人教版初中八年級數(shù)學上冊同步講義-分式方程（原卷版）

第04講分式方程

學習目標

課程標準學習目標

1.掌握分式方程的概念、能夠熟練的判斷分式方程，并

①分式方程的概念

根據(jù)分式方程的概念求值。

②解分式方程

2.掌握解分式方程的方法并能夠熟練的解分式方程。

③分式方程的實際應(yīng)用

3.能夠熟練的應(yīng)用分式方程解決實際問題。

思維導圖

分式方程的概念

1解分式方程的過程

分式方程篇分式方程

分式方程解決實際問麴的步修

分式方程的應(yīng)用

知識點01分式方程的概念

i.分式方程的概念：

分母中含有的方程叫做分式方程。

題型考點：①判斷分式方程。

【即學即練1】

i.下列方程中，是分式方程的是（）

A.—+—=1B.x+—=2C.2x=x-5D.x-4v=l

32x

【即學即練2】

2.在①/-X+2，②[-3=a+4,③三+5尤=6,④2=1中，其中關(guān)于x的分式方程的個數(shù)為()

xa2x-3

A.1B.2C.3D.4

知識點02解分式方程

1.解分式方程的基本思路：

去分母：分式方程的兩邊同時乘以分母的。使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程再進行求解。

2.解分式方程的基本步驟：

①去分母：分式方程的左右兩邊乘以分母的,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。

②解整式方程：

③檢驗：將解出的整式方程的解帶入中，若最簡公分母不為0,則整式方程的解就是

分式方程的解。若最簡公分母為0,則整式方程的解是分式方程的,原分式方程無解。

④寫解：根據(jù)檢驗的情況寫出分式方程的解。

注意解分式方程一定要檢驗。

題型考點：①解分式方程。②分式方程的曾根與無解。③分式方程的特殊解

【即學即練1】

3.解分式方程.

(1)-^--1=^；(2)

2

4-xx-4xx-1y_y

【即學即練2】

4.解方程:

（2）2+3

（1）—-------=1；

x-2x+1x-1

X2_4

【即學即練3】

5.解下列分式方程:

(1)+(2)f+1=^-

2x-ll_2xX2-4X-2

【即學即練4】

6.若在解關(guān)于尤的方程包+2屋■時，會產(chǎn)生增根，則機的值為（）

X-1X-1

A.3B.-3C.1D.-1

【即學即練5】

7.若關(guān)于尤的分式方程.3+X一川有增根,則根的值是（）

x-44-x

A.0B.1C.2D.-1

【即學即練6】

8.若關(guān)于尤的分式方程一^―=/X+3且無解,則左的取值是（）

x-lx（x-l）X

A.-3B.-3或-5C.1D.1或-5

【即學即練7】

9.若關(guān)于尤的方程的解為正數(shù)，則根的取值范圍是（）

X-11-X

A.m<3B.m>3C.m>3且mD.m<3且加

【即學即練8】

10.已知關(guān)于x的分式方程」L+l==的解是非負數(shù).則m的取值范圍是（）

x-22-x

A.mW2B.加22C.mW2且機力-2D.根<2且機W-2

知識點03列分式方程解實際應(yīng)用題

1.列分式方程解實際應(yīng)用題的基本步驟：

①審：仔細審題，審清題意，找出題目中已知量與未知量的

②設(shè)：設(shè)出未知數(shù)。

③列：列出分式方程。

④解：解分式方程。

⑤驗：檢驗求出的解是不是分式方程的解，也要檢驗這個解是否符合實際問題。

⑥答：寫出答案。

題型考點：①由實際問題抽象出分式方程。②列分式方程解決實際問題。

【即學即練1】

H.2023年5月12日是我國第15個全國防災(zāi)減災(zāi)日，我校組織八年級部分同學進行了兩次地震應(yīng)急演練，

在優(yōu)化撤離方案后，第二次平均每秒撤離的人數(shù)比第一次的多15,結(jié)果2000名同學全部撤離的時間比

第一次節(jié)省了240秒，若設(shè)第一次平均每秒撤離x人，則x滿足的方程為()

A2000^2000_R2000_2000..

A-----=+240B.----=-2Q40

xx+15xx+15

「2000_2000?石20002000

c-----=-^+240Dn-+2n4j10A=-

xx-lbxx-15

【即學即練2】

12.為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學校八年級師生在清明節(jié)期間前往距離學校的烈士

陵園掃墓.一部分師生騎自行車先走，過了30偌%后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達.已知

汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設(shè)騎車師生的速度為xbM/?.根據(jù)題意，下列方程正確的是()

A,西二上B,西4d

x22xx2x2

「15rc15n1515cc

c--+30=-z-D.—^—+30

x2xx2x

【即學即練3】

13.某文教用品商店購進甲、乙兩種文具進行銷售，一個甲種文具的進價比一個乙種文具的進價多5元，

用4000元購進甲種文具的數(shù)量是用1500元購進乙種文具的數(shù)量的2倍.

(1)求每個甲種文具的進價是多少元？

(2)該商店將每個甲種文具的售價定為30元，每個乙種文具的售價定為25元，商店根據(jù)市場需求，決

定向文具廠再購進一批文具，且購進乙種文具的數(shù)量比購進甲種文具的數(shù)量的2倍還多6個，若本次購

進的兩種文具全部售出后，總獲利不低于3360元.求該商店本次購進甲種文具至少是多少個？

【即學即練4】

14.杭州亞運會于9月23日正式開幕，其吉祥物“宸宸、琮琮和蓮蓮”受到了廣大群眾的喜愛，學校計劃

購買一批吉祥物掛件和吉祥物徽章作為獎品，其中吉祥物掛件占3.

5

(1)求吉祥物徽章的個數(shù)占吉祥物掛件個數(shù)的幾分之幾？

(2)通過對學生的調(diào)查得知，喜歡吉祥物徽章的學生較多，因此學校決定再多買50個吉祥物徽章，這

樣吉祥物徽章的數(shù)量就占吉祥物掛件的求學校共買了多少個吉祥物掛件？

6

(3)在(2)的條件下，若授權(quán)店將吉祥物徽章按照原價馬銷售，那么吉祥物徽章的單價恰好是吉祥物

5

掛件單價的工，但購買當天授權(quán)店無優(yōu)惠活動，學校購買吉祥物掛件和吉祥物徽章共花14750元，求吉

5

祥物掛件的單價為多少元？

題型精講

題型01判斷分式方程

【典例1】

在方程1=3,三上=0,三口中，分式方程有3個.

x+1y-232x

【典例2】

下列方程不是分式方程的是（

x_4

A.—+x—2+3xB.

x2x+35

C.旦-坦=4D.J__A_=i

n3x-5+2x+3

【典例3】

下面是分式方程的是（

2x+l5x6

A.---+—B.

2x~3x+973

C.￡+5=2(x-6)D.2+二一=1

23x-l2x+l

【典例4】

1

有下列方程：①2X+^L=10；②X」=2-3=0；=0.屬于分式方程的有（)

5x2x+l④等專

A.①②B.②③C.③④D.②④

題型02解分式方程

【典例1】

嘉淇解分式方程工--1的過程如下：

x-l3x-3

解：去分母，得6=2x-（3x-3）①

去括號，得6=2x-3尤-3②

移項、合并同類項，得x=-9③

因為x=-9時，各分母均不為0,

所以，原分式方程的解是尤=-9.④

以上步驟中，最開始出錯的一步是（）

A.①B.②C.③D.④

【典例2】

解方程：

5x+2=3x-3_3x

2x+2~x+l

【典例3】

解方程：

(1)2

【典例4】

解方程：

(1)-

【典例4】

解方程：

2

x+13x+3x+33-xx-g

題型03分式方程的曾根與無解

【典例1】

若關(guān)于x的分式方程一3_=1*II有增根，則m的值是（）

x-44-x

A.0B.1C.2D.-1

【典例2】

旦當!.有增根，且關(guān)于的不等式機+〃中有個整數(shù)解,則整數(shù)〃是（

若關(guān)于X的分式方程-+2yWyW82)

x-33-x

A.3B.2C.1D.0

【典例3】

―^有增根，則機的值為（

若關(guān)于X的分式方程)

X-1x+1x^-l

A.1B.-2C.1或-2D.-1或2

【典例4】

若關(guān)于X的分式方程=1無解，則m的值是（）

4-x2x-2

A.m=2或m=6B.m=2C.m=6D.m=2或m=-6

【典例5】

若關(guān)于X的方程上=上一+1無解，貝Ua的值是（）

X-1X-1

A.1B.3C.-1或2D.1或2

題型04分式方程的特殊解

【典例1】

，2x-7>x-8

若整數(shù)a使關(guān)于x的不等式組，a-6x、有且只有3個整數(shù)解，且使關(guān)于y的分式方程」-一^-二一］的

—i—>-2y-33-y

解滿足y<7,則所有滿足條件的整數(shù)。的值之和為（）

A.8B.6C.10D.7

【典例2】

若關(guān)于x的方程2+三也=2的解為正數(shù)，則根的取值范圍是（）

x-22-x

A.m<6B.m>6C.mV6且根WOD.m>6且mW8

【典例3】

4x>3(x-l)

如果關(guān)于x的分式方程上曳+2=L有整數(shù)解，且關(guān)于X的不等式組，

2x-l，?I,、有且只有四個

x-22-xxk2<y（a-l）

整數(shù)解，那么符合條件的整數(shù)。的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.0

【典例4】

L

如果關(guān)于尤的分式方程第=1的解是負數(shù)，那么實數(shù)機的取值范圍是（)

A.m<-1B.m>-1且mWO

C.m>-1D.m<-1且m7-2

【典例5】

3x~l2x+l

23

若整數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組《至少有2個整數(shù)解,且使得關(guān)于y的分式方程

x+a

+4>2x

2

也L」一=7有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a之和為（)

y-22-y

A.-2B.-1C.2D.4

題型05分式方程的實際應(yīng)用

【典例1】

閱讀，正如一束陽光.孩子們無論在哪兒，都可以感受到陽光的照耀，都可以通過閱讀觸及更廣闊的世界.某

區(qū)教育體育局向全區(qū)中小學生推出“童心讀書會”的分享活動.甲、乙兩同學分別從距離活動地點800

米和400米的兩地同時出發(fā)，參加分享活動.甲同學的速度是乙同學的速度的1.2倍，乙同學比甲同學

提前4分鐘到達活動地點.若設(shè)乙同學的速度是x米/分，則下列方程正確的是（）

x1.2x.B1.2xX/

A-------=4

800400800400

「400800,D800400,

-------=4

1.2xx1.2xX

【典例2】

甲地到乙地之間的鐵路長210千米，動車運行后的平均速度是原來火車的1.5倍，這樣由甲地到乙地的行駛

時間縮短了90分鐘，設(shè)原來火車的平均速度為x千米/時，則下列方程正確的是（）

A.210-90=^B.叫90獸

X1.bxx1.bx

C210“l(fā)210n210,「210

一1?5-rlD.-+--1-.-5-「

X1.5xX1.5x

【典例3】

市政府為了貫徹落實“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經(jīng)濟轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開展荒山綠化，

打造美好家園，促進旅游發(fā)展.某工程隊承接了90萬平方米的荒山綠化任務(wù)，為了迎接雨季的到來，實

際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%,結(jié)果提前30天完成了任務(wù).設(shè)原計劃每天綠化的面積為

x萬平方米，則所列方程正確的是()

A9090B9090

.-—oOUf).-—ooUn

x(1+25%)xx25%x

「9090,—OH9090i

-3UD

(1+25%)xx(1-25%):XX

【典例4】

習近平總書記在黨的第二十次全國代表大會上，報告指出：“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和”.某公司積極

響應(yīng)節(jié)能減排號召，決定采購新能源A型和B型兩款汽車，已知每輛A型汽車進價是每輛B型汽車進價

的1.5倍，現(xiàn)公司用1500萬元購進A型汽車的數(shù)量比1200萬元購進2型汽車的數(shù)量少20輛.

(1)求每輛2型汽車進價是多少萬元？

(2)A型汽車利潤率為5%,B型汽車利潤率為8%,那么該公司出售完此批汽車后總利潤是多少元？

【典例5】

某搬運公司計劃購買A,8兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物,

且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數(shù)相同.

（1）求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？

（2）每臺A型機器售價1.5萬元，每臺8型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺,

滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案.

【典例6】

酸辣粉是重慶的特色美食，三峽廣場某小吃店推出兩款酸辣粉，一款是“經(jīng)典手工酸辣粉”，另一款是“肉

沫哨子酸辣粉”.已知1份“經(jīng)典手工酸辣粉”和2份“肉沫哨子酸辣粉”需34元；3份“經(jīng)典手工酸

辣粉”和1份“肉沫哨子酸辣粉”需42元.

（1）求“經(jīng)典手工酸辣粉”和“肉沫哨子酸辣粉”的單價；

（2）紅薯粉條是制作酸辣粉的原材料之一，該小吃店老板發(fā)現(xiàn)今年第三季度平均每千克紅薯粉條的價格

比第二季度上漲了20%,第三季度花600元買到的紅薯粉條數(shù)量比第二季度花同樣的錢買到的紅薯粉條

數(shù)量少了10千克，求第三季度紅薯粉條的單價.

強化訓練

1.下列各式中為分式方程的是（）

A.x』B.-^=~

x+12x~3

哈D

C.5-展+x=0

2.解方程_1-_2=迎去分母，兩邊同乘（x-1）后的式子為（

X-11-X

A.1-2—-3xB.1-2(x-1)=-3x

C.1-2(1-x)=-3xD.1-2(x-1)=3x

3.分式通-與2互為相反數(shù)，則X的值為()

1-xX

A.1B.-1C.-2D.-3

4.若關(guān)于尤的分式方程無解，貝卜2=()

x+2X+2

A.-1B.0C.1D.—

2

5.青年志愿團隊到某地開展志愿服務(wù)活動,他們從距離活動地點llhw的地方出發(fā).一部分人騎自行車先

走，過了30〃沏后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達.已知汽車速度是騎車志愿者速度的2倍,

設(shè)騎車志愿者的速度為根據(jù)題意，下列方程正確的是（）

A-*B.包工」

x2x2

D.手

「C?一11+O3A0=丁11

x2xx2x

6.分式方程包一2nm有增根，則m的值為（)

x-1(x-1)(x+2)

A.3B.6C.1或-2D.0或6

x-4

<x-4

~3~

7.若關(guān)于x的不等式的解集為x>4,且關(guān)于尤的分式方程2+1山3有正整數(shù)解，則滿

ITTX<0x-3x-3

~5~

足條件的所有整數(shù)m的和為（）

A.5B.6C.7D.9

8.新能源車的技術(shù)越來越成熟，而且更加環(huán)保節(jié)能.小松同學的爸爸準備換一臺車，通過對比兩臺續(xù)航里

程相同的燃油車和新能源車，發(fā)現(xiàn)燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.54元，已知燃油車的油箱容

積為40升，燃油價格為9元/升，新能源車電池容量為60千瓦時，電價為0.6元/千瓦時，則小松爸爸選

擇的兩臺汽車的續(xù)航里程是（

A.600kmB.500kmC.450kmD.400km

2

9.己知代數(shù)式與生工的值互為倒數(shù)，則尤=

X2.42X+5

10.若分式方程2+三也=1的解是正數(shù)，則機的取值范圍為.

x-44-x

11.甲，乙，丙三管齊開，12分鐘可以注滿全池，乙，丙，丁三管齊開，15分鐘可注滿全池.甲，丁兩管

齊開，20分鐘注滿全池，如果是四管齊開，