浙江省稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題含解析

PAGE22-浙江省稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題（含解析）一、選擇題（共10小題）.1.已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，A＝{﹣2，0，1}，B＝{﹣1，0}，則＝（）A.{﹣2，﹣1，1，2} B.{2} C.{1，2} D.{0}【答案】B【解析】【分析】依據(jù)并集和補(bǔ)集的定義，計(jì)算即可.【詳解】由A＝{﹣2，0，1}，B＝{﹣1，0}，所以A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}；又全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以＝{2}.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了并集和補(bǔ)集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.2.已知為虛數(shù)單位，其中，則該復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則得，由共軛復(fù)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意得，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.3.某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖還原幾何體，可知該幾何體為圓柱挖去一個(gè)圓錐，底面半徑均為2，高為4，再由圓柱體積減去圓錐體積求解.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖，該幾何體為圓柱挖去一個(gè)圓錐，底面半徑均為2，高為4.則該幾何體的體積V.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)三視圖求體積，還原幾何體是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和空間想象實(shí)力.4.若實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則z＝3x﹣2y的最大值是（）A.0 B.2 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，平移直線，數(shù)形結(jié)合求解即可.詳解】由題意作出可行域，如圖：由，解得，目標(biāo)函數(shù)z＝3x﹣2y可轉(zhuǎn)化為，平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線經(jīng)過B時(shí)，z取得最大值，此時(shí).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.5.已知函數(shù)f（x）＝ax+b的圖象如圖所示，則函數(shù)h(x)＝loga(﹣x+b)圖象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先由一次函數(shù)的圖象得0＜a＜1，﹣1＜b＜0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解除B、C，結(jié)合h(0)無意義可解除A，即可得解.【詳解】由函數(shù)f(x)＝ax+b的圖象可知，0＜a＜1，﹣1＜b＜0，所以函數(shù)y＝logax單調(diào)遞減，所以函數(shù)h(x)＝loga(﹣x+b)單調(diào)遞增，故解除B、C；因?yàn)椹?＜b＜0，所以h(0)＝logab無意義，可解除A.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)a＞0，b＞0，則“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】a+b≥2可知，而，可得a2+b2≥2.反之不成立，可以通過舉反例說明.【詳解】∵a+b≥2所以，又因?yàn)?，∴a2+b2≥2.，故充分.反之不成立，例如a，b＝0.，故不必要.∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯條件的推斷，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.7.設(shè)0＜a，隨機(jī)變量X的分布列為：X﹣2﹣112Paa則當(dāng)a在增大時(shí)，（）A.D（X）增大 B.D（X）減小C.D（X）先增大后減小 D.D（X）先減小后增大【答案】C【解析】【分析】依據(jù)公式D（X）＝E（X2）﹣（EX）2求出方差，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量X2的數(shù)學(xué)期望3，∴隨機(jī)變量X的方差D（X）＝E（X2）﹣（EX）2，∴當(dāng)a在增大時(shí)，D（X）先增大后減小，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.8.已知橢圓C：1（a＞b＞0），F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓與A、B兩點(diǎn)，∠AF1B＝90°，2，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的關(guān)系可得線段的關(guān)系，設(shè)|F2A|＝3x，則|F2B|＝2x，由橢圓的定義可得|F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，再由∠AF1B＝90°，由勾股定理可得x的值，進(jìn)而求出|AF1|，|AB|的值，進(jìn)而求出∠F1AB的余弦值，由半角公式求出sin，進(jìn)而求出離心率.【詳解】如圖所示：因?yàn)?，設(shè)|F2A|＝3x，|F2B|＝2x，|所以F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，因?yàn)椤螦F1B＝90°，所以（5x）2＝（2a﹣3x）2+（2a﹣2x）2，解得，則|F2A|＝a，|AB|，|F1B|a，|F1A|＝a，所以可得A為短軸的頂點(diǎn)，在△ABF1中，cos∠F1AB，所以sin，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義，焦點(diǎn)三角形以及離心率的求法，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.9.如圖，△ABC中，AB⊥BC，∠ACB＝60°，D為AC中點(diǎn)，△ABD沿BD翻折過程中，直線AB與直線BC所成的最大角、最小角分別記為α1，β1，直線AD與直線BC所成最大角、最小角分別記為α2，β2，則有（）A.α1＜α2，β1≤β2 B.α1＜α2，β1＞β2C.α1≥α2，β1≤β2 D.α1≥α2，β1＞β2【答案】D【解析】【分析】翻折到180°時(shí)，AB，BC所成角最小，β1＝30°，AD，BC所成角最小，β2＝0°，翻折0°時(shí)，AB，BC所成角最大，可知α1＝90°，翻折過程中，可知AD的投影可與BC垂直，從而AD，BC所成最大角α2＝90°，推導(dǎo)出α1＝90°，β1＝30°，α2＝90°，β2＝0°.【詳解】翻折到180°時(shí)，AB，BC所成角最小，可知β1＝30°，，AD，BC所成角最小，β2＝0°，翻折0°時(shí)，AB，BC所成角最大，可知α1＝90°，翻折過程中，可知AD的投影可與BC垂直，所以AD，BC所成最大角α2＝90°，所以α1＝90°，β1＝30°，α2＝90°，β2＝0°.故α1≥α2，β1＞β2.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折問題，直線與直線的位置關(guān)系，還考查了空間想象，邏輯推理的實(shí)力，屬于中檔題.10.已知數(shù)列{an}滿意，an+1＝an+1，a1＝a，則肯定存在a，使數(shù)列中（）A.存在n∈N*，有an+1an+2＜0B.存在n∈N*，有（an+1﹣1）（an+2﹣1）＜0C.存在n∈N*，有D.存在n∈N*，有【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)與y＝x有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（1，1），對(duì)a分類推斷A，B錯(cuò)誤；由a1＞1時(shí)，a2肯定小于，則之后均小于，推斷D錯(cuò)誤；舉例說明C正確.【詳解】因?yàn)閍n+1＝an+1，所以在函數(shù)圖象上，因?yàn)榕cy＝x有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（1，1），如圖所示：可知當(dāng)a1＜0時(shí)，數(shù)列遞減，∴an＜0；當(dāng)0＜a1＜1時(shí)，數(shù)列遞增，并且an趨向1；當(dāng)a1＞1時(shí)，數(shù)列遞減，并且an趨向1，則可知A，B錯(cuò)誤；又當(dāng)x＞1時(shí)，，則當(dāng)a1＞1時(shí)，a2肯定小于，則之后均小于，∴D錯(cuò)誤；對(duì)于C，可取，得，，所以，滿意要求.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特性，還考查了推理論證的實(shí)力，屬于難題.二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分.11.雙曲線的焦距是__________；漸近線方程是__________．【答案】(1).4(2).【解析】，所以焦距為，令，解得漸近線方程為.12.已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣1，2），則tanα＝______，sin2α＝_______.【答案】(1).﹣2(2).【解析】【分析】由題意利用隨意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的正弦公式，得出結(jié)論.【詳解】解：由定義知tanα＝﹣2，，則，故答案為：﹣2；.【點(diǎn)睛】本題考查了隨意角的三角函數(shù)的定義，二倍角的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.13.綻開式中常數(shù)項(xiàng)是_______，最大的系數(shù)是_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由題意利用二項(xiàng)定理綻開式的通項(xiàng)公式求得綻開式中常數(shù)項(xiàng)，從而代入檢驗(yàn)得到系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】依據(jù)二項(xiàng)定理綻開式的通項(xiàng)公式可得，令，求得，可得常數(shù)項(xiàng)為，綻開式中各項(xiàng)的系數(shù)為，，，，，；因而系數(shù)最大的項(xiàng)是的系數(shù)，最大為，故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)定理綻開式通項(xiàng)的應(yīng)用，最大項(xiàng)系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.14.已知△ABC中，AB＝3，BC＝5，D為線段AC上一點(diǎn)，AB⊥BD，，則AC＝_____，△ABC的面積是_____.【答案】(1).(2).【解析】【分析】由題意設(shè)AD＝3x，CD＝4x，在△ABC中，由余弦定理可求x的值，可求AC的值，進(jìn)而可求sinA，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)AD＝3x，CD＝4x，在△ABC中，由余弦定理可知，可知，可得：，可得：，可得：S△ABCbcsinA.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)f（x）＝x2+2x+a（a＜0），若函數(shù)y＝f（f（x））有三個(gè)零點(diǎn)，則a＝______.【答案】【解析】【分析】令，由，可得，再依據(jù)有三個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合的圖象得到，解方程得到的值.【詳解】解：令，由可知，，∵，有三個(gè)零點(diǎn)，∴有三解，由圖象的圖象，可知有兩個(gè)解，有一個(gè)解，則，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用,考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)結(jié)合的實(shí)力,屬于難題.16.某學(xué)校高一學(xué)生2人，高二學(xué)生2人，高三學(xué)生1人，參與A、B、C三個(gè)志愿點(diǎn)的活動(dòng).每個(gè)活動(dòng)點(diǎn)至少1人，最多2人參與，要求同年級(jí)學(xué)生不去同一活動(dòng)點(diǎn)，高三學(xué)生不去A活動(dòng)點(diǎn)，則不同的支配方法有_____種.（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】【分析】以高三學(xué)生是否單獨(dú)去志援點(diǎn)分為兩類，每一類中先支配高三學(xué)生，再支配高一、高二學(xué)生，由乘法原理算出兩類支配方法，相加即可.【詳解】若高三學(xué)生單獨(dú)去志愿點(diǎn)，則有種，若高三學(xué)生與其它年級(jí)學(xué)生合去志愿點(diǎn)，按先分組再分到志愿點(diǎn)思路，有32種，則共有種支配方法.故答案為：40.【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，以高三學(xué)生是否單獨(dú)去志愿點(diǎn)確定分類的方法，再逐級(jí)支配，考查乘法原理，屬于中檔題.17.如圖，已知矩形ABCD中，AD＝1，AB，E為邊AB的中點(diǎn)，P為邊DC上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），（0＜λ＜1），設(shè)線段AP與DE的交點(diǎn)為G，則的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】由圖可得△AGE與△PGD相像，可得，表示出（1+2λ2），換元，構(gòu)造函數(shù)，利用不等式即可得到答案【詳解】因△AGE與△PGD相像，所以，則，令，則（t）﹣11，當(dāng)且僅當(dāng)，即取到.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想，三角形相像的性質(zhì)等，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫成文字說明、證明過程或演算步驟.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)f（x）的周期與的值；（2）若，求函數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2π，；（2）【解析】【分析】（1）先結(jié)合正弦的兩角和公式與協(xié)助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)，于是可得周期，再把x代入運(yùn)算即可得解；（2）先結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)算出函數(shù)的值域，進(jìn)而得的值域.【詳解】（1），∴函數(shù)的周期為2π，.（2）∵，∴，∴，于是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，正弦型函數(shù)的最小正周期以及值域問題，將函數(shù)化為形式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為等邊三角形，AB＝ADCD＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠PDC＝60°，E為BC的中點(diǎn).（1）證明：AD⊥PE.（2）求直線PA與平面PDE所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）60°【解析】【分析】（1）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，EO，通過PO⊥AD，EO⊥AD，推出AD⊥面PEO，即可證明AD⊥PE；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，連HQ，求出平面PDE的法向量，然后利用空間向量的數(shù)量積求解直線PA與平面PDE所成角.【詳解】（1）證明：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，EO，由PO⊥AD，EO⊥AD，PO∩EO＝O可知：AD⊥面PEO，且PE?面PEO，則AD⊥PE.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，作PQ⊥CD，PH⊥OE，連HQ，因PH⊥平面ABCD，知HQ⊥CD，由∠PDC＝60°知DQ＝1，OH＝DQ＝1，由，在Rt△PHO中，可知，則，A（0，﹣1，0），D（0，1，0），E（3，0，0），則，設(shè)平面PDE的一個(gè)法向量為，則，令，得設(shè)直線PA與平面PDE所成角為θ，則，則直線PA與平面PDE所成角為60°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明，空間向量的應(yīng)用之求線面角，屬于中檔題.20.已知數(shù)列{an}滿意，an+2＝3an+1﹣2an，a1＝1，a2＝3，記bn，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.（1）求證：{an+1﹣an}為等比數(shù)列，并求an；（2）求證：Sn.【答案】（1）證明見解析；an＝2n﹣1，n∈N*；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)將題干中遞推公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可得，從而可證得數(shù)列{an+1﹣an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則有，n∈N*.然后依據(jù)此遞推公式的特點(diǎn)運(yùn)用累加法可計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)先依據(jù)第(1)題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，留意在詳細(xì)證明過程中運(yùn)用分析法證明根式不等式成立，綜合即可證得不等式成立.【詳解】證明：（1）依題意，由an+2＝3an+1﹣2an，可得：，∵a2﹣a1＝3﹣1＝2，∴數(shù)列{an+1﹣an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，n∈N*.故a1＝1，a2﹣a1＝21，a3﹣a2＝22，…an﹣an﹣1＝2n﹣1，各項(xiàng)相加，可得an＝1+21+22+…+2n﹣12n﹣1，n∈N*.（2）由（1）知，bn，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝b1，∵右邊，要證明：，只要證明：2，兩邊平方，可得，化簡(jiǎn)整理，得27，∵（2）2＝40＜72＝49，∴成立，即當(dāng)n＝1時(shí)，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即Sk，則當(dāng)n＝k+1時(shí)，，要證明：Sk+1，只要證明：，，化簡(jiǎn)，得，兩邊平方，可得（）2≤（）2，化簡(jiǎn)整理，得3k+7，兩邊平方，可得（3k+4）（3k+10）≤（3k+7）2，化簡(jiǎn)整理，得9k2+42k+40≤9k2+42k+49，∵40＜49，∴9k2+42k+40≤9k2+42k+49成立，∴成立，即：Sk+1成立，∴當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式也成立.綜上所述，可得對(duì)n∈N*成立，故得證.【點(diǎn)睛】本題考查遞推法證明等比數(shù)列，考查數(shù)學(xué)歸納法、分析法在證明數(shù)列不等式中的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為.（1）求的值；（2）如上圖，已知?jiǎng)泳€段（在的右邊）在直線上，且，現(xiàn)過作的切線，取左邊的切點(diǎn)，過作的切線，取右邊的切點(diǎn)為，當(dāng)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出拋物線的準(zhǔn)線