魯教版五四制七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊全套教案

193/193二元一次方程組【教學(xué)目標(biāo)】一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。（一）體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。（二）二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。二、能力訓(xùn)練要求。（一）通過分析實(shí)際問題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型。（二）了解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解。三、情感與價(jià)值觀要求。（一）體會(huì)方程的模型思想，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。（二）通過對(duì)學(xué)生熟悉的傳統(tǒng)內(nèi)容（如雞兔同籠）的討論，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】一、重點(diǎn)。（一）通過對(duì)實(shí)際問題的分析，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。（二）了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念，并會(huì)判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解。二、難點(diǎn)。（一）探索實(shí)際問題中的等量關(guān)系，列出二元一次方程組。（二）判斷一組數(shù)是不是二元一次方程組的解?！窘虒W(xué)方法】學(xué)生自主探索——教師引導(dǎo)的方法。學(xué)生已具備了列一元二次方程解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考列二元一次方程時(shí)，如何尋求等量關(guān)系，放手讓學(xué)生經(jīng)過自主探索列出二元一次方程組?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課。［師］小學(xué)時(shí)，我們就解答過著名的“雞兔同籠”的問題，如“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”誰能用我們學(xué)過的知識(shí)來解答一下呢？［生］解：設(shè)雞有x只，則兔有(35－x)只，根據(jù)題意，可得：2x+4(35－x)=94；解得x=23?！?5－x=35－23=12；答：雞有23只，兔有12只。［生］不用方程也可以解答：如果讓每只雞都抬起一條腿，讓每只兔子都抬起兩條腿，即讓它們表演“優(yōu)美動(dòng)人”的“金雞獨(dú)立”和“玉兔拜月”，這樣它們一共抬起了94÷2=47條腿，并且只有47條腿著地了。接著讓雞飛上藍(lán)天，讓兔練習(xí)“金雞獨(dú)立”，也就是每只兔子只有一只腿著地，這樣著地的腿數(shù)又減少了35條，而只有47－35=12條腿著地了，并且有一條腿著地，就有一只兔子，所以應(yīng)該有12只兔子，35－12=23只雞。［師］這兩位同學(xué)解答“雞兔同籠”的問題都非常精彩，特別是第二位同學(xué)。我們用掌聲鼓勵(lì)他們。接下來，老師說一種新的思路。在上面“雞兔同籠”的問題中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它有兩個(gè)等量關(guān)系：雞的只數(shù)+兔子的只數(shù)=35；雞的腿數(shù)+兔子的腿數(shù)=94。如果我設(shè)雞有x只，兔子有y只，這時(shí)我們就得到了方程x+y=35和2x+4y=94。這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)這樣的方程及由它們組成的方程組。二、講授新課。出示：有這么一段對(duì)話：老牛和小馬馱著包裹走在路上。老牛：累死我了！小馬：你還累？這么大的個(gè)兒，才比我多馱2個(gè)。老牛：哼，我從你背上拿來1個(gè)，我的包裹數(shù)就是你的2倍！小馬：真的？！請(qǐng)問：老牛和小馬各馱了多少包裹呢？［師生共析］設(shè)老牛馱了x個(gè)包裹，小馬馱了y個(gè)包裹。從老牛和小馬的對(duì)話中，我們可以探索到其中的等量關(guān)系：①老牛馱的包裹－小馬馱的包裹數(shù)=2，②老牛馱的包裹數(shù)+1=(小馬馱的包裹數(shù)－1)×2。由此我們就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)。出示：星期天，俱樂部舉行“希望工程”義演，每張成人票5元，每張兒童票3元。我們共去了8個(gè)人，買門票花了34元，請(qǐng)問我們共去了幾個(gè)成人，幾個(gè)兒童呢？如果設(shè)我們共去了x個(gè)成人，y個(gè)兒童，由此你能找到怎樣的等量關(guān)系？得到怎樣的方程呢？［生］在上述問題中，我們可以找到的等量關(guān)系為：成人人數(shù)+兒童人數(shù)=8，成人票款+兒童票款=34。由此我們可得方程x+y=8和5x+3y=34。［師］在上面的兩個(gè)問題中，我們得到了四個(gè)方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34。在這四個(gè)方程中，它們有何共同的特點(diǎn)。下面請(qǐng)同學(xué)們分組討論。（此時(shí)，老師可參與到學(xué)生的討論中，引導(dǎo)學(xué)生和以前學(xué)過的一元一次方程相聯(lián)系，觀察方程中有幾個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是幾次？含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是幾次？）［生］上面我們所列的四個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)和含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次。老師，我們能不能把它們叫二元一次方程。因?yàn)槲覈糯桶盐粗獢?shù)叫做元，并且它們的未知數(shù)的次數(shù)是一次。［師］很好。它們的確都是二元一次方程。但我有一個(gè)問題和大家共討論。我這兒有一個(gè)方程6xy－3=2。它也含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)x，y都是一次，它和上面的四個(gè)方程一樣嗎？［生］不一樣。它雖然含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)x，y也都是一次的，但6xy這一項(xiàng)即含未知數(shù)的項(xiàng)卻是二次的。［師］你真棒。正像這位同學(xué)說的，6xy－3=2不是二元一次方程。x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34它們才是二元一次方程。能用自己的語言歸納什么叫二元一次方程嗎？［生］含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有兩個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。［師］接下來，我們討論下面的問題：在上面的方程x－y=2和x+1=2(y－1)中，x，y的含義相同嗎？［生］應(yīng)該相同。在兩個(gè)二元一次方程中，x都表示老牛馱的包裹數(shù)，y都表示小馬馱的包裹數(shù)，因此x，y的含義是相同的。［師］也就是說，x、y既滿足第一個(gè)方程x－y=2，又滿足第二個(gè)方程x+1=2(y－1)。于是我們把它們聯(lián)立起來，得：像這樣的含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。如：和都是二元一次方程組。注意在一個(gè)方程組中x、y應(yīng)代表同一個(gè)量。出示：做一做（一）x=6，y=2適合方程x+y=8嗎？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你還能找到其他x、y值適合方程x+y=8嗎？（二）x=5，y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2，y=8呢？（三）你能找到一組x、y的值，同時(shí)適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？（四）從以上三個(gè)問題歸納總結(jié)什么是二元一次方程的解？它的解有何特點(diǎn)？（五）滿足何條件的一組值才能是二元一次方程組的解？（請(qǐng)同學(xué)們分組討論完成，教師深入學(xué)生當(dāng)中，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)同學(xué)們討論問題時(shí)的閃光點(diǎn)。）［師生共析］（一）把x=6，y=2代入方程x+y=8的左邊得x+y=6+2=8，左邊=右邊，所以x=6，y=2是適合方程x+y=8。我們把適合二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的解。因此x=6，y=2即為x+y=8的一組解。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)x=5，y=3也適合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一組解。還有沒有其他的x，y的值適合方程x+y=8呢？［生］有。如x=1，y=7；x=4，y=4；x=8，y=0；……［生］我發(fā)現(xiàn)，只要給出x的一個(gè)值，代入x+y=8中，便可得到y(tǒng)的一個(gè)值。例如我們設(shè)x=－1，則代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9。所以x=－1，y=9適合方程，是方程的一個(gè)解。也因此而得到x+y=8的解有無數(shù)多個(gè)。［師生共析］（二）把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左邊=5x+3y=5×5+3×3=34。所以x=5，y=3是方程5x+3y=34的一個(gè)解。同樣x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一個(gè)解。我們把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一個(gè)解記作同樣也是方程5x+3y=34的一個(gè)解。（三）由（一）、（二）我們可以發(fā)現(xiàn)既是方程x+y=8的一個(gè)解，也是5x+3y=34的一個(gè)解。我們把這兩個(gè)二元一次方程的公共解，叫做由這兩個(gè)二元一次方程組成的方程組的解。例如就是二元一次方程組的解。三、例題精析。［例1］已知方程2xm+2+3y1－2n=17是一個(gè)二元一次方程，則m=________，n=________。解：由二元一次方程的定義，得：m+2=1，1－2n=1；∴m=－1，n=0。［例2］寫出一個(gè)以為解的二元一次方程組。解：答案不是惟一。只要寫出的二元一次方程組的解是即可。例如。評(píng)注：二元一次方程組的解必須同時(shí)適合方程組中的每個(gè)方程。四、課時(shí)小結(jié)。這節(jié)課通過對(duì)實(shí)際問題的分析，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到了方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型。在此基礎(chǔ)上，我們了解了二元一次方程。二元一次方程組及其解等概念，并學(xué)會(huì)了判斷一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解。五、活動(dòng)與探究。求二元一次方程2x+y=7的正整數(shù)解。過程：我們知道求二元一次方程2x+y=7的正整數(shù)解，就是求適合2x+y=7的一組未知數(shù)的正整數(shù)的值。2x+y=7的解有無數(shù)多個(gè)，而正整數(shù)解只有九個(gè)。由等式的性質(zhì)可由方程2x+y=7得到y(tǒng)=7－2x，由于x，y只能取正整數(shù)，所以x=1，2或3。當(dāng)x=1時(shí)，y=7－2×1=5；當(dāng)x=2時(shí)，y=7－2×2=3；當(dāng)x=3時(shí)，y=7－2×3=1。結(jié)果：二元一次方程2x+y=7的正整數(shù)解為。六、參考練習(xí)。（一）填空題。1．已知方程2x2n－1－3y3m－n+1=0是二元一次方程，則m=_________，n2．方程①2x+5y=0；②2x－=8；③5x+2y=7；④4x－xy=3；⑤；⑥x－2y2=6；⑦+y=5中，二元一次方程有_________。（填序號(hào)）3．若x－3y=2，則7－2x+6y=_________。4．若x=1，y=－1適合方程3x－4my=1，則m=_________。5．在x－5y=7中，用x表示y=_________；若用y表示x，則_________。答案：1．、；2．①③⑤⑦；3．7－2x+6y=7－2(x－3y)=7－2×2=3；4．－；5．、7+5y。（二）選擇題。1．下列方程組中，是二元一次方程組的是（）。A．B．C．D．2．下列各對(duì)數(shù)中，是方程組的解是（）。A．B．C．D．均不對(duì)3．已知是方程組的解，則a等于（）。A．B．2C．1D．－24．若是方程3x+y=0的一個(gè)解（a≠0）。則有（）。A．A、B異號(hào)B．A、B同號(hào)C．A、B同號(hào)也可能異號(hào)D．以上均不對(duì)答案：1．C；2．B；3．A；4．A。（三）已知方程，求當(dāng)x=－3時(shí)，y的值。答案：－3。解二元一次方程組【課時(shí)安排】2課時(shí)【第一課時(shí)】【教學(xué)內(nèi)容】解二元一次方程組（一）；代入法?！窘虒W(xué)目標(biāo)】一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。（一）代入消元法解二元一次方程組。（二）解二元一次方程組時(shí)的“消元”思想，“化未知為已知”的化歸思想。二、能力訓(xùn)練要求。（一）會(huì)用代入消元法解二元一次方程組。（二）了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會(huì)數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想。三、情感與價(jià)值觀要求。（一）在學(xué)生了解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復(fù)雜問題為簡單問題的化歸思想中，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。（二）培養(yǎng)學(xué)生合作交流，自主探索的良好習(xí)慣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1．會(huì)用代入消元法解二元一次方程組。2．了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想。【教學(xué)難點(diǎn)】1．“消元”的思想。2．“化未知為已知”的化歸思想?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】投影片兩張：第一張：例題；第二張：問題串。【教學(xué)過程】一、提出疑問，引入新課。［師生共憶］我們討論一個(gè)“希望工程”義演的問題；沒去觀看義演的成人有x人，兒童有y人，我們得到了方程組成人和兒童到底去了多少人呢？［生］在上一節(jié)課的“做一做”中，我們通過檢驗(yàn)是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知這個(gè)解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據(jù)二元一次方程組解的定義得出是方程組的解。所以成人和兒童分別去了5個(gè)人和3個(gè)人。［師］但是，這個(gè)解是試出來的。我們知道二元一次方程的解有無數(shù)個(gè)。難道我們每個(gè)方程組的解都去這樣試？［生］太麻煩啦。［生］不可能。［師］這就需要我們學(xué)習(xí)二元一次方程組的解法。二、講授新課。［師］我們學(xué)過一元一次方程，也曾碰到過“希望工程”義演問題，當(dāng)時(shí)是如何解的呢？［生］解：設(shè)成人去了x人，兒童去了(8－x)人，根據(jù)題意，得：5x+3(8－x)=34解得x=5；將x=5代入8－x=8－5=3；答：成人去了5個(gè)，兒童去了3個(gè)。［師］同學(xué)們可以比較一下：列二元一次方程組和列一元一次方程設(shè)未知數(shù)有何不同？列出的方程和方程組又有何聯(lián)系？對(duì)你解二元一次方程組有何啟示？［生］列二元一次方程組設(shè)出有兩個(gè)未知數(shù)成人去了x人，兒童去了y人。列一元一次方程設(shè)成人去了x人，兒童去了(8－x)人。y應(yīng)該等于(8－x)。而由二元一次方程組的一個(gè)方程x+y=8根據(jù)等式的性質(zhì)可以推出y=8－x。［生］我還發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x+3(8－x)=34與方程組中的第二個(gè)方程5x+3y=34相比較，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程。［師］太好了。我們發(fā)現(xiàn)了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)便可。如何轉(zhuǎn)化呢？［生］我們就已知道方程組的兩個(gè)未知數(shù)所包含的意義是相同的。所以將中的①變形，得y=8－x③；我們把y=8－x代入方程②，即將②中的y用8－x代替，這樣就有5x+3(8－x)=34?！岸被伞耙辉?。［師］這位同學(xué)很善于思考。他用了我們在數(shù)學(xué)研究中“化未知為已知”的化歸思想，從而使問題得到解決。下面我們完整地解一下這個(gè)二元一次方程組。解：由①得，y=8－x③；將③代入②得，5x+3(8－x)=34；解得x=5；把x=5代入③得，y=3。所以原方程組的解為。下面我們試著用這種方法來解答“誰的包裹多”的問題。［師生共析］解二元一次方程組：分析：我們解二元一次方程組的第一步需將其中的一個(gè)方程變形用含一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，把表示了的未知數(shù)代入未變形的方程中，從而將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。解：由①得，x=2+y③；將③代入②得，(2+y)+1=2(y－1)；解得y=5；把y=5代入③，得，x=7。所以原方程組的解為，即老牛馱了7個(gè)包裹，小馬馱了5個(gè)包裹。［師］在解上面兩個(gè)二元一次方程組時(shí)，我們都是將其中的一個(gè)方程變形，即用其中一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，然后代入第二個(gè)未變形的方程，從而由“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”而得到消元的目的。我們將這種方法叫代入消元法。這種解二元一次方程組的思想為消元思想。我們再來看兩個(gè)例子。出示投影片：［例題］解方程組（由學(xué)生自己完成，兩個(gè)同學(xué)板演）。解：（1）將②代入①，得，3×+2y=8；3y+9+4y=16；7y=7；y=1；將y=1代入②，得，x=2。所以原方程組的解是。（2）由②，得，x=13－4y③；將③代入①，得，2(13－4y)+3y=16；－5y=－10，y=2；將y=2代入③，得，x=5。所以原方程組的解是。［師］下面我們來討論幾個(gè)問題：出示投影片：（1）上面解方程組的基本思路是什么？（2）主要步驟有哪些？（3）我們觀察例1和例2的解法會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數(shù)的特點(diǎn)，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步。你認(rèn)為選擇未知數(shù)有何特點(diǎn)的方程變形好呢？（由學(xué)生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學(xué)生討論中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主探索、討論過程中的獨(dú)特想法。）［生］我來回答第一問：解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變?yōu)椤耙辉?。［生］我們組總結(jié)了一下解上述方程組的步驟：第一步：在已知方程組的兩個(gè)方程中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠蹋阉冃螢橛靡粋€(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)。第二步：把表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式代入沒有變形的另一個(gè)方程，可得一個(gè)一元一次方程。第三步：解這個(gè)一元一次方程，得到一個(gè)未知數(shù)的值。第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個(gè)方程或變形后的方程（一般代入變形后的方程），求得另一個(gè)未知數(shù)的值。第五步：用“{”把原方程組的解表示出來。第六步：檢驗(yàn)（口算或筆算在草稿紙上進(jìn)行）把求得的解代入每一個(gè)方程看是否成立。［師］這個(gè)組的同學(xué)總結(jié)的步驟真棒，甚至連我們平時(shí)容易忽略的檢驗(yàn)問題也提了出來，很值得提倡。在我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該養(yǎng)成反思自己解答過程，檢驗(yàn)自己答案正確與否的習(xí)慣。［生］老師，我代表我們組來回答第三個(gè)問題。我們認(rèn)為用代入消元法解二元一次方程組時(shí)，盡量選取一個(gè)未知數(shù)的分?jǐn)?shù)是1的方程進(jìn)行變形；若未知數(shù)的系數(shù)都不是1，則選取系數(shù)的絕對(duì)值較小的方程變形。但我們也有一個(gè)問題要問：在例2中，我們選擇②變形這是無可厚非的，把②變形后代入①中消元得到的是一元一次方程系數(shù)都為整數(shù)也較簡便?？衫?中，雖然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不簡便，有沒有更簡捷的方法呢？［師］這個(gè)問題提的太好了。下面同學(xué)們分組討論一下。如果你發(fā)現(xiàn)了更好的解法，請(qǐng)把你的解答過程寫到黑板上來。［生］解：由②得：2x=y+3③；③兩邊同時(shí)乘以2，得：4x=2y+6④；由④得，2y=4x－6⑤；把⑤代入①，得：3x+(4x－6)=8解得：7x=14，x=2。把x=2代入③得：y=1。所以原方程組的解為。［師］真了不起，能把我們所學(xué)的知識(shí)靈活應(yīng)用，而且不拘一格，將“2y”整體上看作一個(gè)未知數(shù)代入方程①，這是一個(gè)“科學(xué)的發(fā)明”。三、隨堂練習(xí)。課本習(xí)題答案。（一）用代入消元法解下列方程組。解：將①代入②，得：x+2x=12；x=4。把x=4代入①，得：y=8。所以原方程組的解為。將①代入②，得：4x+3(2x+5)=65；解得，x=5。把x=5代入①，得：y=15。所以原方程組的解為。。由①，得：x=11－y③；把③代入②，得：11－y－y=7；y=2。把y=2代入③，得：x=9。所以原方程組的解為。由②，得：x=3－2y③；把③代入①，得：3(3－2y)－2y=9；得：y=0。把y=0代入③，得：x=3。所以原方程組的解為。注：在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流，各個(gè)學(xué)生消元的具體方法可能不同，不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一。四、課時(shí)小結(jié)。這節(jié)課我們介紹了二元一次方程組的第一種解法——代入消元法。了解到了解二元一次方程組的基本思路是“消元”即把“二元”變?yōu)椤耙辉薄Ｖ饕襟E是：將其中的一個(gè)方程中的某個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個(gè)方程中，從而消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。解這個(gè)一元一次方程，便可得到一個(gè)未知數(shù)的值，再將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對(duì)未知數(shù)的值。即求得了方程的解。五、活動(dòng)與探究。已知代數(shù)式x2+px+q，當(dāng)x=－1時(shí)，它的值是－5；當(dāng)x=－2時(shí)，它的值是4，求p、q的值。過程：根據(jù)代數(shù)式值的意義，可得兩個(gè)未知數(shù)都是p、q的方程，即：當(dāng)x=－1時(shí)，代數(shù)式的值是－5，得：(－1)2+(－1)p+q=－5①；當(dāng)x=－2時(shí)，代數(shù)式的值是4，得：(－2)2+(－2)p+q=4②；將①、②兩個(gè)方程整理，并組成方程組：－p+q=－6③；－2p+q=0④；解方程組，便可解決。結(jié)果：由④得，q=2p；把q=2p代入③，得：－p+2p=－6；解得p=－6。把p=－6代入q=2p=－12；所以p、q的值分別為－6、－12?！镜诙n時(shí)】【教學(xué)內(nèi)容】解二元一次方程組（二）；加減法?！窘虒W(xué)目標(biāo)】一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。（一）用加減消元法解二元一次方程組。（二）進(jìn)一步了解解二元一次方程組時(shí)的“消元”思想，“化未知為已知”化歸思路。二、能力訓(xùn)練要求。（一）會(huì)用加減消元法解二元一次方程組。（二）根據(jù)不同方程的特點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)解二元一次方程組的基本思路——消元。三、情感與價(jià)值觀要求。（一）進(jìn)一步體會(huì)解二元一次方程組的消元思想，在化“未知為已知”的過程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂。（二）根據(jù)方程組的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)教學(xué)的創(chuàng)新、開拓的意識(shí)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】1．掌握加減消元法解二元一次方程組的原理及一般步驟。2．能熟練地運(yùn)用加減消元法解二元一次方程組。【教學(xué)難點(diǎn)】1．解二元一次方程組的基本思路消元即化“二元”為“一元”的思想。2．?dāng)?shù)學(xué)研究的“化未知為已知”的化歸思想。【教學(xué)準(zhǔn)備】投影片一張：問題串?！窘虒W(xué)過程】一、提出疑問，創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課。［師］怎樣解下面的二元一次方程組呢？［生1］解：把②變形，得x=③；把③代入①，得：3×+5y=21；解得y=－3。把y=3代入②，得：x=2。所以方程組的解為。［生2］解：由②得5y=2x+11③；把5y當(dāng)作整體將③代入①，得：3x+(2x+11)=21；解得x=2。把x=2代入③，得：5y=2×2+11；y=3。所以原方程的解為。［師］我們可以發(fā)現(xiàn)第二種解法比第一種解法簡單。有沒有更好的解法呢？也就是說，我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)了用代入的方法可以消元，從而使“二元”變?yōu)椤耙辉薄Ｄ敲从袥]有別的消元辦法也可以使“二元”變?yōu)椤耙辉?。［生］我發(fā)現(xiàn)了方程①和②中的5y和－5y互為相反數(shù)，根據(jù)互為相反數(shù)的和為零，如果能將方程①和②的左右兩邊相加，根據(jù)等式的性質(zhì)我們可以得到一個(gè)含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y。［師］很好。這正是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法。二、講授新課。［師］下面我們就用剛才這位同學(xué)的方法解上面的二元一次方程組。解：由①+②，得：(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11)；即3x+2x=10，x=2。把x=2代入②中，得：y=3。所以原方程組的解為。［師生共析］一個(gè)方程組我們用了三種方法，從中可以發(fā)現(xiàn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇解法可以起到事半功倍的效果?；貞浬弦还?jié)的練習(xí)和習(xí)題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個(gè)代表闡述自己的意見。［生］我們組認(rèn)為課本的隨堂練習(xí)的（3）（4）小題用加減消元法簡單。［師］你們組能派兩位同學(xué)有加減消元法把這兩個(gè)方程組解一下嗎？［生］可以。（學(xué)生黑板演示，接著聽其他組討論的結(jié)果。）［生］我們組認(rèn)為習(xí)題的第1題中（2）也可以用加減消元法，我可以到黑板上做。［師］下面，我們講評(píng)一下剛才這幾位同學(xué)解方程組的方程。（1）；（2）這兩個(gè)方程組中，y的系數(shù)都是互為相反數(shù)，因此這兩位同學(xué)都用了用方程組中的兩個(gè)方程相加，從而把y消去，將二元轉(zhuǎn)化為一元，最后解出了方程的解，很好。（3）我們觀察此方程y的系數(shù)都是1，因此這位同學(xué)想到了用②－①，得x=3，代入①就解出y=2。這幾位同學(xué)的解法很好，同學(xué)們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了方程組中如果一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相同，我們就可以用加減消元法來解方程組。［生］老師，我有一個(gè)問題：有些題，用代入消元法解，較麻煩。用加減消元法解，x、y的系數(shù)不相同也不相反，沒有辦法用加減消元法。是不是還有別的方法。［師］這個(gè)同學(xué)提的問題太好了。能發(fā)現(xiàn)問題是我們學(xué)習(xí)很重要的一個(gè)方面，同學(xué)們應(yīng)該向他學(xué)習(xí)。接下來，同學(xué)們分組討論，方程組不用代入消元法如何解？［生］老師，我們組想出了一個(gè)辦法，能不能用等式的性質(zhì)將這個(gè)方程組中的x或y的系數(shù)化成相等（或相反）呢？［生］可以。我只要在方程①和方程②的兩邊分別除以3和4，x的系數(shù)不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了。［生］我不同意。這樣做，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都變成了分?jǐn)?shù)，比代入消元法還麻煩。我覺得應(yīng)該找到y(tǒng)的系數(shù)－2的絕對(duì)值和3的最小公倍數(shù)6，在方程①兩邊同乘以3，得9x－6y=－12③，在方程②兩邊同乘以2，得8x+6y=－22④，然后③+④，就可以將y消去，得17x=－34，x=－2。把x=－2代入①得，y=－1。所以方程組的解為。［師］同學(xué)們?yōu)樗恼?，他的想法太精彩了，我們祝賀他。其實(shí)在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不一定二元一次方程組中未知數(shù)的系數(shù)剛好是1，或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)剛好相同或相反。我們遇到的往往就是這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉(zhuǎn)化為同一個(gè)未知數(shù)系數(shù)相同或相反的情形，從而用加減消元法，達(dá)到消元的目的。下面我們看一個(gè)例子。解方程組。分析：未知數(shù)的系數(shù)沒有絕對(duì)值是1的，也沒有哪一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反。我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)絕對(duì)值較小，因此我們找到2和3的最小公倍數(shù)6，然后①×3，②×2，便可將①②的x的系數(shù)化為相同。解：①×3得6x+9y=36③；②×2，得6x+8y=34④；③－④，得y=2。將y=2代入①，得x=3。所以原方程組的解是。［師］我們根據(jù)上面幾個(gè)方程組的解法，接下來討論下面兩個(gè)問題：出示投影片：（1）加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？（2）用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？（由學(xué)生分組討論、總結(jié)）。［師生共析］（1）用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”。（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟。第一步：在所解的方程組中的兩個(gè)方程，如果某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)，可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加，消去這個(gè)未知數(shù)；如果未知數(shù)的系數(shù)相等，可以直接把兩個(gè)方程的兩邊分別相減，消去這個(gè)未知數(shù)。第二步：如果方程組中不存在某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等，那么應(yīng)選出一組系數(shù)（選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù)），求出它們的最小公倍數(shù)（如果一個(gè)系數(shù)是另一個(gè)系數(shù)的整數(shù)倍，該系數(shù)即為最小公倍數(shù)），然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等（都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù)），再加減消元。第三步：對(duì)于較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡（去分母，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)等）。通常要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮。三、隨堂練習(xí)。課本用加減消元法解下列方程組：1．解：①+②，得：16x=－16；x=－1。把x=－1代入①，得：y=－5。所以原方程的解為。②－①，得6y=－18；y=－3。把y=－3代入①，得：x=－2。所以原方程組的解為。①－②×2得：5t=15；t=3。把t=3代入②，得：s=－1。所以原方程組的解為。①×2－②×3，得：－11x=33；x=－3。把x=－3代入①得y=－4。所以原方程組的解為。注：在隨堂練習(xí)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生通過自主探索與交流，不必強(qiáng)調(diào)解答過程統(tǒng)一。四、課時(shí)小結(jié)。關(guān)于二元一次方程組的解法：代入消元法和加減消元法我們?nèi)繉W(xué)完了。比較這兩種解法我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)質(zhì)都是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，化“二元”為“一元”。五、活動(dòng)與探究解三元一次方程組：過程：解二元一次方程組的實(shí)質(zhì)是消元，即通過消去一個(gè)未知數(shù)，由“二元”變?yōu)椤耙辉?，于是我們?lián)想，能否借助解二元一次方程組消元的思路，將三元一次方程組消元，由“三元”消為“二元”，不就是我們剛學(xué)過的二元一次方程組嗎。我們觀察這個(gè)方程組②中不含未知數(shù)z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一個(gè)和②一樣只含x，y的二元一次方程④，將②和④聯(lián)立成二元一次方程組。也就將三元一次方程組消元，由“三元”變?yōu)椤岸?。結(jié)果：解：由①－③得：－x+2y=8④；聯(lián)立②、④得：；由②+④得：y=9。把y=9代入②，得：x=10。把x=10，y=9代入①得：z=7。所以三元一次方程組的解為：。二元一次方程組的應(yīng)用【課時(shí)安排】3課時(shí)【第一課時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】（一）使學(xué)生初步掌握列二元一次方程組解應(yīng)用題。（二）通過將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問題的應(yīng)用訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。（三）通過對(duì)祖國文明史的了解，培養(yǎng)學(xué)生愛國主義精神，樹立為中華崛起而學(xué)習(xí)的信心?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】一、重點(diǎn)。根據(jù)等量關(guān)系列二元一次方程組解應(yīng)用題。二、難點(diǎn)。根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程。【教學(xué)過程】一、以歷史背景引課。我們偉大祖國具有五千年的文明史，在歷史的長河中，為科學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新和發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，特別在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有[九章算術(shù)]、[孫子算經(jīng)]等古代名著流傳于世，普及趨于民眾，許多問題淺顯易懂，趣味性強(qiáng)，如[九章算術(shù)]下卷第三題目“雉兔同籠”等，漂洋過海傳到了日本等國，對(duì)中國古代文明史的傳播起了很大作用?！帮敉猛\”題為：“今有雉兔同籠，上有三十五關(guān)，下有九十四足，問雉兔各幾何？”問題1：“上有三十五頭”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？答：“上有三十五頭”指的雞和兔共有三十五個(gè)頭，“下有九十四足”指的是雞和兔共有九十四只腳。這個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題，用今天的方程解決，體現(xiàn)了古為今用的原則，為后人理解了數(shù)學(xué)的過去和現(xiàn)在，當(dāng)代的著名的數(shù)學(xué)家陳省生教授在說起“雞兔同籠”時(shí)，曾另有一番別有風(fēng)趣的延伸：“全體雞兔立正，兔子提起前面的兩只腳，請(qǐng)問現(xiàn)在共有幾只腳？”二、暢所欲言。從上面的問題的解決中，你得到了什么感悟，有什么收獲？請(qǐng)與同學(xué)們交流。用方程組解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)該注意下列幾個(gè)問題：認(rèn)真讀題和審題，弄清古代問題的現(xiàn)實(shí)意義；正確設(shè)出未知數(shù)；找出相等關(guān)系，并列出方程組。解此方程組。寫出答案。三、動(dòng)手動(dòng)腦，練一練。（一）古代有一個(gè)捕快，一天晚上他在野外的一個(gè)茅屋里，聽到外邊來了一群人，在分贓，在吵鬧，他隱隱約約地聽到幾個(gè)聲音，下面有這一古詩為證：隔壁聽到人分銀，不知人數(shù)不知銀。只知每人五兩多六兩，每人六兩少五兩，問你多少人數(shù)多少銀？（二）“今有牛五、羊二、直金十兩，牛二、羊五，直金八兩，牛、羊各直金幾何？”四、課堂小結(jié)，理一理經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲和體會(huì)？【第二課時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】一、目標(biāo)。（一）會(huì)正確地運(yùn)用表格分析與“增收節(jié)支”相似一類問題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)列二元一次方程組這類問題。（二）培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。（三）讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】會(huì)正確地運(yùn)用表格分析與“增收節(jié)支”相似一類問題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)列二元一次方程組這類問題?！窘虒W(xué)過程】一、議一議。（一）增長（虧損）率問題的公式？原量（1+增長率）=新量，或原量（1-虧損率）=新量。（二）銀行利率問題中的公式？利息=本金×利率×期數(shù)，本息和本金+利息。二、做一做。（1）某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值-總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產(chǎn)值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年xy200今年（小組討論，完成上表）總產(chǎn)值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年xy200今年（1+20%）x（1-10%）y780根據(jù)題意得：，解之得：。答：去年的總產(chǎn)值為2000萬元，總支出1800萬元，變式：若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？簡析：如果設(shè)今年的總產(chǎn)值為x萬元，總支出為y萬元，則：讓學(xué)生動(dòng)手解這個(gè)方程組，體驗(yàn)這種解法的繁瑣，再讓學(xué)生探索，受上例的啟發(fā)，應(yīng)該設(shè)間接未知數(shù)，設(shè)去年的總產(chǎn)值勤x萬元，總支出為y萬元，計(jì)算方便。醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配制營養(yǎng)品，每克甲原料含0.5單位蛋白質(zhì)和1單位鐵質(zhì)，每克乙原料含0.7單位蛋白質(zhì)和0.4單位鐵質(zhì)，若病人每餐需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？解：設(shè)每餐需甲、乙兩種原料各x、y克，則有下表：甲原料各x克乙原料各y克所配制營養(yǎng)品其中所含營養(yǎng)品0.5x單位0.7y單位(0.5x+0.7y)單位其中所含鐵質(zhì)x單位0.4y單位(x+0.4y)單位根據(jù)題意，可得方程組：0.5x+0.7y=35x+0.4y=40化簡，得，5x+7y=350①5x+2y=200②①－②，得5y=150，y=30；將y=30代入①，得x=28。所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。解此題需要注意以下兩點(diǎn)：（一）甲（乙）原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）=甲（乙）原料的質(zhì)量×每克所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）的含量。（二）甲原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）+乙原料所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）=營養(yǎng)品所含蛋白質(zhì)（鐵質(zhì)）。（2）甲、乙兩相距6千米，兩人同時(shí)出發(fā)，同向而行，甲3小時(shí)可追上乙；相向而行，1小時(shí)相遇，兩人的平均速度各是多少？解：設(shè)甲的平均速度是每小時(shí)行x千米，乙的平均速度是每小時(shí)行y，根據(jù)題意，得：；解這個(gè)方程組，得：。答：平均每小時(shí)甲行4千米，乙行2千米。四、小結(jié)。（一）做應(yīng)用題時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)列表分析數(shù)量關(guān)系的重要性。（二）設(shè)未知數(shù)有兩種方法：1．直接設(shè)元。2．間接設(shè)元，當(dāng)直接設(shè)元較繁時(shí)應(yīng)間接設(shè)元。（三）教后感：讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)方程（組）是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。正確地運(yùn)用表格分析與“增收節(jié)支”相似一類問題的數(shù)量關(guān)系，會(huì)列二元一次方程組這類問題?！镜谌n時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】一、教學(xué)知識(shí)點(diǎn)。（一）用二元一次方程組解決“里程碑上的數(shù)”這一有趣場景中的數(shù)字問題和行程問題。（二）歸納出用二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟。二、能力訓(xùn)練要求。（一）讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷和體驗(yàn)列方程組解決實(shí)際問題的過程，體會(huì)方程(組)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。（二）初步體會(huì)列方程組解決實(shí)際問題的一般步驟。三、情感與價(jià)值觀要求。（一）“里程碑上的數(shù)”這一場景既是一個(gè)數(shù)字問題，又和行程有關(guān)。相對(duì)而言有一定難度，讓學(xué)生體驗(yàn)把復(fù)雜問題化為簡單問題策略的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生克服困難的意志和勇氣。（二）鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)精神?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】一、重點(diǎn)。（一）用二元一次方程組刻畫數(shù)學(xué)問題和行程問題。（二）初步體會(huì)列方程組解決實(shí)際問題的步驟。二、難點(diǎn)。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成二元一次方程組的數(shù)學(xué)模型。【教學(xué)方法】引導(dǎo)——討論——發(fā)現(xiàn)法。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課。（一）出示：［問題1］1．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，那么這個(gè)數(shù)可表示為_________；如果交換個(gè)位和十位上的數(shù)字，得到一個(gè)新的兩位數(shù)可表示為_________。2．有兩個(gè)兩位數(shù)x和y，如果將x放在y的左邊，就得到一個(gè)四位數(shù)，那么這個(gè)四位數(shù)就可以表示為_________；如果將x放在y的右邊，得到一個(gè)新的四位數(shù)，那么這個(gè)新的四位數(shù)又可表示為_________。3．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)為m，十位上的數(shù)為n，如果在它們之間添上一個(gè)零，就得到一個(gè)三位數(shù)，用代數(shù)式表示這個(gè)三位數(shù)為_________。［師生共析］1．個(gè)位上的數(shù)字是a，即有a個(gè)1，十位數(shù)字是b個(gè)10，所以這個(gè)兩位數(shù)是b個(gè)10和a個(gè)1的和即10b+a；如果交換它們的位置，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，即a個(gè)10與b個(gè)1的和即10a+b。2．兩位數(shù)x放在兩位數(shù)y的左邊，組成一個(gè)四位數(shù)，這時(shí)，x的個(gè)位數(shù)就變成了百位，十位數(shù)就變成了千位，因此這個(gè)四位數(shù)里含有x個(gè)100，而兩位數(shù)y在四位數(shù)中數(shù)位沒有變化，因此這個(gè)四位數(shù)中還含有y個(gè)1。因此用x、y表示這個(gè)四位數(shù)為100x+y。同理，如果將x放在y的右邊，得到一個(gè)新的四位數(shù)為100y+x。3．一個(gè)兩位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)是m，十位上的數(shù)是n，如果在它們之間添上零，十位上的幾便成了百位上的數(shù)。因此這個(gè)三位數(shù)是由n個(gè)100，0個(gè)10，m個(gè)1組成的，用代數(shù)式表示這個(gè)三位數(shù)即為100n+m。［師］下面我們就用上面幾個(gè)小知識(shí)解決下面的綜合性問題。二、講援新課。［師］翻開課本，我們來研究“里程碑上的數(shù)”。同學(xué)們先閱讀課本上的第一段文字及文字下的三幅圖片，然后我請(qǐng)一位同學(xué)陳述一下問題的內(nèi)容。［生］這個(gè)問題講的是：小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛。小明在12∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和是7；在13∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)十位與個(gè)位數(shù)字與12∶00時(shí)看到的正好顛倒了；在14∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)比12∶00時(shí)看到的兩位數(shù)中間多個(gè)0。試確定小明12∶00時(shí)看到里程碑上的數(shù)。［師］我們可以注意到“里程碑上的數(shù)”這一場景是非常有趣的，它既是一個(gè)數(shù)字問題，又和行程有關(guān)，同時(shí)，相對(duì)而言又有一定的難度。但我們知道一個(gè)復(fù)雜的問題往往是由幾個(gè)簡單的問題組合而成的，要想求出12∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)，就得確定這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)字。我們不妨設(shè)小明在12∶00時(shí)看到的數(shù)十位數(shù)字是x，個(gè)位數(shù)字是y，根據(jù)題意，你能將12∶00、13∶00、14∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)表示出來嗎？［生］小明12∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)可以表示為10x+y；13∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)可表示為10y+x；14∶00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)可表示為100x+y。［師］我們要想求出x、y的值，就得建立關(guān)于x、y的二元一次方程組這樣的數(shù)學(xué)模型，為此，我們必須找出題目中的等量關(guān)系。［生］12∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)，它的兩個(gè)數(shù)字之和是7，于是我們可得到一個(gè)等量關(guān)系，用x，y表示即為x+y=7。［生］從題目中，我們還可以注意到小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上是勻速行駛的。說明12∶00～13∶00與13∶00～14∶00兩段時(shí)間內(nèi)所行駛的路程相等。現(xiàn)在我們最關(guān)鍵的是用x、y表示出12∶00～13∶00時(shí)間段所行駛的路程，13∶00～14∶00時(shí)間段所行駛的路程。［生］根據(jù)12∶00、13∶00、14∶00時(shí)小明看到的里程碑上的數(shù)可得：12∶00～13∶00間摩托車行駛的路程為(10y+x)－(10x+y)；13：00～14：00間摩托車行駛的路程為(100x+y)－(10y+x)。因此可列出相應(yīng)的方程為(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x)。［師］根據(jù)以上分析，同學(xué)們在練習(xí)本上列出方程組，解出方程組的解。（由兩位同學(xué)黑板上板演）。解：設(shè)小明在12∶00時(shí)看到的十位數(shù)字是x，個(gè)位數(shù)字是y，根據(jù)題意，得方程組：。①②化簡，得：①②把②代入①，得：x=1；把x=1代入②，得y=6；所以，這個(gè)方程組的解為。因此，小明在12：00時(shí)看到的里程碑上的數(shù)是16。［師］從對(duì)上述問題的求解過程，我們可以得到一點(diǎn)啟示：遇到較復(fù)雜的問題，我們通過把它化解為幾個(gè)簡單問題去分析，可以使思路清晰，使復(fù)雜問題在化解的過程中迎刃而解，下面我們再來看一下例題。出示：兩個(gè)兩位數(shù)的和是68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個(gè)四位數(shù)。已知前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2718，求這兩個(gè)兩位數(shù)。分析1．本題目中的兩個(gè)等量關(guān)系為：較大的兩位數(shù)+較小的兩位數(shù)=68；前一個(gè)四位數(shù)－后一個(gè)四位數(shù)=2178。2．設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y，在較大的數(shù)的右邊接著寫較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100x+y；在較大的數(shù)左邊寫上較小的數(shù)，所寫的數(shù)可表示為100y+x。解：設(shè)較大的兩位數(shù)為x，較小的兩位數(shù)為y，則；化簡，得：；即；解該方程組，得：；所以這兩個(gè)兩位數(shù)分別是45和23。三、課時(shí)小結(jié)。列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟是怎樣的？（引導(dǎo)學(xué)生回顧本章各個(gè)問題的解決過程，歸納出列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟。不一定要明晰一個(gè)十分具體的步驟。只要學(xué)生了解這個(gè)過程即可，不必要求學(xué)生回答規(guī)范化、統(tǒng)一化。）［師生共同分析］列二元一次方程組解應(yīng)用題的主要步驟：1．弄清題意和題目中的等量關(guān)系。用字母表示題目中的兩個(gè)未知數(shù)。2．找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的兩個(gè)相等關(guān)系。3．根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組。4．解這個(gè)方程組并求出未知數(shù)的值。5．根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理？6．寫出符合題意的解釋。四、活動(dòng)與探究。北京和上海能制造同型號(hào)電子計(jì)算機(jī)，除本地使用外，北京支援外地10臺(tái)，上?？芍г獾?臺(tái)，現(xiàn)在決定給重慶8臺(tái)，武漢6臺(tái)，每臺(tái)運(yùn)費(fèi)如表所示?，F(xiàn)在有一種調(diào)運(yùn)方案的總運(yùn)費(fèi)為7600元。問：這種調(diào)運(yùn)方案中北京、上海分別應(yīng)調(diào)給武漢、重慶各多少臺(tái)？終終點(diǎn)起點(diǎn)武漢重慶北京48上海35過程：如果設(shè)這種調(diào)運(yùn)方案中北京應(yīng)調(diào)x臺(tái)到武漢，y臺(tái)到重慶；上海則應(yīng)調(diào)(6－x)臺(tái)到武漢，(8－y)臺(tái)到重慶。由每臺(tái)運(yùn)費(fèi)的表格可知：北京—→武漢，費(fèi)用需4x百元。北京—→重慶，費(fèi)用需8y百元。上?！錆h，費(fèi)用需3(6－x)百元。上?！貞c，費(fèi)用需5(8－y)百元。合計(jì)7600元即76百元。結(jié)果：解：設(shè)這種調(diào)運(yùn)方案中北京應(yīng)調(diào)x臺(tái)到武漢，y臺(tái)到重慶；上海應(yīng)調(diào)(6－x)臺(tái)到武漢，(8－y)臺(tái)到重慶，根據(jù)題意，得：；化簡得；解得。所以從北京調(diào)6臺(tái)到武漢，4臺(tái)到重慶；上海不用給武漢調(diào)，只需給重慶調(diào)4臺(tái)。二元一次方程與一次函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)目標(biāo)。（一）使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系。（二）能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。（三）能利用二元一次方程組確定一次函數(shù)的表達(dá)式。二、能力目標(biāo)。通過學(xué)生的思考和操作，在力圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系，引入二元一次方程組圖象解法，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力。三、情感目標(biāo)。通過學(xué)生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，加強(qiáng)了新舊知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】一、重點(diǎn)。（一）二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。（二）能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。二、難點(diǎn)。方程和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力?！窘虒W(xué)過程】一、試一試。問題：方程x+y=5的解有多少個(gè)？寫出其中的幾個(gè)解來。方程x+y=5的解有無數(shù)多個(gè)，如：、、、、等。在直角坐標(biāo)系中分別描出以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，它們在一次函數(shù)y=5－x的圖象上嗎？在一次函數(shù)y=5－x的圖象上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)適合方程x+y=5嗎？以方程x+y=5的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=5－x的圖象相同嗎？二、做一做。在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出一次函數(shù)y=5－x和y=2x－1的圖象，這兩個(gè)圖象有交點(diǎn)嗎？交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解有什么關(guān)系？你能說明理由嗎？一次函數(shù)y=5－x和y=2x－1的圖象的交點(diǎn)為（2，3），因此，就是方程組的解。例1：用作圖象的方法解方程組。解：由x－2y=－2可得y=，同理，由2x–y=2可得y=2x–2，在同坐標(biāo)系中作出一次函數(shù)y=的圖象和y=2x–2的圖象，觀察圖象，得兩直線交于點(diǎn)（2，2），所以方程組的解是x=2，y=2。同學(xué)們從本題中感悟到什么？原來我們解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖象法，那么用作圖法來解方程組的步驟如下：（一）把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式。（二）在直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，并標(biāo)出交點(diǎn)。（三）交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解。三、想一想。在同一直角坐標(biāo)系中，分別畫出一次函數(shù)y=x+1和y=x－2的圖象，觀察它們有怎樣的位置關(guān)系？方程組的解的情況如何？你發(fā)現(xiàn)了什么？兩條直線平行，所以方程組無解。四、練一練。用作圖象的方法解方程組。由2x+y=4得y=－2x+4由2x－3y=12可得y=在同一直角坐標(biāo)系中做出函數(shù)y=－2x+4和函數(shù)y=的圖象，觀察圖象可得交點(diǎn)為（3，－2），所以方程組的解是。五、教后感。（一）通過學(xué)生的思考和操作、自主探索，畫圖提示出方程與圖象之間的關(guān)系，引入二元一次方程組圖象解法，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力。使學(xué)生初步理解二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系并能根據(jù)一次函數(shù)的圖象求二元一次方程組的近似解。（二）通過學(xué)生的提示出方程和圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，加強(qiáng)了新舊知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！镜诙n時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)與技能。二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。二、過程與方法。通過學(xué)生的思考和比較，進(jìn)而獲得從圖象等信息確定一次函數(shù)表達(dá)式的方法。同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生初步的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力。三、情感態(tài)度與價(jià)值觀。通過學(xué)生的自主探索、思考和比較，進(jìn)而獲得從圖象等信息確定一次函數(shù)表達(dá)式的方法，加強(qiáng)一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】一、重點(diǎn)。從圖象等信息確定一次函數(shù)表達(dá)式的方法。二、難點(diǎn)。方程和函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即數(shù)形結(jié)合的意識(shí)和能力?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課。出示：A、B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎車同時(shí)從A、B兩地相向而行。假設(shè)他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s（千米）都是騎車時(shí)間t（時(shí)）的一次函數(shù)。1時(shí)后乙距A地80千米；2時(shí)后甲距A地30千米。問經(jīng)過多長時(shí)間兩人將相遇？你是怎樣做的？與同伴交流。小明：可以分別做出兩人s與t之間的圖象（如圖所示）：出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就行了！小穎：對(duì)于乙s是t的一次函數(shù)，可設(shè)s=kt+b，當(dāng)t=0時(shí)，s=100；t=1時(shí)，s=80；將它們分別代入s=kt+b中可求出k、b的值，也即可求出s與t的函數(shù)表達(dá)式。同樣可以求出甲s與t的函數(shù)表達(dá)式，再聯(lián)立這個(gè)表達(dá)式求解方程組就行了。小彬：1時(shí)后乙距A地80千米，即乙速度是20千米/時(shí)，2時(shí)后甲距A地30千米，也即甲速度是15千米/時(shí)，由此可以求出甲、乙兩人的速度和為20+15=35（千米/時(shí)）所以兩人相遇需要的時(shí)間為==2（小時(shí)），由此可以看出一道題可以用三種不同的方法來解：通過畫圖象解方程，用消元法解方程組，用解方程三種方法，由此可知，二元一次方程和一次函數(shù)密切相關(guān)——這節(jié)課我們繼續(xù)研究：二元一次方程和一次函數(shù)的關(guān)系。二、講授講課。（一）提出問題，引發(fā)討論。你明白他們的想法嗎？用他們的方法做一做，看看和你的結(jié)果一致嗎？小明的方法求出的結(jié)果準(zhǔn)確嗎？小明的想法是：由于在前一課時(shí)已經(jīng)有了用作圖象的方法解方程組的經(jīng)驗(yàn)，因此較為自然的做法是畫圖象，但畫圖的結(jié)果多是近似的難以精確。小穎的想法是：確定甲、乙各自的s與t之間的函數(shù)表達(dá)式，再用消元法解方程組，能準(zhǔn)確地求出結(jié)果。小彬的想法是：根據(jù)行程問題中的相遇問題，找出等量關(guān)系列一元一次方程來解。通過對(duì)上述幾種方法的比較，發(fā)現(xiàn)小穎的想法很好，既利用了小明的想法的優(yōu)點(diǎn)，克服了他的想法的缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)：直觀地獲得問題的結(jié)果，使考慮問題的思路清晰，借助圖象幫助我們尋找解題途徑；缺點(diǎn)：作圖象的方法難以獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，由此可見當(dāng)遇到一次函數(shù)，二元一次方程有關(guān)的問題，要認(rèn)真審清題意，必要時(shí)要借助數(shù)形結(jié)合，從圖象信息確定一次函數(shù)表達(dá)式加強(qiáng)一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系。（二）導(dǎo)入知識(shí)，解釋疑難。從上面的問題中，用作圖象的方法可以直觀地獲得問題的結(jié)果，但有時(shí)卻難以準(zhǔn)確，為了獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，我們一般用代數(shù)方法。例題講解：某長途汽車客運(yùn)站規(guī)定，乘客可以免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，但超過該質(zhì)量則需購買行李票，且行李費(fèi)y（元）是行李質(zhì)量x（千克）的一次函數(shù)?，F(xiàn)知李明帶了60千克的行李，交了行李費(fèi)5元；張華帶了90千克的行李，交了行李費(fèi)10元。1．寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。2．旅客最多可免費(fèi)攜帶多少千克的行李？解：1．設(shè)y=kx+b依題意得；②－①得30k=5，。將k=代入①得b=－5，所以y=x－5。2．當(dāng)x=30時(shí)，y=0，所以旅客最多可免費(fèi)攜帶30千克的行李。三、隨堂練習(xí)。（一）圖中的兩直線l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)可以看作方程組_________的解。解：根據(jù)圖象可知l1過點(diǎn)(1，3)、(0，1)。設(shè)l1是函數(shù)y=k1x+b1的圖象，根據(jù)題意，得；解之得k1=2，b1=1。所以l1是函數(shù)y=2x+1的圖象。l1同理可得l2是函數(shù)y=4－x的圖象。所以l1、l2交點(diǎn)的坐標(biāo)可看作二元一次方程組的解。四、課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)。A、B兩地相距50千米，甲于某日下午1時(shí)騎自行車從A地出發(fā)駛往B地，乙也于同日下午從A地出發(fā)駛往B地，如下圖中，折線PQR和線段MN分別表示甲和乙，所行的里程S與該日下午時(shí)間t之間的關(guān)系。（一）甲出發(fā)多少小時(shí)乙才開始出發(fā)？（二）乙行使多少小時(shí)就能追上了甲，這時(shí)兩人離B地還有多少千米？答案：解：（1）甲下午1時(shí)出發(fā)，乙下午2時(shí)出發(fā)，乙比甲晚1小時(shí)出發(fā)。（2）設(shè)QR的表達(dá)式為s=k1t+b1點(diǎn)Q(2，20)、R(5，50)。依題意得：；解之得：。所以QR的表達(dá)式為s=10t。設(shè)MN的表達(dá)式為s=k2t+b2點(diǎn)M(2，0)、N(3，50)。依題意得：；解之得：。所以MN的表達(dá)式為s=50t－100；解方程組；得。所以乙行使2.5－2=0.5（小時(shí)）就追上甲，此時(shí)兩人離B地還有：50－25=25千米。三元一次方程組【教學(xué)目標(biāo)】1．通過對(duì)二元一次方程組的類比學(xué)習(xí)，了解三元一次方程組的概念，會(huì)用“代入”“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進(jìn)而化為“一元”方程來解決；2．再次經(jīng)歷找等量關(guān)系、建立方程模型的活動(dòng)過程。在解方程組的過程中體會(huì)其基本思想就是“消元”。無論是解二元一次方程組、還是三元一次方程組，推廣到四元、五元、多元一次方程組，基本策略都是化多為少、逐一解決，具體措施都是“代入”或“加減”，以實(shí)現(xiàn)“消元”，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而得解?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】讓學(xué)生感受把新知轉(zhuǎn)化為已知、把不會(huì)的問題轉(zhuǎn)化為學(xué)過的問題、把難度大的問題轉(zhuǎn)化為難度較小的問題這一化歸思想。【教學(xué)難點(diǎn)】感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的密切聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，初步培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的良好習(xí)慣。【教學(xué)方法】自主探究合作交流。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。內(nèi)容：問題1．已知甲、乙、丙三數(shù)的和是23，甲的數(shù)比乙的數(shù)大1，甲的數(shù)的兩倍與乙的數(shù)的和比丙數(shù)大20，求這三個(gè)數(shù)。在這個(gè)方程組中，和都含有三個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做三元一次方程（linearequationwiththreeunknowns）。像這樣共含有三個(gè)未知數(shù)的三個(gè)一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組（systemoflinearequationswiththreeunknowns）。關(guān)注概念中的三個(gè)要點(diǎn)：1．未知數(shù)的個(gè)數(shù)；2．未知數(shù)的次數(shù)；3．未知數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)等量關(guān)系。三元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)三元一次方程組的解。二、類比學(xué)習(xí)，探究新知。內(nèi)容：引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)二元一次方程組解法的基本指導(dǎo)思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加減消元），嘗試對(duì)。進(jìn)行消元，從而解決問題1。步驟（一）選取一種方法解此三元一次方程組，由學(xué)生獨(dú)立思考解決，教師注意指導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表達(dá)。步驟（二）在學(xué)生獨(dú)立選擇方法解決的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較：在解三元一次方程組時(shí)的消元與解二元一次方程組的消元有什么不同？解上面的方程組時(shí)，你能先消去未知數(shù)y（或z），從而得到方程組的解嗎？1．三元一次方程組的消元可以類比二元一次方程組的消元進(jìn)行；2．用代入消元法：由于方程組③式的特點(diǎn)，可將③式分別代入①②式，消去x，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于y，z的二元一次方程組的求解；3．用加減消元法：由于③式中沒有含z，可以將①，②式聯(lián)立相加，消掉z，從而得到關(guān)于x，y的二元一次方程組的求解；4．總結(jié)求解三元一次方程組的整體思路——消元，實(shí)現(xiàn)三元二元一元的轉(zhuǎn)化。在消元過程中，消“誰”都行，用那種消法（代入法、加減法）也可，但如果選擇合適，可提高計(jì)算的效率。三、理解鞏固。內(nèi)容：解方程（1）（2）四、實(shí)際應(yīng)用。內(nèi)容：某校初中三個(gè)年級(jí)共有651人，八年級(jí)的學(xué)生比九年級(jí)的學(xué)生人數(shù)多10%，七年級(jí)的學(xué)生比八年級(jí)多5%，求三個(gè)年級(jí)各有多少學(xué)生？解：由題意設(shè)七，八，九年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為x，y，z人，得方程：由②可將z用y表示，由③可將x用y表示，代入①可得到關(guān)于y的一元一次方程。解得：。所以，七，八，九年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為231，220，200人。五、課堂小結(jié)。內(nèi)容：（一）三元一次方程組的概念；（二）三元一次方程組的解法；三元三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程消元消元注意選好要消的“元”，選好要消的“法”：代入消元、加減消元。（三）談?wù)勄蠼舛嘣淮畏匠探M的思路，提煉化歸的思想。【作業(yè)布置】1．課本習(xí)題。2．有同學(xué)說列三元一次方程組能解決的問題，一元一次方程也能解決，說一下你的看法?！窘虒W(xué)反思】1．本節(jié)課的內(nèi)容屬于選修學(xué)習(xí)的內(nèi)容，主要突出對(duì)數(shù)學(xué)興趣濃厚、學(xué)有余力的同學(xué)進(jìn)一步探究和拓展使用，在數(shù)學(xué)方法和思想方面需重點(diǎn)引導(dǎo)，通過引導(dǎo)，使學(xué)生明白解多元方程組的一般方法和思想，理解鞏固環(huán)節(jié)需多注意多種解題方法的引導(dǎo)，并且比較各種解題方法之間的優(yōu)劣，總結(jié)出解多元方程的基本方法。2．作為選修課，在內(nèi)容上要讓學(xué)生理解三元一次方程組概念的同時(shí)，要讓學(xué)生理解為什么要用三元一次方程組甚至多元方程組去求解實(shí)際問題的必要性，從而掌握本堂課的基礎(chǔ)知識(shí)。在教學(xué)的過程中，要讓學(xué)生充分理解對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問題方程中元越多，等量關(guān)系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加減法解方程的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，有關(guān)這一方面的題目要讓學(xué)生充分討論、交流、合作，其理解才會(huì)深刻。定義與命題【課時(shí)安排】2課時(shí)【第一課時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)目標(biāo)。從具體實(shí)例中，探索出定義，并了解定義在現(xiàn)實(shí)生活中的重要性。從具體實(shí)例中，了解命題的概念，并會(huì)區(qū)分命題。二、能力目標(biāo)。通過從具體例子中提煉數(shù)學(xué)概念，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)踐的聯(lián)系?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】一、重點(diǎn)。命題的概念。二、難點(diǎn)。命題的概念的理解。【教學(xué)過程】一、巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入新課。“有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。”這一簡短的語句既說明了等腰三角形是三角形的一類，又指出了等腰三角形區(qū)別于其他三角形的本質(zhì)特征。我們把它叫做等腰三角形的定義。這節(jié)課我們就要研究：定義與命題。二、講授新課。在日常生活中，為了交流方便，我們就要對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述，做出明確的規(guī)定，也就是給他們下定義。如：“具有中華人民共和國國籍的人，叫做中華人民共和國的公民”是“中華人民共和國公民”的定義。大家還能舉出一些例子嗎？定義實(shí)際上就是一種規(guī)定。例如，“大于直角而小于平角的角叫做鈍角?！边@個(gè)定義規(guī)定了凡是大于直角而小于平角的角都是鈍角，反過來，凡是鈍角都大于直角而小于平角。這個(gè)定義既可以作為鈍角的一種判定方法——凡是大于直角而小于平角的角都可以“判定”為鈍角，又可以作為鈍角的性質(zhì)——鈍角都大于直角而小于平角。過去我們學(xué)習(xí)過數(shù)、式和圖形的一些性質(zhì)。（一）例如：1．如果a=b，那么a+c=b+c；2．對(duì)頂角相等；3．如果a，b，c是三角形的三條邊長，并且a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；4．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。上面給出的語句都是對(duì)某件事情進(jìn)行判斷的句子。對(duì)事情做出判斷的句子，就叫做命題。即：命題是判斷一件事情的句子。（二）例如：1．熊貓沒有翅膀。2．對(duì)頂角相等。3．大家能舉出這樣的例子嗎？4．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。5．無論n為任意的自然數(shù)，式子n2－n+11的值都是質(zhì)數(shù)。6．任意一個(gè)三角形都有一個(gè)直角。7．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。8．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。大家舉出許多例子，說明命題就是肯定一個(gè)事物是什么或者不是什么，不能同時(shí)既否定又肯定，如：你喜歡數(shù)學(xué)嗎？作線段AB=A。平行用符號(hào)“∥”表示。這些句子沒有對(duì)某一件事情做出任何判斷，那么它們就不是命題。一般情況下：疑問句不是命題。圖形的作法不是命題。三、課堂練習(xí)。（一）你能列舉出一些命題嗎？答案：能。如：你是人。（二）舉出一些不是命題的語句。答案：如：你是人嗎？四、課時(shí)小結(jié)。本節(jié)課我們通過具體實(shí)例，說明了定義在生活中的重要性。在具體實(shí)例中，了解了命題的概念。命題：判斷一件事情的句子?！镜诙n時(shí)】【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)目標(biāo)。了解真命題、假命題、定理的含義，會(huì)區(qū)分命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論，奠定推理論證的基礎(chǔ)。二、能力目標(biāo)。初步體會(huì)公理化思想，并了解本套教材所采用的公理。三、情感目標(biāo)。通過介紹歐幾里得的《原本》，使學(xué)生感受公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)人類文明進(jìn)步的價(jià)值?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】一、重點(diǎn)。對(duì)命題的組成能清楚地區(qū)分，對(duì)命題的真假能準(zhǔn)確地判斷。二、難點(diǎn)。體會(huì)公理化思想?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境。（一）活動(dòng)：觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？與同伴交流。1．如果兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等。2．如果a=b，那么a2=b2。3．如果一個(gè)三角形是等腰三角形，那么這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等。4．如果兩個(gè)三角形中有兩邊和一個(gè)角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。5．如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么它們相等。討論如下問題：1．哪些命題是正確的？哪些命題是錯(cuò)誤的？2．這些命題有什么共同的特征？3．你能仿照這些命題的結(jié)構(gòu)特征寫出幾個(gè)命題嗎？（通過討論、交流，引導(dǎo)學(xué)生抓住命題的結(jié)構(gòu)特征“如果……那么……”，進(jìn)而概括出：命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成的，條件就是已經(jīng)知道的事項(xiàng)，結(jié)論就是由已知的事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。）（主要讓學(xué)生通過所給例子的學(xué)習(xí)，逐步感悟、體會(huì)命題的含義和結(jié)構(gòu)，不要讓學(xué)生機(jī)械記憶。）（二）活動(dòng)：做一做。下列各命題的條件是什么？結(jié)論是什么？1．面積相等的兩個(gè)三角形全等。2．同角的補(bǔ)角相等。3．兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等。上述命題中哪些是正確的？哪些是不正確的？你怎么知道它們是不正確的？與同伴交流。（可引導(dǎo)學(xué)生先將命題進(jìn)行改寫，寫成“如果……那么……”的統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，進(jìn)一步區(qū)分命題的條件和結(jié)論；通過判別命題的正誤，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)命題的真、假（即真命題與假命題）同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：要說明一個(gè)命題是假命題，通常舉出一個(gè)反例就可以了。）（三）活動(dòng)：想一想：如何證實(shí)一個(gè)命題是假命題呢？要判斷一個(gè)命題是假命題，只要能夠舉出一個(gè)例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，就可以說明這一命題是假命題，這種例子通常稱為反例。你能舉出一個(gè)反例，說明“相等的角是對(duì)頂角”是假命題嗎？介紹歐幾里得《原本》。二、課堂小結(jié)。命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成的，命題有真命題和假命題兩類。證明的必要性【教學(xué)目標(biāo)】1．知識(shí)目標(biāo)：經(jīng)歷觀察、驗(yàn)證、歸納等過程，使我們對(duì)由這些方法所得到的結(jié)論產(chǎn)生懷疑，從此激發(fā)我們的好奇心理，認(rèn)識(shí)證明的必要性，體會(huì)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉出反例、推理等。2．能力目標(biāo)：提高推理意識(shí)。【教學(xué)重難點(diǎn)】體會(huì)證明的必要性。【教學(xué)準(zhǔn)備】投影儀、投影片?！窘虒W(xué)方法】引導(dǎo)探究、合作交流?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：小明任意畫了幾個(gè)三角形，用量角器分別測量各三角形內(nèi)角的度數(shù)，然后把三個(gè)角度加起來，發(fā)現(xiàn)每個(gè)三角形的內(nèi)角的和都是180度，于是他就得出了一個(gè)一般性的結(jié)論：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。小穎對(duì)小明的做法提出了異議：你怎么知道你的結(jié)論一定可靠呢？三角形有無數(shù)個(gè)，你才測量了幾個(gè)三角形？即使測量幾千個(gè)、幾萬個(gè)，也只是很小的一部分，怎么能從這很小的一部分的性質(zhì)推出所有三角形的性質(zhì)呢？再說，你的測量不可能沒有誤差，你怎么能確定三角形的內(nèi)角和正好是180度，而不是181度或179度呢？二、設(shè)置問題，步步引導(dǎo)：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以通過實(shí)驗(yàn)、歸納、觀察、猜測等方法，得到數(shù)學(xué)命題，你是否想過，通過這些方法得到的命題一定是真命題嗎？三、層層深入，挖掘特點(diǎn)：（一）當(dāng)n=0，1，2，3，4時(shí)，代數(shù)式n2-n+11的值是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？小明由此得出一個(gè)命題：對(duì)于所有自然數(shù)n，n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)，你認(rèn)為小明得出的命題是真命題嗎？為什么？（二）小剛發(fā)現(xiàn)，……，由此得出一個(gè)命題：任何一個(gè)整數(shù)都大于它的倒數(shù)。你認(rèn)為小剛得出的命題正確嗎？為什么？與同伴進(jìn)行交流。（三）小穎在一張紙上畫出一條直線，這條直線把紙面分成2部分；她在紙上又畫出一條直線，發(fā)現(xiàn)這兩條直線最多可以把紙面分為4部分。于是她猜想：“三條直線最多可以把一個(gè)平面分為6部分?！毙∶鲃t認(rèn)為：“三條直線最多可以把一個(gè)平面分為7部分?！蹦阏J(rèn)為誰的說法是正確的？為什么？與同伴進(jìn)行交流。結(jié)論：要判斷一個(gè)命題是不是真命題，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想是不夠的，必須一步一步，有根有據(jù)地進(jìn)行推理，推理的過程叫做證明。四、指導(dǎo)應(yīng)用，鼓勵(lì)創(chuàng)新：（一）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，你用到過推理嗎？舉例說明。（二）在日常生活中，你用到過推理嗎？舉例說明。（可舉我們學(xué)過的定理的證明。）五、歸納小結(jié)：證明及證明的必要性?；臼聦?shí)與定理【教學(xué)目標(biāo)】一、目標(biāo)。（一）知識(shí)目標(biāo)：了解公理、定理的含義，初步體會(huì)公理化思想，并了解本套教科書所采用的公理。（二）情感目標(biāo)：通過介紹歐幾里得的《原本》，使學(xué)生感受公理化方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和促進(jìn)人類文明進(jìn)步的價(jià)值。【教學(xué)重難點(diǎn)】根據(jù)命題寫出已知、求證?！窘虒W(xué)方法】引導(dǎo)探究、合作交流。【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：如何通過推理的方法證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？二、設(shè)置問題，步步引導(dǎo)：在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家們也遇到過類似的問題，公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得將前人積累下來的豐富的幾何學(xué)成果整理在系統(tǒng)的邏輯體系中，他挑選了一部分不定義的數(shù)學(xué)名詞（稱為原名）和一部分公認(rèn)的真命題（稱為公理）作為證實(shí)其他命題的起始依據(jù)，定義出其他有關(guān)的概念，并運(yùn)用推理的方法，證實(shí)了數(shù)百個(gè)有關(guān)的命題，使幾何學(xué)成為一門具有公理化體系的科學(xué)。三、層層深入，挖掘特點(diǎn)：通過長期實(shí)踐總結(jié)出來，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理。例如，歐幾里德將“兩點(diǎn)確定一條直線”、“直角都相等”等五條基本幾何事實(shí)作為公理。通過推理得到證實(shí)的真命題叫做定理。本教科書選用如下命題作為基本事實(shí)：（一）兩點(diǎn)確定一條直線。（二）兩點(diǎn)之間線段最短。（三）同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。（四）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單的說：同位角相等，兩直線平行。（五）過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行。（六）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。（七）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（八）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。此外，等式的有關(guān)性質(zhì)和不等式的有關(guān)性質(zhì)都可以看作公理，例如，“在等式或不等式中，一個(gè)量可以用它的等量來代替”簡稱為“等量代換”。四、指導(dǎo)應(yīng)用，鼓勵(lì)創(chuàng)新：證明：等角的補(bǔ)角相等。已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°。求證：∠3=∠4。證明：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°（已知），∴∠3=180°－∠1，∠4=180°－∠2（等式的性質(zhì)）?！摺?=∠2（已知），∴∠3=∠4（等式的性質(zhì)）。這樣，我們便可以把上面這個(gè)經(jīng)過證實(shí)的命題稱作定理了，已經(jīng)證明的定理可以作為以后推理的依據(jù)。證明一個(gè)命題的正確性，要按“已知”“求證”“證明”的順序和格式寫出，其中“已知”是命題的條件，“求證”是命題的結(jié)論，而“證明”則是由條件（已知）出發(fā)，根據(jù)已給出的定義，公理，已經(jīng)證明的定理，經(jīng)過一步一步的推理，最后證實(shí)結(jié)論（求證）的過程。平行線的判定定理【教學(xué)目標(biāo)】1．熟練掌握平行線的判定公理及定理。2．能對(duì)平行線的判定進(jìn)行靈活運(yùn)用，并把它們應(yīng)用于幾何證明中。3．通過經(jīng)歷探索平行線的判定方法的過程，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，逐步掌握規(guī)范的推理論證格式。4．通過學(xué)生畫圖、討論、推理等活動(dòng)，給學(xué)生滲透化歸思想和分類思想?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】1．熟練掌握平行線的判定公理及定理；2．能對(duì)平行線的判定進(jìn)行靈活運(yùn)用，并把它們應(yīng)用于幾何證明中?！窘虒W(xué)過程】一、情景引入。活動(dòng)內(nèi)容：回顧兩直線平行的判定方法。師：前面我們探索過直線平行的條件。大家來想一想：兩條直線在什么情況下互相平行呢？生1：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就叫做平行線。生2：兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行。生3：同位角相等兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行。師：很好。這些判定方法都是我們經(jīng)過觀察、操作、推理、交流等活動(dòng)得到的。上節(jié)課我們談到了要證實(shí)一個(gè)命題是真命題。除公理、定義外，其他真命題都需要通過推理的方法證實(shí)。我們知道：“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”是定義?！皟蓷l直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”是公理。那其他的三個(gè)真命題如何證實(shí)呢？這節(jié)課我們就來探討?；顒?dòng)目的：回顧平行線的判定方法，為下一步順利地引出新課埋下伏筆。教學(xué)效果：由于平行線的判定方法是學(xué)生比較熟悉的知識(shí)，教師通過對(duì)話的形式，可以使學(xué)生很快地回憶起這些知識(shí)。二、探索平行線判定方法的證明?；顒?dòng)內(nèi)容：（一）證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。師：這是一個(gè)文字證明題，需要先把命題的文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和符號(hào)語言。所以根據(jù)題意，可以把這個(gè)文字證明題轉(zhuǎn)化為下列形式：如圖，已知，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且∠1與∠2互補(bǔ)，求證：a∥b。如何證明這個(gè)題呢？我們來分析分析。師生分析：要證明直線a與b平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證明。這時(shí)從圖中可以知道：∠1與∠3是同位角，所以只需證明∠1=∠3，則a與b即平行。因?yàn)閺膱D中可知∠2與∠3組成一個(gè)平角，即∠2+∠3=180°，所以：∠3=180°-∠2。又因?yàn)橐阎獥l件中有∠2與∠1互補(bǔ)，即：∠2+∠1=180°，所以∠1=180°－∠2，因此由等量代換可以知道：∠1=∠3。師：好。下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫。（在書寫的同時(shí)說明：符號(hào)“∵”讀作“因?yàn)椤?，“∴”讀作“所以”）證明：∵∠1與∠2互補(bǔ)（已知），∴∠1+∠2=180°（互補(bǔ)定義）。∴∠1=180°－∠2（等式的性質(zhì)）。∵∠3+∠2=180°（平角定義），∴∠3=180°－∠2（等式的性質(zhì)）?！唷?=∠3（等量代換）?！郺∥b（同位角相等，兩直線平行）。這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個(gè)命題是真命題，我們把這個(gè)真命題稱為：直線平行的判定定理。這一定理可簡單地寫成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。注意：1．已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依據(jù)。用來證明新定理。2．證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”。這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理。在初學(xué)證明時(shí)，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號(hào)內(nèi)。（二）證明：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。師：小明用下面的方法做出了平行線，你認(rèn)為他的作法對(duì)嗎？為什么？生：我認(rèn)為他的作法對(duì)。他的作法可用上圖來表示：∠CFE=45°，∠BEF=45°。因?yàn)椤螧EF與∠FEA組成一個(gè)平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°。而∠CFE與∠FEA是同旁內(nèi)角。且這兩個(gè)角的和為180°，因此可知：CD∥AB。師：很好。從圖中可知：∠CFE與∠FEB是內(nèi)錯(cuò)角。因此可知：“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”是真命題。下面我們