高中數(shù)學數(shù)學數(shù)列多選題知識點及練習題（含答案）

數(shù)學數(shù)列多選題知識點及練習題含答案

一、數(shù)列多選題

1.設數(shù)列｛%｝的前〃項和為s“，若存在實數(shù)A，使得對任意〃eN*，都有則

稱數(shù)列｛4｝為"T數(shù)列".則以下結(jié)論正確的是（）

A.若｛%｝是等差數(shù)列,且％>0,公差d<0,則數(shù)列｛%｝是"T數(shù)列”

B.若｛q｝是等比數(shù)列，且公比q滿足|川<1,則數(shù)列｛q｝是"T數(shù)列"

c.若4=,則數(shù)列｛4｝是"T數(shù)列"

一n（n+：1）篇2

2

D.若則數(shù)列｛。"｝是"T數(shù)列

【答案】BC

【分析】

寫出等差數(shù)列的前幾項和結(jié)合"T數(shù)列"的定義判斷4寫出等比數(shù)列的前“項和結(jié)合"T數(shù)

歹U”的定義判斷B；利用裂項相消法求和判斷C；當〃無限增大時，|Sj也無限增大判斷。.

【詳解】

在A中，若｛?！埃堑炔顢?shù)列，且％>0,公差d<0,則S“=g〃2+J—2"，當“無

限增大時，國也無限增大，所以數(shù)列｛%｝不是"T數(shù)列"，故A錯誤.

在B中，因為｛q｝是等比數(shù)列，且公比q滿足|q|<l,

a(1-q1%aqna+a、qn

所以圖=xrx<2-^-所以數(shù)列｛4｝是"T數(shù)

i—q1-q1-q1-q1-qi—q

列”，故B正確.

n+211

在,中’因為4=〃（，+1）21=百一（，+1）2+一所以

+________^一

_X2+X2-X3+

222232n-T(H+1)-2,,+I2("+l)-2"+i2

.所以數(shù)列｛4｝是"T數(shù)列"，故C正確.

n2

在。中，因為一-,所以

4n--1

s〃=I"+1—+"++“，當，無限增大時，國也無限增

大，所以數(shù)列｛4｝不是"T數(shù)列"，故。錯誤.

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向,

突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂項技巧：

111

(1)-7---7\=~(2)(3)

n[n+k)knn+k)y/n+k+y/n

11(11X

(4)

+2n+lJ'

1

；此外，需注意裂項之后相消

2,1-12,,+1-1

的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導致計算結(jié)果錯誤.

2.已知數(shù)列｛4｝,｛〃｝均為遞增數(shù)列，伍,｝的前。項和為S”，也,｝的前”項和為且

滿足4+?！?1=2n,bn-bn+1=X(neN*),則下列結(jié)論正確的是()

A.0<tZ]<1B.1<白<0C.S2n<T2IID.S2n>T2n

【答案】ABC

【分析】

利用數(shù)列單調(diào)性及題干條件，可求出可,偽范圍；求出數(shù)列｛q｝,｛〃｝的前20項和的表達

式，利用數(shù)學歸納法即可證明其大小關(guān)系，即可得答案.

【詳解】

因為數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，

所以q<a2<a3,

所以2%<%+%=2,即“1<1,

又2%<%+/=4,即4=2-<2,

所以q>。，即故人正確；

因為他〃｝為遞增數(shù)列，

所以b[<b2Vb3,

所以仇2<4勿=2,即4<夜，

2

又<帥3=4,即4=7<2,

所以々>1,即1<4〈血，故B正確；

｛〃〃｝的前2n項和為S2"=(〃i+%)+(。3+〃4)^---h(a2n-l+。2〃)

2c小八r2n(l+2n—1)-

=2[1+3H---1-(2n—1)]=------------=2n2,

因為么也+1=2"，則為+]也+2=2用,所以％2=2〃,

則｝的2"項和為T2n=31+b3T---卜町_1)+(力2+d木---也〃)

二年(20+2]+…+2”T)+d(2°+2]+…+2〃T)=(4+N)(2〃一1)

>2班瓦(2"-1)=2后(2"-1),

當n=l時，邑=2,4>2行，所以《〉邑，故。錯誤；

當“22時

假設當n=k時，20(2人一1)>2左2,即0(2*-1)>左2,

貝1]當n=k+l時，72(2^+1-1)=向2k+2k-l)=2ky/2+0(2印—1)>2'虎+左？

〉左？+2左+1=(左+1/

所以對于任意〃eN*，都有2點(2為一1)>2/,即《，〉邑〃，故C正確

故選：ABC

【點睛】

本題考查數(shù)列的單調(diào)性的應用，數(shù)列前n項和的求法，解題的關(guān)鍵在于，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)

性，得到項之間的大小關(guān)系，再結(jié)合題干條件，即可求出范圍，比較前20項和大小時，需

靈活應用等差等比求和公式及性質(zhì)，結(jié)合基本不等式進行分析，考查分析理解，計算求值

的能力，屬中檔題.

3.已知數(shù)列｛。"｝中，q=l,a“+i—：=[+：]a"，”eN*.若對于任意的.<1,2],不

等式&<—2/—+。+2恒成立，則實數(shù)?？赡転?)

n

A.-4B.-2C.0D.2

【答案】AB

【分析】

由題意可得乙-%=工-——,利用裂項相相消法求和求出&=2-工<2,只需

〃+1nn〃+1nn

—2〃—(Q+1)，+Q2—〃+222對于任意的tG[1,2]恒成立，轉(zhuǎn)化為

[2f-(a-1)[。+a)V0對于任意的?e[1,2卜恒成立，然后將選項逐一驗證即可求解.

【詳解】

1n+1.4+ian_1J__1_

“"+1nna"'H+1nn(n+1)n〃+1'

則a"a”]=11=1\里__&=]_J_

nn-1n-1nn-1n-2n-2n-1212

上述式子累加可得：——^=1——,—=2——<2,

nnnn

「?—2/—(a+1)%+/—Q+222對于任意的％w[1,2]恒成立，

整理得[2f—（a—1）[（Z+?）<O對于任意的te[1,4恒成立，

對4當a=T時，不等式（2/+5）?—4）<0,解集—：,4,包含[1,2],故A正確；

-31

對B,當a=—2時，不等式（2f+3）?—2）<0,解集一萬,2,包含[1,2],故B正確；

對C,當a=0時，不等式（2，+l）/K0,解集一；,0,不包含[1,2],故C錯誤；

對。，當a=2時，不等式（2/—1）（/+2）<0,解集—2,；,不包含[1,2],故D錯誤，

故選：AB.

【點睛】

本題考查了裂項相消法、由遞推關(guān)系式求通項公式、一元二次不等式在某區(qū)間上恒成立,

考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題.

4.（多選題）數(shù)列｛q｝滿足a〃+i=—a；+a”（〃eN*）,qe[0,g],則以下說法正確的

為（）

A.0<an+1<an

B.a；+a；+a；+???+a；<%

1111

c.對任意正數(shù)b,都存在正整數(shù)加使得一+-——+：——+---+：——>6成立

1—q1—%1一生1—〃相

1

D.a<------

n+1

【答案】ABCD

【分析】

對于A,結(jié)合二次函數(shù)的特點可確定正誤；

對于B,將原式化簡為q-a“+i<q,由?！?1>0得到結(jié)果；

111

對于C,結(jié)合為范圍和A中結(jié)論可確定：;一+-——+-??+-——>n,由此判斷得到結(jié)

1-ql-a21-a”

果；

對于D,利用數(shù)學歸納法可證得結(jié)論.

【詳解】

對于A,。“+1=一片+%=一1%，—g）+；,若a”貝1J4+1，

又。蘆]。,；），可知a”〉0,an+l>0,

aa=a

又n+\~n~n<°，「.°<4+1<%，A正確；

對于B,由已知得：=an-an+l,

「.a；+a；H--Ha；=(q-%)+(%—%)H---F—4+i)=6一4+iv勾，B正確；

對于C,由q及A中結(jié)論得：g<l—a“<l,1<￡丁<2,

111

■---——+-——+-??+-——>〃，顯然對任意的正數(shù)b,在在正整數(shù)加，使得m>6,

1—a11—%1-C1fl

1111

止匕時——+-——+:——+---+-----成立，C正確；

1—q1—41一生1—a根

對于D,(i)當77=1時，由已知知：/<4成立,

2

(ii)假設當〃=左(左eN*)時，4(占成立，

則4+1=-4+%=-

1111111

V--------------------亍H--------------------------------=---------------------------------------2<Ugn-1-----------------------27H-------------<--------------

乂(“+1)2n+1n+2(n+2)(n+l)，(n+1)〃+ln+2

綜上所述：當“eN*時，a“+i<^—，D正確.

n+2

故選：ABCD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用問題，關(guān)鍵在于能夠熟練應用不等式的性

質(zhì)與函數(shù)的性質(zhì)進行化簡辨析，同時對于數(shù)列中的不等式證明問題，可采用數(shù)學歸納法進

行證明.

5.已知數(shù)列{an},{/??}滿足an+l-an^n,bn-an+2nbn=1,且q=1,Sn是數(shù)列

{2}的前。項和，則下列結(jié)論正確的有()

-1zV，wT65+3331

A.玉〃eN+，am+5^am+a5B.VneN+,——>—

n4

C.3meN,b=16D.VneN,-<S<1

T+mT+3〃

【答案】BD

【分析】

用累加法得到%=”2丁2,代入包+2仍"=1,得d=—七，

代入冊+5=%+%求出m可判斷A；代入出士史求最值可判斷B；

n

令鬣=2-一==16解出m可判斷C；裂項相消后可求出S”的范圍可判斷D.

I機+1m+2)

【詳解】

因為4+1=幾，所以

〃2—%=1

a3-a2=2

%一%="1(心2)

以上各式累加得

1+2++n-l=-1(n-l),所以a”=—+1，當〃=1時，卬=1成立,

所以4="(；-1)+]="2-；+2,由優(yōu)?4+2〃d=l,得

_J_=______12=2fJ__M

an+In"("I)??2"(〃+1)(“+2)\n+ln+2J-

(〃z+5)(〃z+4)+]_m2+9m+22

對于A,a

m+52―2

m(m-1)+]+5義(5-1)+]m2-m+24

aa

m+5=2-2―2

、?,2m2-m+24m2+9m+22?1.,

當"…=/+%時'——=---'侍〃z-y0N+'AA錯t+)為a

對于B,4+33(〃一1)34n34

------+一=一十一

nn2n2n

當且僅當心68取等號，因為",所以I時，三二+

所以B正確；

對于C,令4=2(一二---1]=16得，m2+3m+—=0,解得

Im+1m+2J8

5

-3±

所以C錯誤;

m=42

,,fl11111>

對于D,VneN,Sn=b7+b++47=2|不一1+二―：++------------

+nx212334n+1〃+2/

=2||--二]=1——[<1,可以看出5“是關(guān)于〃遞增的，所以〃=1時有最小值!，

（2n+2Jn+23

所以』WS“<1,D正確.

3

故選：BD.

【點睛】

本題考查了由遞推數(shù)列求通項公式、裂項相消求數(shù)列和，關(guān)鍵點是用累加法求出劣,然后

代入求出考查了學生的推理能力、計算能力.

6.在遞增的等比數(shù)列｛4｝中，已知公比為q,S“是其前〃項和，若=32,

4+%=12,則下列說法正確的是（）

A.q=2B.數(shù)列｛S〃+2｝是等比數(shù)列

c.50?=510D.數(shù)列｛Igq｝是公差為2的等差數(shù)列

【答案】ABC

【分析】

n+1

計算可得4=2,故選項A正確；58=510,Sn+2=2,所以數(shù)列⑸+2｝是等比數(shù)

列，故選項氏C正確；lga“=〃」g2,所以數(shù)列｛lgaj是公差為1g2的等差數(shù)列，故選

項。錯誤.

【詳解】

｛4｝為遞增的等比數(shù)列，由|“用=32；a2a3—%%=32,

得<

[%+。3=12,a2+%=12,

=4,=8,

解得或<

。3=8(2^—4,

.??｛%｝為遞增數(shù)列,

%=4，a3ca2c

<「.q=-=2,q=上=2故選項A正確;

%=8a2q

9

S8=2-2=510,S“+2=2”+I,

二數(shù)列｛"+2｝是等比數(shù)列，故選項3正確；

所以S?=2"+i—2,則§8=29—2=510,故選項C正確.

又lga“=lg2"=n-lg2,

???數(shù)列｛lg%｝是公差為lg2的等差數(shù)列，故選項。錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

方法點睛：證明數(shù)列為等差（等比）數(shù)列常用的方法有：

（1）定義法；

（2）通項公式法

（3）等差（等比）中項法

（4）等差（等比）的前〃項和的公式法.要根據(jù)已知靈活選擇方法證明.

7.斐波那契數(shù)列｛?！保?1,1,2,3,5,8,13,21,34,又稱黃金分割數(shù)列，是由

十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)

1+A/5

列"，其通項公式4=而,是用無理數(shù)表示有理數(shù)的一個范

例，該數(shù)列從第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和，即4+2=4+1+4,記該數(shù)列

｛4｝的前〃項和為S“，則下列結(jié)論正確的是（）

A.耳?！?1%

【答案】AB

【分析】

選項A分別求出Ho，%可判斷，選項B由an+2=^n+l+an>得%+1=4+4_I5?2）,

a

相加得。“+2=n-l+2%可判斷，選項C,由邑021=%+4+。3+4++?2021，

兩式錯位相減可判斷.選項D.由

+a

-%）+（%-%）+（°n+2-n+\）=。,+2-%可判斷?

【詳解】

因為S]o=143,11%=143,所以S1o=ll%,則A正確；

由a,”=??+i+4,得an+i=an+4T(〃22),相加得%=。，一+2??,

所以[2021=2〃2019+^2018，所以B正確；

因為^2021—"1+02+“3+“4++。2021'^2020??+^^2020，

兩式錯位相減可得5,2021-^2020—l+O+tZj+^H-+。2019=1+32019，

所以^2021—^2020+S2019+1，所以C錯誤；

Sn=a1+?2+a5++a“=(%—%)+(%—%)+(%—%)+(4—。5)++(%+2-%+1)=%+2-%

—%+2—1，所以邑019=。2021—1，所以。錯誤.

故選：AB.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應用，解答本題的關(guān)鍵是由

5021="1+〃2+〃3+〃4++”2021，^2020—++”2020，兩式錯位相減可得

^2021~^2020=1+°+。[+出++^2019~+^2019，以及由遞推關(guān)系可得

Sg=(%-%)+(%一%)+(%-%)+(。6一%)++(%+2-%+1)=%+2一%,屬于中檔題.

8.設首項為1的數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，已知S.=2S“+"—1,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.數(shù)列｛%,｝為等比數(shù)列B.數(shù)列設,+科為等比數(shù)列

C.數(shù)列｛4｝中=511D.數(shù)列｛2S“｝的前幾項和為

2"+2_“2_“_4

【答案】BCD

【分析】

S1+n+12s+2n

由已知可得弋------——=2,結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷B；可得

s〃+"s?+n

Sn=T-n,結(jié)合4和S”的關(guān)系可求出｛4｝的通項公式，即可判斷A；由｛4｝的通項公

式，可判斷C；

由分組求和法結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前九項和公式即可判斷D.

【詳解】

5*,1+n+12Sn+In

因為S〃+]=2S〃+〃—1,所以二------

Sn+n

又1+1=2,所以數(shù)列｛S0+〃｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，故B正確;

所以S“+〃=2",則S"=2"—〃.

當“22時，4=S"—S"T=2"T—1,但q1,故A錯誤;

由當場22時，%=21-1可得%,=29—1=511,故C正確;

因為2s“=2"+i—2〃,所以21+2s2+…+2S,=22—2x1+23—2x2+…+2"i—2M

=22+23+...+2H+1-2(l+2+...+zz)=4^-2-2\n+n^n~^]=2n+2-n2-n-4

[71-22

所以數(shù)列｛2S,J的前〃項和為2〃+2—〃2一”―4,故。正確.

故選：BCD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：在數(shù)列中，根據(jù)所給遞推關(guān)系，得到等差等比數(shù)列是重難點，本題由

Sn+1=2Sn+〃—1可有目的性的構(gòu)造為Sn+l+“+1=2S?+2n,進而得到

51,1+7?+12s+2n-（\

-----------=——=2,說明數(shù)列電+71｝是等比數(shù)列，這是解決本題的關(guān)鍵所在,

考查了推理運算能力，屬于中檔題，

二、平面向量多選題

9.己知M為.ABC的重心，。為3C的中點,則下列等式成立的是（）

A.AD^-AB+-ACB.MA+MB+MC=0

22

C.BM^-BA+-BDD.CM^-CA+-CD

3333

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)向量的加減法運算法則依次討論即可的答案.

【詳解】

解：如圖，根據(jù)題意得”為三等分點靠近。點的點.

-1-1

對于A選項，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得AD=-A3+—AC,故A正確;

22

對于B選項，MB+MC=2MD>由于A/為三等分點靠近。點的點，

MA=—2MD，所以MA+Affi+MC=O，故正確；

22/12

對于C選項，BM=BA+-AD^BA+-（BD-BA]=-BA+-BD,故C錯誤；

—33''33

22/X12

對于D選項，CM=CA+—AE>=CA+—CD—C4）=—C4+—CD,故D正確.

33、'33

故選：ABD

【點睛】

本題考查向量加法與減法的運算法則，是基礎題.

10.下列說法中錯誤的為（）

A.已知二=(1,2),U(l,l),且［與〃+勸的夾角為銳角，則實數(shù)X的取值范圍是

11T

一一(13、

B.向量6=(2,-3),02=亍-彳不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底