湖南省長沙市2024屆高三年級下冊高考模擬卷(二)文科數(shù)學試題+答案解析

2024屆高考模擬卷(二)

數(shù)學(文科)

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

L已知/={xeN*|xV3},B={x\x2-4x<0}則()

A.{1,2,3}8.{1,2}C.(0,3]P.(3,4]

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式集合48,再由交集定義運算.

【詳解】因為/={%6]^*|》<3}={1,2,3},5=|x2-4x<o|={%10<x<4},

所以2口5={1,2,3}.

故選：A.

【點睛】本題考查集合的交集運算，確定集合中的元素是解題關鍵.

2.若復數(shù)4/2在復平面內對應點的坐標分別為(2,1),(0,-1),則Z/Z2=()

A.2+zB.l-2zC.-l-2zD.-i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得21=2+Z；Z2=-Z\再利用復數(shù)相乘，即可得到答案；

【詳解】z1=2+i,z2=-i,

Z]■z2=(2+z)-(—z)=1—2z,

故選：8.

【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的乘法運算，考查運算求解能力，屬于基礎題.

3.已知命題夕：x2+2x+3<0>則命題。的否定是

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A.3xeR,x2+2x+3>0B.VxeR,x2+2x+3<0

C.VxeR,X2+2X+3>0D.VxeR,x2+2x+3>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)特稱命題的否定，改變量詞，否定結論，可得出命題P的否定.

2

【詳解】命題0為特稱命題，其否定為“：VxeR,X+2X+3>0.

故選：C.

【點睛】本題考查特稱命題的否定的改寫，要注意量詞和結論的變化，屬于基礎題.

4.已知。=坐，b=log,工，“_￡,貝U（）

2ec-z

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】

2

【分析】容易得出0<生2<1,108,2<0,22〉1,從而可得出夕b,c的大小關系.

2e

In222

【詳解】?*0<=InV2<In=1,log2—<log21=0,義工>2°—1，，^^〃（乙

故選：D.

【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，考查了計算能力，屬于基礎題.

5「搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關鍵詞的次數(shù)為基礎所得到的統(tǒng)計指標.“搜索指數(shù)”越大,

表示網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索次數(shù)越多，對該關鍵詞相關的信息關注度也越高.如圖是2019年9月到2020

年2月這半年中，某個關鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖.根據(jù)該走勢圖，下列結論正確的是（）

35000

MHMJO

25000

20000

15000

10000

5000

0

9月10月IIH12MIH2月

A.這半年中，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性變化

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B.這半年中，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱

C.從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值

D從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，去年10月份的方差小于11月份的方差

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)走勢圖，逐一分析各個選項，即可得答案.

【詳解】對于A：由走勢圖可得，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度沒有周期性變換，故A錯誤；

對于B：從2月開始，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度上升，故B錯誤；

對于C：由走勢圖可得，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故C正確；

對于D：去年10月份波動較大，方差大，去年H月波動較小，方差小，故去年10月份的方差大于11月

份的方差，故D錯誤，

故選：C

6.一個算法的程序框圖如圖所示，若執(zhí)行該程序輸出的結果是-1,則判斷框內可填入的條件是（）

|W|

A.z<6?B.z>7?C.z<7?P.z>6?

【答案】D

【解析】

【分析】先執(zhí)行循環(huán)結構，當尸=-1時，應該終止循環(huán)，根據(jù)此時i的值結合四個選項進行選擇即可.

【詳解】，=1進入循環(huán)，i=2,7=1,尸=20—1=19；否，，=3,7=2,尸=19—2=17；否，i=4,

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T=3,P=17—3=14；否，z=5,T=4,P=14—4=0；否，z=6,T=5,P=10—5=5；否,

i=7,T=6,P=5-6=-1,此時應滿足判斷條件，所以判斷框內可填入的條件是1>6?.

故選P.

【點睛】本題考查了已知循環(huán)結構的輸出結果實例判斷語句的問題，考查了數(shù)學運算能力.

JI37r

7.已知以以(。+—)=7,且"VaV——，則夕沁尸()

42

3344

A.-8.——C.-D.——

5555

【答案】8

【解析】

【分析】

,7i1+tana3一

先利用兩角和的正切轉化以以(a+—)=---------求得tana=—,再結合平方關系

41-tan4

sin2a+cos2a=1求解.

.必?./兀、1+tana-

【詳解】因為tan(a+—)=----------=7,

41-tana

3

所以tana二一，

4

口已sina3

即-----二-，

cosa4

37r

又因為sin2a+cos2a=1且"Va<不-，

2

3

所以si八

故選：B

【點睛】本題主要考查兩角和的正切及同角三角函數(shù)基本關系式化簡求值，還考查了運算求解的能力，屬

于基礎題.

8.直線2x?sin。+>=0被圓/+y2—2&；v+2=0截得最大弦長為

A.275B.2GC.3D.2A/2

【答案】D

【解析】

【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理與勾股定理建立關系即可得到答案.

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【詳解】由已知，圓的標準方程為3—右）2=3,圓心為（0,、6）,半徑廠=6,

圓心到直線2x?sin。+歹=0的距離d=一/■<V3,解得sin20>~,

V4sin26^+16

所以弦長為2介一,=2』3-------1——，因為:<4sin2。+1V5,

V4sin26?+l3

二.“；<3,所以弦長2介—=23-------1——e(0,2g],

所以1W

4sin2^+lV4sin20+l

當4sin2，+1=5即sin2，=1時，弦長有最大值2J5.

故選：D

【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，涉及到垂徑定理，考查學生的數(shù)學運算能力，是一道中檔題.

q.數(shù)列1一二是等差數(shù)列，且％=1,%=—■，那么％=（）

U+1J-3

33.

A.-13.__C.5D.—5

55

【答案】8

【解析】

【分析】令〃=1、〃=3可得等差數(shù)列|二一的首項和第三項，即可求出第五項，從而求出火?

2,

【詳解】令〃=1得一7=1,

+1

2、

令“=3得~=3,

%+1

‘2'

所以數(shù)列4—的公差為d=i,

1%+iJ

223

所以----7=-----+2=3+2=5,解得%=—-，

%+1%+15

故選：8

【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項，以及利用通項求等差數(shù)列中的項，屬于基礎題.

W.如圖，邊長為1正方形/BCD,射線AP從氏4出發(fā)，繞著點B順時針方向旋轉至BC,在旋轉的過

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TT

程中，iSZ^P=x(xe[O,-]),AP所經(jīng)過的在正方形48CD內的區(qū)域(陰影部分)的面積為y=/(x),

則函數(shù)〃x)的圖像是

【答案】P

【解析】

【分析】根據(jù)條件列〉=/(x),再根據(jù)函數(shù)圖象作判斷.

兀]

【詳解】當工￡0,—時，y-f(x)=—x1xtanx；

當時，y=/(x)=l-^-xlx-^—；

142」2tanx

根據(jù)正切函數(shù)圖象可知選D.

【點睛】本題考查函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象，考查基本分析識別能力，屬基本題.

已知長方體是的中點，點尸在長方體內部或

11.48CD—43cQi，AB=AD=2,AAX=4,〃r

表面上，且上0〃平面48]。],則動點尸的軌跡所形成的區(qū)域面積是()

A.68.472C.476D.9

【答案】D

【解析】

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【分析】設E,F,G,H,N分別為Bg，G2,,D4,ZB的中點，則EFIIB.DJINH,MNIIB、AIIFG,

所以平面旌5GHW/平面ABB,所以動點尸的軌跡是六邊形"EEGW及其內部，因此，結合題中所給

數(shù)據(jù)即可求出六邊形ME/GHV的面積S=2s梯形.

如圖所示，設E,尸，G,〃，N分別為耳G,G。，功i,DZ,23的中點,

則EFIIB.DJINH,MNIIB\AIIFG,

所以NHH平面AB.D^MNH平面4BQ1,

又NHCMN=N,

所以平面MEFGHNH平面4BR,

所以動點夕的軌跡是六邊形"EFGHV及其內部,

因為28=2。=2,力4=4,

所以EF=HN=C，EM=MN=FG=GH=#,GM=2也,

所以六邊形MEFGHN的面積S=2s梯形EFGH=2x垃';母義手=9,

故選:D.

【點睛】本題主要考查空間中平行的應用，考查學生的空間思維及計算能力，屬于中檔題.

22

12.已知雙曲線C：1一4=1（見6>0）的左、右焦點為耳，與，直線/：y=x+i與雙曲線C相交于A,

crb

8兩點，AAg,△8大乙的重心分別為G,H,若以GH為直徑的圓過原點，則二一TT=（）

ab

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B.-2

【答案】A

【解析】

【分析】首先直線/：y=x+l與雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系，并利用重心坐標公式表示G,//,

由條件可知。不?麗=0,最后代入根與系數(shù)的關系后可得的值.

【詳解】設4(石,必),4/，%)，由＜x2-2a2x-a2-612b?=0,

.??再+々=急7,再々=受冷由于片(一c，0)，&c,0)，可知G仔,￡|，嗚，，，

由題意可得而.而=0，+yxy2=0,/.2X1X2+(^+x2)+1=0,

故選：A

【點睛】本題考查直線與雙曲線位置關系的綜合問題，涉及三角形重心坐標公式，直線與圓錐曲線聯(lián)立,

根與系數(shù)的關系，向量數(shù)量積的坐標表示解決幾何問題，屬于中檔題型.

第II卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.同時拋擲兩個質地均勻的骰子，向上的點數(shù)之和小于5的概率為

【答案】一

6

【解析】

【分析】利用分步乘法計數(shù)原理求出基本事件總數(shù)："=6x6=36,利用列舉法列出點數(shù)之和小于5的基本

事件個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】同時拋擲兩個質地均勻的骰子，基本事件總數(shù)“=6x6=36,

向上的點數(shù)之和小于S包含的基本事件有：(1』)，(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6個，

故所求向上點數(shù)之和小于5的概率P=—=-.

366

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故答案為：一

6

【點睛】本題考查了古典概型的概率計算公式、列舉法求基本事件個數(shù)，屬于基礎題.

嬖一"x<\

14.設函數(shù)/(x)=/"，則滿足/(x)42的x的取值范圍是_____________.

1-log,>1

【答案】［0,+8)

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)，分段解不等式，最后求并集.

【詳解】當x<l時，/(x)=2「"因為1—x〈l,解得：x>0,.-.0<x<l,

當x>l時，/(x)=l-log2x<2,log2x>-l,解得：x>^,所以x>l,

綜上，原不等式的解集為［0,+/).

故答案為：［0,+化).

【點睛】本題主要考查了解分段函數(shù)不等式，涉及指數(shù)與對數(shù)運算，屬于基礎題.

IS.十三世紀意大利數(shù)學家列昂納多?斐波那契從兔子繁殖規(guī)律中發(fā)現(xiàn)了“斐波那契數(shù)列”，斐波那契數(shù)列

｛%｝滿足以下關系：q=1,a2=l,%=%_|+%_2(〃23,〃eN*),記其前幾項和為E,,

(工)%+2-S”

+

(2)設。2020=X，?2021=y(尤，夕為常數(shù))，?!++?■?+02020=.

【答案】①.1②.x+y-1

【解析】

【分析】由斐波那契數(shù)列｛?｝滿足以下關系.2,利用迭代法可得

1=S

an+2=aII+l+a?=/+4+%+…+%+n+1，從而可得4+2-S^,=1(〃21,"eN*)；利用迭代法可

知奇數(shù)項的和為4+S2OI8=1+X-1=X，偶數(shù)項的和為邑019=。2021-1=y一1，進而可求解.

【詳解】因為斐波那契數(shù)列｛%,｝滿足q=L%=L%=。-1+%_2，

%=%+%；%&+。3=+。2+1；

%=%+。4=+。2+。3+1；

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a“+2=%+1+%=%+々+。3+,?,+%+1=Sa+1;

故4+2—S"=l(“217eN*).

所以星018=。2020—1=X—1,

因為4+%+。5+----。2019=%+%+。->+%+。4+------CI2011+(22018=%+S，018=1+X—1=X.

—=—

+<74+t76+,',+a,。？。=。2+。2+。3+。4+。5+?'?+。2018+。2019=§2019=。20211JF1?

故答案為：*,x+y-1.

【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推關系式、數(shù)列的和，考查了計算能力，屬于中檔題.

16.在正方體48CD—//CQ］中，點E,F,G分別為棱4〃，D】D,的中點，給出下列命題:

.71

①NG^EG；②GCUED；③8/，平面3GG；④EF和8片所成角為一.則正確的命題有

4

.(請?zhí)顚懻_命題的序號)

【答案】①④

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷①；根據(jù)過一點有且只有一條直線與已知直線平行可判斷②；假

設BF1平面BG3可得G。!。與可得判斷③；根據(jù)異面直線所成角的求法求出〃和BBX所成的角可

判斷④.

【詳解】如圖，

對于①，連接用白，4G，則4GLEG,又44］，平面451cl2，EGu平面451G2,

所以44］LEG,又441c4G=4,所以EG,平面441G，又/Qu平面/4G，

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所以zqLEG,故①正確;

對于②，取用G的中點W,連接CM,EM,可得四邊形CDEM為平行四邊形，

所以CMHED,又GCnCM=C，因此GC〃￡。不成立，故②錯誤；

③假設8/，平面8GG，則5]E，GG，連結用2，

因為。尸，平面44cl2，GGu平面451G2,

所以。尸，GG，又BFCDF=F,所以GG，平面￡>187，又。耳u平面。87，

所以GG，A8],顯然不成立，故③錯誤；

④因為DQIIBXB,所以ND[FE為異面直線EF和BBX所成的角，

TT7T

在等腰直角VAEE中，ZDFE=-,所以異面直線E尸和5片所成的角為一，故④正確.

l44

故答案為：①④

【點睛】本題主要考查了直線與直線的平行與垂直、直線與平面的垂直判定、異面直線所成角，考查直觀

想象、邏輯推理的能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分

17.已知A4BC中三個內角4B,C滿足亞cos8=sin(Z+C)+l.

(1)求sin3；

(2)若C—4=工，6是角2的對邊，b=6，求A46C的面積.

2

【答案】(1)-

3

⑵

2

【解析】

【分析】⑴先根據(jù)亞cosB=sin(Z+C)+1及平方關系，可以求得sin8；

(2)根據(jù)三角形的性質及正弦定理可求。=3百sinZ，c=3百sinC，然后利用面積公式可得.

【詳解】解：(1)在A45C中，A+B+C=7i,即8=〃—(Z+C),

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sin3=sin(4+C),

由題意得、匯cos5=sin5+l.

兩邊平方可得2cos25=sir?5+2sin5+1，

根據(jù)sin2B+cos2B=1，

可整理為3sin25+2sin5—1=0，

解得sin5=,或sinB=-1(舍去).

3

sinB=—.

3

7T

(2)由C—/=—,且Z+B+C=〃，

2

7T

可得24=——B,。為鈍角，

2

sin24=cos5,

又6=-\/3，

由正弦定理得二^—二一--二一-一二3A/3,

sinAsinBsinC

Q=3VJsin/，c=3A/3sinC?

又。為鈍角，由(1)得cos3=2也.

3

A43C的面積為S=—acsinB=—x3A/3sin?!x3^sinCx—

223

二一sin/sin——I-A二一sin/cos/

2I22

44432

綜上所述，AA8C的面積為逆.

2

【點睛】本題主要考查利用正弦定理和面積公式求解三角形問題，解三角形時需要注意三角形性質的使用

及面積公式的選擇，邊角的相互轉化是求解的常用策略，側重考查數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).

18.如圖，在四棱錐P—48CD中底面48CD是菱形，ABAD=60°-△&￡＞是邊長為2的正三角形,

PC=710，￡為線段4D的中點.

第22頁/共24頁

（1）求證：平面PBC1平面PBE；

3

（2）是否存在滿足方=AFCU>0）的點尸，使得/_P4E=/_PFB?若存在，求出X的值；若不存在，

請說明理由.

【答案】（2）證明見解析；（2）存在；2=2.

【解析】

【分析】

（1）利用面面垂直的判定定理證明即可；

（2）由麗=丸瓦"知（X+D/C=PC,所以可得出匕UPFB=腺-3℃一腺-BDC=匹-BCD，因此，

VB_pAE="_PFB等價于今=，繼而得出2的值?

【詳解】（2）證明：因為是正三角形，E為線段2。的中點，所以PE上AD.

因為/BCD是菱形，所以.因為NA4D=60°，所以△45。是正三角形,

所以BE，4D,而BEcPE=E,所以40,平面尸BE.

又4D//8C,所以5c1平面P2E.

因為BCu平面必C,所以平面？SC1平面P3E.

（2）由而=2記，知（4+1）尸C=PC.

所以，^B-PAE=5-P—4DB=/-P—BCD=~~/—BCD

—D-PFB=%-BDC——F-BDC=^F-BCD-

因此，/—等價于3=所以，"2.

第23頁/共22頁

—,—.3

即存在滿足PE=XNC（X〉O）的點尸，使得%孑3=%匕）-PFB，此時幾=2.

【點睛】本題主要考查平面與平面垂直的判定、三棱錐的體積等基礎知識；考查空間想象能力、運算求解

能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識；考查化歸與轉化、函數(shù)與方程等數(shù)學思想，屬于難題.

19.某同學使用某品牌暖水瓶，其內膽規(guī)格如圖所示.若水瓶內膽壁厚不計，且內膽如圖分為①②③④四

個部分，它們分別為一個半球、一個大圓柱、一個圓臺和一個小圓柱體.若其中圓臺部分的體積為52./,

且水瓶灌滿水后蓋上瓶塞時水溢出則CW。記蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為「，

3

（1）求修;

（2）該同學發(fā)現(xiàn)：該品牌暖水瓶盛不同體積的熱水時，保溫效果不同.為了研究保溫效果最好時暖水瓶的

盛水體積，做以下實驗：把盛有最大盛水量憶的水的暖水瓶倒出不同體積的水，并記錄水瓶內不同體積水

在不同時刻的水溫，發(fā)現(xiàn)水溫了（單位：。C）與時刻/滿足線性回歸方程y=c/+d,通過計算得到下表：

倒出體積xcm3O3。q。22。

擬合結果y=cxt+dy=c2t+dy=+dy=c4t+dy=c5t-\-d

倒出體積xcm3rso21。45。

擬合結果y=c6t+dy=C[t+dy=cst+dy=cl6t+d

注：表中倒出體積x（單位：c加3）是指從最大盛水量中倒出的那部分水的體積.其中:

ciC2C3C4?C6C7

-1.4-1.3-1.2-1—1.1-0.9-0.8

第24頁/共22頁

令w=|c|,嗎=|c.|,x,.=30（z-l）,z=l,2,---,16.對于數(shù)據(jù)（七,嗎）（1=1,2,…,7）,可求得回歸直線為

w

Lx:w=/3x+a,對于數(shù)據(jù)（苞.,叱）（，=8,9「-,16）,可求得回歸直線為右：=0.0009x+0.7.

9

（i）指出c的實際意義，并求出回歸直線右的方程（參考數(shù)據(jù)：——?0.0032）；

2800

（ii）若心與右的交點橫坐標即為最佳倒出體積，請問保溫瓶約盛多少體積水時（盛水體積保留整數(shù)，且

〃取3.14）保溫效果最佳？

附：對于一組數(shù)據(jù)（4,匕）,（4，％），…，（4，V”），其回歸直線v="，+1中的斜率和截距的最小二乘估計分

別為B=J------------4=v-p-u.

E（w，-w）2

Z=1

【答案】（①640.加3；g）（i）|c|的實際意義為倒出xc掰3體積水時，暖水瓶內水的降溫速率；回歸

直線右的方程為w=—0.0032x+1.388；（ii）1842c

【解析】

【分析】（2）根據(jù)題意，分析可得該暖水瓶的內膽是由一個半球和一個大圓柱以及一個小圓柱組合而成，

分別利用球的體積公式和柱體的體積公式求得相應幾何體的體積，之后作和求得暖水瓶的最大盛水量，得

到結果；

（2）（i）根據(jù)題意，可得|c|的實際意義為倒出X"?體積水時，暖水瓶內水的降溫速率；利用公式求得

回歸直線L、的方程為w=-0.0032%+1.388；

TV——0.0032%+1.388,

（ii）聯(lián)立方程組1八2小cr得XB167.8,即為最佳倒出體積約為167.8c加3,根據(jù)條件，

w=0.0009%+0.7,

求得結果.

【詳解】（1）依題意得，半球的半徑為尸=5。加，

14250。

3

體積為Vx=—xjx1257r=—^-7rcm,

大圓柱體積V2-25%x20=500%。加3,

小圓柱體積匕=4%x2=8兀cm3,

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所以蓋上瓶塞后，水瓶的最大盛水量為上萬+500萬+8萬+52萬--7i=640萬。掰3.

33

（2）（i）|c|的實際意義為倒出xc加3體積水時，暖水瓶內水的降溫速率；

|c|越小，降溫速率越小，保溫效果越好；|c|越大，降溫速率越大，保溫效果越差.

因為％=30（z-l）,z=,對于回歸直線4:w=J3x+a,

因為元/+%+…+多=904=叱+%+?一+%=1』,

77

77

Z（巧_了）（叫一訪）二一81，Z（x,_亍）2=25200,

i=lZ=1

819

所以6二上--------------0.0032,

?。?252002800

Z=1

a=w-p-x=\A+0.0032x90=1.388,

所以回歸直線A的方程為w=-0.0032x+1.388.

w=—0.0032x+1.388,

（ii）聯(lián)立《得x它167.8,

w=0.0009x+0.7,

所以保溫瓶最佳倒出體積約為167.8c加3,

保溫瓶盛水體積約為640〃—167.8^640x3.14—167.8=1841.8。"3。1842c加3,

所以保溫瓶盛水體積約為1842c機3時保溫效果最佳.

【點睛】該題考查的是有關利用回歸分析解決實際問題的思想和方法，在解題的過程中，涉及到的知謖點

有組合體的體積的求法，球體和柱體的體積公式，回歸直線的方程，屬于中檔題目.

2.0.已知函數(shù)/（x）=e*（x-a-1）（。eR）.

（1）討論"X）在區(qū)間［1,2］上的單調性；

（2）若/（x）2色恒成立，求實數(shù)”的最大值.（C為自然對數(shù)的底）

e

【答案】（2）答案見解析；（2）-1.

【解析】

【分析】（①求導得/'（x）=e'（x-a）,分類討論參數(shù)。的取值范圍與區(qū)間［1,2］的關系即可求解;

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(2)要使/(x)2q恒成立，即令g(x)=/(x—。―1)—@20恒成立，則g(x)min20,結合(2)的結論

ee

可得e"i+a<0,再令/z(x)=eKi+x,通過研究導數(shù)的正負可確定原函數(shù)的增減性，進而求解

【詳解】(i)由已知/'(x)=/(x—a),

》€(wěn)(—8,。)時，/'(x)<0；xe(4,+8)時，/'(x)>0,

①當aWl時，“X)在［1,2］上單調遞增；

②當l<a<2時，/")在［1,a］上單調遞減，(a,2］上單調遞增；

③當a22時，/(x)在口,2］的單調遞減;

a

(2)由已知e、(x—?！?)——20恒成立，

e

令g(x)=e\x-a-\)-~,則g(x)min20,

e

由(2)知：g(x)在xe(-co,a)上單調遞減，在xe(a,+8)上單調遞增，

則g(x)mm=g(。)20,即e"(a—a—1)—920

e

整理得e"i+a<0，

令/z(x)=*i+x,〃'(x)=/+i+l>0恒成立，即/z(x)=ei+x在/?上單調遞增，

而/z(-l)=e1+l-l=0,h(a)=ea+l+a<0=/z(-l),

所以a<—l,即〃的最大值為-i.

【點睛】本題考查利用導數(shù)研究含參函數(shù)在定區(qū)間單調性，由恒成立問題求解參數(shù)取值范圍，考查了分類

討論，轉化與化歸思想，屬于中檔題

22同

21.已知橢圓C：.+為=1伍〉6〉0)的短軸長為2,離心率e=￡■.過橢圓的右焦點作直線/(不與x

軸重合)與橢圓。交于不同的兩點A,B.

(1)求橢圓。的方程；

(2)試問在x軸上是否存在定點。，使得直線QN與直線恰好關于x軸對稱？若存在，求出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

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N4V3

【答案】（1）—+/=1；（2）存在點。*,0滿足條件.

4I3J

【解析】

2b=2

【分析】（2）由題意知，\e=-=—,解出即可；

a2

a2=b2+c2

（2）由題意，設Z（xQi）,B（x,y2）,定點。。,0）（依題意"玉，”/），設直線/的方程為

x+mj-V3=0,與橢圓C的方程聯(lián)立并消元，得%+%=2曲g,yy==1虧，根據(jù)題意

-124+療4+m-

上^+^^=0,化簡整理得2〃?（4—G）=0,解出即可.

xx-tx2-t\）

2b=2

【詳解】解：（2）由題意知，\e=-=~,

a2

a~=b~+c~

a=2

解得上=1，

c=A/3

一

橢圓。的方程為：—+y2=1；

4-

（2）存在定點。-4-,0,滿足直線02與直線”恰好關于X軸對稱；

由題設知，直線/的斜率不為。，設直線/的方程為x+即-6=0,

與橢圓C的方程聯(lián)立，消元整理得（4+m2）y2-2也my-1=0,

設/（西/1）,B（x,y^,定點。90）（依題意//西，/內2），

由韋達定理可得，%+%=2&，%%==二，

直線QA與直線QB恰好關于x軸對稱，則直線QA與直線QB的斜率互為相反數(shù),

人+人=0,即%（/一）+%（國—。=0,

xx-tx2-t

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又玉+myx-V3=0,+my2-A/3=0,

%(存叩27)+%一孫-r=0,

整理得，(6-7)(%+%)一2叩M=°，

(日).2立血2_二l^=o，即2加(4—

m=0,

\'4+加4+m'

(4粗)

:.當t=走,即0，一,0時，直線QZ與直線恰好關于x軸對稱,

3(3)

綜上：在x軸上存在點。個一,0,滿足直線Q4與直線恰好關于x軸對稱.

(3)

【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關系，考查轉化與化歸思想，考查計算能力與推理能力，屬于中

檔題.

(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果