2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系應(yīng)用案鞏固提升新人教A版必修第一冊

PAGE1-5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．若cosα＝eq\f(1,3)，則(1＋sinα)(1－sinα)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,9)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(8,9)解析：選B.原式＝1－sin2α＝cos2α＝eq\f(1,9)，故選B.2．若α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12)，則sinα＝()A.eq\f(1,5) B．－eq\f(1,4)C.eq\f(5,13) D．－eq\f(5,13)解析：選D.因為tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12)，sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝±eq\f(5,13).因為α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(5,13).3．(2019·安徽滁州期末)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，則sin4α－cos4α的值為()A．－eq\f(3,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(3,5)解析：選A.sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(3,5).4．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，則sinθcosθ的值為()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：選A.由sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，得(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝eq\f(5,9)，所以sin2θcos2θ＝eq\f(2,9).因為θ是第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以sinθcosθ＝eq\f(\r(2),3).5．如果tanθ＝2，那么1＋sinθcosθ＝()A.eq\f(7,3) B.eq\f(7,5)C.eq\f(5,4) D.eq\f(5,3)解析：選B.1＋sinθcosθ＝eq\f(1＋sinθcosθ,1)＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ＋1,tan2θ＋1)，又tanθ＝2，所以1＋sinθcosθ＝eq\f(22＋2＋1,22＋1)＝eq\f(7,5).6．已知eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(5,16)，則tanα＝____________．解析：由eq\f(sinα＋2cosα,5cosα－sinα)＝eq\f(5,16)，得eq\f(tanα＋2,5－tanα)＝eq\f(5,16)，解之得tanα＝－eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,3)7．若tanα＋eq\f(1,tanα)＝3，則sinαcosα＝________．解析：因為tanα＋eq\f(1,tanα)＝3，所以eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝3，即eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝3，所以sinαcosα＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．已知eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，那么tanα＝________．解析：易知cosα≠0，由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，得eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝－5，解得tanα＝－eq\f(23,16).答案：－eq\f(23,16)9．化簡下列各式：(1)eq\f(sin760°,\r(1－cos240°))；(2)tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)(其中α是第二象限角)．解：(1)eq\f(sin760°,\r(1－cos240°))＝eq\f(sin（2×360°＋40°）,\r(sin240°))＝eq\f(sin40°,|sin40°|)＝eq\f(sin40°,sin40°)＝1.(2)因為α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.10．求證：sinα(1＋tanα)＋cosα·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tanα)))＝eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα).證明：左邊＝sinαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinα,cosα)))＋cosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cosα,sinα)))＝sinα＋eq\f(sin2α,cosα)＋cosα＋eq\f(cos2α,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinα)＋eq\f(sin2α＋cos2α,cosα)＝eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,cosα)＝右邊．即原等式成立．[B能力提升]11．若△ABC的內(nèi)角A滿足sinAcosA＝eq\f(1,3)，則sinA＋cosA的值為()A.eq\f(\r(15),3) B．－eq\f(\r(15),3)C.eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)解析：選A.因為A為△ABC的內(nèi)角，且sinAcosA＝eq\f(1,3)＞0，所以A為銳角，所以sinA＋cosA＞0.又1＋2sinAcosA＝1＋eq\f(2,3)，即(sinA＋cosA)2＝eq\f(5,3)，所以sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3).12．若角α的終邊在直線x＋y＝0上，則eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝________．解析：因為eq\f(sinα,\r(1－cos2α))＋eq\f(\r(1－sin2α),cosα)＝eq\f(sinα,|sinα|)＋eq\f(|cosα|,cosα)，又角α的終邊落在x＋y＝0上，故角α的終邊在第二、四象限，當(dāng)α在第二象限時，原式＝eq\f(sinα,sinα)＋eq\f(－cosα,cosα)＝0，當(dāng)α在第四象限時，原式＝eq\f(sinα,－sinα)＋eq\f(cosα,cosα)＝0.綜上所述，原式＝0.答案：013．已知sinα＝eq\f(1,3)，求eq\f(1－2sinαcosα,（2cos2α－1）（1－tanα）)的值．解：eq\f(1－2sinαcosα,（2cos2α－1）（1－tanα）)＝eq\f(（sinα－cosα）2,（2cos2α－sin2α－cos2α）（1－tanα）)＝eq\f(（cosα－sinα）2,（cosα＋sinα）（cosα－sinα）（1－tanα）)＝eq\f(cosα－sinα,（cosα＋sinα）（1－tanα）)＝eq\f(1－tanα,（1＋tanα）（1－tanα）)＝eq\f(1,1＋tanα)，當(dāng)角α是第一象限角時，cosα＝eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(2),4)，所以原式＝eq\f(1,1＋\f(\r(2),4))＝eq\f(8－2\r(2),7)；當(dāng)角α是第二象限角時，cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(\r(2),4)，所以原式＝eq\f(1,1－\f(\r(2),4))＝eq\f(8＋2\r(2),7).14．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，且0<θ<π.(1)求tanθ的值；(2)求eq\f(sin2θ,cos2θ－2sinθcosθ)的值．解：(1)因為sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，①所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，所以2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)<0，因為θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以sinθ－cosθ>0，所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，所以sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，②由①②得，sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，所以tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3).(2)法一：由(1)知sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，所以eq\f(sin2θ,cos2θ－2sinθcosθ)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))\s\up12(2)－2×\f(4,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5))))＝eq\f(16,33).法二：由(1)得tanθ＝－eq\f(4,3)，所以原式＝eq\f(tan2θ,1－2tanθ)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2),1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3))))＝eq\f(16,33).[C拓展探究]15．(2019·南昌檢測)設(shè)α是第三象限角，問是否存在實數(shù)m，使得sinα，cosα是關(guān)于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的兩個根？若存在，求出實數(shù)m；若不存在，請說明理由．解：假設(shè)存在實數(shù)m滿足條件，由題設(shè)得，Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①因為sinα<0，cosα<0，所以sinα＋cosα＝－eq\f(3,4)m<0②，si