山東省濰坊市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬二模試題含解析_第1頁
山東省濰坊市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬二模試題含解析_第2頁
山東省濰坊市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬二模試題含解析_第3頁
山東省濰坊市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬二模試題含解析_第4頁
山東省濰坊市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬二模試題含解析_第5頁
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文檔簡介

PAGE28-山東省濰坊市2025屆高三數(shù)學(xué)模擬(二模)試題(含解析)一、單項(xiàng)選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則A∩?UB=()A.{1,4} B.{1,4,5} C.{4,5} D.{6,7}【答案】C【解析】【分析】依據(jù)補(bǔ)集與交集的定義,計(jì)算即可.【詳解】集合U={1,2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,7},所以?UB={1,4,5},又A={2,3,4,5},所以A∩?UB={4,5}.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算,基礎(chǔ)題.2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限內(nèi),則實(shí)數(shù)a的值可以是()A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡,再由實(shí)部小于0且虛部大于0求解a的范圍即可.【詳解】∵又因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在其次象限內(nèi),∴,得﹣1<a<1.∴實(shí)數(shù)a的值可以是0.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.3.甲、乙、丙三人中,一人是律師,一人是醫(yī)生,一人是記者.已知丙的年齡比醫(yī)生大;甲的年齡和記者不同;記者的年齡比乙小,依據(jù)以上狀況,下列推斷正確的是()A.甲是律師,乙是醫(yī)生,丙是記者B.甲是醫(yī)生,乙是記者,丙是律師C.甲是醫(yī)生,乙是律師,丙是記者D.甲是記者,乙是醫(yī)生,丙是律師【答案】C【解析】【分析】由題意易得丙是記者,由丙的年齡比醫(yī)生大,得到乙不是醫(yī)生,從而乙是律師,甲是醫(yī)生.【詳解】由甲的年齡和記者不同,記者的年齡比乙小,得到丙是記者,從而解除B和D;由丙的年齡比醫(yī)生大,得到乙不是醫(yī)生(若乙是醫(yī)生的話與記者的年齡比乙小相沖突),從而乙是律師,甲是醫(yī)生.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡潔的合情推理,考查推理論證實(shí)力、總結(jié)歸納實(shí)力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是基礎(chǔ)題.4.以拋物線的焦點(diǎn)為圓心,且與E的準(zhǔn)線相切的圓的方程為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線得到圓心和半徑,進(jìn)一步到圓的方程.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,圓與E的準(zhǔn)線相切,則,故圓方程為:.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線,圓方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力.5.設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex﹣cosx,則不等式f(2x﹣1)+f(x﹣2)>0的解集為()A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,) C.(,+∞) D.(1,+∞)【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的解析式求出其導(dǎo)數(shù),分析可得f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得f(x)在R上為增函數(shù),據(jù)此可得原不等式等價(jià)于2x﹣1>2﹣x,解出x的取值范圍,即可得答案.【詳解】由題知,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ex﹣cosx,此時(shí)有=ex+sinx>0,則f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),又由f(x)為奇函數(shù),則f(x)在區(qū)間(﹣∞,0]上也為增函數(shù),故f(x)在R上為增函數(shù).由f(2x﹣1)+f(x﹣2)>0,可得f(2x﹣1)>﹣f(x﹣2),而函數(shù)f(x)為奇函數(shù),可得到f(2x﹣1)>f(2﹣x),又f(x)在R上為增函數(shù),有2x﹣1>2﹣x,解得x>1,即不等式的解集為(1,+∞).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,涉及利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.6.《周髀算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,其記載的“日月歷法”曰:“陰陽之?dāng)?shù),日月之法,十九歲為一章,四章為一部,部七十六歲,二十部為一遂,遂千百五二十歲,….生數(shù)皆終,萬物復(fù)蘇,天以更元作紀(jì)歷”,某老年公寓住有20位老人,他們的年齡(都為正整數(shù))之和恰好為一遂,其中年長者已是奔百之齡(年齡介于90至100),其余19人的年齡依次相差一歲,則年長者的年齡為()A.94 B.95 C.96 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)年紀(jì)最小者年齡為n,年紀(jì)最大者為m,m∈[90,100],由題可得n+(n+1)+(n+2)++(n+18)+m=19n+171+m=1520,解出n的取值范圍,依據(jù)年齡為整數(shù)可得n的取值范圍,再代入可得m的值.【詳解】依據(jù)題意可知,這20個(gè)老人年齡之和為1520,設(shè)年紀(jì)最小者年齡為n,年紀(jì)最大者為m,m∈[90,100],則有n+(n+1)+(n+2)++(n+18)+m=19n+171+m=1520,則有19n+m=1349,則m=1349﹣19n,所以90≤1349﹣19n≤100,解得,因?yàn)槟挲g為整數(shù),所以n=66,則m=1349﹣19×66=95.故選:B【點(diǎn)晴】本題考查閱讀理解實(shí)力,涉及等差數(shù)列的性質(zhì),屬于中檔題.7.在四面體ABCD中,△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形,已知四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,且AD是該球的直徑,則四面體ABCD的體積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】易得出AB=AC=BC=BD=CD=1,∠ABD=∠ACD=90°,設(shè)球心為O,則OB=OC=OD,BO⊥AD,BO⊥OC,從而BO⊥平面ACD,由此能求出四面體ABCD的體積.【詳解】在四面體ABCD中,△ABC和△BCD均是邊長為1的等邊三角形,四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,且AD是該球的直徑,設(shè)球心為O,則O為AD的中點(diǎn),∴AB=AC=BC=BD=CD=1,∠ABD=∠ACD=90°,OB=OC=OD,BO⊥AD,BO⊥OC,∴BO⊥平面ACD,∴四面體ABCD的體積為:VB﹣ACD.故選:B【點(diǎn)晴】本題考查四面體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問,考查運(yùn)算求解實(shí)力,屬中檔題.8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線C:右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)A(點(diǎn)A在第一象限),點(diǎn)B在雙曲線C的漸近線上,且BF∥OA,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】設(shè)雙曲線的半焦距為c,利用題設(shè)條件分別求出A、B的坐標(biāo),再利用得到a與c的關(guān)系式,即可求出離心率.【詳解】如圖所示,設(shè)雙曲線的半焦距為c,漸近線方程為:y=±,則點(diǎn)F(c,0),A(c,),設(shè)點(diǎn)B(x0,),∵BF∥OA,∴,即,解得:x0,所以∴,又∵,∴0,即a2=3b2.∵c2=a2+b2,∴a2=3(c2﹣a2),即3c2=4a所以離心率e.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程,考查了求雙曲線的離心率,考查了平面對量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題:本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分.9.我國是世界第一產(chǎn)糧大國,我國糧食產(chǎn)量很高,整體很平安依據(jù)14億人口計(jì)算,中國人均糧食產(chǎn)量約為950斤﹣比全球人均糧食產(chǎn)量高了約250斤.如圖是中國國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站中2010﹣2024年,我國糧食產(chǎn)量(千萬噸)與年末總?cè)丝冢ㄇf人)的條形圖,依據(jù)如圖可知在2010﹣2024年中()A.我國糧食年產(chǎn)量與年末總?cè)丝诰鹉赀f增B.2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大C.2024年﹣2024年我國糧食年產(chǎn)量相對穩(wěn)定D2024年我國人均糧食年產(chǎn)量達(dá)到了最高峰【答案】BCD【解析】【分析】細(xì)致視察2010﹣2024年,我國糧食產(chǎn)量(千萬噸)與年末總?cè)丝冢ㄇf人)的條形圖,利用條形圖中的數(shù)據(jù)干脆求解.【詳解】由中國國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站中2010﹣2024年,我國糧食產(chǎn)量(千萬噸)與年末總?cè)丝冢ㄇf人)的條形圖,知:對于A,我國糧食年產(chǎn)量在2010年至2024年逐年遞增,在2024年至2024年基本穩(wěn)定在66千萬噸左右,2024年,2024年略低;而我國年末總?cè)丝诰鹉赀f增,故A錯(cuò)誤;對于B,由糧食產(chǎn)量條形圖得2011年我國糧食年產(chǎn)量的年增長率最大,約為5%,故B正確;對于C,在2024年至2024年基本穩(wěn)定在66千萬噸以上,故C正確;對于D,2024年我國人均糧食年產(chǎn)量達(dá)到了最高峰,約為0.48噸/人,故D正確.故選:BCD【點(diǎn)睛】本題主要考查條形圖,考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析和運(yùn)算求解實(shí)力,是基礎(chǔ)題.10.若,則下列不等式中肯定成立的是()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A:構(gòu)造函數(shù),由函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行比較;對于B:構(gòu)造函數(shù),由函數(shù)在上單調(diào)性進(jìn)行比較;對于C:由于,則,但不確定與1的大小關(guān)系,無法推斷大??;對于D:易知,,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行推斷即可.【詳解】由函數(shù)在上為增函數(shù)可知,當(dāng)時(shí),,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由函數(shù)在上為增函數(shù)可知,當(dāng)時(shí),,即,故選項(xiàng)B正確;由于,則,但不確定與1大小關(guān)系,故與0的大小關(guān)系不確定,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由可知,,,而,則,故選項(xiàng)D正確.故選:BD.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較,考查函數(shù)思想的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.11.在單位圓O:x2+y2=1上任取一點(diǎn)P(x,y),圓O與x軸正向的交點(diǎn)是A,設(shè)將OA繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OP所成的角為θ,記x,y關(guān)于θ的表達(dá)式分別為x=f(θ),y=g(θ),則下列說法正確的是()A.x=f(θ)是偶函數(shù),y=g(θ)是奇函數(shù)B.x=f(θ)在為增函數(shù),y=g(θ)在為減函數(shù)C.f(θ)+g(θ)≥1對于恒成立D.函數(shù)t=2f(θ)+g(2θ)的最大值為【答案】AC【解析】【分析】,由題可知,,,依據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性,可推斷選項(xiàng);,依據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性,可推斷選項(xiàng);,先利用協(xié)助角公式可得,再結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得解;,,,,先對函數(shù)求導(dǎo),從而可知函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得當(dāng),時(shí),函數(shù)取得最大值,結(jié)合正弦的二倍角公式,代入進(jìn)行運(yùn)算即可得解.【詳解】解:由題可知,,,即正確;在上為增函數(shù),在上為減函數(shù);在上為增函數(shù),即錯(cuò)誤;,,,,即正確;函數(shù),則,令,則;令,則,函數(shù)在和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,當(dāng)即,時(shí),函數(shù)取得極大值,為,又當(dāng)即,時(shí),,所以函數(shù)的最大值為,即錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,三角恒等變換,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與最值等,考查學(xué)生敏捷運(yùn)用學(xué)問的實(shí)力、推理論證實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力,屬于中檔題.12.如圖,平面α∩平面β=l,A,C是α內(nèi)不同的兩點(diǎn),B,D是β內(nèi)不同的兩點(diǎn),且A,B,C,D?直線l,M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn).下列推斷正確的是()A.若ABCD,則MNlB.若M,N重合,則AClC.若AB與CD相交,且ACl,則BD可以與l相交D.若AB與CD是異面直線,則MN不行能與平行【答案】BD【解析】【分析】由若兩兩相交的平面有三條交線,交線要么相交于一點(diǎn),要么相互平行判定、、;用反證法證明.【詳解】解:若,則、、、四點(diǎn)共面,當(dāng)時(shí),平面、、兩兩相交有三條交線,分別為、、,則三條交線交于一點(diǎn),則與平面交于點(diǎn),與不平行,故錯(cuò)誤;若,兩點(diǎn)重合,則,、、、四點(diǎn)共面,平面、、兩兩相交有三條交線,分別為、、,由,得,故正確;若與相交,確定平面,平面、、兩兩相交有三條交線,分別為、、,由,得,故錯(cuò)誤;當(dāng),是異面直線時(shí),如圖,連接,取中點(diǎn),連接,.則,,,則,假設(shè),,,,又,平面,同理可得,平面,則,與平面平面沖突.假設(shè)錯(cuò)誤,不行能與平行,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定,考查空間想象實(shí)力與思維實(shí)力,屬于中檔題.三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.13.如圖所示,一個(gè)物體被兩根輕質(zhì)細(xì)繩拉住,且處于平衡狀態(tài).已知兩條繩上的拉力分別是,且與水平夾角均為,,則物體的重力大小為_________N.【答案】20【解析】【分析】依據(jù)力的平衡有,兩邊平方后可求出.【詳解】由題意知.的夾角為.所以.所以.所以.故答案為:20.【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積的兩個(gè)應(yīng)用:(1)計(jì)算長度或模長,通常用;(2)計(jì)算夾角,.特殊地,兩非零向量垂直的充要條件時(shí).14.已知,則tanα=_____.【答案】3【解析】【分析】由題可知,所以,利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可求得其值,再采納拼湊角的方法,,并結(jié)合正弦的兩角和公式求出其值,再一次利用平方關(guān)系,求出的值,最終利用商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】解:,且,,,,,,.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換的混合運(yùn)算,視察角之間的聯(lián)系,運(yùn)用拼、湊角是解題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力,屬于基礎(chǔ)題.15.植樹造林,綠化祖國.某班級義務(wù)勞動(dòng)志愿者小組參與植樹活動(dòng),打算在一拋物線形地塊上的ABCDGFE七點(diǎn)處各種植一棵樹苗,且關(guān)于拋物線的如圖所示,其中A、B、C分別與E、F、G關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,現(xiàn)有三種樹苗,要求每種樹苗至少種植一棵,且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的兩點(diǎn)處必需種植同一種樹苗,則共有不同的種植方法數(shù)是_____(用數(shù)字作答).【答案】36【解析】【分析】先選四個(gè)位置上的重復(fù)樹苗有種方法,再利用相同元素的排列問題(除序法)即可解決問題.【詳解】解:由題意對稱相當(dāng)于3種樹苗種,,,四個(gè)位置,有且僅有一種樹苗重復(fù),有種選法;在四個(gè)位置上種植有種方法,則由乘法原理得種方法.故答案為:36.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,本題運(yùn)用除序法,可以避開探討,簡化計(jì)算.屬于中檔題.16.已知函數(shù)則x∈[﹣1,e]時(shí),f(x)的最小值為_____;設(shè)g(x)=[f(x)]2﹣f(x)+a若函數(shù)g(x)有6個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____.【答案】(1).﹣4(2).(0,)【解析】【分析】依據(jù)各段函數(shù)的單調(diào)性分別求出各段的最小值或者下確界,即可求出,時(shí),的最小值;令,依據(jù)題意再結(jié)合函數(shù)的圖象,以及的圖象即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:當(dāng),時(shí),,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故此時(shí)函數(shù)最小值為,當(dāng),時(shí),,則時(shí),(舍或0,且有在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,因,故函數(shù)在,上的最小值為;令,即,作出函數(shù)的圖象,如圖所示:直線與函數(shù)的圖象最多只有三個(gè)交點(diǎn),所以,即說明方程有兩個(gè)內(nèi)的不等根,亦即函數(shù)在內(nèi)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn),因?yàn)?,依?jù)的圖象可知,,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值求法,以及依據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和數(shù)形結(jié)合實(shí)力,屬于較難題.四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知,(1)若,求b;(2)求△ABC面積的最大值.【答案】(1)2;(2)3【解析】【分析】(1)依據(jù)題意利用正弦定理可求b的值;(2)由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值,進(jìn)而可求△ABC面積的最大值.【詳解】解:(1),,由正弦定理,可得.(2),由余弦定理知,,當(dāng)且僅當(dāng)取“”;面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問題,也考查了基本不等式與三角形面積的計(jì)算問題,屬于基礎(chǔ)題.18.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列,;數(shù)列滿意.(1)求;(2)求的前項(xiàng)和.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)首先令和求出,從而得到公比,再求通項(xiàng)公式即可.(2)首先依據(jù)已知求出,再利用裂項(xiàng)求和即可得到答案.【詳解】(1)令,得,所以,令,得,所以,又,所以,設(shè)數(shù)列的公比為,則,所以;(2)當(dāng)時(shí),①又,②②–①,因?yàn)椋?,時(shí)也成立,所以.,所以.【點(diǎn)睛】本題第一問考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,其次問考查由前項(xiàng)和求通項(xiàng),同時(shí)考查了裂項(xiàng)求和,屬于中檔題.19.請從下面三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并作答.①AB⊥BC,②FC與平面ABCD所成的角為,③∠ABC.如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,,PD的中點(diǎn)為F.(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G,使得AF平面PCG?若存在,指出G在AB上的位置并給以證明;若不存在,請說明理由;(2)若_______,求二面角F﹣AC﹣D的余弦值.【答案】(1)存在,G是線段AB的中點(diǎn),證明見解析;(2)詳見解析【解析】【分析】(1)設(shè)PC的中點(diǎn)為H,連結(jié)FH,由題意得AGHF為平行四邊形,則AF∥GH,由此能證明在線段AB上存在中點(diǎn)G,使得AF∥平面PCG.(2)選擇①AB⊥BC,推導(dǎo)出AB,AD,AP彼此兩兩垂直,以AB,AD,AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值.選擇②FC與平面ABCD所成的角為,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,取AD的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,CM,則FM∥PA,且FM=1,F(xiàn)M⊥平面ABCD,F(xiàn)C與平面ABCD所成角為∠FCM,,推導(dǎo)出AE,AD,AP彼此兩兩垂直,以AE、AD、AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值.選擇③∠ABC,推導(dǎo)出PA⊥BC,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,推導(dǎo)出AE,AD,AP彼此兩兩垂直,以AE、AD、AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值.【詳解】(1)在線段AB上存在中點(diǎn)G,使得AF∥平面PCG.證明如下:如圖所示:設(shè)PC的中點(diǎn)為H,連結(jié)FH,因?yàn)?,,,,所以所以四邊形AGHF為平行四邊形,則AF∥GH,又GH?平面PGC,AF?平面PGC,∴AF∥平面PGC.(2)選擇①AB⊥BC:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,由題意知AB,AD,AP彼此兩兩垂直,以AB,AD,AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵PA=AB=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),F(xiàn)(0,1,1),P(0,0,2),∴(0,1,1),(﹣2,﹣1,1),設(shè)平面FAC的一個(gè)法向量為(x,y,z),∴,取y=1,得(﹣1,1,﹣1),平面ACD的一個(gè)法向量為(0,0,1),設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ,則cosθ,∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為.選擇②FC與平面ABCD所成的角為:∵PA⊥平面ABCD,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,取AD的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,CM,則FM∥PA,且FM=1,∴FM⊥平面ABCD,F(xiàn)C與平面ABCD所成角為∠FCM,∴,在Rt△FCM中,CM,又CM=AE,∴AE2+BE2=AB2,∴BC⊥AE,∴AE,AD,AP彼此兩兩垂直,以AE、AD、AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵PA=AB=2,∴A(0,0,0),B(,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F(xiàn)(0,1,1),P(0,0,2),∴(0,1,1),(,0,1),設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為(x,y,z),則,取x,得(,﹣3,3),平面ACD的一個(gè)法向量為:(0,0,1),設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ,則cosθ.∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為.選擇③∠ABC:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,取BC中點(diǎn)E,連結(jié)AE,∵底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴△ABC是正三角形,∵E是BC的中點(diǎn),∴BC⊥AE,∴AE,AD,AP彼此兩兩垂直,以AE、AD、AP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵PA=AB=2,∴A(0,0,0),B(,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,0),E(,0,0),F(xiàn)(0,1,1),P(0,0,2),∴(0,1,1),(,0,1),設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為(x,y,z),則,取x,得(,﹣3,3),平面ACD的法向量(0,0,1),設(shè)二面角F﹣AC﹣D的平面角為θ,θ則cosθ.∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查滿意線面平行的點(diǎn)是否存在的推斷與求法,二面角的余弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等,還考查了運(yùn)算求解實(shí)力、邏輯推理實(shí)力,屬于中檔題.20.已知函數(shù)f(x),(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)證明:a=1時(shí),f(x)+g(x)﹣(1)lnx>e.【答案】(1)詳見解析;(2)證明見解析【解析】【分析】(1)對求導(dǎo)后,再對a分類探討即可得出函數(shù)的單調(diào)性.(2)a=1時(shí),將所證不等式轉(zhuǎn)化為ex﹣ex+1,令F(x)=ex﹣ex+1,G(x),分別依據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的最小值和的最大值即可證明不等式成立.【詳解】(1)f(x)alnx,(x∈(0,+∞))..當(dāng)a≤0時(shí),<0,函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞減.a(chǎn)>0時(shí),由,得,由,得所以函數(shù)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.(2)證明:a=1時(shí),要證f(x)+g(x)﹣(1)lnx>e.即要證:lnx﹣e>0?ex﹣ex+1.x∈(0,+∞).令F(x)=ex﹣ex+1,F(xiàn)′(x)=ex﹣e,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),F(xiàn)′(x)<0,此時(shí)函數(shù)F(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,此時(shí)函數(shù)F(x)單調(diào)遞增.可得x=1時(shí),函數(shù)F(x)取得最小值,F(xiàn)(1)=1.令G(x),G′(x),當(dāng)時(shí),,此時(shí)為增函數(shù),當(dāng)時(shí)。,此時(shí)為減函數(shù)所以x=e時(shí),函數(shù)G(x)取得最大值,G(e)=1.x=1與x=e不同時(shí)取得,因此F(x)>G(x),即ex﹣ex+1.x∈(0,+∞).故原不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與最值、分類探討方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,屬于中檔題.21.區(qū)塊鏈技術(shù)被認(rèn)為是繼蒸汽機(jī)、電力、互聯(lián)網(wǎng)之后,下一代顛覆性的核心技術(shù)區(qū)塊鏈作為構(gòu)造信任的機(jī)器,將可能徹底變更整個(gè)人類社會價(jià)值傳遞的方式,2024年至2024年五年期間,中國的區(qū)塊鏈企業(yè)數(shù)量逐年增長,居世界前列現(xiàn)收集我國近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù),如表年份20242024202420242024編號12345企業(yè)總數(shù)量y(單位:千個(gè))2.1563.7278.30524.27936.224注:參考數(shù)據(jù)(其中z=lny).附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘法估計(jì)公式為(1)依據(jù)表中數(shù)據(jù)推斷,y=a+bx與y=cedx(其中e=2.71828…,為自然對數(shù)的底數(shù)),哪一個(gè)回來方程類型相宜預(yù)料將來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量?(給出結(jié)果即可,不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的結(jié)果,求y關(guān)于x的回來方程(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位);(3)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展,區(qū)塊鏈聯(lián)合總部確定進(jìn)行一次信息化技術(shù)競賽,邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽競賽規(guī)則如下:①每場競賽有兩個(gè)公司參與,并決出輸贏;②每場競賽獲勝的公司與未參與此場競賽的公司進(jìn)行下一場的競賽;③在競賽中,若有一個(gè)公司首先獲勝兩場,則本次競賽結(jié)束,該公司就獲得此次信息化競賽的“優(yōu)勝公司”,已知在每場競賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為,請通過計(jì)算說明,哪兩個(gè)公司進(jìn)行首場競賽時(shí),甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率最大?【答案】(1)選y=cedx;(2);(3)甲與丙兩公司進(jìn)行首場競賽時(shí),甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率大【解析】【分析】(1)干脆由表中數(shù)據(jù)可得選擇回來方程y=cedx,相宜預(yù)料將來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量;(2)對y=cedx兩邊取自然對數(shù),得lny=lnc+dx,轉(zhuǎn)化為線性回來方程求解;(3)對于首場競賽的選擇有以下三種狀況:A、甲與乙先賽;B、甲與丙先賽;C、丙與乙先賽,由已知結(jié)合互斥事務(wù)與相互獨(dú)立事務(wù)的概率計(jì)算公式分別求得甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率得結(jié)論.【詳解】

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