2024年北師大版中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷（含答案）

2024年中考數(shù)學(xué)模擬考試試卷-含答案（北師大版）

（滿分：150分；考試時間：120分鐘）

學(xué)校:班級：姓名：考號：

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.如圖是由5個完全相同的小正方體搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（）

2.2024年1月17日，搭載天舟七號貨運飛船的長征七號遙八運載火箭，在我國文昌航天發(fā)

射場點火發(fā)射，發(fā)射取得圓滿成功，將與在軌運行的空間站組合體進行交會對接.空間站距

離地球約為400000米，400000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）

A.400X103B.40X104C.4xl0sD.4xl0e

3.若a與5互為相反數(shù)，則a+1的值為（）

A.6B.4C.-4D.-6

4.實數(shù)a,b互為相反數(shù)，其在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，下列結(jié)論中，正確的是（）

__III_____>

a___________1______b

A.|a|<|6|B.a-b=0C.a<-1D.ab>0

5.簡筆畫通常利用對稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對稱美.下面四個圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

的是（）

6.下列計算正確的是（）

A.（a-b）（-a-b）=a2-b2B.2al33al35a6C.6x3y2+3x=2x2yzD.（-2x2）Q-6x6

7.有數(shù)字4,5,6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數(shù)，擺出的三位數(shù)是2的倍

數(shù)的概率為（）

A.SBJC.2D.1

6432

8.下列計算正確的是（）

A.2m+n=2mnB.-a2?（-a）4=-ae°C.（-2xE）］|3-6x9D.（4x-3）2=16x2-12x+9

9.把一條線段分割為兩部分，使較長部分與全長的比值等于較短部分與較長部分的比值，則

這個比值為黃金分割比，比值為匹二，是公認的最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙

2

娜麗莎.如圖2,點E是正方形ABCD的邊AB上的黃金分割點，且AE>BE,以AE為邊作正

方形AEHF,延長EH交CD于點I,連接BF交EI于點G,連接BI,則S△口BL0I5△,rti皿n為（）

圖1圖2

B.返JC.逅二D.匹」

322

第1頁共16頁

10.若一個點的坐標滿足（k,2k）,我們將這樣的點定義為"倍值點".若關(guān)于x的二次函數(shù)

y=（t+l）xz+（t+2）x+s（s,t為常數(shù)，tW-1）總有兩個不同的倍值點，則s的取值范圍是（）

A.s<-1B.s<0C.0<s<lD.-l<s<0

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

11.因式分解：2a2-12a+18=.

12.在一個不透明的口袋中裝有3個紅球和若干個白球,它們除顏色外完全相同.多次摸球試

驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則估計口袋中白球大約有個.

13.二次函數(shù)y=kx2-4x+2的圖象與x軸有公共點，則k的取值范圍是.

14.如圖，直線AB交反比例函數(shù)y4于A,B兩點，交x軸于點C,且B恰為線段AC的中點，

連接。A?若S"言則k的值為.

15.一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管

排水，8分鐘時，關(guān)閉進水管，直至容器中的水全部排完.在整個過程中，容器中的水量y

（升）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則圖中a的值為.

16.如圖，在正方形ABCD中，點E是邊CD上一點，BF±AE,垂足為F,將正方形沿AE、

BF切割分成三塊，再將4ABF和4ADE分別平移，拼成矩形BGHF.若BG=kBF,則%（用

CD-------------

含k的式子表示）.

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

第2頁共16頁

17.（6分）計算（-1）2+（JI-3.14）o+4cos45°-|1一金|

(2(x+2)-x<5①

18.(6分)解不等式組,Hi、小，并寫出不等式組的非負整數(shù)解.

>X—1(2)

3

19(6分)如圖,在矩形ABCD中,BE±AC,DF±AC,垂足分別為E,F.求證：AF=CE.

20.(8分)根據(jù)背景素材，探索解決問題.

如圖所示，在坡頂A處的同一水平面上有一座信號塔BC,某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想測量此

信號塔的高度，經(jīng)過小組討論采取如下辦法：同學(xué)們先在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰

角為45。，然后他們沿著坡度為i=l:2.4的斜坡AP攀行了26米到達點A,在坡頂A處又測

得該塔的塔頂B的仰角為76。.請計算：

(1)計算坡頂A到地面PQ的距離.

(2)計算出信號塔BC的高度.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):sin76=0.97,cos76°—0.24,

tan76°七4.01)

第3頁共16頁

21.（8分）某學(xué)校計劃組織學(xué)生外出開展研學(xué)活動，在選擇研學(xué)活動地點時，隨機抽取了部分

學(xué)生進行調(diào)查，要求被調(diào)查的學(xué)生從A,B,C,D,E五個研學(xué)活動地點中選擇自己最喜歡的

一個.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

⑴請把圖1補充完整；

（2）請計算圖2中研學(xué)活動地點C所在扇形的圓心角的度數(shù)；

⑶若該校共有1200名學(xué)生，請估計最喜歡去D地研學(xué)的學(xué)生人數(shù).

22.（8分）如圖，AB是。O的直徑，C是。。上一點，連接AC,BC,過點C作。。的切線交AB

延長線于點D,OFLBC于點E,交CD于點F.

⑴求證：ZBCD=ZBOE;

(2)若sinNBACq,AB=10,求BD的長.

23.（10分）伴隨"一盔一帶"安全守護行動，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大.某

商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20個，乙種頭盔30個，共花費2920元，甲

種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元

⑴甲、乙兩種頭盔的單價各為多少元？

（2）商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40個，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式為甲

種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每個降價6元出售.如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低

于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少個甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最??？最小

費用為多少元？

第4頁共16頁

24.（10分）如圖，一次函數(shù)y=kx-3的圖象與y軸交于點B,與反比例函數(shù)y=%（x>0）的圖象交

X

于點A（8,1）.

⑴求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；

（2）如圖1,點C是線段AB上一點（不與點A,B重合），過點C作y軸的平行線與該反比例

函數(shù)的圖象交于點D,連接OC、OD、AD,當CD等于6時，求點C的坐標和^ACD的面積；

⑶在（2）的前提下，將^OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O'C'D',若點O的

對應(yīng)點0,恰好落在該反比例函數(shù)的圖象上（如圖2）,求出點O',D'的坐標.

25.（12分）如圖1,拋物線與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,且0A=2,0B=4,0C=8,

拋物線的對稱軸與直線BC交于點M,與x軸交于點N.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P,C,M為頂點的三角形與△MNB相似？若

存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,D是0C的中點，一個動點G從點D出發(fā)，先到達x軸上的點E,再走到拋物線對

稱軸上的點F,最后返回到點C.要使動點G走過的路程最短，請找出點E,F的位置，寫出

坐標，并求出最短路程.

第5頁共16頁

26.(12分)如圖1,在正方形ABCD中，點E在線段BC上，連接AE,將^ABE沿著AE折疊得

到AAFE,延長EF交CD于點G.

⑴求證：DG=FG;

(2)如圖2,當點E是BC的中點時,求tanNCGE的值;

⑶如圖3,當生當時，連接CF并延長交AB于點H,求竺的值.

DG3CH

第6頁共16頁

答案

一.選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.如圖是由5個完全相同的小正方體搭成的幾何體，這個幾何體的左視圖是（B）

2.2024年1月17日，搭載天舟七號貨運飛船的長征七號遙八運載火箭，在我國文昌航天發(fā)

射場點火發(fā)射，發(fā)射取得圓滿成功，將與在軌運行的空間站組合體進行交會對接.空間站距

離地球約為400000米，400000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（C）

A.400X103B.40X104C.4xl0sD.4xl0e

3.若a與5互為相反數(shù)，則a+1的值為（C）

A.6B.4C.-4D.-6

4.實數(shù)a,b互為相反數(shù)，其在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，下列結(jié)論中，正確的是（C）

a1b

A.|a|<|6|B.a-b=0C.a<-1D.ab>0

5.簡筆畫通常利用對稱構(gòu)圖，體現(xiàn)對稱美.下面四個圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

的是（C）

6.下列計算正確的是（C）

A.（a-b）（-a-b）=a2-b2B.2al33a口5a6C.6x3y2+3x=2xzy2D.（-2x2）Q-6x6

7.有數(shù)字4,5,6的三張卡片，將這三張卡片任意擺成一個三位數(shù)，擺出的三位數(shù)是2的倍

數(shù)的概率為（C）

A.-B.-C.-D.1

6432

8.下列計算正確的是（B）

A.2m+n=2mnB.-a2?（-a）4=-ae°C.（-2xQQ-6x9D.（4x-3）2=16x2-12x+9

9.把一條線段分割為兩部分，使較長部分與全長的比值等于較短部分與較長部分的比值，則

這個比值為黃金分割比，比值為匹二，是公認的最能引起美感的比例，如圖1為世界名畫蒙

2

娜麗莎.如圖2,點E是正方形ABCD的邊AB上的黃金分割點，且AE>BE,以AE為邊作正

方形AEHF,延長EH交CD于點I,連接BF交EI于點G,連接BI,則SqS色為（D）

△DCI

圖1圖2

A.1：1B.匹」C.匹二D.叵二

322

10.若一個點的坐標滿足（k,2k）,我們將這樣的點定義為"倍值點".若關(guān)于x的二次函數(shù)

y=（t+l）xz+（t+2）x+s（s,t為常數(shù),tW-1）總有兩個不同的倍值點,則s的取值范圍是（D）

A.s<-1B.s<0C.0<s<lD.-l<s<0

第7頁共16頁

二.填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

11.因式分解：2a2-12a+18=2（a—3）2.

12.在一個不透明的口袋中裝有3個紅球和若干個白球,它們除顏色外完全相同.多次摸球試

驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.2附近，則估計口袋中白球大約有12個.

13.二次函數(shù)y=kx2-4x+2的圖象與x軸有公共點，則k的取值范圍是kW2且kWO.

14.如圖，直線AB交反比例函數(shù)y=*于A,B兩點，交x軸于點C,且B恰為線段AC的中點，

連接OA.若S"杉，則k的值為Z.

15.一個裝有進水管和出水管的容器，開始時，先打開進水管注水，3分鐘時，再打開出水管

排水，8分鐘時，關(guān)閉進水管，直至容器中的水全部排完.在整個過程中，容器中的水量y

（升）與時間x（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則圖中a的值為空.

------------

“W升

30…N

葉\卜

〃3X?

16.如圖，在正方形ABCD中，點E是邊CD上一點，BF±AE,垂足為F,將正方形沿AE、

BF切割分成三塊，再將4ABF和4ADE分別平移，拼成矩形BGHF.若BG=kBF,則%

CD------弋--

（用含k的式子表示）.

三.解答題：本題共10小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（6分）計算（-1）2+（JT-3.14）o+4cos45°-|1-（2|

=4+1+4X

第8頁共16頁

=6+V2

（2（x+2）-x<5①

18.（6分）解不等式組.小,并寫出不等式組的非負整數(shù)解.

絲三>x—1@>

3

解：解不等式①，得X41.

解不等式②，得x>-4.

...原不等式組的解集為-4<x4L

非負整數(shù)解為0,1.

19（6分）如圖，在矩形ABCD中，BE±AC,DF±AC,垂足分別為E,F.求證：AF=CE.

證明：四邊形ABCD是矩形

/.AB=CD,AB〃CD

/.ZBAE=ZDCF

XVBEXAC,DF±AC

/.ZAEB=ZCFD=90°

在AABE與ACDF中

ZAEB=ZCFD

ZBAE=ZDCF

AB=CD

二.△ABE之△CDF(AAS)

/.AE=CF

/.AE+EF=CF+EF,即AF=CE

20.（8分）根據(jù)背景素材，探索解決問題.

如圖所示，在坡頂A處的同一水平面上有一座信號塔BC,某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們想測量此

信號塔的高度，經(jīng)過小組討論采取如下辦法：同學(xué)們先在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰

角為45。，然后他們沿著坡度為i=l:2.4的斜坡AP攀行了26米到達點A,在坡頂A處又測

得該塔的塔頂B的仰角為76。.請計算：

（1）計算坡頂A到地面PQ的距離.

（2）計算出信號塔BC的高度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin76^0.97,cos76°-0.24,

tan76°心4.01）

第9頁共16頁

解：（1）如圖，過點A作AHLPQ于點H

二.斜坡AP的坡度為1:2.4

?4H=5

PH12

設(shè)AH=5k,則PH=12k.

/.AP=13k

/.13k=26,解得k=2

/.AH=10

坡頂A到地面PQ的距離為10米

（2）如圖，延長BC交PQ于點D

VBC±AC,AC〃PQ

/.BD±PQ

,ZACD=ZCDH=ZAHD=90°

..四邊形AHDC是矩形，CD=AH=10,AC=DH

VZBPD=45°

二.△BPD是等腰直角三角形

/.PD=BD

設(shè)BC=x,則x+10=24+DH

AC=DH=x-14

在Rt^ABC中，tan76°=些，即=—-4.01,解得x心19

ACx-14

，信號塔BC的高度約19米.

21.（8分）某學(xué)校計劃組織學(xué)生外出開展研學(xué)活動，在選擇研學(xué)活動地點時，隨機抽取了部分

學(xué)生進行調(diào)查，要求被調(diào)查的學(xué)生從A,B,C,D,E五個研學(xué)活動地點中選擇自己最喜歡的

一個.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

⑴請把圖1補充完整；

第10頁共16頁

(2)請計算圖2中研學(xué)活動地點C所在扇形的圓心角的度數(shù)；

⑶若該校共有1200名學(xué)生，請估計最喜歡去D地研學(xué)的學(xué)生人數(shù).

解：(1)本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為20?20%=100,最喜歡去A地的人數(shù)為100-20-40-25-5=10

補全條形統(tǒng)計圖如下.

(2)研學(xué)活動地點C所在扇形的圓心角的度數(shù)為360°X絲=144。

100

(3)1200X21=300(名)

100

答：估計最喜歡去D地研學(xué)的學(xué)生人數(shù)為300

22.(8分)如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點，連接AC,BC,過點C作。。的切線交AB

延長線于點D,OFLBC于點E,交CD于點F.

⑴求證：ZBCD=ZBOE;

(2)若sinNBAC=|,AB=10,求BD的長.

(1)證明：如圖，連接OC

第11頁共16頁

VCD是。O的切線

/.ZOCD=90°

/.ZOCB+ZBCD=90°

\OF±BC

/.ZBEO=90°

/.ZBOE+ZOBE=90°

,/OC=OB

/.ZOCB=ZOBC

/.ZBCD=ZBOE

(2)解:如圖,過點B作BH，CD于點H

VAB是。O的直徑

/.ZACB=90°

VsinZBAC=—=-,AB=10

AB5

/.BC=6

\OF±BB

AC/7OF

/.ZBOE=ZBAC

VZBCD=ZBOE

/.ZBAC=ZBCD

/.sinZBAC=sinZBCD=^

5

/.BH二史

5

VOC±CDBH±CD

/.BH/7OC

/.△BDH^AODC

?詈BD

5BD5

解得BD=2￡

7

故BD的長為史

7

23.（10分）伴隨"一盔一帶"安全守護行動，市民交通安全意識逐步增強，頭盔需求量增大.某

商店購進甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20個，乙種頭盔30個，共花費2920元，甲

種頭盔的單價比乙種頭盔的單價高11元

⑴甲、乙兩種頭盔的單價各為多少元？

⑵商店決定再次購進甲、乙兩種頭盔共40個，正好趕上廠家進行促銷活動，促銷方式為甲

種頭盔按單價的八折出售，乙種頭盔每個降價6元出售.如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低

于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少個甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費用最?。孔钚?/p>

費用為多少元？

解：（1）設(shè)甲種頭盔的單價為x元，乙種頭盔的單價為y元

第12頁共16頁

20x+3Oy=2920

根據(jù)題意，得

x-y—11

x=65

解得

y=54

答：甲種頭盔單價為65元，乙種頭盔單價為54元.

(2)設(shè)再次購進甲種頭盔m只，總費用為w元

根據(jù)題意,得m舌(4。向

解得mN竺

3

w=65X0.8m+(54-6)(40-m)=4m+1920.

4>0

.*.w隨著m增大而增大

當m=14時，w取得最小值

最小值為14X4+1920=1976.

購買14個甲種頭盔時，總費用最小，最小費用為1976元.

24.(10分)如圖，一次函數(shù)y=kx-3的圖象與y軸交于點B,與反比例函數(shù)y=%(x>0)的圖象交

X

于點A(8,1).

⑴求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；

⑵如圖1,點C是線段AB上一點(不與點A,B重合)，過點C作y軸的平行線與該反比例

函數(shù)的圖象交于點D,連接OC、OD、AD,當CD等于6時，求點C的坐標和^ACD的面積；

⑶在(2)的前提下，將^OCD沿射線BA方向平移一定的距離后，得到△O'C'D',若點。的

對應(yīng)點O,恰好落在該反比例函數(shù)的圖象上(如圖2),求出點O',D'的坐標.

解：(1)點A(8,1)在一次函數(shù)y=kx-3的圖象上

l=8k-3,解得k=l

2

，一次函數(shù)的表達式為y=ix-3

2

..?點A(8,1)在反比例函數(shù)丫=友圖象上

X

解得m=8.

第13頁共16頁

...反比例函數(shù)的表達式為y=?

X

(2)設(shè)C(a,la-3)(0<a<8),則D(a,力

2a

：.CD=?-(la-3)=8-la+3

a2a2

,：CD=6

ia+3=6.解得a=-8(舍去)或a=2

a2

：.C(2,-2).

如圖1,過點A作AELCD于點E

'AACD=6X6X1=18

(3)D'(6,6)

25.(12分)如圖1,拋物線與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,且0A=2,0B=4,0C=8,

拋物線的對稱軸與直線BC交于點M,與x軸交于點N.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P,C,M為頂點的三角形與△MNB相似？若

存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,D是0C的中點，一個動點G從點D出發(fā)，先到達x軸上的點E,再走到拋物線對

稱軸上的點F,最后返回到點C.要使動點G走過的路程最短，請找出點E,F的位置，寫出

坐標，并求出最短路程.

第14頁共16頁

解：⑴:0A=2,0B=4,0C=8

/.A(-2,0),B(4,