2024年中考數(shù)學一輪復習與圓有關的位置關系的核心知識點 講義（含答案）

高考復習材料

與圓有關的位置關系的核心知識點精講

面r^^jj

1.探索并了解點和圓、直線和圓以及圓和圓的位置關系.

2.知道三角形的內(nèi)心和外心.

3.了解切線的概念，并掌握切線的判定和性質，會過圓上一點畫圓的切線.

考點1：點與圓的位置關系

設。。的半徑是r,點P到圓心。的距離為d,則有:

d<ro點P在<30內(nèi)；

d=ro點P在上；

d>ro點P在。0外。

考點2：直線與圓的位置關系

1、直線與圓相離nd>rn無交點；

2、直線與圓相切nd=rn有一個交點；

3、直線與圓相交nd<rn有兩個交點；

考點3：切線的性質與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;

兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可

即：?.,跖VLCU且過半徑。4外端

.?."N是。0的切線

2、性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）

推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。

推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。

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以上三個定理及推論也稱二推一定理:

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

考點4：切線長定理

切出長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條

切線的夾角。

即：???R4、可是的兩條切線

:.PA=PB；P0平分NBPA

考點5：三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

（1）三角形的內(nèi)切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。

（2）三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心。

注意：內(nèi)切圓及有關計算。

（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。

（2）4ABC中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓的半徑片土吆三。

2

（3）SAABC=—r（a+b+c）＞其中a,b,c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。---

（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。,0A

如圖，BC切。0于點B,AB為弦，NABC叫弦切角，NABC=ND。

B

工或例即領

【題型1:點、直線與圓位置關系的判定】

【典例1】（2024?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知。。的半徑為2,圓心。到直線/的距離為3,點尸為圓上的

一個動點，則點P到直線I的最大距離是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【解答】解：如圖，由題意得，OA=2,OB=3,

當點尸在的延長線與O。的交點時，點P到直線I的距離最大，

此時，點尸到直線/的最大距離是3+2=5,

故選：B.

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■即時的泅

1.（2024?六盤水）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是

（）

,一“竺妁叫戈

A.相切B.相交C.相離D.平行

【答案】B

【解答】解：根據(jù)直線與圓的位置關系可得，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系相交，

故選：B.

2.（2024?浙江）已知平面內(nèi)有。。和點HB,若半徑為2c相，線段。4=3c加，OB=2cm,則直線N8

與OO的位置關系為（）

A.相離B.相交

C.相切D.相交或相切

【答案】D

【解答】解：。。的半徑為2cm,線段O/=3cm,OB=2cm,

即點/到圓心。的距離大于圓的半徑，點3到圓心O的距離等于圓的半徑，

二點/在O。外，點8在O。上，

直線N3與。。的位置關系為相交或相切，

故選：D.

\曲例弓陶

【題型2：切線的判定與性質】

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【典例2】（2024?鹽城）如圖，在△/8C中，。是NC上（異于點4,C）的一點，。。恰好經(jīng)過點B,

于點。，且48平分NC4D

（1）判斷2c與。。的位置關系，并說明理由.

（2）若NC=10,DC=8,求OO的半徑長.

【答案】(1)2c與OO相切，理由見解答；

(2)。。的半徑長為坨.

4

【解答】解：(1)3c與。。相切，理由如下:

如圖，連接。2,

；OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA,

■:AB平分N。。，

ZDAB=ZCAB,

：.ZDAB=ZOBA,

J.AD//OB,

'：AD±CB,

：.OB±CB,

：。2是O。的半徑，

...BC與O。相切；

(2)VZD=90°,AC=10,DC=8,

?,?^￡)=VAC2-DC2=6,

'JAD//OB,

.OB=OC；

"AD而’

??-O--B-_-1--0----0-A--，

610

；OA=OB,

.*.05=-1§-,

4

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.??OO的半徑長為生.

4

D

V6D時梏遮

1.（2024?河南）如圖，尸/與。。相切于點/,尸。交0。于點8,點。在尸/上，且C8=C4.若CM=5,

PA=12,則CA的長為

一3—

AC0

【答案】1P..

3

【解答】解：連接OC,

AC「

:尸/與。。相切于點力,

AZOAP=90°,

"：OA=OB,OC=OC,CA=CB,

:.△OAC^AOBCCSSS）,

：.ZOAP=ZOBC=90°,

在RtzXO/尸中，CM=5,P/=12,

-"-0P=VOA2+AP2=V52+122=13,

；AOAC的面積+ZXOCP的面積=的面積,

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IJOA?AC+l-OP-BC^IJOA-AP,

222

，OA-AC+OP-BC=OA?AP,

，5/C+138c=5X12,

：.AC=BC=^-,

3

故答案為：曲

3

2.（2024?武漢）如圖，在四邊形N2CD中，AB//CD,ADLAB,以。為圓心，4D為半徑的弧恰好與3c

相

切，切點為￡,若膽=A,則sinC的值是（）

CD3

A.ZB.近C.3D.近

3344

【答案】B

【解答】解：連接。8、DE,設/8=%，

???AB_,1

CD3

:?CD=3AB=3m,

??Z。是。。的半徑，ADL4B,

：.AB是OD的切線，

;。。與5C相切于點。

：.BC±DE,EB=AB=m,/CBD=/ABD,

，：AB〃CD,

：.NABD=NCDB,

:?/CBD=/CDB,

:?CB=CD=3m,

:?CE=CB-EB=3m-m=2m,

■:/CED=90°,

；?￡?￡=VCD2-CE2=V(3m)2-(2m)2=后,

.".sinC=DE=^a=2ZL,

CD3m3

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3.(2024?內(nèi)蒙古)如圖，AB是。。的直徑，E為O。上的一點，點C是窟的中點，連接2C,過點C的直

線垂直于BE的延長線于點D,交BA的延長線于點P.

(1)求證：尸C為。。的切線；

(2)若PC=2如BO,PB=1Q,求3E的長.

(1)證明：連接OC,

'?,點C是金的中點，

/.ZABC=ZDBC,

,：OC=OB,

ZABC=ZOCB,

：./DBC=NOCB,

：.OC//DB,

"JPDLBD,

：.PD±CO,

??.PC為OO的切線；

(2)解：連接NE,OB=OC=r,

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,:PC=2近BO=2近r,

8=4，+(21?r)2=3r,

VPB=10,

3r+r=10,BPr=—.

2

'：OC//DB,

：.^XPCO^/\PDB,

?.?OC--P-O,

BDPB

_5型

?7J~2~,

'?而十，

3

'：AB是。。的直徑，

：.AEVBD,

J.AE//PD,

???,BE--B-A,

BDBP

.BE__5_

"10_=10'

V

:.BE=2.

3

4.(2024?東營)如圖，在△48C中，AB=AC,以N8為直徑的。。交BC于點D,DELAC,垂足為E.

(I)求證：是。。的切線；

(2)若/C=30°,CD=2M，求而的長.

【答案】（1）證明見解答;

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(2)命的長是里L.

3

【解答】(1)證明：連接則OD=O8,

：.ZODB=ZB,

'：AB=AC,

："C=4B,

：.ZODB=AC,

J.OD//AC,

?；D￡_L/C于點E,

：./ODE=/CED=90°,

是。。的半徑，DELOD,

是。。的切線.

(2)解：連接

'：AB是OO的直徑，

:.NADB=90°,

J.ADLBC,

"：AB=AC,CD=2yf3,

:.BD=CD=2M，

VZB=ZC=30",

.\AD=BD-tan30°=2百X近=2,

3

?：OD=OA,ZAOD=2ZB=60°,

是等邊三角形，

：?OD=AD=2,

VZBOD=\SO°-ZAOD=l20o,

,-,1-_1-2--0-兀--乂--2-_-4-兀-，

BD1803

而的長是里L.

3

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,?典例用領

【題型3：三角形的外接圓和內(nèi)切圓】

【典例3】（2024?畢節(jié)市）如圖，是△4BC的外接圓，點E是△48C的內(nèi)心，/￡的延長線交3C于點

F,交。。于點。，連接2D,BE.

ci）求證：DB=DE；

（2）若/E=3,DF=4,求。3的長.

D

【答案】（1）見解析;

（2）6.

【解答】（1）證明：：點E是△N8C的內(nèi)心,

平分NA4C,BE平濟/ABC,

：.NBAD=/CAD,ZABE=ZCBE,

又ZCAD與NCBD所對弧為防，

/.ZCAD=ZCBD=ZBAD.

,：/BED=ZABE+ZBAD,NDBE=NCBE+NCBD,

：.ZBED=ZDBE,

故DB=DE.

（2）解：VZD=ZD,ZDBF=ZCAD=ZBAD,

.MABDs^BFD,

ABD__ADQ；

FDBD

；DF=4,AE=3,設斯=x,

由（1）可得nB=Z）E=4+x,

則①式化為生區(qū)上工，

44+x

解得：%1=2,X2=-6（不符題意，舍去），

貝l]D5=4+x=4+2=6.

.加時格測

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1.(2024?攀枝花)己知△N3C的周長為/,其內(nèi)切圓的面積為nr2,則△/BC的面積為()

A.Ar/B.Anr/C.rlD.TT/7

22

【答案】A

【解答】解：如圖，設內(nèi)切圓。與△N8C相切于點。，點E,點/，連接ON,OB,OC,OE,OF,

OD,

?.28切。。于E,

：.OELAB,OE=r,

：.SMOB=LBXOE=LBXr,

22

同理：SABOc^—BCXr,

2

Sgoc=L4cX%

2

AS^S^AOB+S^BOC^SAAOC=Xr+-l.BCXr+X4CX-LCAB+BC+AC）Xr,

2222

"：l=AB+BC+AC,

：.S=ljr,

2

故選：A.

2.（2024?濟寧）如圖，在△/8C中，點。為△NBC的內(nèi)心，ZA=60°,CD=2,BD=4.則△O8C的面

積是（）

【答案】B

【解答】解：過點5作28,CO的延長線于點

丁點。為△NBC的內(nèi)心，//=60°,

ZDBC+ZDCB=1.(.ZABC+ZACB)=工(180°-ZA),

22

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:./BDC=90°+工//=90°+1.X600=120°，

22

則/8?！?60°,

；BD=4,

:.DH=2,BH=ZM，

\'CD=2,

...△。8。的面積=/?！?，=4乂2乂2?=2?，

故選：B.

3.（2024?鎮(zhèn)江）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個

直角三角形，勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多

少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)勾、股，求得弦長.用勾、股、弦相加作為除數(shù)，用勾乘以

股，再乘以2作為被除數(shù)，商即為該直角三角形內(nèi)切圓的直徑，求得該直徑等于6步（注：“步”為

勾8

【答案】6.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為而再/=17,

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑『8+15-17=3（步），即直徑為6步，

2

故答案為：6.

4.（2024?湖州）如圖，在Rta/BC中，N/CB=90°,點。在邊/C上，以點。為圓心，0c為半徑的半

圓與斜邊48相切于點。，交04于點E,連結02.

（1）求證：BD=BC.

（2）已知。C=l,ZA=30°,求的長.

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coEA

【答案】（1）見解答；

（2）

【解答】（1）證明如圖，連結0D,

C0EA

?.?半圓。與AS相切于點。，

J.ODLAB,

VZACB=90°,

：.ZODB=ZOCB=90°,

在RtAODB和RtAOC5中，

fOB=OB,

"OD=OC,

Z.RtAOnfi^RtAOCB（HL）,

：.BD=BC-,

（2）解如圖，；//=30°,ZACB^90°,

：.ZABC=60°,

VRtAOOS^RtAOCS,

?*-ZCB0=ZDBO-^ZABC=30°，

在RtZkOBC中，

OC=\,

BC=+受用，

tan30

在RtA^SC中，

基礎過關

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一.選擇題（共8小題）

1.平面內(nèi)，已知。。的半徑是8cm,線段。尸=7cw,則點尸（）

A.在外B.在O。上C.在。。內(nèi)D.不能確定

【答案】C

【解答】解：?平面內(nèi)，已知O。的半徑，是8cm,線段0P=7c%,

：.r>OP,

/.點P在。。內(nèi).

故選：C.

2.已知三角形的周長為12,面積為6,則該三角形內(nèi)切圓的半徑為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解答】解：設這個三角形的內(nèi)切圓半徑是『，

:三角形周長為12,面積為6,

.,」X⑵=6,

2

解得r=l.

故選：D.

3.如圖，PA、PB、CD是。。的切線，4、B、E是切點，CD分別交線段尸/、PB于C、。兩點，若/APB

=40°,則/COD的度數(shù)為（）

【答案】C

【解答】解：由題意得，連接ON、OC、OE、OD、OB,所得圖形如下:

由切線性質得，CM_LP4OBLPB,OELCD,DB=DE,AC=CE,

"：AO=OE=OB,

：./\AOC^/\EOC(SAS),△EOD妾XBOD(SAS),

：.ZAOC=ZEOC,ZEOD=ZBOD,

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；.NCOD=L/4OB,

2

VZAPB=40°,

AZAOB=140°,

：.ZCOD=70°.

4.己知O。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,那么直線/與。。的公共點的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.無法確定

【答案】A

【解答】解：:。。的半徑等于5,圓心。到直線/的距離為6,

即圓心O到直線I的距離大于圓的半徑，

.?.直線/和。。相離，

.?.直線/與O。沒有公共點.

故選：A.

5.已知和直線/相交，圓心到直線/的距離為10°冽，則OO的半徑可能為（）

A.11cmB.10cmC.9cmD.8cm

【答案】4

【解答】解：?.?。。和直線/相交

又??,圓心到直線I的距離為10c加

.*.r>10cm

故選：A.

6.如圖，已知中，AB=AC,ZABC=10°，點/是△/5C的內(nèi)心，則N5/C的度數(shù)為（)

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A.40°B.70°C.114°D,140°

【答案】C

【解答】解：??】8=4C,NABC=1Q°,

:點/是△/BC的內(nèi)心，

:.NIBC=L/ABC=35°,/ICB=L/ACB=35°,

22

；.NIBC+/ICB=70°,

/.Z5ZC=180°-(NIBC+NICB)=114°.

7.如圖，48與。。相切于點2,/。的延長線交于點C,連接BC.若//=36°,則/C的度數(shù)為（

【答案】B

【解答】解：連接

切圓。于8,

J.OBLAB,

：.ZOBA=9Q°,

VZv4=36°,

二405=180°-NA-NOBA=54°,

：/C和NZ08是同弧所對的圓周角和圓心角,

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???/。=工/4。5=27°.

2

8.如圖，45為。。的直徑，CZ）切。。于點C,交45的延長線于點。，且CO=CZ）,則NZ的度數(shù)為（

【答案】C

【解答】解：???8切OO于C,

：.OCLCD,

：.ZOCD=90°,

?：CO=CD,

：.ZCOD=ZD=45°,

9：OA=CO.

：.ZOAC=ZOCA,

9：ZCOD=ZOAC+ZOCA=45°,

???N/=22.5°.

二.填空題（共4小題）

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9.如圖，已知N4O5=30°,M為OB邊上任意一點,以"為圓心，2c機為半徑作。"，當（W=4cm

時，O7與。4相切.

【解答】解：作于點〃，如圖,

當必/=2c加時，OM與O/相切,

因為NO=30°,

所以此時0M2MH=4cm,

即0M=4CM?時，OM與0A相切.

點。為。。上一點，過點。作。。的切線，交直徑的延長線于點。，若

ZABC=65°,則ND的度數(shù)是40度.

?；CD為OO的切線,

OCLCD,

：.ZOCD=90°,

OC=OB,

：./OCB=/OBC=65°

:?NBCD=NOCD-NOCB=90°-65°=25°,

VZOBC=ZBCD+ZD

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/.ZD=65°-25°=40°.

故答案為：40.

11.如圖，PA,尸3是。。的切線，A,3是切點.若NP=50°,則130°

【答案】130°.

【解答】解：??//,總是OO的切線，A,2是切點,

：.OA±PA,OBLPB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

VZOAP+ZAOB+ZOBP+ZP^36Q°,

ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°.

故答案為130°.

12.如圖是一塊直角三角形木料，ZA=90°,AB=3,AC=4,木工師傅要從中裁下一塊圓形木料，則可

裁圓形木料的最大半徑為

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：；N/=90°,AB=3,AC=4,

5C=VAB2+AC2=V32+42=5'

圓形木料的最大半徑=廿殳=1,

2

故答案為：1.

三.解答題(共3小題)

13.如圖，48是。。的直徑，C是。。上的一點，直線經(jīng)過點C,過點/作直線的垂線，垂足為

點。，且/C平分/8/D.

(I)求證：直線是。。的切線；

(2)若/。=4,AC=5,求。。的半徑.

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【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）連接OC,

9

：OA=OCf

；?NOAC=NOCA,

NCAB=NDAC,

：.ZDAC=ZOCA,

：.OC//AD,

9：AD±MN,

：.OCLMN,

?「oc為半徑，

???山是。。切線；

(2)???/5是。。的直徑,

\ZACB=90°,

；ZACB=ZADC=90°,

/ZDAC=ABAC,

*.AADCs^ACB,

.?—A—D-A—C,

ACAB

?4—5

?~——7

5AB

14.如圖，N8為。。的直徑，C為。。上一點，。為NC的中點，過C作。。的切線交的延長線于￡,

交N2的延長線于R連口.

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（1）求證：EA與O。相切；

（2）若CE=3,CF=2,求。。的半徑.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】（1）證明：如圖，連接。C,

:跖為切線，

.,.ZOC￡=90°,

?.?。為4c中點，

：.OE±AC,

：.EC=EA,

：.ZECA^ZEAC,

'：OA=OC,

；.N0C4=NOAC,

：.ZOAC+ZEAC=ZOCA+ZECA=90°,

即NE/O=90°,

為OO的切線；

(2)解：連接8C,

,：AB為直徑，

/.ZBCA=90°,

：.ZCAB+ZCBA^90°,

丁斯為切線，

；./BCF+/BCO=90°,且/8。0=/如，

/.ZBCF=ZCAF,

：.ABCFsACAF,

??-C-F=--B-F,

AFCF

由(1)知E4為O。切線，則E/=EC=3,EFEC+FC=5,

在RtzX/EF中，可求得/尸=4,

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.?.2JL,解得2尸=i,

42

:.AB=AF-BF=3,

二。。的半徑為旦.

15.如圖，已知，是。。的直徑，8c切。。于8,弦?！辍∣C,連接O)并延長交BE的延長線于點

A.

(1)證明：CD是。。的切線；

(2)若40=2,/￡=1,求CD的長.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接OD,

\'ED//OC,

：.ZCOB=ZDEO,ZCOD=ZEDO,

?：0D=0E,

：.ZDEO=ZEDO,

：.ZCOB=ZCOD,

在△8CO和△OCO中，

rOB=OD

-ZCOB=ZCOD

,oc=oc

.?.△8CO絲△DCO(SAS),

：.4CD0=ZCB0,

為圓。的切線，

：.BC±OB,即NC5O=90°,

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：.ZCDO=90°,

又TOD為圓的半徑，

CD為圓。的切線；

(2)解：3c分別切。。于。，B,

：.CD=BC,

"：AD2=AE'AB,即22=1?/8,

.?.45=4,

設CQ=5C=x,貝lj4C=2+x,

"：A2C=AB2+BC2

：.(2+x)2=42+無2,

解得：x=3,

:.CD=3.

選擇題（共6小題）

1.如圖，Rt448C中，//C8=90°,點。是內(nèi)心，若CO=2,ZUBC的周長為16,則的面積為

)

啦C.16D.32

【答案】B

【解答】解：過。點作于。點，OE_L/C于E點，。尸，3c于尸點，連接O/、OB,如圖,

:。。為△NBC的內(nèi)切圓,

：.OD=OE=OF,OC平分N/C8,

：.ZOCE=ZOCF=^LZACB=45°,

2

高考復習材料

0E=^^0C=近,

2

：.OD=OF=42>

***S"()aS"odSABOC=S“BC，

：.Ax5/2XA8+JLX5/2XAC+l.X5/2XBC=，?(AB+AC+BC),

2222

'：AB+AC+BC=16,

：.AABC的面積=-lx&><16=86，

2

故選：B.

2.一個等邊三角形的邊長為2,則這個等邊三角形的內(nèi)切圓半徑為（）

A.AB.1C.近D.V3

23

【答案】C

【解答】解:如圖：

；.OD=tan30°

3

故選：C.

3.如圖，已知空間站/與星球8距離為a,信號飛船C在星球8附近沿圓形軌道行駛，B,C之間的距離

為從數(shù)據(jù)S表示飛船C與空間站/的實時距離，那么S的最大值是（）

，-…、、

&----------------------

A.aB.bC.a+bD.a-b

高考復習材料

【答案】c

【解答】解：空間站/與星球2、飛船C在同一直線上時，S取到最大值a+江

故選：C.

4.在平面直角坐標系中，以點/（4,3）為圓心、以R為半徑作圓/與x軸相交，且原點。在圓N的外部,

那么半徑R的取值范圍是（）

A.0<7?<5B.3<7?<4C.3<R<5D.4<7?<5

【答案】C

【解答】解：'：A（4,3）,

0A=V?^?=5，

?原點。在圓工的外部，

：.R<OA,即尺<5,

.圓/與x軸相交，

：,R>3,

：.3<R<5,

故選：C.

5.在平面直角坐標系xOy中，以點（-3,4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的位置關系是（）

A.相交B.相離C.相切D.無法判斷

【答案】C

【解答】解：.圓心的坐標為（-3,4）,

圓心與x軸距離為4,等于其半徑4,

以點（-3,4）為圓心，4為半徑的圓與x軸的關系為相切.

故選：C.

6.如圖，PA,總分別與O。相切于/,2兩點，NC=55°,則/尸等于（）

【答案】B

【解答】解：連接05、OA,如圖，

；P/、尸8分別與圓。相切于4、2兩點,

J.OALPA,OBLPB,

：.ZOAP=ZOBP=90°,

高考復習材料

ZAOB=180°-ZP,

VZC=55°,

ZAOB=2ZC=114°,

Z.ZP=180°-114°=70°,

故選：B.

填空題（共4小題）

7.在《九章算術》卷九中記載了一個問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是:

“如圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長為8步，股（長直角邊）長為15步，問該直角三角形能容納

的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為6步.

N

引

旬

八

舟

股

1

//,

米

冏

句

中

卷

回

很A

H

一

【答案】6.

【解答】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊/8=布可曰=17,

內(nèi)切圓直徑=8+15-17=6（步），

故答案為：6.

8.如圖，PA,依分別與O。相切于/,2兩點，NP=60°,PA=6,則O。的半徑為，?

【答案】2正.

【解答】解：連接08,OP,

'.'PA,P3分別與。。相切于H8兩點,

：.OB±PB,PO平分NAPB,

高考復習材料

VZAPB=60°,

；.NOPB=L/APB=30°，

2

,.?tanOPS=tan30°=型，

PB

.?.O8=P8?tan30°=6X2^

3

???(DO的半徑是2。2

故答案為：2百.

9.如圖，在等邊三角形/2C中，BC=2,若OC的半徑為1,尸為邊上一動點，過點尸作OC的切線

PQ,切點為。，則PQ的最小值為_J5_.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，作8c于點E,CD,48于點。，連接CP、CQ,

.11

??BE=CE=yBC^-X2=l-

VZAEB=90Q,

AE=VAB2-BE2=722-12=V3，

高考復習材料

,-,yABCD=-1-BC-AE=SAABC-

?'-yX2CD=yX2XA/3）

CD=V31

：尸。切。。于點。，CQ=\,

：.PQ-LCQ,

：.ZCQP=90°,

PQ=VCP2-CQ2=VCP2-I2=VCP2-I，

，當CP的值最小時，尸0的值最小，

當點P與點。重合時，CP的值最小，此時CP=CD=?，

???尸。最小=4=V2，

故答案為：V2-

10.如圖，已知OP的半徑為1,圓心尸在拋物線y蔣乂2-1上運動，當。尸與X軸相切時，請寫出所有符

【解答】解：設點尸的坐標為（加，〃），

:點尸在拋物線夕=工--1上，

-2

n=-1,

2

:OP的半徑為1,

???當0P與X軸相切時，〃=1或〃=-1,

當〃=1時，則工7?2-1=1,

2

解得加i=-2,加2=2;

當n-—1時，則工m?-1=-1,

2

解得m=0,

???點尸的坐標為（-2,1）或（2,1）或（0,-1）,

高考復習材料

故答案為：(-2,1),(2,1),(0,-1).

三.解答題(共3小題)

11.如圖，△48C中，AB=AC,點。為2c上一點，且AD=DC,過/,3,。三點作O。，NE是。。的

直徑，連接DE.

(1)求證：NC是。。的切線；

(2)若sinC=_l,AC=6,求。。的直徑.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：-：AB^AC,AD=DC,

：.ZC=ZB,Z1=ZC,

；.N1=NB,

又：NE=NB,

：.Z1=ZE,

是。。的直徑，

:.NADE=90°,

：.ZE+ZEAD=90°,

：.Z\+ZEAD=90°,即/E/C=90°,

J.AELAC,

是O。的切線；

(2)解:過點。作DFL/C于點R如圖,

\"DA=DC,

；.CF=LC=3,

2

在RtzXCD尸中，VsinC=I^=A,

DC5

設。尸=4x,DC=5x,

，CF=VCD2-DF2=3x,

3x=3,解得x=l,

：.DC=5,

：.AD=5f

高考復習材料

?:/ADE=NDFC=90°,ZE=ZC,

:.△ADES/\DFC,

AAE=AD；即坐=S,解得/石=空

DCDF544

即O。的直徑為生.

4

12.如圖，在中，ZABC=90°,以N8為直徑的。。交/C于點￡,點。是8C邊上的中點，連

接?！?

(1)求證：與。。相切;

(2)連接。。交于點尸，若。。的半徑為3,DE=4,求22的值.

CF

【解答】解：(1)連接OE、BE,如圖所示:

VZABC=9Q°,

AZA+ZACB^90°,

'：AB是直徑，

ZAEB=90°,

:.NBEC=90°,

?.?。是8c的中點，

:.DE=ljBC=CD,

2

ZDEC=ZACB,

?：OA=OE,

高考復習材料

/.NA=NAEO,

：.ZAEO+ZDEC=90°,

：.ZOED=90°,

???OELDE,

為O。的半徑，

與OO相切；

(2)連接?！?gt;,如圖所示：

,:DE=1￡C=4,

2

：.BC=8,

?.78=2X3=6,

：.AC^yJ82+62=10;

VZABC=90°,

.?.3C與O。相切，根據(jù)切割線定理得：BC2=CE?AC,

.CP-BC28232

AC105

,。是48的中點，。是8c的中點，

二。。是△4BC的中位線，

J.OD//AC,OO=LC=5,

2

:.叢ODFs叢CEF,

.OF=0D=5=25

"CF"CE"3^"32'

13.如圖，N8是。。的直徑，3C交。。于點。，￡是面的中點，連接/￡交8c于點凡/ACB=2N

EAB.

(1)求證：/C是。。的切線；

(2)若cosC=2,/C=6,求8斤的長.

3

高考復習材料

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】(1)證明：連接如圖，

丁石是面的中點，

???DE=BE-

NEAB=/EAD,

'：ZACB^2ZEAB,

：.ZACB=ZDAB,

,：AB是O。的直徑，

/.ZADB=90°,

AZDAC+ZACB^90°,

：.ZDAC+ZDAB=90°,即/2/C=90°,

J.ACYAB,

/為OO的半徑，

是G)O的切線；

(2)解：作FH_L4B于H,如圖，

在RtzX/CD中，：cosC=d=Z,

AC3

CD——X6—4,

3

在RtZUCB中，：cosC=32=2,

BC3

;.BC=^X6=9,

2

：.BD=BC-CD=9-4=5,

,/ZEAB=ZEAD,即AF平分/B4D,

TfoFD±AD,FHLAB,

：.FD=FH,

設BF=x,則DF=FH=5-x,

?:FH〃AC,

：.ZHFB=ZC,

高考復習材料

在RtZXBFff中，cosABFH—cosC=—=

3BF

.?.立匹=2,解得x=3,

x3

即瓦7的長為3.

1.（2024?廣州）如圖，RtZUBC中，ZC=90°,AB=5,cos^=A,以點8為圓心，r為半徑作08,當

5

r=3時，02與NC的位置關系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】B

【解答】解：???RtZUBC中，ZC=90°,AB=5,cos^=A,

5

???AC_AC_4,

AB55

：.AC=4,

A5C=VAB2-AC2=3,

,?）=3,

:?BC=Y=3,

：.02與/C的位置關系是相切，

故選：B.

2.（2024?湘西州）如圖，為。。的直徑，點尸在的延長線上，PC,PD與。。相切，切點分別為

C,D.若加9=10,PC=n,貝Ijsin/C4。等于（）

D.12

B虛

高考復習材料

【答案】D

【解答】解：連接OC、OD、CD,CD交PA于E,如圖,

:PC,PD與。。相切，切點分別為C,D,

：.OCLCP,PC=PD,OP平分NCPD,

J.OPLCD,

???BC=BD-

：.ZCOB=ZDOB,

7ZCAD=yZCOD^

：.ZCOB=ZCADf

*：AB=10,

.\AO=OC=OB=5,

\'OC=5,尸。=12,

在RtZiOCP中，

OP=VoC2+PC2=^52+122=13）

sinNCOP-=-^->

卜OP13

1o

,,sinNCAD^y^.

Xo

故選：D.

3.（2024?泰州）如圖，直線垂足為X,點尸在直線6上，PH=4cm,。為直線6上一動點，若以

1c加為半徑的。。與直線a相切，則OP的長為3cm或5cm.

【解答】解：?.?直線。為直線6上一動點,

：.O。與直線a相切時，切點為H,

.'.OH—lcm,

高考復習材料

當點。在點〃的左側，O。與直線。相切時，如圖1所示:

當點。在點〃的右側，O。與直線a相切時，如圖2所示:

OP=PH+OH=4+1=5(cm)；

，O。與直線a相切，。尸的長為3cm或5CTM,

故答案為：3