高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)歸類分析 函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性（真題為例）

函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性問題典型例題：例1.（年天津市文5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間（1,2）內(nèi)是增函數(shù)的為【】（A）（B），且≠0（C）（D）【答案】B?！究键c(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷。【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可排除C，D，再由“在區(qū)間（1，2）內(nèi)是增函數(shù)”可排除A，從而可得答案：對(duì)于A，令，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)。而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（1，2）中，所以在區(qū)間（1，2）內(nèi)不全是增函數(shù)，故排除A。對(duì)于B，函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以在上也為增函數(shù)，故B滿足題意。對(duì)于C，令，則，∴函數(shù)為偶函數(shù)為奇函數(shù)，故可排除C。對(duì)于D，為非奇非偶函數(shù)，可排除D。故選B。例2.（年廣東省理5分）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)的是【】A．B．C．y=D．【答案】A?！究键c(diǎn)】函數(shù)的圖象和性質(zhì)?！窘馕觥坷脤?duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷A正確；利用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷B錯(cuò)誤；利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷C正確；利用“對(duì)勾”函數(shù)的圖象和性質(zhì)可判斷D的單調(diào)性：A.在（-2，+∞）上為增函數(shù)，故在（0，+∞）上為增函數(shù)，A正確；B.在[-1，+∞）上為減函數(shù)，排除B；C.y=在R上為減函數(shù)；排除C；D.在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，排除D。故選A。例3.（年廣東省文5分）下列函數(shù)為偶函數(shù)的是【】A．B．C．D．【答案】D?！究键c(diǎn)】函數(shù)偶函數(shù)的判斷?！窘馕觥亢瘮?shù)結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)檢驗(yàn)是否滿足，即可判斷：A：，則有，為奇函數(shù)；B：，則有，為奇函數(shù)；C：，則有，為非奇非偶函數(shù)；D：，則有，為偶函數(shù)。故選D。例4.（年浙江省理5分）設(shè)，【】A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用?！窘馕觥繉?duì)選項(xiàng)A，若，必有。構(gòu)造函數(shù)：，則恒成立，故有函數(shù)在x＞0上單調(diào)遞增，即a＞b成立。其余選項(xiàng)用同樣方法排除。故選A。例5.（年湖南省文5分）設(shè)定義在R上的函數(shù)是最小正周期為2的偶函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，0＜＜1；當(dāng)且時(shí)，，則函數(shù)在[-2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【】A.2B.4C.5D.8【答案】Ｂ?！究键c(diǎn)】函數(shù)的周期性、奇偶性、圖像及兩個(gè)圖像的交點(diǎn)問題?！窘馕觥坑僧?dāng)且≠時(shí)，，知為減函數(shù)；為增函數(shù)。又時(shí)，0＜f(x)＜1，在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出和草圖像如下，由圖知在[-2，2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)。例6.（年福建省理5分）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是【】A．D(x)的值域?yàn)閧0,1}B．D(x)是偶函數(shù)C．D(x)不是周期函數(shù)D．D(x)不是單調(diào)函數(shù)【答案】C。【考點(diǎn)】分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域、周期性?！窘馕觥繉?duì)于A選項(xiàng)，D(x)的值域?yàn)閧0,1}，選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，∵，∴D(x)是偶函數(shù)，選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，∵，∴是D(x)的一個(gè)周期，即D(x)是周期函數(shù)，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，∵，但，∴D(x)不是單調(diào)函數(shù)，選項(xiàng)正確。故選C。例7.（年遼寧省文5分）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為【】（A）（1,1]（B）（0,1]（C.）[1，+∞）（D）（0，+∞）【答案】B?！究键c(diǎn)】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥俊?，∴?！?。故選B。例8.（年遼寧省理5分）若，則下列不等式恒成立的是【】(A)(B)(C)(D)【答案】C?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性與最值來證明不等式?！窘馕觥吭O(shè)，則所以所以當(dāng)時(shí)，同理∴即。故選C。例9.（年陜西省理5分）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為【】A.B.C.D.【答案】D。【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性和增減性的判斷?！窘馕觥扛鶕?jù)函數(shù)的奇偶性和增減性逐一作出判斷：對(duì)于A，非奇非偶，是R上的增函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)；對(duì)于D，令，則∵，∴函數(shù)是奇函數(shù)；∵，∴函數(shù)是增函數(shù)。故選D。例10.（年上海市理4分）已知函數(shù)（為常數(shù)）.若在區(qū)間[1,+)上是增函數(shù)，則的取值范圍是▲.【答案】?！究键c(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷?！窘馕觥扛鶕?jù)函數(shù)看出當(dāng)時(shí)函數(shù)增函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以的取值范圍為：。例11.（年全國(guó)課標(biāo)卷文5分）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M+m=▲【答案】2?！究键c(diǎn)】奇函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥俊?，∴設(shè)?！?，∴函數(shù)是奇函數(shù)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，它的最大值與最小值之和為0。∴。例12.（年上海市理4分）已知是奇函數(shù)，且，若，則▲.【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性?！窘馕觥俊吆瘮?shù)為奇函數(shù)，∴，即又∵，∴?！?。例13.（年安徽省文5分）若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則▲【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性?！窘馕觥俊?，∴由對(duì)稱性得，，即。例14.（年山東省文4分）若函數(shù)在［－1，2］上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a＝▲.【答案】。【考點(diǎn)】函數(shù)的增減性?！窘馕觥俊?，∴。當(dāng)時(shí)，∵，函數(shù)是增函數(shù)，∴在［－1，2］上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是減函數(shù)，與題設(shè)不符。當(dāng)時(shí)，∵，函數(shù)是減函數(shù)，∴在［－1，2］上的最大值為，最小值為。此時(shí)，它在上是增函數(shù)，符合題意。綜上所述，滿足條件的。例15.（年江蘇省5分）設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上，其中．若，則的值為▲．【答案】?！究键c(diǎn)】周期函數(shù)的性質(zhì)?！窘馕觥俊呤嵌x在上且周期為2的函數(shù)，∴，即=1\*GB3①。又∵，，∴=2\*GB3②。聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②，解得，?！?。例16.（年浙江省文5分）設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x＋1，則=▲?！敬鸢浮?。【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性和奇偶性?！窘馕觥?。例17.（年重慶市文5分）函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)▲【答案】4?！究键c(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)?！痉治觥坑深}意可得，對(duì)于任意的都成立，代入任一不為0的數(shù)可得關(guān)于的一元一次方程，解出即可：令，則，即，即，解得。例18.（年浙江省文15分）已知a∈R，函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）證明：當(dāng)0≤≤1時(shí)，+＞0.【答案】解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。（2）由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。設(shè)，則。則有01－－0＋＋1減極小值增1∴?！喈?dāng)時(shí)，總有?！??！究键c(diǎn)】分類思想的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，不等式的證明?！窘馕觥浚?）求出導(dǎo)數(shù)，分和討論即可。（2）根據(jù)，分和兩種情形，得到，從而設(shè)出新函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，證出，得到恒成立，即。例19.（年江西省理14分）若函數(shù)滿足（1），；（2）對(duì)任意，有；（3）在上單調(diào)遞減。則稱為補(bǔ)函數(shù)。已知函數(shù)。（1）判函數(shù)是否為補(bǔ)函數(shù)，并證明你的結(jié)論；（2）若存在，使得，稱是函數(shù)的中介元。記時(shí)的中介元為，且，若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像總在直線的上方，求的取值范圍?！敬鸢浮拷猓海?）函數(shù)h(x)是補(bǔ)函數(shù)，證明如下：①h(0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－0,1＋0)))eq\f(1,p)＝1，h(1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－1,1＋λ)))eq\f(1,p)＝0；②對(duì)任意a∈[0,1]，有h(h(a))＝heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－ap,1＋λap)))\f(1,p)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\f(1－ap,1＋λap),1＋λ\f(1－ap,1＋λap))))eq\f(1,p)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋λap,1＋λ)))eq\f(1,p)＝a；③令g(x)＝(h(x))p，有g(shù)′(x)＝eq\f(－pxp－11＋λxp－1－xpλpxp－1,1＋λxp2)＝eq\f(－p1＋λxp－1,1＋λxp2)?！擀?gt;－1，p>0，∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)<0?！嗪瘮?shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，故函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減。（2）當(dāng)p＝eq\f(1,n)(n∈*)，由h(x)＝x，得λxeq\f(2,n)＋2xeq\f(1,n)－1＝0，(*)①當(dāng)λ＝0時(shí)，中介元xn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n；②當(dāng)λ>－1且λ≠0時(shí)，由(*)得xeq\f(1,n)＝eq\f(1,\r(1＋λ)＋1)∈(0,1)或xeq\f(1,n)＝eq\f(1,1－\r(1＋λ))?[0,1]；得中介元xn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(1＋λ)＋1)))n。綜合①②：對(duì)任意的λ>－1，中介元為xn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(1＋λ)＋1)))n(n∈*)?！喈?dāng)λ>－1時(shí)，有Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(1＋λ)＋1)))i＝eq\f(1,\r(1＋λ))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(1＋λ)＋1)))n))<eq\f(1,\r(1＋λ))，當(dāng)n無限增大時(shí)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(1＋λ)＋1)))n無限接近于0，Sn無限接近于eq\f(1,\r(1＋λ))?！鄬?duì)任意的n∈*，Sn<eq\f(1,2)成立等價(jià)于eq\f(1,\r(1＋λ))≤eq\f(1,2)，即λ∈[3，＋∞)．（3）當(dāng)λ＝0時(shí)，h(x)＝(1－xp)eq\f(1,p)，中介元為xp＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,p)。①當(dāng)0<p≤1時(shí)，eq\f(1,p)≥1，中介元xp＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(1,p)≤eq\f(1,2)，所以點(diǎn)(xp，h(xp))不在直線y＝1－x的上方，不符合條件。②當(dāng)p>1時(shí)，依題意只需(1－xp)eq\f(1,p)>1－x在x∈(0,1)時(shí)恒成立，也即xp＋(1－x)p<1在x∈(0,1)時(shí)恒成立。設(shè)φ(x)＝xp＋(1－x)p，x∈(0,1)，則φ′(x)＝p[xp－1－(1－x)p－1]。由φ′(x)＝0得x＝eq\f(1,2)，且當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，φ′(x)<0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2