運(yùn)用完全平方公式因式分解

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(上)第14章

整式的乘法與因式分解14.3

因式分解14.3.2公式法運(yùn)用完全平方公式因式分解探究新知情境導(dǎo)入要點(diǎn)歸納典例精講查漏補(bǔ)缺課堂小結(jié)提升能力1.因式分解：把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.2.我們已經(jīng)學(xué)過哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)情境導(dǎo)入溫故知新運(yùn)用公式法分解因式你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎?同學(xué)們拼出圖形為：aabbabababa2b2ab探究新知知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式abab這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=(a+b)2a2+2ab+b2=將上面的等式倒過來看，能得到：a2+2ab+b2a2-2ab+b2我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫作___________.觀察這兩個式子：(1)每個多項(xiàng)式有幾項(xiàng)？(3)中間項(xiàng)和第一項(xiàng),第三項(xiàng)有什么關(guān)系？(2)每個多項(xiàng)式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)有什么特征？三項(xiàng)這兩項(xiàng)都是數(shù)或式的平方,并且符號相同.是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)底數(shù)的積的±2倍.要點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式完全平方式完全平方式的特點(diǎn)：完全平方式:要點(diǎn)歸納知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式1.必須是三項(xiàng)式(或可以看成三項(xiàng)的)；2.有兩個同號的數(shù)或式的平方；3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.

簡記口訣：凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式,就是完全平方式,將它寫成完全平方形式,便實(shí)現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a±b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍,等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.首平方,尾平方,首尾兩倍在中央.1.對照a2±2ab+b2=(a±b)2,填空：(1)x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2(2)m2-6m+9=(

)2-2·()·()+()2=()2(3)a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()22.下列各式是不是完全平方式？

(1)a2－4a+4；

(2)1+4a2；

(3)4b2+4b-1；

(4)a2+ab+b2；

(5)x2+x+0.25.x2x+2aaa+2b2bmm-33x2m32b基礎(chǔ)訓(xùn)練知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式是因?yàn)樗挥袃身?xiàng)；不是4b2與-1的符號不統(tǒng)一；不是不是是因?yàn)閍b不是a與b的積的2倍.【例1-1】如果x2-6x+N是一個完全平方式,那么N是()A.11B.9C.-11D.-9B解析：根據(jù)完全平方式的特征,中間項(xiàng)-6x=2x×(-3),

故可知N=(-3)2=9.變式訓(xùn)練:如果x2-mx+16是一個完全平方式,那么m的值為______.解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.±8典型例題知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征,根據(jù)參數(shù)所在位置,結(jié)合公式,找出參數(shù)與已知項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系,從而求出參數(shù)的值.計(jì)算過程中,要注意積的2倍的符號,避免漏解.【例1-2】分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.典型例題知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式解：(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.【例1-3】把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)

(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62

典型例題知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式=3a(x+y)2；=(a+b-6)2.利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式等)的多項(xiàng)式分解因式,這種分解因式的方法叫做公式法.【例1-4】把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.解：(1)原式=(100－99)2

(2)原式=(34+16)2本題利用完全平方公式分解因式,可以簡化計(jì)算.=1.=2500.典型例題知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式【例1-5】已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值.=112=121.解：∵x2-4x+y2-10y+29=0，∴(x-2)2+(y-5)2=0.∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0，∴x-2=0,y-5=0，∴x=2,y=5,∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2幾個非負(fù)數(shù)的和為0,則這幾個非負(fù)數(shù)都為0.典型例題知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式方法總結(jié)：此類問題一般情況是通過配方將原式轉(zhuǎn)化為非負(fù)數(shù)的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)解答問題．【例1-6】已知a,b,c分別是△ABC三邊的長,且a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,請判斷△ABC的形狀,并說明理由．∴△ABC是等邊三角形.解：由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，得

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即(a-b)2+(b-c)2=0，∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c，典型例題知識點(diǎn)一用完全平方公式分解因式完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特點(diǎn)（1）要求多項(xiàng)式有三項(xiàng).（2）其中兩項(xiàng)同號，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項(xiàng)則是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號可正可負(fù).知識梳理課堂小結(jié)運(yùn)用完全平方公式分解因式1.下列四個多項(xiàng)式中,能因式分解的是()A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多項(xiàng)式4x2y-4xy2-x3分解因式的結(jié)果是()A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.若m=2n+1，則m2-4mn+4n2的值是____．4.若關(guān)于x的多項(xiàng)式x2-8x+m2是完全平方式,則m的值為_____．BB1±4查漏補(bǔ)缺當(dāng)堂訓(xùn)練用完全平方公式分解因式5.因式分解：(1)-3a2x2+24a2x-48a2；(2)(a2+4)2-16a2.=(a2+4+4a)(a2+4-4a)解：(1)原式=-3a2(x2-8x+16)=-3a2(x-4)2；(2)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a+2)2(a-2)2.查漏補(bǔ)缺當(dāng)堂訓(xùn)練用完全平方公式分解因式注意：1.有公因式要先提公因式；2.要檢查每一個多項(xiàng)式的因式,看能否繼續(xù)分解.(3)x2-12x+36；(4)4(2a+b)2-4(2a+b)+1；

(5)y2+2y+1-x2.(4)原式=[2(2a+b)]2-2·2(2a+b)·1+(1)2=(4a+2b-1)2；(3)原式=x2-2·x·6+(6)2=(x-6)2；(5)原式=(y+1)2-x2=(y+1+x)(y+1-x).6.計(jì)算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.(2)20142-2014×4026+20132.解：(1)原式=(38.9-48.9)2=100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=(2014-2013)2=1查漏補(bǔ)缺當(dāng)堂訓(xùn)練用完全平方公式分解因式小聰:小明:7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)小聰和小明的解答過程如下：他們做對了嗎?若錯誤,請你幫忙糾正過來.x2-2x+3.(2)原式=

(x2-6x+9)=

(x-3)2解:(1)原式=(2x)2+2?2x?1+1=(2x+1)2××提升能力強(qiáng)化訓(xùn)練用完全平方公式分解因式8.(1)已知a-