2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)（九）

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【原卷版】

E4

1.已知4>0,貝I-()

65

A.a5B.a6

55

C.a6D.a3

2ex

2.已知函數(shù)/（x）—（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），若實(shí)數(shù)加滿

足式㈤=—1,則八一"2）=（）

A.4B.3

C.2D.1

3.函數(shù)y=yj16—4%的值域是（)

A.[0,+°°)B.[0,4]

C.[0,4)D.(0,4)

4.已知函數(shù)/（x）=（r一°）（無(wú)一b）（其中a>b）的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=cf+b的圖象

5.國(guó)家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館，擁有亞洲最大的

全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場(chǎng)館、綠色場(chǎng)館.并且為了倡

導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng).已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污

染物數(shù)量N（mg/L）與時(shí)間t的關(guān)系為N=Noe"（No為最初污染物數(shù)量）.如果前4小時(shí)消除了

20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要的時(shí)間為（）

A.3.6小時(shí)B.3.8小時(shí)

C.4小時(shí)D.4.2小時(shí)

6.（多選）已知五x）=訐不，則（）

A.八尤）為奇函數(shù)B.7（x）為偶函數(shù)

C.兀c）在R上單調(diào)遞增D.八龍）在R上單調(diào)遞減

7.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的非常數(shù)函數(shù).

①當(dāng)X1X2》。時(shí)，加1+尤2）=式尤1★>2）；②/（無(wú)）為偶函數(shù).

8.已知函數(shù)式x）=/+il（a>0,且。/1）的值域?yàn)榭冢?8）,則。的取值范圍為,

式—4）與八1）的大小關(guān)系是.

9.已知函數(shù)式尤）=6?必（其中a,6為常數(shù)，且。>0,aWl）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4（1,6）,8（3,24）.

（1）求y（無(wú)）的表達(dá)式；

（2）若不等式七｝+《，一機(jī)》。在Xd（—8,1］上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

10.已知7U）=a—帚標(biāo)為常數(shù)）為奇函數(shù)，則滿足4依）>八1）的實(shí)數(shù)X的取值范圍是

（）

A.（1,+8）B.（—8,1）

C.（-1,+°°）D.（-8,-1）

11.（多選）關(guān)于函數(shù)式x）=下扁的性質(zhì)，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.函數(shù)應(yīng)x）的定義域?yàn)镽

B.函數(shù)/U）的值域?yàn)椋?,+8）

C.方程處v）=尤有且只有一個(gè)實(shí)根

D.函數(shù)八x）的圖象是中心對(duì)稱圖形

12.當(dāng)xd（—8,—1］時(shí)，不等式1+2*+4%20恒成立，則a的取值范圍是.

13.已知定義在R上的函數(shù)五x）=2*—右.

3

（1）右yu）=2，求尤的值；

（2）若2次2。+項(xiàng)也）》0對(duì)任意re口2恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

14.已知g（x）為偶函數(shù)，以尤）為奇函數(shù)，且滿足g（x）一〃（元）=2".若存在尤e［—1』］，使

得不等式加g（x）+/z（x）W0有解，則實(shí)數(shù)相的最大值為（）

,33

A.5B.一5

C.1D.-1

15.對(duì)于定義域?yàn)椋?,1］的函數(shù)Hx）,如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①對(duì)任意的尤

總有尤）20；d貿(mào)1）=1；③若％120,%2>0，尤1+X2WI,都有黃龍1+尤2）為（X1）+/（X2）成立，

則稱函數(shù)八尤)為理想函數(shù).

(1)若函數(shù)次元)為理想函數(shù)，求五0)的值；

(2)判斷函數(shù)g(x)=2，-l(xe[O]D是否為理想函數(shù)，并予以證明；

(3)若函數(shù)%)為理想函數(shù)，假定三次6[0,1],使得負(fù)xo)e[0,l],且小湖=須，求證：於0)

=沏.

課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(九)

指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【解析版】

1.已知〃>0,則------=()

65

A.a%B.a%

_55

C.aD.

a2a2：

解析：B——=~T^=a23=〃6.故選B.

2ex

2.已知函數(shù)y(x)=Gm+x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…)，若實(shí)數(shù)加滿

足穴m)=T,則八一機(jī))=()

A.4B.3

C.2D.1

2_

2e"2exe'2

解析：B由題意，函數(shù)危)=/+]+尺可得角—%)=?-1+]—%=~j~x=ex+\~x,

2ex2

可得加)+八一￡?=/百+%+￡11一%=2,即黃加)+以一利)=2,因?yàn)槿思?=-1,所以八一

m)=3.故選B.

3.函數(shù)y=^16—4%的值域是()

A.[0,+8)B.[0,4]

C.[0,4)D.(0,4)

解析：C要使函數(shù)有意義，須滿足16—4%20,則工￡(—8,2],所以4]￡(0/6],則

0W16—4%V16,即函數(shù)y=\J16—4]的值域?yàn)閇0,4).故選C.

4.已知函數(shù)八%)=(%—。)(%一3(其中〃＞。)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=〃+8的圖象

是()

?<0,ab<0,①

解析：A由圖象可知[八1）>0,今｛（1—a）（l—6）>0,②

、（一1一”）（一1-6）<0,③

因?yàn)閍>6,所以由①可得：a>Q>b,由③可得：-1-6>0=>6<—1,由②可得：1—

a>O^a<l,因此有l(wèi)>a>0>—1>6,所以函數(shù)g（x）="+b是減函數(shù)，g（0）=l+b<0,

所以選項(xiàng)A符合，故選A.

5.國(guó)家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場(chǎng)館，擁有亞洲最大的

全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到真正的智慧場(chǎng)館、綠色場(chǎng)館.并且為了倡

導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場(chǎng)館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過(guò)濾系統(tǒng).已知過(guò)濾過(guò)程中廢水的污

染物數(shù)量N（mg/L）與時(shí)間t的關(guān)系為N=Me-h（M為最初污染物數(shù)量）.如果前4小時(shí)消除了

20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還需要的時(shí)間為（）

A.3.6小時(shí)B.3.8小時(shí)

C.4小時(shí)D.4.2小時(shí)

4

得

山-設(shè)Noef=O.64M=e2可0,可得e

解析：C由題意可得Noe』e5

-k=（e-4*）2=e-8/,解得/=8.因此,污染物消除至最初的64%還需要4小時(shí).故選C.

1—2工

6.（多選）已知於）=則（）

1+2”

A.式》）為奇函數(shù)B.7（x）為偶函數(shù)

C.五元）在R上單調(diào)遞增D./（X）在R上單調(diào)遞減

1—2一工2*—11—21

解析：AD八尤）的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椤獰o(wú)）=[+20=2*+（=-]+2*

1—V9

—fix）,所以兀r）為奇函數(shù)，排除B；因?yàn)榉病叮?[+2工=]工2；-1,且y=2"在R上單調(diào)遞增,

2

所以y=l+2*在R上單調(diào)遞增，所以y=苴有一1在R上單調(diào)遞減，即式無(wú)）在R上單調(diào)遞減,

排除C.故選A、D.

7.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的非常數(shù)函數(shù).

①當(dāng)X1X22。時(shí)，加1+%2)=/(%1求>2)；②A%)為偶函數(shù).

解析：若滿足①對(duì)任意的為X2》。有yUl+x2)=/(Xl)：/i>2)成立，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)

>=戶的形式；若滿足②/U)為偶函數(shù)，只需要將X加絕對(duì)值即可，所以滿足①②兩個(gè)條件的

函數(shù)滿足火x)=〃叫。>0,iWl)即可.

答案：兀0=2叫答案不唯一)

8.已知函數(shù)?x)=/+”a>0,且〃W1)的值域?yàn)椋?,+°°),則〃的取值范圍為,

八一4)與大1)的大小關(guān)系是.

解析：因?yàn)?+1|20,函數(shù)兀且〃W1)的值域?yàn)椋?,+°°),所以〃>1.由

于函數(shù)=〃以+"在(一1,+8)上是增函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線X=—l對(duì)稱，則函數(shù)人。

在(一8,—1)上是減函數(shù)，故11)=X—3),/-4)>/1).

答案：(1,+8)X-4)>XD

9.已知函數(shù)兀i)="*其中。，b為常數(shù),且〃>0,〃W1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,6),5(3,24).

(1)求/(x)的表達(dá)式；

(2)若不等式1)+(3%一小20在x￡(—8,1］上恒成立，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

1萬(wàn)。=6,

解：(1)因?yàn)?(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,6),5(3,24),所以7§…

=24.

所以〃2=4,又〃>0,所以〃=2,b=3,所以?r)=3?2%.

(2)由(1)知。=2,b=3,則當(dāng)尤e(—8,1］時(shí)，［1)+自,—%》。恒成立，即機(jī)?自，

+g〉在xG(—8,1］上恒成立.又因?yàn)榕cy=g}均為減函數(shù)，所以y=R}+G)

也是減函數(shù)，所以當(dāng)x=l時(shí)，尸0葉(}>有最小值點(diǎn)則相吟故m的取值范圍是

(51

I161

2

io.已知犬x)=。一帚①為常數(shù))為奇函數(shù)，則滿足八公)>式1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

()

A.(1,+8)B.(一8,1)

C.(-1,+°°)D.(-8,-1)

272

解析：A因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)=。-3*十］為奇函數(shù)，則兀0+式-x)=2a一5不7一尸不7=2。

22.3X2(1+3%)2

-3%+「3%(3%+］)=2〃-3%+］=2〃一2=0,解得a=1,所以段)=1-3%+］，任取x\

>X2,則3?>3X2，則式為)一玲；2)=(1—Wl)=母三3=

八盤(pán):白巴>0,所以於1)>加2),則函數(shù)/U)為R上的增函數(shù)，由A^)>X1),解得X>1.故

選A.

11.(多選)關(guān)于函數(shù)式幻=不匕的性質(zhì)，下列說(shuō)法中正確的是()

A.函數(shù)八x)的定義域?yàn)镽

B.函數(shù)/U)的值域?yàn)?0,+°°)

C.方程兀v)=尤有且只有一個(gè)實(shí)根

D.函數(shù)式x)的圖象是中心對(duì)稱圖形

解析：ACD函數(shù)八尤)=不號(hào)的定義域?yàn)镽,所以A正確；因?yàn)椤?"在定義域內(nèi)單調(diào)

遞增，所以函數(shù)/(x)=不上在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)?0,3),所以方程共處

=%只有一個(gè)實(shí)根，所以B不正確，c正確；因?yàn)閥u+i)+y(—x)=/lx+；_i_c+/l-

4IZ4-rZ十，

+2-^+l=2,所以風(fēng)月關(guān)于點(diǎn)6，I)對(duì)稱，所以D正確.

12.當(dāng)尤e(—8,一口時(shí)，不等式1+2工+4%20恒成立，則a的取值范圍是.

解析：不等式1+2工+41N0恒成立，轉(zhuǎn)化為一aW*=今}+(1},易知函數(shù)y=(J

￡+8)是R上的減函數(shù)，因此xd(—8,—1］時(shí)，ymin=Q)r+(1)r=6,所以一aW6,即

-6.

答案：［16,+°°)

13.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=2x—表.

3

(1)若y(x)=］,求％的值；

(2)若2%2。+神⑺20對(duì)任意/￡［L2］恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

3

解：(1)當(dāng)xvO時(shí)，/(x)=0,故危)=］無(wú)解；

當(dāng)時(shí)，fix)=2x—^x,

13

由2%一百=》得2?2級(jí)—3?2%—2=0,

將上式看成關(guān)于2%的一元二次方程，

解得2%=2或2X=一；,

因?yàn)?%>0,所以2%=2,所以x=L

⑵當(dāng)re[1,2]時(shí)，2(22J5)+"2(2'一

即Mi(22f-l)^-(24,-l),因?yàn)?2,-l>0,

所以—(22,+l),

又y=一2"—1,re[l,2]為減函數(shù)，

所以Mnax=-2?—1=—5,故5.

即機(jī)的取值范圍是[—5,+°°).

14.已知g(x)為偶函數(shù)，0(%)為奇函數(shù)，且滿足g(x)—//(%)=2%.若存在使

得不等式相以工)+/1任)忘0有解，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值為()

33

A.5B.一三

C.1D.-1

解析：A?.?g(x)為偶函數(shù)，//(%)為奇函數(shù)，且且(%)—/?(%)=2%①，，g(一%)—/?(—%)=g(x)

2%+2—%2~x—2X

+/i(x)=2r②，①②兩式聯(lián)立可得g(x)=^-2，h{x)—~~5.由祖-g(尤)+/z(x)W0得

2X—2~X4A—122