2024年湖南省衡陽市一中高二下學(xué)期期末考數(shù)學(xué)試題及答案

衡陽市一中2022級(jí)2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.0,51.函數(shù)yxx在上的單調(diào)性是（A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減1e1,5C.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增e11,5D.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減ee是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和已知，則（）anSna2a4S37S52.已知數(shù)列.nA.15B.17C.31D.33ABCD2，E，F(xiàn)，G分別為AA3.正方體，AB，CC的中點(diǎn)，則直線ED與FG所111111成角的余弦值為（）第1頁/共6頁3301033625A.B.C.D.3xxxf(x)xf(x)xf(x)xf(x)112212214.如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意，都有12，則稱f(x)為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①yx3x1；②y3x2(sinxcosx)；x,x0yex1；④fx③的，其中“H函數(shù)”個(gè)數(shù)是x0A.4B.3C.2D.15.剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為在四段圓2P弧上運(yùn)動(dòng)，則APAB的取值范圍為（）2,66D.1,33,9A.B.C.1恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）fxtxx6.若函數(shù)txA.,1eB.D.,1eC.,1ePa)，若圓O:x2y24上存在點(diǎn)A，使得線段中點(diǎn)也在圓上，則的取值范圍是Oa7.已知點(diǎn)的（）A.(33,33)(,33][33,)ln2B.[33,33](,33)(33,)C.D.6a，bln3ln2，c8.若，則（）ln36A.acbB.C.D.cba第2頁/共6頁二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.ABCD如圖所示，其中ABBC2AA1319.已知平行六面體，，1111BAA160，線段AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段AAA上靠近的三等分點(diǎn)，則下列說法正確的是11（）2312121312A.EOAAABADB.111C.|EO3D.911，且fxx，下列命題：其中正確命題是（x,x,x2）10.設(shè)函數(shù)的011f1f2xxA.若，則；121221fxfx，xx，使得12；x01,xB.存在212120fxfxx1x1，則121；C.若，1212xxfxfxxxf1212D.對(duì)任意的，，都有.1222x2x111.已知函數(shù)f(x)，則下列結(jié)論正確的是（）exA.函數(shù)f(x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)5B.函數(shù)f(x)的極小值為f(e，極大值為f(2)e25C.若xt,)時(shí)，f(x)，則t的最大值為2e25ef(x)k有兩個(gè)實(shí)根，則k0D.若方程2第3頁/共6頁三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是關(guān)于帶余除法的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將2至2019這2018個(gè)整數(shù)中被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，an則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_______．13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y22pxp0的焦點(diǎn)為F，過F的直線交于A，B兩點(diǎn)，A，BC中點(diǎn)D在軸上方且其橫坐標(biāo)為1，3，則直線AB的斜率為______.x14.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，若平面PAD平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為26的正三角形，底面ABCD是矩形，CD23，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是______22①CQ平面PAD；②PC與平面AQC所成角的余弦值為；3③三棱錐B-ACQ的體積為62；④四棱錐Q-ABCD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為243．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.春夏之交因晝夜溫差大，細(xì)菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié)．某校高二年級(jí)某組團(tuán)統(tǒng)計(jì)了流感暴發(fā)前的半個(gè)月與流感暴發(fā)后的半個(gè)月的學(xué)生請(qǐng)假情況，得到如下數(shù)據(jù)：因發(fā)燒請(qǐng)假非發(fā)燒請(qǐng)假合計(jì)流感暴發(fā)前流感暴發(fā)后合計(jì)10303070（1）完成22列聯(lián)表，并依據(jù)0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為流感暴發(fā)對(duì)請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．第4頁/共6頁（2）后經(jīng)過了解，在全校因發(fā)燒請(qǐng)假的同學(xué)中男生占比為40%，且的因發(fā)燒請(qǐng)假的男生需要輸液治療，30%的因發(fā)燒請(qǐng)假的女生需要輸液治療．學(xué)校隨機(jī)選擇一名因發(fā)燒請(qǐng)假在醫(yī)院輸液的同學(xué)進(jìn)行慰問，求這名同學(xué)是女生的概率．n(adbc)2附：2．(ab)(cd)(acbd)0．050．010．001a3．8416．63510．828為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，1．a(chǎn)4a22aan316.已知3（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；anb2nan前n項(xiàng)和．bSnn（2）令，求數(shù)列n17.為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對(duì)所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書籍”兩類，已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜1志”“期刊雜志”的概率為“文獻(xiàn)書籍”“期刊雜志”33的概率為．5（1）求小明同學(xué)在兩次借閱過程中恰有一次借閱“期刊雜志”的概率；（2）求小明同學(xué)在兩次借閱過程中，第二次借閱的是“文獻(xiàn)書籍”的概率．18.如圖，四棱錐P的底面是正方形，平面ABCD，PDAB，E為PB的中點(diǎn).（1）證明：DE平面；（2）若F為AB的中點(diǎn)，求二面角BCEF的大小.afxxx21aR.19.已知函數(shù)2第5頁/共6頁（1）討論函數(shù)單調(diào)性；fx的（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)fxx,x，12a（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍：22|xxa，求實(shí)數(shù)的最大值.（ⅱ）若x,x滿足1212第6頁/共6頁衡陽市一中2022級(jí)2023-2024學(xué)年下學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.0,51.函數(shù)yxx在上的單調(diào)性是（A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減1e1,5C.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增e11,5D.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減ee【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)yxx在上的單調(diào)性.0,51e￠y0，得5xy=x1【詳解】，令；1令y0，得0x，e1∴函數(shù)yxx在1,5上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．ee故選：C是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和已知，則（）anSnna2a4S37S52.已知數(shù)列.A.15B.17C.31D.33【答案】C第1頁/共23頁【解析】【分析】先判斷q1，再求出首項(xiàng)和公比，注意各項(xiàng)均為正數(shù)，再求S即可.5q【詳解】解：設(shè)公比為，顯然q1，a1q31，q17，所以則12q4S311q125所以S531，12故選：C【點(diǎn)睛】考查等比數(shù)列的有關(guān)計(jì)算，基礎(chǔ)題.ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AA3.正方體，AB，CC的中點(diǎn)，則直線ED與FG所111111成角的余弦值為（）330103362A.B.C.D.35【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，第2頁/共23頁D(0,0),E(2,DE(2,FG(FG330cosFG5610故選：B4.如果定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：對(duì)于任意xxxf(x)xf(x)xf(x)xf(x)11221221，都有12，則稱f(x)為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①yx3x1；②y3x2(sinxcosx)；x,x0yex1；④fx，其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)是③x0A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得xxfxfx0恒成立，則函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，利1212用導(dǎo)數(shù)判斷①②得單調(diào)性，即可判斷；根據(jù)指數(shù)函數(shù)得單調(diào)性即可判斷③，分x0和調(diào)性即可判斷④.x0判斷函數(shù)得單xf(x)xf(x)xf(x)xf(x)【詳解】解：∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x,x，不等式恒成立，1121122122∴不等式等價(jià)為xxfxfx0恒成立，1212即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，33時(shí)，y0，yx3x1，y3x21，當(dāng)x或x①33第3頁/共23頁33所以函數(shù)yx3x1在,和,上遞減，故不滿足條件；33②y3x2(sinxcosx)；y3xsinx)322sin(x4)0，所以函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件；yex1為增函數(shù)，滿足條件；x,x0③④fx，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件，x0綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③.故選：C.5.剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為在四段圓2P弧上運(yùn)動(dòng)，則APAB的取值范圍為（）2,66D.1,33,9A.B.C.【答案】B【解析】xy【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得APAB的取值范圍.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，xy第4頁/共23頁設(shè)點(diǎn)，易知，以xy211x0，Px,yAD為半徑的左半圓的方程為2x222y112x3以BC為半徑的右半圓的方程為，x1,3，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是x,y，AB0，所以，ABAP2x6又因?yàn)?故選：B.6.若函數(shù)1恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）fxtxxxA.,1eB.D.,1eC.,1e【答案】B【解析】1xxx與yt有兩個(gè)交點(diǎn)，分類討論取絕對(duì)值，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，【分析】將問題轉(zhuǎn)化為g(x)g(x)的草圖可得.然后做出1f1tln1ln11，所以x1【詳解】因?yàn)椴皇莊(x)的零點(diǎn)，111xx當(dāng)xx1時(shí)，令fxtxx0，則x，tx1x1x，h(x)x記g(x)xx1xxx與yt有兩個(gè)交點(diǎn)，則問題轉(zhuǎn)化為g(x)1易知h(x)x在(0,)上單調(diào)遞增，x1hln11又，1所以h(x)x1，當(dāng)0x0時(shí)h(x)0，當(dāng)x0時(shí)h(x)0，的零點(diǎn)0第5頁/共23頁1xx當(dāng)0x0且x1時(shí)，1x1，g(x)xxx110，得x2g(x)令(xx)e11當(dāng)0x時(shí)，g(x)0g(x)，單調(diào)遞增，當(dāng)x11x或x0g(x)0g(x)時(shí)，單調(diào)遞減，，eex11當(dāng)xx時(shí)，g(x)1，則g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，20(xx)xx且當(dāng)x趨近于0或從左趨近于1時(shí)，g(x)趨近于，當(dāng)從右趨近于1時(shí)，xg(x)趨近于，當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于1.g(x)111g()1e10110又e，g(0)0ee0g(x)所以可作的草圖如下：1xx由圖可知，當(dāng)te1或0t1時(shí)，g(x)x與yt有兩個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).故選：BPa)，若圓O:x2y24上存在點(diǎn)A，使得線段的中點(diǎn)也在圓Oa上，則的取值范圍是7.已知點(diǎn)（）A.(33,33)B.[33,33](,33)(33,)C.D.(,33][33,)【答案】B【解析】【分析】中點(diǎn)MMM第6頁/共23頁a的范圍.【詳解】設(shè)，的中點(diǎn)Ax,yM(x,y)，002020xy032y0a2232a2x,xy1，由已知有解得y,22232a2即的中點(diǎn)的軌跡為圓xy1，又線段的中點(diǎn)也在圓O上，∴兩圓有公共點(diǎn)，223a∴13，解得33a33.22故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.ln2ln36a，bln3ln2，c8.若，則（）6AacbB.D.cbaC.【答案】B【解析】1a，并與c比較大小，再構(gòu)造函數(shù)【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得21111391f(x)x)xx2x3x4x5,x0，可得b，即可與比較大小作答.c2345960ln231116【詳解】依題意，ac，ln3ln324111155f(x)x)xx2x3x4x,x0，求導(dǎo)得令函數(shù)23411xx51xx2340，f(x)xx1x函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，f(x)f(0)0，即當(dāng)x0時(shí)，1111x)xx2x3x4x5，2345第7頁/共23頁3111111()3211()4211()52391960b)()2345，2222239121719b2c20，即bc2，因此bc，296026921600所以.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某些數(shù)或式大小關(guān)系問題，看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，它能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.ABCD如圖所示，其中ABBC2AA1319.已知平行六面體，，1111BAA160，線段AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是線段AA1上靠近A的三等分點(diǎn)，則下列說法正確的是1（）2312121312A.EOAAABADB.111C.|EO3D.911【答案】AD【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)求值.1AAABAAABcosBAA323【詳解】依題意，，11121212323ABAD222，，1121EOEAAOAAABAD，故A正確；13122AC，故B錯(cuò)誤；111113第8頁/共23頁|EO|22312122AAABAD122249141232312AAABADAAABAAAD+ABAD11142121114113232223，323222則|EO|3，故C錯(cuò)誤；1ECAAAAABADAA11113112AAABAAADAA9339，故D正確；11133故選：AD.10.設(shè)函數(shù)，下列命題：其中正確的命題是（）fxx，且x,x,x0121f1f2xxA若，則；121221fxfxxx,x，xx12B.存在，使得；01212120fxfxx1x1121；C.若，，則1212xxfxfxx，xf1212D.對(duì)任意的，都有.1222【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合割線與切線斜率的大小關(guān)系即可判斷選項(xiàng)A、B、C，根據(jù)中位線與函數(shù)值的大小比較可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).第9頁/共23頁【詳解】1由fxxfx可得，x11fxfx12如圖：對(duì)于選項(xiàng)A：表示曲線在點(diǎn)B處的切線斜率小于割線AB的斜率，所以，2212故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：在點(diǎn)B處的切線斜率小于割線AB的斜率，在點(diǎn)A處的切線斜率大于割線AB的斜率，所以xx,x，使得該點(diǎn)處的切線斜率等于割線AB的斜率，所以存在2在曲線AB上必存在某點(diǎn)011f1fxxx201,x212，使得；故選項(xiàng)B正確；0121，由圖知割線AB的斜率，小于在點(diǎn)0處的切線的斜率，所以f1對(duì)于選項(xiàng)C：fxfx12f1，故選項(xiàng)C正確；12f1f212對(duì)于選項(xiàng)D：由圖知梯形中位線CD的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為f，22xxf1fx2因?yàn)镃D，所以f12，故選項(xiàng)D正確；22故選：BCD公眾號(hào)：高中試卷君【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合比較切線和割線的斜率，理解凸函數(shù)的性質(zhì).x2x1exA.函數(shù)f(x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)11.已知函數(shù)f(x)，則下列結(jié)論正確的是（）5B.函數(shù)f(x)的極小值為f(e，極大值為f(2)e2第10頁/共23頁5xt,)時(shí)，f(x)，則t的最大值為2C.若e25ef(x)k有兩個(gè)實(shí)根，則k0D.若方程2【答案】BCD【解析】【分析】解方程求出零點(diǎn)判斷Af(x)的極值判斷BCD.15f(x)0，得xx2x12x10，解得x【詳解】對(duì)于A，由對(duì)于B，函數(shù)f(x)，函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；2(xx2)f(x)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，exex，當(dāng)x1或x2時(shí)，f(x)0，當(dāng)1x2時(shí)，f(x)05函數(shù)f(x)的極小值為f(e，極大值為f(2)，B正確；e2對(duì)于C，函數(shù)f(x)在(,(2,)上單調(diào)遞減，在(2)上單調(diào)遞增，15151，而當(dāng)x時(shí)，yx2x1單調(diào)遞減，值域?yàn)閑x2，2e155,)上的值域?yàn)?0,)，則x，函數(shù)f(x)在((xf(x)e22215155當(dāng)x時(shí)，f(x)0恒成立，函數(shù)f(x)在(,)上的值域?yàn)?0,]，e222155f(0)f(2)因此存在0，使得，如圖，e225由當(dāng)xt,)時(shí)，，得t[0,2]，則的最大值為2，C正確；tf(x)e2對(duì)于D，方程f(x)k有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于yf(x)的圖象與直線yk第11頁/共23頁有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖，5e2ykyf(x)與觀察圖象知：當(dāng)k({}時(shí)，直線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，5ef(x)k有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，k0，D正確.2因此方程故選：BCD【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，判斷零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，要注意(2,)f(x)0x是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，且那選項(xiàng)就容易判斷錯(cuò)了．恒成立，圖象是無限接近軸，如果這里判斷錯(cuò)了，三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”．“中國(guó)剩余定理”講的是關(guān)于帶余除法的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將2至2019這2018個(gè)整數(shù)中被5除余1且被7除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，an則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_______．【答案】57【解析】a35n1na，求出n的最大值即可得解.n【分析】由題意可得，令a35n1n【詳解】被5除余1且被7除余1的數(shù)就是被35除余1的數(shù)，故．a(chǎn)n1nn可得可取的最大整數(shù)為57，故此數(shù)列最后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為57．由故答案為：57.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C:y22pxp0的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，A，B中點(diǎn)D在軸上方且其橫坐標(biāo)為1，3，則直線AB的斜率為______.x【答案】2【解析】第12頁/共23頁pyk(x)(k0)【分析】設(shè)出直線AB的方程為：弦長(zhǎng)公式，以及中點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和2【詳解】由題意可知：直線AB的斜率存在且大于零，pyk(x)(k0)(x,yB(x,y)則設(shè)直線AB的方程為：，，2112222pxyk2p2聯(lián)立方程組k2x2(k2p2p)x0，p，整理可得：yk(x)422p2xxp)，xx則，又因?yàn)锳，B中點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，12212k422k2xx2p)，則p所以，122k2k2AB1k2xx1k2(xx)24xx1k24p2，由弦長(zhǎng)公式可得：121212222k4p2又因?yàn)?，則有91k21k24，2k2化簡(jiǎn)整理可得：2k2)(2k20，解得：k22，4k2100，即(k2因?yàn)閗0，所以k2，故答案為：2.14.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，若平面PAD平面ABCD，側(cè)面PAD是邊長(zhǎng)為26的正三角形，底面ABCD是矩形，CD23，點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是______22①CQ平面PAD；②PC與平面AQC所成角的余弦值為；3③三棱錐B-ACQ的體積為62；④四棱錐Q-ABCD外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為243．第13頁/共23頁【答案】②④【解析】【分析】取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)E，連接OE,，則由已知可得平面ABCD，而底面ABCD為矩形，所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OE,OP直角坐標(biāo)系，利用空間向量依次求解即可.所在的直線為軸，yxz軸，軸，建立空間【詳解】解：取AD的中點(diǎn)O，BC的中點(diǎn)E，連接OE,，因?yàn)槿切蜳AD為等邊三角形，所以O(shè)PAD,因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，所以平面ABCD，因?yàn)锳D，所以O(shè)D,OE,OP兩兩垂直，所以，如下圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D,OE,OP坐標(biāo)系，所在直線為軸，yxz軸，軸，建立空間直角的則O(0,0,0),D(6,0),(6,0)，P(0,32),C(6,23,0),B(6,23,0)，6322因?yàn)辄c(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，所以Q(,0,)，26322對(duì)于①：平面PAD的法向量為m0)，CQ(,23,)，2所以m與CQ不共線，所以CQ與平面PAD不垂直，故①不正確；362322對(duì)于②：PC(6,23,32),AQ(,0,AC(26,23,0)，第14頁/共23頁設(shè)平面AQC的法向量為n(x,y,z)，則362322nxz0，n26x23y0令x1，則y2,z3，所以n2,3)，設(shè)PC與平面AQC所成角為，n2613則sin，n6622所以cos，所以②正確；3對(duì)于③：三棱錐BACQ的體積為11111BACQQABCS(OP)2326326，所以③不正確；ABC32322對(duì)于④：設(shè)四棱錐QABCD外接球的球心為M3,a)，則，6322所以()2(3)2(a)2(6)2(3)2a2，2解得a0，即M(0,3,0)為矩形ABCD所以四棱錐QABCD外接球的半徑為(6)設(shè)四棱錐QABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，2(3)203，2x外接球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體面的對(duì)角線，22x，所以x)2(23)2，得x224，故正方體的棱長(zhǎng)為223所以正四面體的表面積為4x2243，所以④正確.4故選：②④.公眾號(hào)：高中試卷君四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.春夏之交因晝夜溫差大，細(xì)菌、病毒等活躍，是流感高發(fā)季節(jié)．某校高二年級(jí)某組團(tuán)統(tǒng)計(jì)了流感暴發(fā)前的半個(gè)月與流感暴發(fā)后的半個(gè)月的學(xué)生請(qǐng)假情況，得到如下數(shù)據(jù)：第15頁/共23頁因發(fā)燒請(qǐng)假非發(fā)燒請(qǐng)假合計(jì)流感暴發(fā)前流感暴發(fā)后合計(jì)10303070（1）完成22列聯(lián)表，并依據(jù)0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為流感暴發(fā)對(duì)請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．（2）后經(jīng)過了解，在全校因發(fā)燒請(qǐng)假的同學(xué)中男生占比為40%，且的因發(fā)燒請(qǐng)假的男生需要輸液治療，30%的因發(fā)燒請(qǐng)假的女生需要輸液治療．學(xué)校隨機(jī)選擇一名因發(fā)燒請(qǐng)假在醫(yī)院輸液的同學(xué)進(jìn)行慰問，求這名同學(xué)是女生的概率．n(adbc)2附：2．(ab)(cd)(acbd)0．050．010．001a3．8416．63510．828【答案】（1）表格見解析，有影響9（2）13【解析】1）根據(jù)題意完成22列聯(lián)表，計(jì)算2）利用條件概率公式求解2.【小問1詳解】零假設(shè)為H：流感暴發(fā)與請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)之間相互獨(dú)立．0完成列聯(lián)表如下所示．因發(fā)燒請(qǐng)假非發(fā)燒請(qǐng)假合計(jì)30流感暴發(fā)前流感暴發(fā)后1030201040第16頁/共23頁合計(jì)403070根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得70(100600)2875212.15310.828．3040304072所以我們推斷H不成立，即可以認(rèn)為流感暴發(fā)對(duì)請(qǐng)假的同學(xué)中發(fā)燒的人數(shù)有影響．0【小問2詳解】設(shè)A事件表示請(qǐng)假的同學(xué)為女生，B事件表示需要輸液治療，P()P(B)0.3，P(A)P(BA)0.2，P(AB)P(B)P(B)P()0.189則P(AB)．P(B)P()P(BA)P(A)0.180.08139所以這名同學(xué)是女生的概率為．1316.已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a3aa2a，．a(chǎn)n1423（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；anb2nan前n項(xiàng)和bSn．（2）令，求數(shù)列nna3n【答案】（1）n1322（2）Sn13nn【解析】【分析】(1)利用基本量法，求出首項(xiàng)和公比，即可求解.(2)利用錯(cuò)位相減法，即可求解.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為qanaa2a423q3aq2aq2112q2q30a0q3a3nnn【小問2詳解】第17頁/共23頁n2n3nSn234326332n3n3Sn2324336342nn132nn12S233233nn313n22nn1133n12n)31322Snn13n17.為建設(shè)“書香校園”，學(xué)校圖書館對(duì)所有學(xué)生開放圖書借閱，可借閱的圖書分為“期刊雜志”與“文獻(xiàn)書籍”兩類，已知該校小明同學(xué)的圖書借閱規(guī)律如下：第一次隨機(jī)選擇一類圖書借閱，若前一次選擇借閱“期刊雜志”“期刊雜志”的概率為13“文獻(xiàn)書籍”“期刊雜志”35的概率為．（1）求小明同學(xué)在兩次借閱過程中恰有一次借閱“期刊雜志”的概率；（2）求小明同學(xué)在兩次借閱過程中，第二次借閱的是“文獻(xiàn)書籍”的概率．【答案】（1）19308（2）【解析】1）利用互斥事件的概率公式與條件概率的乘法公式即可得解；（2）利用全概率公式求解.【小問1詳解】用A，分別表示第一次、第二次借閱“期刊雜志”，用B，BA表示第一次、第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”.2121121332523PB|A1PAPBPA|APA|BPB|B則，，，,.1121212125記兩次借閱過程中恰有一次借閱“期刊雜志”為事件C，則PBPA|B121PCPABPBAPAPB|A1212121121319232530.第18頁/共23頁【小問2詳解】設(shè)第二次借閱“文獻(xiàn)書籍”為事件D，則：121281PDPAPB|APBPB|B.12112232518.如圖，四棱錐P平面ABCD，PDAB，E為PB的中點(diǎn).（1）證明：DE平面；（2）若F為AB的中點(diǎn)，求二面角BCEF的大小.【答案】（1）證明見解析π（2）6【解析】1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)2，則D(0,0)，C(0,0)，(2,0)，B(2,0)，而PDAB，故P(0,0,，E，故，PC(0,2)，PA(2,2)，第19頁/共23頁P(yáng)Cn2y2z0設(shè)面，的法向量為n(x,y,z)，故得PAn2x2z0y1令x1，解得，z1，故得n，顯然n與DE平行，故DE【小問2詳解】平面得證.易知B(2,0)，F(xiàn)0)，(0)，PC(0,2)，(0)，CE，設(shè)面的法向量為m(a,b,c)，m2a0故有，令b1，解得c1，a0，故m(0,1,1)，CEmabc0a2xy0設(shè)面CEF的法向量為a(x,y,z)，故得00，000CEa00z00令01，解得y02，z1，故a，0π設(shè)二面角BCEF為，結(jié)合圖象可知，2am01211332coscosa,m故，am261212121222ππ故，即二面角BCEF的大小為.66