2019-2020學年新教材高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直課時作業(yè)34直線與直線垂直新人教A版必修第二冊

PAGE1-課時作業(yè)34直線與直線垂直知識點一異面直線所成的角1.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝eq\r(3)，AA1＝eq\r(2)，則異面直線AC1與BB1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如圖，因為BB1∥AA1，所以∠A1AC1為異面直線AC1與BB1所成的角．因為tan∠A1AC1＝eq\f(A1C1,AA1)＝eq\f(\r(\r(3)2＋\r(3)2),\r(2))＝eq\r(3)，所以∠A1AC1＝60°，故選C.2．如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述正確的是()A．CC1與B1E是異面直線B．CC1與AE共面C．AE與B1C1是異面直線D．AE與B1C1所成的角為60°答案C解析由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內，故C1C與B1E是共面的，A錯誤；由于CC1在平面C1B1BC內，而AE與平面C1B1BC相交于點E，點E不在C1C上，故CC1與AE是異面直線，同理，AE與B1C1是異面直線，所以B錯誤，C正確；AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，又E為BC的中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成的角為90°，D錯誤．故選C.3．在棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，求：(1)A′B和AD′所成的角；(2)D′B和AC所成的角．解(1)如圖，連接BC′，A′C′，∵AD′∥BC′，∴∠A′BC′即為A′B與AD′所成的角．又A′C′＝A′B＝BC′＝eq\r(2)a，∴∠A′BC′＝60°，∴A′B和AD′所成的角為60°.(2)如圖，連接BD，與AC交于點O，則O為AC的中點，取DD′的中點E，連接OE，則OE∥BD′，則∠AOE即為AC與BD′所成的角．連接AE，CE，則AE＝CE，∴△ACE為等腰三角形．∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°.∴D′B和AC所成的角為90°.知識點二異面直線的垂直4.長方體ABCD－A1B1C1D1的12條棱所在直線與棱AA1所在直線垂直的共有()A．6條 B．8條C．10條 D．12條答案B解析12條棱所在直線中與棱AA1所在直線垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8條．5．已知直線a，b，c，下列三個命題：①若a與b異面，b與c共面，則a與c異面；②若a∥b，a和c相交，則b和c也相交；③若a⊥b，a∥c，則b⊥c.其中，正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①不正確，如圖；②不正確，有可能相交也有可能異面；③正確，故選B.6.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，兩條對邊AB＝CD＝3，E，F(xiàn)分別是另外兩條對邊AD，BC上的點，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(5)，求證：AB⊥CD.證明如圖，連接BD，過點E作AB的平行線交BD于點O，連接OF.∵EO∥AB，∴eq\f(BO,OD)＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，eq\f(EO,AB)＝eq\f(DE,DA)＝eq\f(2,3).又AB＝3，∴EO＝2.∵eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BO,OD)＝eq\f(BF,FC)，∴OF∥DC.∴OE與OF所成的銳角(或直角)即為AB和CD所成的角．∴eq\f(OF,DC)＝eq\f(BF,BC)＝eq\f(1,3).∵DC＝3，∴OF＝1.在△OEF中，∵OE2＋OF2＝5，EF2＝(eq\r(5))2＝5，∴OE2＋OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°.∴AB和CD所成的角為90°.∴AB⊥CD.一、選擇題1．如果空間兩條直線互相垂直，那么它們()A．一定相交 B．是異面直線C．是共面直線 D．一定不平行答案D解析由平面幾何知識和異面垂直的定義可知，互相垂直的兩條直線可垂直相交或異面垂直，故選D.2．如圖所示，正方體ABCD－A′B′C′D′中，AB的中點為M，DD′的中點為N，則異面直線B′M和CN所成角的大小是()A．90° B．60°C．45° D．30°答案A解析如圖，取AA′的中點E，連接BE，EN，則BE∥NC，∴異面直線B′M和CN所成的角就是直線BE與直線B′M所成的銳角(或直角)，根據(jù)△ABE≌△BB′M可得BE⊥B′M，∴異面直線B′M和CN所成的角為90°.3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析如圖，補上一相同的長方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角．因為在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EE\o\al(2,1))＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋\r(3)2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋\r(5)2－\r(5)2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選C.4．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點．若CD＝2AB，EF⊥AB，則EF與CD所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析取AD的中點H，連接FH，EH，則EH∥CD，F(xiàn)H∥AB.∠FEH是EF與CD所成的角或其補角，∠EFH是EF與AB所成的角或其補角．∵EF⊥AB，∴在△EFH中，∠EFH＝90°.∵CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°.5．已知兩異面直線a，b所成的角為17°，過空間一點P作直線l，使得l與a，b的夾角均為9°，那么這樣的直線l有()A．3條B．2條C．1條D．0條答案B解析可將a，b通過平移相交于點P，如圖所示，則∠BPE＝17°，∠EPD＝163°，則∠BPE的角平分線與直線a，b所成的角均為8.5°，∠EPD的角平分線與直線a，b所成的角均為81.5°.因為8.5°<9°<81.5°，所以與直線a，b所成的角均為9°的直線l有且只有2條(直線c，d)，故選B.二、填空題6．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，則EF和BD所成的角是________．答案60°解析∵EF∥AB1，BD∥B1D1，∴∠AB1D1為異面直線EF，BD所成的角或其補角，易知△AB1D1為正三角形，∴∠AB1D1＝60°.7．如圖所示，空間四面體A－BCD的對角線AC＝8，BD＝6，M，N分別為AB，CD的中點，MN＝5，則異面直線AC與BD所成的角為________．答案90°解析如圖，取AD的中點P，連接PM，PN.∵M，N分別為AB，CD的中點，∴PM∥BD，PN∥AC，∴∠MPN為異面直線AC與BD所成的角或其補角．∵AC＝8，BD＝6，∴PN＝eq\f(1,2)AC＝4，PM＝eq\f(1,2)BD＝3.又MN＝5，在△PMN中，由勾股定理知∠MPN＝90°.故異面直線AC和BD所成的角為90°.8．已知a，b為異面直線，且a，b所成的角為40°，過空間一點作直線c，直線c與a，b均異面，且所成的角均為θ.若這樣的直線c共有四條，則θ的取值范圍為________．答案{θ|70°<θ<90°}解析設平面α上的兩條直線m，n分別滿足m∥a，n∥b，且m，n相交，夾角為40°.若直線c與a，b均異面，且所成的角均為θ，則直線c與m，n所成的角均為θ.當0°≤θ<20°時，不存在這樣的直線c；當θ＝20°時，這樣的直線c只有一條；當20°<θ<70°時，這樣的直線c有兩條；當θ＝70°時，這樣的直線c有三條；當70°<θ<90°時，這樣的直線c有四條；當θ＝90°時，這樣的直線c只有一條．故θ的取值范圍為{θ|70°<θ<90°}．三、解答題9．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，點E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點．求證：A1E⊥GF.證明如圖，連接B1G，EG.由于E，G分別是DD1和CC1的中點，∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1.∴四邊形EGB1A1是平行四邊形．∴A1E∥B1G，從而∠B1GF為異面直線A1E與GF所成的角或其補角．連接B1F，則FG＝eq\r(3)，B1G＝eq\r(2)，B1F＝eq\r(5).∵FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即異面直線A1E與GF所成的角為90°，∴A1E⊥GF.10．如圖，在四棱錐A－BCDE中，底面四邊形BCDE為梯形，BC∥DE.設CD，BE，AE，AD的中點分別為M，N，P，Q.(1)求證：M，N，P，Q四點共面；(2)若AC⊥DE，且AC＝eq\r(3)BC，求異面直線DE與PN所成角的大?。?1)證明：∵CD，BE，AE，AD的中點分別為M，N，P，Q，∴P