華東師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第5章《相交線與平行線》知識(shí)復(fù)習(xí)

第5章《相交線與平行線》知識(shí)復(fù)習(xí)

敦字目標(biāo)

【基本目標(biāo)】

1.經(jīng)歷對(duì)本章所學(xué)知識(shí)回顧與思考的過(guò)程，將本章內(nèi)容條理化、系統(tǒng)化，梳理

本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)；

2.通過(guò)對(duì)知識(shí)的疏理，進(jìn)一步加深對(duì)所學(xué)概念的理解，進(jìn)一步熟悉和掌握幾何

語(yǔ)言，能用幾何語(yǔ)言說(shuō)明幾何圖形；

3.認(rèn)識(shí)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，在研究平行線時(shí)，能通過(guò)有關(guān)的角來(lái)判斷

直線平行和反映平行線的性質(zhì).理解平移的性質(zhì)，能利用平移設(shè)計(jì)圖案.

【教學(xué)重點(diǎn)】

復(fù)習(xí)平面內(nèi)兩條直線的相交和平行的位置關(guān)系,以及相交平行的綜合應(yīng)用.

【教學(xué)重點(diǎn)】垂直、平行的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.

一、知識(shí)框圖，整體把握

相

交

線

相

交

線

與

平

行

線

平

行

線

【教學(xué)說(shuō)明】教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本章知識(shí)點(diǎn)，邊回顧邊畫(huà)出本章知識(shí)框圖,

使學(xué)生對(duì)本章知識(shí)有一個(gè)總體把握.了解各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的

理解，為后面的運(yùn)用奠定基礎(chǔ).

二、釋疑解惑，加深理解

1.對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向

延長(zhǎng)線，這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角（或兩條直線相交形成的四個(gè)角中，不相鄰的

兩個(gè)角叫對(duì)頂角）.

對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.

注意：（1）對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；

（2）如果Na與NB是對(duì)頂角，那么一定有Na=NB;反之如果Na=/

0,那么Na與NB不一定是對(duì)頂角.

2.垂線性質(zhì)：①過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②垂線段最短.

注意：（1）垂線與垂線段

區(qū)別：垂線是一條直線，不可度量長(zhǎng)度；垂線段是一條線段，可以度量長(zhǎng)度.

聯(lián)系：具有垂直于已知直線的共同特征（垂直的性質(zhì)）.

（2）兩點(diǎn)間距離與點(diǎn)到直線的距離

區(qū)別：兩點(diǎn)間的距離是點(diǎn)與點(diǎn)之間，點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線之間.

聯(lián)系：都是線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)到直線的距離是特殊的兩點(diǎn)（即已知點(diǎn)與垂足）間

距離.

3.平行線的概念

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b互相平行，

記作a//b.

注意：

（1）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：①相交；②平行.

因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過(guò)

來(lái)也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）.

（2）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)

來(lái)確定：

①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；

②無(wú)公共點(diǎn)，則兩直線平行；

③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）.

4.平行公理一一平行線的存在性與唯一性

經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

5.平行公理的推論

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

注意：

（1）平行公理中的“有且只有”包含兩層意思：一是存在性；二是唯一性.

（2）平行具有傳遞性，即如果a〃b,b//c,則a〃c.

6.如何判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

判別同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個(gè)角的“三線”，有

時(shí)需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無(wú)關(guān)的線略去不看，有時(shí)又需要把圖形補(bǔ)全.

如圖，判斷下列各對(duì)角的位置關(guān)系：（1）N1與N2；（2）N1與N7；（3）N1與

ZBAD；（4）N2與N6；（5）N5與N8.

我們將各對(duì)角從圖形中抽出來(lái)（或者說(shuō)略去與有關(guān)角無(wú)關(guān)的線），不難看出:

N1與N2是同旁內(nèi)角；N1與N7是同位角；N1與NBAD是同旁內(nèi)角；N2與

N6是內(nèi)錯(cuò)角；N5與N8對(duì)頂角.

7.平行線的判定

（1）同位角相等，兩直線平行（在同一平面內(nèi)）；

（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（在同一平面內(nèi)）；

（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行（在同一平面內(nèi)）；

（4）如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

補(bǔ)充：

（5）平行的定義（在同一平面內(nèi)）.

（6）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.

8.平行線的性質(zhì)

（1）兩直線平行，同位角相等（在同一平面內(nèi)）；

（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（在同一平面內(nèi)）；

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（在同一平面內(nèi)）.

【教學(xué)說(shuō)明】教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本章重點(diǎn)知識(shí)和需要注意的問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)的回

顧，使學(xué)生對(duì)本章知識(shí)進(jìn)行進(jìn)一步的理解，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).特別要注意：幾何中，

圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系，常由“位

置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”，反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”.

上述平行線的判定和性質(zhì)就是將“位置關(guān)系”與“數(shù)量關(guān)系”結(jié)合起來(lái).

三、典例精析，溫故知新

例1已知：如圖，AB〃CD,求證：ZB+ZD=ZBED.

分析：可以考慮把NBED變成兩個(gè)角的和.如圖，過(guò)E點(diǎn)引一條直線EF//

AB,則有NB=N1,再設(shè)法證明ND=N2,需證EF〃CD,這可通過(guò)已知AB〃

CD和EF〃AB得到.

證明：過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB,則NB=N1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

VAB/7CD（已知），

EF〃AB（已作），

...EF〃CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）.

.,.ZD=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

XVZBED=Z1+Z2,

.*.ZBED=ZB+ZD（等量代換）.

例2如圖，已知N1=NB,求證：Z2=ZC.

證明：VZ1=ZB（已知），

???DE〃BC（同位角相等，兩直線平行），

??.Z2=ZC（兩直線平行，同位角相等）.

注意：DE〃BC不需要再寫(xiě)一次，因?yàn)镈E〃:BC已被證明了,

因此可以把它當(dāng)作條件來(lái)用了.

例3如圖，AB〃DF,DE〃:BC,Zl=65°,求N2、N3的度數(shù).

A

解：VDE/7BC（已知），

.-.Z2=Z1=65°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

VAB/7DF（已知），

.,.Z3+Z2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

.*.Z3=180o-Z2=180°-65°=115°.

例4一學(xué)員在廣場(chǎng)上練習(xí)駕駛汽車(chē)，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向

相同，這兩次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°

B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°

C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°

D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°

分析：解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地畫(huà)出示意圖，如圖：

X30°

BOLZ

130°

C

【答案】A

點(diǎn)評(píng)：本題單純從文字方面去分析，很難判斷出結(jié)果，若畫(huà)出上述圖形來(lái)分

析，結(jié)果是顯然的，本題屬于操作畫(huà)圖型考題.

例5如圖，E在直線DF上，B在直線AC上，若NAGB=NEHF,ZC=ZD,

試判斷NA與NF的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

DEF

AB

分析：從圖中可以猜測(cè)NA=NF,但題目沒(méi)有告訴DF〃AC,所以需要根

據(jù)已知條件說(shuō)明DF〃AC.

解：ZA=ZF.理由：

VZAGB=ZDGF,ZAGB=ZEHF,

.*.ZDGF=ZEHF,ABD/ZCE,

/.ZC=ZABD,又NC=ND,

.\ZD=ZABD,：.DF//AC,所以NA=NF.

【教學(xué)說(shuō)明】教師出示典型例題，讓學(xué)生先嘗試解答，教師予以講解，在講

解的過(guò)程中，應(yīng)著重于知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用和解題方法的滲透.最后，要注意典型習(xí)題

的規(guī)律總結(jié)，使學(xué)生掌握得更牢固，并能舉一反三，學(xué)會(huì)解答變式問(wèn)題.

四、拓展訓(xùn)練，鞏固提高

1.如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,0ELAB垂足為0,ZEOD=30°,

則ZB0C=()

A.150°B.14O0

C.13O0D.12O0

2.如圖，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若Nl=30°,N2=52°,

則N3的度數(shù)等于()

A.680B.640

C.580D.520

3.如圖，五邊形ABCDE中，AB〃CD,則N1+N2+N3等于0

A.9O0

B.18O0

C.21O0

D.27O0

4.如圖，ODLBC,垂足為D,BD=6cm,0D=8cm,OB=10cm,那么點(diǎn)B

到0D的距離是，點(diǎn)O到BC的距離是.0、B兩點(diǎn)之間的距離

是.

5.如圖，已知AD〃BC,Z1=Z2,說(shuō)明N3+N4=180°,請(qǐng)完成說(shuō)明過(guò)程,

并在括號(hào)內(nèi)填上相應(yīng)依據(jù)：

解：Z3+Z4=180°,理由如下：

VAD/7BC(已知),

.*.Z1=Z3().

VZ1=Z2(已知)，

/.Z2=Z3(等量代換)，

//(),

.,.Z3+Z4=180°().

6.已知NAGE=NDHF,Z1=Z2,則圖中的平行線有幾對(duì)？分別是？為什

么？

7.已知：如圖，AB〃CD,直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F,NBEF的平

分線與NDEF的平分線相交于點(diǎn)P,求證NP=90°.

【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，進(jìn)一步熟練相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用和提高解題

能力.教師一定要關(guān)注推理性問(wèn)題的解答過(guò)程是否規(guī)范，推理是否正確，理由是

否充分.

AE,B

CFL

【答案】l.D2.A3.B

4.6cm,8cm,10cm

5.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等BE〃DF,同位角相等，兩直線平行兩直線平行,

同旁內(nèi)角互補(bǔ)

6.解：兩對(duì)，AB〃CD,GM〃HN,VZAGE=ZBGF(對(duì)位角相等)，

NAGE=NDHF,AZBGF=ZDHF,AAB//CD.

VZBGF=ZDHF,Z1=Z2,

ZBGF-Z1=ZDHF-Z2,

.\ZMGF=ZNHF,，GM〃HN.

7.證明：過(guò)點(diǎn)P作PQ〃AB

E]B

7\4

VAB/7CD,，PQ〃CD,I.N1=N2.：AB〃PQ,/.Z3=Z4.VAB/7CD,

AZBEF+ZEFD=180°.

：PE、PF分別平分NBEF、ZEFD,

.*.Z2=-ZDFE,Z4=-ZBEF.

AZ2+Z4=-ZDFE+-ZBEF=-(ZDFE+ZBEF)=-X180°=90°,

2222

.*.Zl+Z3=Z2+Z4=90°,ZEPF=90

課后作業(yè)

完成《狀元導(dǎo)練》中本課時(shí)練習(xí)的“本章重點(diǎn)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練”部分.

a教學(xué)反思

全章復(fù)習(xí)的目的是使學(xué)生進(jìn)一步系統(tǒng)掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法,

進(jìn)一步提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地分析和解決