2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積

專練34空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積和體積

[基礎(chǔ)強(qiáng)化]

一、選擇題

1.[2024.新課標(biāo)I卷]已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為小,則圓錐的

體積為（）

A.257iB.3M§7i

C.6小7iD.9y/3兀

答案：B

解析：設(shè)圓柱、圓錐的底面半徑為廣，則圓錐的母線長為爐+（?。?=^7+3.又圓柱與圓錐的側(cè)

面積相等，所以2兀r々5=冗7戶+3,解得廠=3,所以圓錐的體積■兀乂32*45=34n,故選B.

2.用一平面截正方體，所得截面的面積最大時(shí)，截面的幾何形狀為（）

A.正六邊形B.五邊形

C.長方形D.三角形

答案：C

解析：由題意用一平面截正方體，所得截面可以為正六邊形、五邊形、正方形、長方形、梯形、三角

形.而當(dāng)截面是以面對角線為長、正方體棱長為寬的長方形時(shí)，可知該截面的面積最大，故選C.

3.棱長為2的正方體ABC。一AiSGOi中，M,N分別為棱A8的中點(diǎn)，則三棱錐小一AMN的

體積為（）

A.1B.2C.3D.4

答案：A

解析：如圖，

易知V三棱錐Ai—三棱錐D[—A[MN,由正方體的結(jié)構(gòu)特征，知。的」平面所以。山

為三棱錐A-AiMN的高.因?yàn)镸,N分別為棱的中點(diǎn)，所以S^AiMN=2X2—3X1X1-1X1X2

i3113

~2X1X2=2，所以V三棱錐Ai—￡）iMN=V三棱錐AiMN=gXS/\A[MNXD[A[X]X2=l.

4.已知圓錐PO的底面半徑為小，O為底面圓心，PA,PB為圓錐的母線，ZAOB=y,若△B4B

的面積等于竽，則該圓錐的體積為（）

A.7iB.\［671

C.3兀D.3y/67i

答案：B

解析：在△AO8中，AO=BO=,,ZA（9B=y,由余弦定理得48=弋3+3—2X小x/x（一\）

=3,設(shè)等腰三角形底邊A3上的高為心貝US△用B=TX3仁乎,解得耳=半，由勾股定理得母線

PA=y^l（1）2+（^2^-）2=3,則該圓錐的高產(chǎn)0=5加2一。42=#,所以該圓錐的體積為:X3nXy/6

=,兀，故選B.

5.（多選）［2023?新課標(biāo)I卷］下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度

忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

答案：ABD

解析：由于棱長為1m的正方體的內(nèi)切球的直徑為1m,所以選項(xiàng)A正確；由于棱長為1m的正方體

中可放入棱長為小m的正四面體，且小>1.4,所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)檎襟w的棱長為1m,體對角線長

為小m,$<1.8,所以高為1.8m的圓柱體不可能整體放入正方體容器中，所以選項(xiàng)C不正確；由于正

方體的體對角線長為/m,而底面直徑為1.2m的圓柱體，其高0.01m可忽略不計(jì)，故只需把圓柱的底

面與正方體的體對角線平行放置，即可以整體放入正方體容器中，所以選項(xiàng)D正確.綜上，選ABD.

6.［2022?全國甲卷（文），10］甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分

別為s甲和s乙，體積分別為丫甲和^乙，若鴻=2,則卷=（）

A.小B.2小

C.V10D.5^^

答案：C

解析：設(shè)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長都為/,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為八，r2,高分別為〃1,h2.

因?yàn)閮蓤A錐的側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀,所以早十牛=2兀,則n+r2=/.又占=2,所以口1/=2%人,

所以廠1=2廠2,所以廠1=|/,r2=11,所以hi=\lP—=坐乙〃2=\^/2—口）/,所以費(fèi)■=

1274正

戲]higr-3I

]-----=-6=V10.故選C.

JyJ

7.已知A,8是球。的表面上兩點(diǎn)，ZAOB=90°,。為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐0—ABC體積的最

大值為36,則球O的表面積為（）

A.124兀B.144兀

C.156KD.196兀

答案：B

解析:

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直平面A08的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐O—ABC的體積最大，設(shè)球。的半徑為R,

此時(shí)Vo-ABC=Vc-AOB=gX]XR2XR=4R3=36,故R=6,則球。的表面積為4成2=144兀

8.

如圖所示的某糧倉（糧倉的底部位于地面上）是由圓柱和圓錐構(gòu)成的，若圓柱的高是圓錐高的2倍，且圓

錐的母線長是4,側(cè)面積是4兀，則制作這樣一個(gè)糧倉的用料面積為（）

A.（V15+4玩B.（2715+4）兀

C.（3^/15+4）兀D.（46+4）兀

答案：D

解析：設(shè)圓錐的底面半徑為廣，高為/?,則4〃=4%，解得廠=1,所以卜=小2—1=y[15,圓柱的側(cè)面

積為2兀r2/2=4行71,故制作這樣一個(gè)糧倉的用料面積為（4行+4）兀.

9.[2022?新高考I卷，4]南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水

庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0kn?；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面

的面積為180.0kn?.將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到

157.5m時(shí)，增加的水量約為（#心2.65）（）

A.LOX109m3B.1.2X109m3

C.1.4X109m3D.1.6X109m3

答案：C

解析：由棱臺的體積公式，得增加的水量約為:X(157.5-148.5)X(140X106+180X106+

-7140X106X180X106)=3X106X(140+180+6()V7)^3X106X(140+180+60X2.65):=?1.4X109(m3).^i^

C.

二、填空題

10.[2024?全國甲卷(理)]已知圓臺甲、乙的上底面半徑均為八，下底面半徑均為力，圓臺的母線長分別

為2g—n)，3(r2—ri),則圓臺甲與乙的體積之比為.

宏案.近

口木.4

解析：?.?圓臺甲、乙的上、下底面半徑均相等，

.V?hy712(-2—ri)]2一(冷――)二(F2—n)y/6

YLhz,^[3(r2-n)]2—(r2—ri)22吸(F2-n)4'

11.[2023?新課標(biāo)II卷]底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

答案：28

解析：如圖所示，正四棱錐P-42CZ)的底面邊長為4,用平行于底面的平面截去一個(gè)底面邊長為2,高

為3的正四棱錐尸-A0。。后，得到正四棱臺4BUDJ48CD,且4夕=2,48=4.記O,。分別為正四棱臺

A'B'C'D'-ABCD下底面的中心，H',X分別為A0,AB的中點(diǎn)，連接尸O,PH,O'H',OH,則R7=3,

O'H'=1,OH=2.易知叢POHs叢POH,所以罌=甯，即磊=|,解得尸。=6,所以。。=尸。一尸。，

rUUrirUZ

=3,所以該正四棱臺的體積V=gX3X(22+2X4+42)=28.

12.[2023?全國甲卷(理)]在正方體A8CDA向CQi中，E,尸分別為AB,CQi的中點(diǎn).以跖為直徑的

球的球面與該正方體的棱共有個(gè)公共點(diǎn).

答案：12

解析：

FG

/?)

如圖，線段EF過正方體的中心，所以以￡F為直徑的球的球心即正方體的中心，球的半徑為竽，而

正方體的中心到每一條棱的距離均為彳，所以以EF為直徑的球與每一條棱均相切，所以共有12個(gè)公共

點(diǎn).

［能力提升］

13.（多選）［2023?新課標(biāo)H卷］已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為。，AB為底面直徑，ZAPS=120°,PA

=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45。，貝）

A.該圓錐的體積為兀

B.該圓錐的側(cè)面積為4小71

C.AC=2吸

D.△B4C的面積為小

答案：AC

解析：在中，由余弦定理得AB=2小，如圖，連接尸。，易知圓錐的高//=尸。=1,底面圓的半

徑r=A0=80=小.對于A,該圓錐的體積V=g兀d八二乃，故A選項(xiàng)正確；對于B,該圓錐的側(cè)面積Sm

=5弘=24it,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C,取AC的中點(diǎn)連接尸打，OH,因?yàn)镺A=OC,所以。

同理可得PH_LAC,則二面角P-AC-O的平面角為/尸“。=45。，所以O(shè)H=PO=1,AH=CH=

ylAO2~OH2=6，所以AC=2吸，故C選項(xiàng)正確；對于D,PH=y/iOH=p,XACXPH

=2,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，選AC.

14.［2024?新課標(biāo)H卷］已知正三棱臺ABC-AiBQ的體積為了，AB=6,4囪=2,則4的與平面A8C

所成角的正切值為（）

A.；B.1

C.2D.3

答案：B

解析：設(shè)正三棱臺ABC-AiBG的高為h.

'：AB=6,A向=2,.\5AABC=1X6X6Xsin]=9小，SAAiBiCi=1X2X2Xsin1=3二?正三

棱臺ABC-AiBiCr的體積V=1(SAABC+SAAiBjCi+^/SAABC^AA^ICI)/J=|X(95+小+

、嶗義審)h=(^h=y,:.仁羊.

如圖，

設(shè)△ABC和△AiBCi的中心分別為。，01,連接401,O。，AO,作平面ABC交平面ABC于

點(diǎn)。，由幾何體ABC-AiBiG為正三棱臺可知，點(diǎn)。在A。上，且四邊形4。。。為矩形，其中N4A。即

為直線A1A與平面ABC所成的角.由48=6,43=2,可得。4=2小，0.=半,：.AD=OA-OD

4s

=OA—OiAi,.'.tanZAiAD=^^=^1~=1.故選B.

3

15.[2023?新課標(biāo)I卷]在正四棱臺ABCD-A向CQ中，AB=2,A向=1,AAi=p,則該棱臺的體積

為.

答案：嚕

解析：方法一如圖所示，

設(shè)點(diǎn)5,。分別為正四棱臺ABCD-AiBCiA上、下底面的中心，連接Bid,BD,則點(diǎn)5,O分別為

BM,8。的中點(diǎn)，連接5。，則。。即正四棱臺A8CD-4B1C1A的高，過點(diǎn)與作歷￡，8。，垂足為E,

則修￡=01。.因?yàn)锳B=2,=所以0B=@,0iS=^,所以BE=0B—0E=0B—0iB尸芋,

2

又AA尸也,所以BBi=^2,BXE=^BB[-BE，所以。。=坐，所以V正四棱臺

ABCD-AiBiCiDi=|X(22+l2+^/22Xl2)義乎=噌.

方法二如圖，

將正四棱臺ABCDAiBiCQi補(bǔ)形成正四棱錐尸-ABCZ),因?yàn)锳B=2,