小組計算建筑物的高度AB．（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.732）【答案】建筑物的高度AB約為31.9米．【解答】解：過點D作DE⊥AC，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，則DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，設DE＝3x米，則CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，設BF＝y(tǒng)米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y(tǒng)（米），∴AE＝DF＝y(tǒng)米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，經檢驗：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB約為31.9米．24．在一次數(shù)學課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓MN的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是58°，沿著山坡向上走75米到達B處，在B處測得大樓頂部M的仰角是22°，已知斜坡AB的坡度i＝3：4（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求大樓MN的高度．（圖中的點A，B，M，N，C均在同一平面內，N，A，C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°≈0.4，tan58°≈1.6）【答案】見試題解答內容【解答】解：過點B作BE⊥AC，垂足為E，過點B作BD⊥MN，垂足為D，則BE＝DN，DB＝NE，∵斜坡AB的坡度i＝3：4，∴＝，∴設BE＝3a米，則AE＝4a米，在Rt△ABE中，AB＝＝＝5a（米），∵AB＝75米，∴5a＝75，∴a＝15，∴DN＝BE＝45米，AE＝60米，設NA＝x米，∴BD＝NE＝AN+AE＝（x+60）米，在Rt△ANM中，∠NAM＝58°，∴MN＝AN?tan58°≈1.6x（米），∴DM＝MN﹣DN＝（1.6x﹣45）米，在Rt△MDB中，∠MBD＝22°，∴tan22°＝＝≈0.4，解得：x＝57.5，經檢驗：x＝57.5是原方程的根，∴MN＝1.6x＝92（米），∴大樓MN的高度約為92米．25．如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構成．如圖2，AB是燈桿，CD是燈管支架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°．綜合實踐小組的同學想知道燈管支架CD的長度，他們在地面的點E處測得燈管支架底部D的仰角為60°，在點F處測得燈管支架頂部C的仰角為30°，測得AE＝3m，EF＝8m（A，E，F(xiàn)在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長（結果保留根號）；（2）求燈管支架CD的長度（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.73）．【答案】（1）燈管支架底部距地面高度AD的長為3米；（2）燈管支架CD的長度約為1.2米．【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，∴AD＝AE?tan60°＝3（米），∴燈管支架底部距地面高度AD的長為3米；（2）延長FC交AB于點G，∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，∵∠GDC＝60°，∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，∴△DGC是等邊三角形，∴DC＝DG，∵AE＝3米，EF＝8米，∴AF＝AE+EF＝11（米），在Rt△AFG中，AG＝AF?tan30°＝11×＝（米），∴DC＝DG＝AG﹣AD＝﹣3＝≈1.2（米），∴燈管支架CD的長度約為1.2米．26．小明為了測量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡向上行走20m，到達坡頂D處．已知斜坡的坡角為15°．（以下計算結果精確到0.1m）（1）求小明此時與地面的垂直距離CD的值；（2）小明的身高ED是1.6m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45°，求樓房AB的高度．（sin15°≈0.2588cos15°≈0.9659tan15°≈0.2677）【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵∠CBD＝15°，BD＝20，∴CD＝BD?sin15°，∴CD≈5.2m；答：小明與地面的垂直距離CD的值是5.2m；（2）在Rt△AFE中，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝BC，由（1）知，BC＝BD?cos15°≈19.3（m），∴AB＝AF+DE+CD＝19.3+1.6+5.2＝26.1（m）．答：樓房AB的高度是26.1m．27．《海島算經》是中國古代測量術的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測量向間接測量的橋梁．直至近代，重差測量法仍有借鑒意義．如圖2，為測量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標桿BC和DE，兩桿間距BD相距6米，D、B、H三點共線．從點B處退行到點F，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、C、F三點共線，且仰角為45°；從點D處退行到點G，觀察山頂A，發(fā)現(xiàn)A、E、G三點共線，且仰角為30°．（點F、G都在直線HB上）（1）求FG的長（結果保留根號）；（2）山峰高度AH的長（結果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）【答案】（1）FG的長為（4+2）米；（2）山峰高度AH的長約為10.2米．【解答】解：（1）由題意得：CB⊥FH，ED⊥HG，在Rt△FBC中，∠BFC＝45°，BC＝2，∴BF＝＝2（米），在Rt△DEG中，∠G＝30°，DE＝2，∴DG＝＝＝2（米），∵BD＝6米，∴FG＝BD+DG﹣BF＝6+2﹣2＝（4+2）米，∴FG的長為（4+2）米；（2）設AH＝x米，在Rt△AHF中，∠AFH＝45°，∴FH＝＝x（米），∵FG＝（4+2）米，∴HG＝HF+FG＝（x+4+2）米，在Rt△AHG中，∠G＝30°，∴HG＝＝＝AH，∴x+4+2＝x，解得：x＝5+3≈10.2，∴AH＝10.2米，∴山峰高度AH的長約為10.2米．八．解直角三角形的應用-方向角問題（共3小題）28．如圖，湖心島上有一涼亭B，在涼亭B的正東湖邊有一棵大樹A，在湖邊的C處測得B在北偏西45°方向上，測得A在北偏東30°方向上，又測得A、C之間的距離為100米，則A、B之間的距離是（50+50）米（結果保留根號形式）．【答案】見試題解