2023年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：圓的計算和證明含答案

2023年中考專題訓(xùn)練—圓的計算和證明

1.如圖,AB是。。的弦，點C在過點B的切線上，且OC，OA,OC交AB于點D.

⑴判斷4CBD的形狀，并說明理由；

(2)若CD=3OD,AD=8,求。。的半徑.

2.如圖,Rt中，，點。為AB上一點，以點。為圓心，以O(shè)A為半徑，作交AB于點E,邊BC

與相切于點D.過點C作〃交AD延長線于點F.

⑴求證：；

⑵若,，求的半徑.

3.如圖，是的直徑，弦于點.點是的中點，連接并延長交于點，連接，.

⑴求證：；

⑵若,，求的面積.

4.如圖，是的外接圓,AB是的直徑，過點A作的切線，交BC的延長線與點D,點E是劣

弧BC上的一點，連接AE,CE.

D

⑴求證：；

⑵若,，求的半徑.

5.如圖，以的邊為直徑作，交邊于點D,為的切線，弦于點E連結(jié).

(1)求證:.

⑵若點F為中點，且，求線段的長.

6.如圖,AB為的直徑，點C在上，過點C作切線CD交BA的延長線于點D,過點0作交切

線DC于點E,交BC于點F.

(2)若,,求EF的長.

7.如圖,AB是。0的直徑，點E為線段0B上一點(不與0,B重合)，作CELOB,交。。于

點C,垂足為點E,作直徑CD,過點C的切線交DB的延長線于點P,作AFLPC于點F,連接

CB.

試卷第2頁，共7頁

F

⑴求證：ACBE^ACPB；

(2)當(dāng)且時，求扇形COB的面積.

8.如圖，內(nèi)接于。O,,,點E為上一點，點F為的中點，連結(jié)BF并延長與AE交于點G,連結(jié)

AF,CF.

⑴求證:.

(2)當(dāng)BG經(jīng)過圓心0時，求FG的長.

9.如圖，已知AB為。。的直徑,E是AB延長線上一點，點C是。。上的一點，連接EC、BC、

AC,且EC是。0的切線,C為切點.

(1)求證：ZBCE=ZA；

(2)過點A作AD垂直于直線EC于D,若AD=3,DE=4,求。0的半徑.

10.如圖，點是以為圓心，為直徑的半圓上一動點(不與，重合)，，連接并延長至點，使，過點

作的垂線，分別交,，于點,，，連接.記，隨點的移動而變化.

D

⑴當(dāng)時，求證：；

(2)連接，當(dāng)時，求的長.

11.如圖，是的直徑，是的弦，直線與相切于點，過點作于點.

⑴求證：；

⑵若,，求的半徑.

12.如圖，的直徑，點是上的動點，是經(jīng)過點的弦，過點作的切線交的延長線于點，且//.

(1)若，連，分別求，的長；

(2)當(dāng)點位于的什么位置時，以為頂點的四邊形是菱形？請說明理由.

13.如圖，是的直徑，過點作的垂線，連接，交于點，的切線交于.

試卷第4頁，共7頁

A

(1)求證：點為的中點；

⑵若的直徑為3,,求的長.

14.如圖，□的對角線相交于點，經(jīng)過、兩點，與的延長線相交于點，點為上一點，且.連接、

相交于點，若，.

⑴求口。45。對角線AC的長;

學(xué)習(xí)任務(wù)：

如圖，若線段AB與相交于C,D兩點，且，射線AB,BF為的兩條切線，切點分別為E,F,連接

⑴求證：；

(2)若,，，求的面積.

16.如圖，在中,B,C是的三等分點，弦AC,BD相交于點E.

⑴求證：；

⑵連接CD,若，求的度數(shù).

17.已知點C是AABD的邊AB上一點，且,AC為的直徑,BD切于點D,連接DO并延長交于

點E,連接BE交于點M.

⑴求證：；

試卷第6頁，共7頁

⑵若的半徑為1,求線段EM的長.

18.如圖，在中，，AB與相切于點C,延長B0交于點P、Q.連接CP,CQ.

⑴若，求的大小.

⑵若，的半徑為.求邊AB的長度.

19.如圖，是。。的直徑,，點E是射線上一點且，過點E作交射線于點F.

⑴求證：；

⑵求證：；

⑶當(dāng)與。。相切時，若。。的半徑為2,求弧的長.

20.如圖,PA和PB是的兩條切線,A,B為切點，點D在AB上，點E和點F分別在PB和PA

上，且.

(1)求證：

⑵若，當(dāng)是多少度時，？請說明理由.

(3)若，當(dāng)___________時，四邊形DEPF為菱形.

參考答案：

1.(l)ACBD是等腰三角形，理由見解析

(2)2714

【分析】(1)由點C在過點B的切線上，且OCLOA,根據(jù)等角的余角相等，易證得NCBD=NCDB,即可

證得4CBD是等腰三角形；

(2)設(shè)OD=x,則BC=DC=3x,由勾股定理求出，在Rt中，由勾股定理得，求出x的值即可得解.

【解析】(1)4CBD是等腰三角形，

VOC1OA,

.,.ZAOC=90°,

ZA+ZADO=90°,

???BC切。0于點B,

AZOBC=90°,

.,.ZOBA+ZCBD=90°,

VOA=OB,

???ZA=ZOBA,

AZADO=ZCBD,

,/NADONCDB,

???ZCDB=ZCBD,

???CD=CB；

是等腰三角形；

(2)???CD=3OD,AD=8,

???設(shè)，則，

:.BC=3x,

在Rt中,，

,,，

在Rt中,,

,,，

解得，或(不符合題意，舍去)，

(

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，正確識圖是解答本題的關(guān)鍵.

2.(1)見解析；

(2)。。的半徑為6

【分析】(1)連結(jié)OD,BC與。。相切于點D,,由，得到ODAC,,由，進(jìn)一步得，由得，則，得到結(jié)論;

(2)設(shè)。O的半徑為r,貝I.由可以得到,，由ODAC得到，得到，進(jìn)一步即可得解.

(1)

證明：連結(jié)0D,

：BC與。。相切于點D,

.\OD1BC,

,,，

??

??，

.'.ODAC,

,?，

又：，

,?，

,,，

又：，

,?，

,,，

AAACF是等腰三角形，

(2)

解：設(shè)。。的半徑為r,則.

由（1）知：ODAC,

.?.ZBOD=ZBAC,

ZB=ZB,

即。。的半徑為6.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)定理，相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明是

求的半徑的關(guān)鍵.

3.⑴見解析

⑵4君

【分析】(1)證明即可；

(2)先求出，再利用相似求出，最后根據(jù)計算即可.

(1)

???是的直徑，弦,

?(公共角)，

AD2=AEAF；

⑵

:點是的中點,，

?于點,

【點評】本題主要考查垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，由垂徑定理得到G是CD的中點是解題的關(guān)

鍵.本題所考查知識點較多，綜合性較強，解題時注意知識的靈活運用.

4.(1)見解析

【分析】(1)AD與。0相切于點E,,AB是的直徑，則/ABC+NBAC=90°,,又，結(jié)論得證;

(2)在,，，，求得BD,由勾股定理得到AB,即得的半徑.

(1)

證明：：AD與。。相切于點E,

?\AB_LAD,

/.ZBAD=90°,

ZZMC+ZSAC=90°

：AB是的直徑，

/.ZDAC=ZABC

⑵

解：在,，，，

,?，

由勾股定理得，

的半徑為.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)定理、圓周角定理及其推論、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識，熟練掌握定

理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見解析；

⑵拽

3

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)以及，可得，可得，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得，進(jìn)而即可得證;

(2)連接OE,垂徑定理求得，進(jìn)而證明s,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式，代入數(shù)值即可求解.

(1)

證明TAB是。。的直徑,BC為。。的切線，

.,.ABBC,

VDEXAB,

.,.DE//BC,

:弧AE所對圓周角是和,

：.ZABE=ZC；

(2)

連接OE,

???點F為OB中點,ABBC,

EF=FD=,

???AF=3,

GO

即,

得,.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、等弧所對的圓周角相等、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)與判定，綜合運用

以上知識是解題的關(guān)鍵.

6.⑴見解析

建

【分析】(1)證明：連接OC,利用圓周角定理及切線的性質(zhì)定理求出，由圓的半徑相等求出，利用平行線的

性質(zhì)求出，即可得到結(jié)論；

(2)由求出,AC=6,證明求出OE,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出OF,即可得至IJEF.

(1)

證明：連接OC,如圖所示：

(2)

解：在中，，，

,即,

：,0為AB中點,

【點評】此題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)，熟練

掌握各知識點并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵.

7.(1)見解析

⑵

【分析】(1)先證明NCEB=/CBP=90°,再由/D+/P=90°,ZCAB+ZCBE=90°,ZCAB=ZD,推

出NCBE=/P,即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)CF=3k,CP=4k,先證明NFAC=/CAB,得至UCE=CF=3k,再由相似三角形的性質(zhì)得至(JBC2=CE?CP；

從而求出sin/CBE=,貝U/CBE=60°,即可證明AOBC是等邊三角形，得到NCOB=60°,據(jù)此求解即可.

(1)

解：VCEXOB,CD為圓O的直徑，

.?.ZCEB=ZDBC=90°,

：.ZCEB=ZCBP=90",

；PF是切線,

，NDCP=90°,

.?.ZD+ZP=90°,

VAB是直徑，

ZACB=90°

.?.ZCAB+ZCBE=90°,

?/ZCAB=ZD,

ZCBE=ZP,

:ACBEs8CPB；

(2)

解：：，

設(shè)CF=3k,CP=4k,

VPF是切線，

.\OC±PF,

VAFXPF,

???AF〃OC.

???NFAONACO,

VOA=OC,

:.ZOAC=ZACO,

???ZFAC=ZCAB,

.\CE=CF=3k,

VACBE^ACPB,

,?，

：.BC2=CE*CP；

:.BC=2也k

sinZCBE=,

ZCBE=60°,

VOB=OC,

AAOBC是等邊三角形，

.\ZCOB=60°,

??

扇形COB的面積絲x(2道＞=2萬

360

【點評】本題主要考查了圓切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，角平分線的性質(zhì)，解直角

三角形，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，熟練掌握圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

8.⑴見解析；

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，補角的性質(zhì)證明即可;

(2)利用勾股定理，三角形中位線定理，三角形全等性質(zhì)計算即可.

(1)

證明：;

：.ZAFC=ZAFG；

(2)

連結(jié)AO并延長AO交于點H,

連結(jié)OC,設(shè)，則，

在中,，

解得，

：OH是的中位線,

【點評】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全

等的判定和性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.(1)見解析

(2)。。的半徑為［

O

【分析】(1)連結(jié)OC,根據(jù)圓周角定理由AB是。。的直徑得/1+/2=90°,根據(jù)切線的性質(zhì)即可得到/

BCE+Z2=90°,所以NBCE=N1,而Nl=/A,即NA=NBCE

(2)設(shè)。O的半徑為r,在RtAADE中利用勾股定理計算出AE=5,則OE=5-r,OC=r,證明△EOCS^EAD,

利用相似比得到，即，然后解方程即可得到圓的半徑.

(1)

如圖，連接OC,

：AB是。O的直徑，

AZACB=90°,

即Nl+N2=90"

又是。。的切線

：.OC±EC

即N8CE+/2=90°

:./BCE=/1

\'OC^OA

/A=NBCE

(2)

'：OC±EC

KADLEC

J.OC//AD

:.△EOCsXEM)

.EOPC

,?EA~AD

設(shè)。。的半徑為r

在RtAADE中AD=3,ED=4

貝UAE=y/AD2+DE2=5

/.OE=5~r；OC=r

.5-r_r

即。。的半徑為M

O

【點評】本題考察了圓的切線性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用圓的切線性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵點.

10.⑴見解析

(2)3

【分析】(1)證△BHFs/\DHA,根據(jù)線段比例關(guān)系即可證；

(2)過點作于點，可得，設(shè),，由正弦定義,，，則，即，由勾股定理，得，解得的長為3.

(1)

是直徑，

(2)

解：如圖，過點作于點.

由(2)知,.

平分.

設(shè)一

則,，,

在中，由勾股定理，得

,①

在中，，即.②

在中，，即.③

由②③，得，

?代入①中，得，

解得或（舍去）.

故的長為3.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，運用相似三角形的判定和性質(zhì)解題是關(guān)鍵.

n.（1）證明見解析

（2）5

【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)可得，即可證得，由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，即可證得結(jié)

論；

（2）連接，由勾股定理求得，然后通過證得，求得直徑，從而求得半徑.

⑴

證明：連接，

:為的切線，

又：,

解：連接，

?,

...是直角三角形,

..?是的直徑,

,即,

的半徑是5.

【點評】本題考查了切線的性質(zhì)和圓的基本性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)以及解直角三角形.通過作輔助

線構(gòu)建等腰三角形、直角三角形是解題的關(guān)鍵.

12.(1)；

(2)當(dāng)點位于的中點位置時，以為頂點的四邊形為菱形，理由見解析

【分析】(1)利用勾股定理得出BC的長，再證明得出AE的長，由勾股定理得CE的長，再由垂徑定理即可

得出答案；

(2)利用對角線互相垂直且互相平分的四邊形是菱形求出即可.

(1)

解：：的直徑，

???的直徑，

BC=\JAB2-AC2=6

:過點的的切線交的延長線于點，且.

ZAEC=ZACB

1272AE

18-120

AE=16

:.CE=DE

CD=2CE=80

(2)

解：當(dāng)點位于的中點位置時，以為頂點的四邊形為菱形.如圖,

理也由(1)得，

當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，

又,：,

A以點O,C,B,D為頂點的四邊形為菱形.

【點評】此題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理以、菱形的的判定、勾股定理等知

識.此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

13.(1)見解析

【分析】(1)連接,，分別證明和，從而可得結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理求出，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

(1)

連接,，

：DE是圓的切線,

：AB是的直徑,

ZAZ)B=90°

又Z4BC=90°

又,

...點E為BC的中點;

(2)

在中，.

AC5

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本

題的關(guān)鍵.

14.(1)

(2)見解析

【分析】（1）利用弧相等，由圓周角定理推論推出，由相似三角形的性質(zhì)可求的長度，再利用平行四邊形的

性質(zhì)可求出的長度;

（2）利用對角線相等的平行四邊形是矩形可得證.

（1）

解：：是直徑,，,

又：

四邊形是平行四邊形,

⑵

由(1)可知:，

...是直角三角形，

,?，

:四邊形是平行四邊形,

口為矩形.

【點評】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理.理

解和掌握圓周角定理的推論及相似三角形判定及性質(zhì)并能進(jìn)行靈活應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.

15.(l)ZCMP；ZCBM；ZBMP；APMA；見解析

(2)27

【分析】閱讀材料：連接AM,BM,連接MO并延長交于點C,連接BC,證4PMA即可得出結(jié)論;

(1)由閱讀材料得,，再由AC=BD,證AD=BC,即可得出結(jié)論；

(2)由閱讀材料得，從而求出，再過點F作于點G,解求出，最后利用計算即可求解.

(1)

閱讀材料證明：如圖，連接AM,BM,連接MO并延長交于點C,連接BC.

：PM為的切線，；.NCMP,

：CM為的直徑

，ZCBM,

ZBMP,

△PMA.

故答案為：ZCMP,ZCBM,ZBMP,APMA.

(1)證明：：AE,BF為的兩條切線，

A,即.

(2)

解：;設(shè)，則,，

由由閱讀材料得,，

即，解得，

,,，

如圖1,過點F作于點G,

在中，,

【點評】本題考查切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，本題屬閱讀材料題，通過閱讀，探

究出一個結(jié)論，再運用結(jié)論解決其他問題，屬中考試常用考類型.

16.⑴見解析

(2)130°

【分析】(1)根據(jù)B,C是的三等分點，求出，再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出即可；

(2)根據(jù)圓周角定理得出/CAD=NBDA=/BDC=25°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/AED,再求出答案

即可.

【解析】(1)證明：B,C是的三等分點，

.-.AB=BC=CD

AB+BC=BC+CD

ABC=BCD

：.AC=BD；

VZBDC=25°,

：.ZCAD=ZBDA=ZBDC=25°,

VZAED+ZCAD+ZBDA=180°,

ZAED=180°-ZCAD-ZBDA=180°-25°-25°=130°,

???NBEC=NAED=130°,

故答案為：130°.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和圓周角定理，能熟記圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是解此題

的關(guān)鍵.

17.(1)見解析

Q)EM=三不

【分析】(1)連接CD,根據(jù)題意可得出BC=OA,CD=OD,ZAOD=ZBCD,利用SAS證明AAOD咨ABCD

即可得出結(jié)論；

(2)由△AODgz\BCD知AD=BD,運用勾股定理可得出，，連接DM,證明得，即，設(shè)EM=x,,代入相關(guān)數(shù)

據(jù)得方程，求出x的值即可.

(1)

連接CD,如圖，

D

E

VBD是切線,DE是圓的直徑，

???AZ犯O是直角三角形.

...點C為OB的中點,CD為OB邊上的中線,

??，

在和中，

,,，

⑵

：AC是圓的直徑，

,,，

...是直角三角形，

,?，

由勾股定理得,,

由(1)知，

在中,，

連接DM,

：DE是圓的直徑,

又,

，，即，

設(shè)EM=x,貝ij,

解得,,

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與

性質(zhì)，正確證明是解答本題的關(guān)鍵.

18.(1)30°

(2)875

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓周角定理求的大小即可；

(2)證明結(jié)合即可求出BQ的長度，再由相似得到的比例即可求出BC的長度，最后根據(jù)AB=2BC求值即

可.

⑴

如圖，連接CO.

；AB與相切于點C,

⑵

；PQ是的直徑,

.CQ=l

'CP"2

,解得,

/.AB=8A/5

【點評】本題綜合考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、正切、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)，考

查的知識點比較多，但是都比較簡單，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.⑴見解析

(2)見解析

⑶紅

3

【分析】(1)由垂徑定理及三角形中位線定理即可求解；

(2)先證明，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可證明；

(3)連接，先證明為等邊三角形，再利用弧長公式計算即可.

(1)

證明：：,

，點D是的中點，

:點O是的中