2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體

專練55隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體

[基礎(chǔ)強(qiáng)化]

一、選擇題

1.某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成情況，隨機(jī)采訪了9位代表，得到的

數(shù)據(jù)分別為36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用樣本估計(jì)總體，年齡在(7—s,T+s)內(nèi)的人

數(shù)占公司人數(shù)的百分比是(其中7是平均數(shù)，s為標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果精確到1%)()

A.14%B.25%C.56%D.67%

答案：C

解析：因?yàn)閤=

36+36+37+37+40+43+43+44+44

--------------------------9--------------------------=40,

s2=g(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=-^-,即s=3~,年齡在(x—s,x+s)即(3，g)內(nèi)

的人數(shù)為5,所以所求百分比為卷—0.56=56%,故選C.

2.某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中

自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為“7.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].

根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()

頻率

A.56B.60C.120D.140

答案：D

解析：由頻率分布直方圖知，200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為1—(0.02+0.10)X2.5

=0.7,則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為200X0.7=140.

3.[2024?九省聯(lián)考]樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為()

A.14B.16C.18D.20

答案：B

解析：將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,則其中位數(shù)為16.故選

B.

4.[2024?新課標(biāo)H卷]某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量(單位：依)并整理得下表：

[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

畝產(chǎn)量

950)1000)1050)1100)1150)1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050依

8.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

答案：C

解析：A選項(xiàng)，因?yàn)?+12+18=36<50,36+30=66>50,所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050

像,A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?00塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100做的稻田有66塊，所占比例為66%<80%,所以8

錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，100塊稻田畝產(chǎn)量的極差的最大值小于1200—900=300,最小值大于1150—950=200,所

以極差介于200飯至3004之間，C正確；。選項(xiàng)，同一組中的數(shù)據(jù)都用左端點(diǎn)值來(lái)估計(jì)，則這100塊稻

田畝產(chǎn)量的平均值的最小值為+X（6X900+12X950+18Xl000+30X1050+24X1100+10X1150）=

1042>1000,所以平均值不介于900依至1000口之間，。錯(cuò)誤.故選C

5.某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村

的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是（）

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半

答案：A

解析：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為a,則建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為2a,由題圖可得下表:

種植收入第三產(chǎn)業(yè)收入其他收入養(yǎng)殖收入

建設(shè)前

0.6a0.06a0.04a0.3a

經(jīng)濟(jì)收入

建設(shè)后

0.74a0.56a0.1a0.6a

經(jīng)濟(jì)收入

根據(jù)上表可知8、C、。均正確，A不正確，故選A.

6.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，

讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正

確率如下圖：

100%

95%

90%

洲85%

看80%*講座前

閨75%?講座后

70%

65%

60%

2345678910

居民編號(hào)

則()

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

答案：B

解析：由統(tǒng)計(jì)圖可知，講座前這10位社區(qū)居民問(wèn)卷答題的正確率分別為65%,60%,70%,60%,65%,

75%,90%,85%,80%,95%.對(duì)于A項(xiàng)，將這10個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為60%,60%,65%,65%,70%,

75%,80%,85%,90%,95%,因此這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個(gè)與第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，為—罔一°=

72.5%>70%,A錯(cuò)誤.對(duì)于8項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可知，講座后這10位社區(qū)居民問(wèn)卷答題的正確率分別為90%,

85%,80%,90%,85%,85%,95%,100%,85%,100%,所以講座后這10位社區(qū)居民問(wèn)卷答題的正確

率的平均數(shù)為七X(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+100%)=89.5%>85%,B正

確.對(duì)于C項(xiàng)，講座后這10位社區(qū)居民問(wèn)卷答題的正確率的方差靠=擊X[(90%-89.5%)2+(85%-89.5%)2

4225

+…+(85%—89.5%)2+(100%—89.5%)2]=再而，所以標(biāo)準(zhǔn)差s后=6.5%.講座前這10位社區(qū)居民問(wèn)卷答

題的正確率的平均數(shù)為七X(60%+60%+65%+65%+70%+75%+80%+85%+90%+95%)=74.5%,所

以講座前這10位社區(qū)居民問(wèn)卷答題的正確率的方差為s#=吉X[(60%-74.5%)2+(60%-74.5%)2H---F

14225

(90%—74.5%>+(95%—74.5%)打="而,所以標(biāo)準(zhǔn)差s前心11.93%.所以s前卜后，C錯(cuò)誤.對(duì)于。項(xiàng)，講

座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為95%—60%=35%,講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為100%—80%=20%,

。錯(cuò)誤.故選A

7.(多選)有一組樣本數(shù)據(jù)XI，X2,…，Xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yi，y2,…，yn，其中y,=Xj+

c(z=l,2,…，n),C為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

答案：CD

解析：A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c*0,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤;

B-.若第一組中位數(shù)為X"則第二組的中位數(shù)為y,=Xj+c,顯然不相同，錯(cuò)誤；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正確.

D：由極差的定義知：若第一組的極差為Xmax-Xmi”,則第二組的極差為9加一加=3"@:+C)—(X,”加+

C)—XgaxX”,加，故極差相同，正確.

故選CD.

8.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，貝式)

皿口口…__.ZXIII1,1,,IJ,.

45678910環(huán)數(shù)0345678910環(huán)數(shù)

乙

A.甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)

B.甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)

C.甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差

D.甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差

答案：C

解析：甲的平均數(shù)是4/5+；+7+8=6,中位數(shù)是6,極差是4,

、7?(-2)2+(-1)2+02+12+22

方差是--------------5----------------------=2;

乙的平均數(shù)是5+5+；+6+9=6,中位數(shù)是5,極差是4,

22222

方差是八(一-1)+(-1)+(―-1)+0+3=1y2,比較可得:

9.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元)

銷售額y(萬(wàn)元)

AA

根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=6.3x+a,下列說(shuō)法正確的是()

AA

A.回歸直線y=6.3x+a必經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)(2,19),(6,44)

——AA

B.這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心(x,y)未必在回歸直線y=6.3x+a上

C.回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬(wàn)元，銷售額實(shí)際增加6.3萬(wàn)元

D.據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)銷售額約為50.9萬(wàn)元

答案：D

解析：由表格中的數(shù)據(jù)可得3=2+3+；+5+6=生

-19+25+34+38+44

丫=5=32,

————A

將點(diǎn)(x,y)的坐標(biāo)代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得6.3X4+a=32,

A

解得a=6.8,

A

所以回歸方程為y=6.3x+6.8.

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x=2時(shí)，y=6.3X2+6.8=19.4,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

————AA

對(duì)于5選項(xiàng)，這組數(shù)據(jù)的樣本點(diǎn)中心(x,y)必在回歸直線y=6.3x+a上，5選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，回歸系數(shù)6.3的含義是廣告費(fèi)用每增加1萬(wàn)元，銷售額約增加6.3萬(wàn)元，。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

A

對(duì)于。選項(xiàng)，當(dāng)x=7時(shí)，y=6.3X7+6.8=50.9,

所以據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為7萬(wàn)元時(shí)銷售額約為50.9萬(wàn)元，。選項(xiàng)正確.故選D

二、填空題

10.已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3-a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是.

答案：2

解析：由平均數(shù)公式可得4+2a+(3；a)+5+6=%解得a=2.

11.某電子商務(wù)公司對(duì)10000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2021年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬(wàn)

元)都在區(qū)間［0.3,0.9］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示.

頻率/組距

2.5

2.0

1.5

0.30.40.50.60.70.80.9金額/萬(wàn)元

(1)直方圖中的a=；

(2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間［0.5,0.9］內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為.

答案：(1)3(2)6000

解析：(l)0.rX(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=l,解得a=3.

(2)消費(fèi)金額在區(qū)間［0.5,0.9］內(nèi)的購(gòu)物者的頻率為0.1X(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求購(gòu)物者的人

數(shù)為0.6X10000=6000.

12.在一容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測(cè)出其平均數(shù)為10,但墨水污損了兩個(gè)數(shù)據(jù)，其中一

個(gè)數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損，即9,10,11,1?，■,那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是.

答案：32.8

解析：設(shè)這組數(shù)據(jù)的最后兩個(gè)數(shù)據(jù)為10+x,y(xGN,xW9)

：9+10+11+10+尤+y=10X5=50,

.,.x+y=10,.,.y=10一尤.

；.S2=5［l+0+l+/+(y—10)2］=g(2+2f).

;尤W9,.,.當(dāng)尤=9時(shí)，S2取得最大值328

［能力提升］

13.［2024.重慶南開(kāi)中學(xué)月考］今年入夏以來(lái)，我市天氣反復(fù)，降雨頻繁.如圖統(tǒng)計(jì)了上個(gè)月前15天的

氣溫，以及相對(duì)去年同期的氣溫差(今年氣溫一去年氣溫，單位：攝氏度)，以下判斷錯(cuò)誤的是()

40

30

20

10

T0123456789101112131415

-20------------------------------------------------------------------

―今年氣溫-■■相對(duì)去年溫差

A.今年每天氣溫都比去年同期的氣溫高

B.今年的氣溫的平均值比去年同期的氣溫的平均值低

C.去年8?11號(hào)氣溫持續(xù)上升

D.今年8號(hào)氣溫最低

答案：A

解析：由圖可知，1號(hào)溫差為負(fù)值，所以今年1號(hào)氣溫低于去年同期的氣溫，故選項(xiàng)A不正確；除6,

7號(hào)，今年氣溫略高于去年同期的氣溫外，其他日子，今年氣溫都低于去年同期的氣溫，所以今年的氣溫的

平均值比去年同期的氣溫的平均值低，選項(xiàng)B正確；今年8?11號(hào)氣溫上升，但是氣溫差逐漸下降，說(shuō)明

去年8?11號(hào)氣溫持續(xù)上升，選項(xiàng)C正確；由圖可知，今年8號(hào)氣溫最低，選項(xiàng)D正確.故選A.

14.侈選）［2023?新課標(biāo)I卷］有一組樣本數(shù)據(jù)尤1，物…，檢，其中的是最小值，尤6是最大值，則（）

A.xi,X3，尤4，X5的平均數(shù)等于尤1，尤2，…，尤6的平均數(shù)

B.尤2，X3，%4，尤5的中位數(shù)等于X1，%2，…，X6的中位數(shù)

C.尤2，尤3，尤5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于芍，彳2，…，/6的標(biāo)準(zhǔn)差

D.Xl,X3,尤4，%5的極差不大于無(wú)1，尤2，…，尤6的極差

答案：BD

解析：取尤1=1,無(wú)2=刖=工4=無(wú)5=2,無(wú)6=9,則尤2,X3,尤4,X5的平均數(shù)等于2,標(biāo)準(zhǔn)差為0,Xl,%2,…，

X6的平均數(shù)等于3,標(biāo)準(zhǔn)差