青島市七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相期末壓軸題易錯(cuò)題試卷及答案

一、解答題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)43,5),8(7,5),連接A8,將向下平移6個(gè)單位得

線段C￡),其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C.

(1)填空：點(diǎn)。的坐標(biāo)為，線段平移到掃過(guò)的面積為.

(2)若點(diǎn)p是>軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接尸。.

①如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在y軸正半軸時(shí)，線段尸。與線段AC相交于點(diǎn)E,用等式表示三角形

PEC的面積與三角形ECD的面積之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②當(dāng)尸。將四邊形ACDB的面積分成1:3兩部分時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：(1)(7,-1)；24；(2)①S,；見(jiàn)解析；②/或尸(0,20)

“PEC4ECD卜4)

【分析】

(1)由平移的性質(zhì)得出點(diǎn)c坐標(biāo)，AC=6,再求出AB,即可得出結(jié)論；

(2)①過(guò)p點(diǎn)作PF_L4c交于尸，分別用CE表示出兩個(gè)三角形的面積，即可得到答

案；②根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行討論分析：⑴當(dāng)尸。交線段AC于E,且尸。將

四邊形ACD3分成面積為1:3兩部分時(shí)；當(dāng)PD交AB于點(diǎn)G,即將四邊形ACD8分成面

積為1:3兩部分時(shí)；分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：(1)1?點(diǎn)A(3,5),將AB向下平移6個(gè)單位得線段CD,

.C(3,56),

即：C(3,1),

由平移得，AC=6,四邊形ABOC是矩形，

(3,5),B(7,5),

AB=73=4,

/.CD=4,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(7,-1)；

-,-5.=9?4>4、6=24,

即：線段AB平移到CD掃過(guò)的面積為24:

故答案為：(7,-1)；24；

(2)①過(guò)尸點(diǎn)作PF,AC交AC于尸，則PF=3,如圖：

△PEC222

又S=-CExCD=-CEx4=2CE,

邸CD22

S=-S.

APEC4'CD

②(/)當(dāng)尸。交線段AC于E,且尸。將四邊形ACDB分成面積為1:3兩部分時(shí),

連接PC,延長(zhǎng)DC交了軸于點(diǎn)尸，則/

3

又「S=-5

APEC4^ECD

△PEC42

921

S=S+S=—+6=——，

APCDAPECA￡CD22

121

BP-xCZ)xPF=—,

22

CD=4,

?“4

2117

PO=PF-OF=—\=—,

44

17

m—).

4

(//)當(dāng)PD交AB于點(diǎn)G,PO將四邊形ACDB分成面積為1:3兩部分時(shí),

過(guò)P點(diǎn)作2M_L交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,

則PM=HB,

■■S=xBDxPM=x6x7=21,

△PDB22

S=1x24=6,

AGBD4

^-xBDxBG=6,

2

BD=6,

BG=2,

又S=S-S=21-6=15,

^PGB"DBAGBD

IPIxBGxPH=15,

2

PH=15,

PO=PH+OH=15+5=20,

■■■F(0,20).

17

綜上所述，P(0,3)或尸(0,20).

4

【點(diǎn)睛】

此題是幾何變換綜合題，主要考查了平移的性質(zhì)，矩形的判定，三角形的面積公式，用分

類討論的思想是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,6),8(4,3),將線段AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)A剛好落

在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B剛好落在y軸的負(fù)半軸上，A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B',連接

A4'交V軸于點(diǎn)C,33'交x軸于點(diǎn)D.

(1)線段可以由線段AB經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到？并寫(xiě)出A，，8'的坐標(biāo)；

(2)求四邊形的面積；

(3)P為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，請(qǐng)?zhí)骄縉PCV與的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)

論并說(shuō)明理由.

yA

備用圖

解析：(1)向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位，A(-2,0),9(0,-3)；(2)24；

(3)見(jiàn)解析

【分析】

(1)利用平移變換的性質(zhì)解決問(wèn)題即可.

(2)利用分割法確定四邊形的面積即可.

(3)分兩種情形：點(diǎn)p在點(diǎn)C的上方，點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方，分別求解即可.

【詳解】

解：(1)?.?點(diǎn)42,6),5(4,3),

又???將線段42進(jìn)行平移，使點(diǎn)A剛好落在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)8剛好落在，軸的負(fù)半軸

上，

，線段A9是由線段向左平移4個(gè)單位，再向下平移6個(gè)單位得到，

,Aze2,0),.

(2)S=6x9-2x-x2x3-2x1x6x4=24.

四邊形ABB'A'22

(3)連接

「5(4,3),9(0,—3),

/.BBr的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)在1軸上，

.?.0(2,0).

v42,6),

二.A￡)//y軸，

同法可證。。3),

:.OC=OBr,

'：A!OVCB',

A!C=ArB',

同法可證，B"=B，D,

..ZADB=NZM'8,ZACB'=NAFC,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。的下方時(shí)，

??,ZPCA'+NACB'=180。，AA'B'C+/DAB，=90°，

NPC4'+90。-N44'=180。，

:.ZPCA'-ZA'DB'=90°,

當(dāng)點(diǎn)夕在點(diǎn)。的上方時(shí)，/PC4'+/4OV=90。.

本題考查坐標(biāo)與圖形變化一平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)有分割法求四邊形的面

積，學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

3.問(wèn)題情境：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中有不重合的兩點(diǎn)A(x]，/)和點(diǎn)B(x2，y2)，小明在學(xué)習(xí)中發(fā)

現(xiàn)，若Xi，則ABIIy軸，且線段AB的長(zhǎng)度為|V]-4；若％=力，貝1MBIIx軸，且線

段AB的長(zhǎng)度為|x「X2l；

(應(yīng)用)：

(1)若點(diǎn)A(-1,1)、B(2,1),則ABIIx軸，AB的長(zhǎng)度為.

(2)若點(diǎn)C(1,0),且CDIIy軸，且CD=2,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

(拓展)：

我們規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M(X],%),N(x2,y2)之間的折線距

離為d(M,N)=|x1-x2|+|y1-y2|；例如：圖1中，點(diǎn)/M(-1,1)與點(diǎn)N(1,-2)

之間的折線距離為d(M,N)=|-1-1|+|1-(-2)|=2+3=5.

解決下列問(wèn)題：

(1)如圖1,已知E(2,0),若F(-1,-2),則d(E,F)；

(2)如圖2,已知E(2,0),H(1,t),若d(E,H)=3,則t=.

(3)如圖3,已知P(3,3),點(diǎn)Q在x軸上，且三角形。PQ的面積為3,則d(P,Q)

解析：【應(yīng)用】：⑴3；(2)(1,2)或(1,-2)；【拓展】：(1)=5；(2)2

或-2；(3)4或8.

【分析】

(應(yīng)用)(1)根據(jù)若、=丫2,則ABIIx軸，且線段AB的長(zhǎng)度為區(qū)飛|,代入數(shù)據(jù)即可得

出結(jié)論；

(2)由CDIIy軸，可設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,m),根據(jù)CO=2,可得|0-m|=2,故可求

出m,即可求解；

(拓展)(1)根據(jù)兩點(diǎn)之間的折線距離公式，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)之間的折線距離公式結(jié)合d(E,H)=3,即可得出關(guān)于t的含絕對(duì)值符號(hào)

的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；

(3)由點(diǎn)Q在x軸上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0),根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角形

OPQ的面積為3即可求出x的值，再利用兩點(diǎn)之間的折線距離公式即可得出結(jié)論；

【詳解】

(應(yīng)用)：

(1)AB的長(zhǎng)度為|-1-2|=3.

故答案為：3.

(2)由811y軸，可設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,m),

???CD=2,

|0-m|=2,解得：m=±2,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2).

故答案為：(1,2)或(1,-2).

(拓展)：

(1)d(E,F)=|2-(-1)|+|0-(-2)|=5,

故答案為：=5.

(2)-：E(2,0),H(1,t),d(E,H)=3,

|2-l|+|0-t\=3,解得：t=±2.

故答案為：2或-2.

(3)由點(diǎn)Q在x軸上，可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0),

三角形OPQ的面積為3,

1|x|x3=3,解得：x=+2.

2

當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,0)時(shí)，d(P,Q)=|3-2|+|3-0|=4；

當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,0)時(shí)，d(P,Q)=|3-(-2)|+|3-0|=8.

故答案為：4或8.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題目，考查了新定義、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形面積等知識(shí)，讀懂題

意并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離及兩點(diǎn)之間的折線距離公式是解題的關(guān)鍵.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知線段A8,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，-2),點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),如圖

1所示.

⑴平移線段A8到線段C。，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（-2,4）,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵平移線段A8到線段C。，使點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)。在第二象限內(nèi)（A與。對(duì)

應(yīng)，8與c對(duì)應(yīng)），連接如圖2所示.若S=7（S表示ABCD的面積），求

ABCDABCD

點(diǎn)C、。的坐標(biāo)；

S2（

⑶在（2）的條件下，在y軸上是否存在一點(diǎn)P,使不"二w（s”「八表示4PCD的面積）？若存

\BCD

在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：⑴。（-4,2）；（2）C（0,4）、D（-2,2）；⑶存在點(diǎn)尸，其坐標(biāo)為'，-1］或（0,等

【分析】

（1）利用平移得性質(zhì)確定出平移得單位和方向；

（2）根據(jù)平移得性質(zhì)，設(shè)出平移單位，根據(jù)％BCD=7（S建立方程求解，即可）；

S2

（3）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出PC用丁=可，建立方程求解即可.

‘BCD

【詳解】

（I）,.'B（3,0）平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。（一2,4）,

?,?設(shè)3+i=-2,0+Z?=4,

a=-5fb=4

即線段A5向左平移5個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到線段C。,

A點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。（-4,2）；

⑵1,點(diǎn)c在y軸上，點(diǎn)。在第二象限，

二線段AB向左平移3個(gè)單位，再向上平移y個(gè)單位，,C（0,y）,D（-2,-2+y）

連接

s=s+s—s=

‘BCD'BOCCODBOD

1<9Bx（?C+|oCx2-|oBx（-2+y）=7,y=4

C（0,4）、￡）（-2,2）；

⑶存在

設(shè)點(diǎn)P（0,m）,/.PC^\4-m\

9,PCD2

s3

△BCD

?'-—14-mIx2=—x7

23

14一加I」,

3

2T26

m=—或加=—

33

???存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為或

【點(diǎn)睛】

本題考查了線段平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在利用平移的性質(zhì)，得到點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系、圖形面

積的關(guān)系，根據(jù)面積的關(guān)系，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo).

5.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，

C（O,a）,D（b,a）,其中a、b滿足關(guān)系式：|。+4|+3-.一1）2=0.

（Da=，b=,ABCD的面積為；

（2）如圖2,石AC_L3C于點(diǎn)C,點(diǎn)P是線段。C上一點(diǎn)，連接BP,延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)Q.

當(dāng)NCPQ=NCQP時(shí)，求證：BP平分ZA8C；（提示：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180）

（3）如圖3,若ACL8C,點(diǎn)E是點(diǎn)A與點(diǎn)B之間上一點(diǎn)連接CE,且CB平分NEC。問(wèn)

NBEC與NBCO有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系并請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：（1）-4；-3；6；（2）證明見(jiàn)解析；（3）NBEC=2NBCO,理由見(jiàn)解析.

【詳解】

分析：（1）求出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；

（2）根據(jù)等角的余角相等解答即可；

（3）首先證明NACD=ZACE,推出NDCE=2ZACD,再證明NACD=ZBCO,

ZBEC=ZDCE=2ZACD即可解決問(wèn)題；

--1|a+4|+(b-a-1)2=0,

a=-4,b=-3,

:點(diǎn)、C(0,-4),D(-3,-4),

CD=3,且CDIIx軸,

二△BCD的面積=LX4X3=6-

2

故答案為-4,-3,6.

(2)如圖2中，

/.ZCBQ+ZCQP=90°,

又:ZABQ+ZCPQ=90°,

/.ZABQ=ZCBQ,

BQ平分NCBA.

理由：-/AC±BC,

/.ZACB=90°,

/.ZACD+ZBCF=90°,

/CB平分NECF,

/.ZECB=ZBCF,

/.ZACD+ZECB=90°,

,/ZACE+ZECB=90°,

ZACD=ZACE,

/.ZDCE=2ZACD,

,/ZACD+ZACO=90°,ZBCO+ZACO=90°,

/.ZACD=ZBCO,

C(0,-4),D(-3,-4),

/.CDIIAB,

ZBEC=ZDCE=2ZACD,

ZBEC=2ZBCO,

點(diǎn)睛：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的角平分線，三角形的面積，三角形的內(nèi)角和

定理，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為(1,0)、卜2,0),現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)43分

別向上平移2個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A、5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D,連接AC、

BD、CD.

(1)若在了軸上存在點(diǎn)連接M4、MB,使，演了$必犯，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)p在線段8。上運(yùn)動(dòng)，連接尸C、PO,求S=SAPCD+SAP。B的取值范圍；

(3)若p在直線8。上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫(xiě)出/CPO、NDCP、NBOP的數(shù)量關(guān)系.

-2O\Ix

解析：(1)(0,4)或(0,-4)；(2)2<S<3；(3)答案見(jiàn)解析

【解析】

(1)先根據(jù)，刖“=5口配℃，得出AAB/W的高為4,再根據(jù)三角形面積公式得到M點(diǎn)的坐

(2)先計(jì)算出S梯形OBDC=5,再討論：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，SAP℃的最小值=2,當(dāng)點(diǎn)P

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，SAP℃的最大值=3，即可判斷$=$?陽(yáng)5+$"。8的取值范圍的取值范圍；

(3)分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在BD上，如圖1,作PEIICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得

CDIIPEIIAB,則NDCP=ZEPC,ZBOP=ZEPO,易得NDCP+ZBOP=ZEPC+ZEPO=ZCPO：

當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,同樣有NDCP=ZEPC,ZBOP=ZEPO,由于

ZEPO-ZEPC=ZBOP-ZDCP,于是NBOP-ZDCP=ZCPO；同理可得當(dāng)點(diǎn)P在線段DB的延長(zhǎng)

線上時(shí)，ZDCP-ZBOP=ZCPO.

解：(1)由題意，得c(0,2)

DABDC的高為2

若S△颯二S必皿，則△ABM的高為4

又二點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,4)或(0,-4)

(2),/B(-2,0),0(0,0)

08=2

由題意，得c(0,2),D(-3,2)

0C=2,CD=3

OB+CD

xOC=——x2=5

梯形OBDC2

點(diǎn)p在線段BD上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)B時(shí)，"CO的面積最小，為葭BOxCO：2x2=2

22

當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)。時(shí)，△PC。的面積最大，為:xCDxCO=：x3x2=3

22

S=S"%D+SAPOB=$梯杉0SDC-SAPC0=5-SAPCO

-S的最大值為5—2=3,最小值為5—3=2

故S的取值范圍是：2<S<3

（3）如圖：

當(dāng)點(diǎn)尸在射線8。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NCPO=NBOP-NDCP

當(dāng)點(diǎn)尸在射線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

NCPO=NDCP-NBOP

點(diǎn)睛：本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及三角形的面積.利用分類討論思想，并構(gòu)造輔助線

利用平行線的性質(zhì)推理是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在長(zhǎng)方形中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為Q,。），點(diǎn)C的

坐標(biāo)為（0,6）且。、6滿足4n+0-12|=0,點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，以每

秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著O-C-8-4-。的線路移動(dòng).

備用圖

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為;當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)5秒時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為

(2)在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)尸到了軸的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求點(diǎn)尸移動(dòng)的時(shí)間；

(3)在。-C-B的線路移動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)p使AOBP的面積是20,若存在直接寫(xiě)

出點(diǎn)尸移動(dòng)的時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25

解析：(1)(8,12),(0,10)；(2)2秒或14秒；(3)存在，t=2.5s或

【分析】

(1)由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得。、b的值，據(jù)此可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間可得

其運(yùn)動(dòng)5秒的路程，得到。P=10,從而得出其坐標(biāo)；

(2)先根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)"秒判斷出點(diǎn)P的位置，再根據(jù)三角形的面積公式求解可得；

(3)分為點(diǎn)P在。C、BC上分類計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)a,b滿足Ja-8+-12]=0,

0=8,b=12,

二點(diǎn)B(8,12)；

當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)5秒時(shí)，其運(yùn)動(dòng)路程為5x2=10,

OP=10,

則點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,10),

故答案為：(8,12)、(0,10)；

(2)由題意可得，第一種情況，當(dāng)點(diǎn)P在。C上時(shí)，

點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：4+2=2秒，

第二種情況，當(dāng)點(diǎn)P在弘上時(shí).

點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是：(12+8+8)+2=14秒，

所以在移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P到x軸的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間是2秒或14

秒.

(3)如圖1所示：

LOP?BC=20,即LX8XOP=20.

22

解得：OP=5.

此時(shí)t=2.5s

如圖2所示；

J-PB?OC=20,gpJ-xl2xPB=20.

22

解得：BP=y.

CP=-

3,

J.此時(shí)t=Ws,

3

綜上所述，滿足條件的時(shí)間t=2.5s或告25s

【點(diǎn)睛】

本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題.

8.如圖，直線ABII直線8,線段EFIICD,連接BF、CF.

（1）求證：ZABF+NDCF=ZBFC；

（2）連接BE、CE、BC,若BE平分NABC,BE1CE,求證：CE平分NBC。；

（3）在（2）的條件下，G為EF上一點(diǎn)，連接BG,若4BFC=NBCF,ZFBG=2ZECF,

ZCBG=70°,求NFBE的度數(shù).

圖1圖2圖3

解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）NFBE=35。.

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NABF=NBFE,ZDCF=ZEFC,進(jìn)而解答即可;

（2）由（1）的結(jié)論和垂直的定義解答即可；

（3）由（1）的結(jié)論和三角形的角的關(guān)系解答即可.

【詳解】

證明：（1）ABWCD,EFIICD,

：.ABWEF,

ZABF=NBFE,

,/EFWCD,

/.ZOCF=NEFC,

/.ZBFC=NBFE+NEFC=Z.ABF+NDCF；

(2)8EJ_EC,

/.ZBEC=90°,

/.ZEBC+NBCE=90°,

由(1)可得：NBFC=NABE+NECD=90°,

/.ZABE+NECD=NEBC+NBCE,

,/BE平分NABC,

NABE=NEBC,

/.ZECD=NBCE,

/.CE平分NBCD；

(3)設(shè)NBCE=B，ZECF=R,

,/CE平分NBCD,

/.ZDCE=NBCE=B，

/.NDCF=NDCE-ZECF=B-y,

/.ZEFC=B-v，

,/ZBFC=NBCF,

/.ZBFC=NBCE+NECF=y+B，

/.ZABF=NBFE=2\,

,/ZFBG=2NECF,

ZFBG=2y,

/.NABE+NDCE=N8EC=90°,

/.ZABE=90°-P，

/.ZGBE=NABE-ZABF-ZFBG=900-p-2y-2y,

BE平分NABC,

ZCBE=NABE=90°-P，

ZCBG=NCBE+NGBE,

70°=90°-p+90°-P-2y-2v，

整理得:2Y+P=55",

ZFBE=NFBG+NGBE=2v+900-P-2y-2y=90°-(2v+P)=35°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)解答.

9.如圖，直線PQ//MN,點(diǎn)C是P。、腦V之間(不在直線PQ,MN上)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖1,若4與N2都是銳角，請(qǐng)寫(xiě)出NC與/I,N2之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）把直角三角形A8C如圖2擺放，直角頂點(diǎn)C在兩條平行線之間，CB與PQ交于點(diǎn)

D,C4與交于點(diǎn)E,胡與交于點(diǎn)尸，點(diǎn)G在線段CE上，連接。G,有

/AFN

ZBDF=ZGDF,求------的值；

/CDG

（3）如圖3,若點(diǎn)D是MN下方一點(diǎn),BC平分2PBD,40平分NG4D,已知

NPBC=25°,求+的度數(shù).

解析：（1）見(jiàn)解析；（2）,；（3）75°

2

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解.

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和平角的定義解答即可.

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和解答即可.

【詳解】

解：（1）NC=N1+N2,

證明：過(guò)C作川MN,如下圖所示，

/IIMN,

Z4=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

/IIMN,PQIIMN,

?/IIPQ,

Z3=Z1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

Z3+Z4=N1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

（2）ZBDF=NGDF,

'：ZBDF=NPDC,

ZGDF=NPDC,

■：ZPDC+ZCDG+ZGDF=180°,

ZCDG+2NPDC=180°,

ZPDC=9O°-1ZCDG,

2

由(1)可得，NPDC+NCEM=ZC=90°,

ZAEN=NCEM,

?，?ZAENZCEM_90°-/PDC_90°-(90°-5/CZ?G),

NCDG一4CDG~ZCDGNCDG2

(3)設(shè)BD交MN于J.

:BC平分NPBD,AM平分NOW,ZPBC=25°,

:.NPBD=2NPBC=50°,ZCAM=ZMAD,

■：PQIIMN,

：.ZBJA=NPBD=50°,

：.ZADB=NAJB-N」AD=50°-NJ/1D=50°-ZCAM,

由（1）可得，NACB=NPBC+NCAM,

：.ZACB+ZADB=NPBC+NC4/W+50°-ZCAM=25°+50°=75°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行找出角度之間的關(guān)

系.

10.已知：如圖，直線AB〃CD,直線EF交AB,8于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M,點(diǎn)N分別是直線

（1）點(diǎn)、M,N分別在射線QC,QF上（不與點(diǎn)Q重合），當(dāng)NAP/M+NQMN=90。時(shí)，

①試判斷PM與M/V的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若力平分NEPM,ZMA/Q=20°,求NEPB的度數(shù).（提示：過(guò)N點(diǎn)作AB的平行線）

（2）點(diǎn)M,N分別在直線CD,EF上時(shí)，請(qǐng)你在備用圖中畫(huà)出滿足PM_LMN條件的圖形,

并直接寫(xiě)出此時(shí)NAPM與NQMN的關(guān)系.（注：此題說(shuō)理時(shí)不能使用沒(méi)有學(xué)過(guò)的定理）

解析：（1）①PM_LMM理由見(jiàn)解析；②NEPB的度數(shù)為125。；（2）NAPM

+ZQ/W/V=90°或NAPMWQ/W/V=90°.

【分析】

（1）①利用平行線的性質(zhì)得到NAPM=NPMQ,再根據(jù)已知條件可得到PMLMN；

②過(guò)點(diǎn)N作NHIICD,利用角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)求得NMNH=35。，即可求

解；

（2）分三種情況討論，利用平行線的性質(zhì)即可解決.

【詳解】

解：（1）①PMLMN,理由見(jiàn)解析：

AB//CD,

：.ZAPM=NPMQ,

■：ZAPM+AQMN=90°,

：.ZPMQ+ZQMN=90°,

：.PMLMN；

②過(guò)點(diǎn)N作NHUCD,

■：AB//CD,

：.AB//NHWCD,

ZQMN=NMNH,ZEPA=NENH,

■：PA平分NEPM,

ZEPA=Z.MPA,

,/ZAPM+NQM/V=90°,

/.ZEPA+ZMA/H=90°,即NENH+NMNH=90°,

/.ZMNQ+ZMNH+ZMNH=90°,

,/ZMA/Q=20°,

/.ZMNH=35°,

/.ZEPA=NENH=NMNQ+ZMNH=55°,

/.ZEPB=180o-55°=125°,

.zEPB的度數(shù)為125°；

（2）當(dāng)點(diǎn)M,N分別在射線QC,QF上時(shí)，如圖:

E

1----------X--------------B

PMLMN,AB//CD,

/.ZPMQ+NQM/V=90°,ZAPM=4PMQ,

/.ZAPM+ZQMA/=90°；

當(dāng)點(diǎn)M,/V分別在射線QC,線段PQ上時(shí)，如圖:

PMLMN,AB//CD,

/.ZPM/V=90°,ZAPM=NPMQ,

/.ZPMQ-ZQM/V=90°,

/.ZAPM-ZQM/V=90°；

當(dāng)點(diǎn)M,/V分別在射線QD,QF上時(shí)，如圖:

PMLMN,AB//CD,

/.NPMQ+NQM/V=90°,ZAPM+APMQ=180°,

/.Z4PM+90°-NQM/V=180°,

/.ZAPM-ZQM/V=90°；

綜上，ZAPM+ZQ/WN=90°或NAPM-ZQMN=90°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，

同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，同位角相等等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

11.綜合與實(shí)踐

背景閱讀：在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線的位置關(guān)系有相交、平行，若兩條不重合的

直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們就說(shuō)這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說(shuō)這兩條直

線互相平行兩條直線的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定是幾何的重要知識(shí)，是初中階段幾何合情推

理的基礎(chǔ).

已知：AMWCN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn)，于B.

問(wèn)題解決：（1）如圖1,直接寫(xiě)出NA和NC之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)。，求證：NABD=NC；

（3）如圖3,在（2）間的條件下，點(diǎn)E、F在。M上，連接BE、BF、CF,BF平分NDBC,

解析：（1）ZA+ZC=90°；（2）見(jiàn)解析；（3）105°

【分析】

（1）通過(guò)平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系即可求解.

（2）過(guò)點(diǎn)B作BGIIDM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解.

（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)即可求解.

【詳解】

解：（1）如圖1,設(shè)A/W與BC交于點(diǎn)?！?WIIC7V,

.t.NC=NAOB9

AB±BC,

/.ZABC=90°f

/.ZA+ZAOB=90°,

NZ+NC=90°,

故答案為：NA+NC=90。；

圖2

,/BDJ.AM,

DB_LBG,

Z086=90°,

/.N4BD+NZBG=90°,

,/AB±BC,

/.ZCBG+N48G=90°,

ZABD=NCBG,

,/AMWC/V,

ZC=NCBG,

：.NABD=NC；

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BGIIDM,

圖3

■rBF平分NOBC,BE平分NAB。，

ZDBF=ZCBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知NABD=NCBG,

ZABF=NGBF,

設(shè)NDBE=a,NABF=6,

則N48E=a,NABD=2a=NCBG,

ZGBF=NAFB=6,

ZBFC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6J

,/ZAFC+ANCF=180°fNFCB+N/VCF=180°,

ZFCB=NAFC=3a+6,

△BCF中，由NCBF+ABFC+NBCF=180°得：2a+6+3a+3a+6=180°,

,/AB±BCf

6+6+2a=90°,

/.a=15°,

ZABE=15°,

ZEBC=NABE+AABC=150+90°=105°.

故答案為：105。.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線性質(zhì)，畫(huà)輔助線，找到角的和差倍分關(guān)系是求解本題的關(guān)鍵.

12.已知，如圖：射線PE分別與直線AB、CD相交于E、/兩點(diǎn)，ZPED的角平分線與

直線A8相交于點(diǎn)M,射線交CD于點(diǎn)N,設(shè)/PE0=a°,=且

(a-35)2+|P-a|=0.

（1）a=,p=；直線AB與CD的位置關(guān)系是；

（2）如圖，若點(diǎn)G是射線上任意一點(diǎn)，旦NMGH=NPNF,試找出/fW與NG5

之間存在一個(gè)什么確定的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

（3）若將圖中的射線加繞著端點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖）分別與AB、CO相交于點(diǎn)

M和點(diǎn)N時(shí)，作/?B的角平分線MQ與射線而相交于點(diǎn)Q,問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中

1111

解析：（1）35,35,平行；（2）ZFMN+Z.GHF=180°,證明見(jiàn)解析；（3）不變，2

【分析】

（1）根據(jù)（a-35）2+\6-a\=0,即可計(jì)算a和6的值，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證ABUCD；

（2）先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等證GHIIPN,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等量代換得出

ZFMN+NGHF=180°；

（3）作NPE/W］的平分線交MQ的延長(zhǎng)線于R,先根據(jù)同位角相等證ERIIFQ,得

NFQM『NR,設(shè)立PER=NREB=X,ZPM1R=ZRM1B=y,得出NEPM『2NR,即可得

【詳解】

解：(1)???(a-35)2+|&a|=0,

a=6=35,

ZPFM=NMF/V=35°,ZEMF=35°,

/.ZEMF:NMFN,

.'.ABWCD；

(2)ZFMN+NGHF=180°；

理由：由(1)得八BIICD,

/.ZMNF=NPME,

,/ZMGH=NMNF,

/.ZPME=NMGH,

/.GHWPN,

/.ZGHM=NFMN,

/ZGHF+NGHM=180°,

/.ZFMN+NGHF=180°；

ZFPN、r

(3)乙魚(yú)?的值不變,為2,

理由：如圖3中，作NPEMi的平分線交的延長(zhǎng)線于R,

,/4BIICD,

NPEMyPFN,

,/ZPER=LZPEM,/PFQ=LNPFN,

212

/.ZPER=NPFQ,

/.ERWFQ,

圖3

ZFQM『NR,

設(shè)NPER=4REB=x,ZPM/二NRM^y,

Ei-\y=x+AR

人」有：[2y=2x+ZEPM'

I1

可得NEPM『2NR,

zEPM『2NFQM],

.ZEPMZFPN

..----------i------------i-.7

NFQMJZQ

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握內(nèi)錯(cuò)角相等證平行，平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)等

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

13.已知，ABWCD,點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G,F在AB上，點(diǎn)”在AB,CD之間，連接FE,

EH,HG,ZAGH=Z.FED,FE1HE,垂足為E.

(1)如圖1,求證：HGLHE；

(2)如圖2,GM平分NHGB,EM平分ZHED,GM,EM交于點(diǎn)M,求證：ZGHE=

2ZGME；

圖3

(3)如圖3,在(2)的條件下，F(xiàn)K平分NAFE交CD于點(diǎn)、K,若NKFE：ZMGH=13：5,

解析：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）40°

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；

（2）過(guò)點(diǎn)H作HPIIZB,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可;

（3）過(guò)點(diǎn)H作HPIIZB,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

證明：（1）C。，

/.ZAFE=NFED,

,/ZAGH=iFED,

/.NAFE=NAGH,

/.EFWGH,

/.ZFEH+NH=180°,

,/FELHE,

/.ZFEH=90°,

ZH=180°-ZFEH=90°,

HG±HE；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MQIIAB,

'：ABWCD,

「?MQIICD,

過(guò)點(diǎn)H作HPIMB,

,/ABWCD,

/.HPWCD,

'：GM平分NHGB,

/.ZBGM=4HGM=1ZBGH,

2

,/EM平分NHED,

/.ZHEM=NDEM=LNHED,

2

,/MQIIAB,

/.NBGM=NGMQ,

,/MQIICD,

/.ZQME=NMED,

/.ZGME=4GMQ+NQME=NBGM+NMED,

,/HPWAB,

/.ZBGH=NGHP=2/BGM,

,/HPWCD,

/.ZPHE=AHED=2NMED,

/.ZGHE=NGHP+NPHE=2NBGM+2NMED=2(ZBGM+NMED),

/.ZGHE=N2GME；

(3)過(guò)點(diǎn)M作MQIIZB,過(guò)點(diǎn)H作HPII4B,

￡3

由NKFE：ZMGH=13：5,設(shè)NKFE=13x,NMGH=5x,

由(2)可知：NBGH=2NMGH=10x,

ZAFE+NBFE=180°,

/.NAFE=180°-lOx,

FK平分NAFE,

ZAFK=NKFE=LzAFE,

2

即g(18O。-10x)=13x,

解得：x=5°,

/.ZBGH=lOx=5O°,

HPIIAB,HPIICD,

ZBGH=ZGHP=5O°,ZPHE=ZHED,

■：ZGHE=90",

：.ZPH￡=ZGHE-ZGHP=90°-50°=40°,

ZHED=40°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)定理以及靈活構(gòu)造平行線

是解題的關(guān)鍵.

14.綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)直角三角形和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如

圖，已知兩直線。力，且。bqABC是直角三角形，ZBCA=90°,操作發(fā)現(xiàn)：

B

圖1圖2圖3

（1）如圖L若/1=48。，求N2的度數(shù)；

（2）如圖2,若ZA=30。,/1的度數(shù)不確定，同學(xué)們把直線“向上平移，并把N2的位置改

變，發(fā)現(xiàn)N2-Nl=120。，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3,若NA=30。，AC平分此時(shí)發(fā)現(xiàn)/I與N2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)

寫(xiě)出/I與N2的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.