2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺復(fù)習(xí)：空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系 專項(xiàng)講解與訓(xùn)練

專題13空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

空間線面位置關(guān)系的推斷

［核心提煉］

空間線面位置關(guān)系推斷的常用方法

(1)依據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)推斷來解決問題；

⑵必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中視察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來

進(jìn)行推斷.

胸口1(1)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,6為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,。為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)

正方體中，直線四與平面的闋不平行的是()

⑵(2024?高考全國卷III)在正方體/灰＞力心G”中，￡為棱切的中點(diǎn)，貝M)

A.AELDGB.A\ELBD

C.4￡_L8GD.A.EYAC

【答案】(DA(2)C

【解析】⑴

對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，連接徽因?yàn)樗摹ㄇ校琈,0分別是所在棱的中點(diǎn)，所以留〃⑺所以然〃施,

又/用平面MNQ,MQu平面MNQ,所以46〃平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C,D中均有/6〃平面MNQ.故選A.

⑵由正方體的性質(zhì)，得AiBJBG,BiCLBCi,且=所以平面ABCD,又4比平面

AiB1cD,所以45X6G,故選C.

園陶陶畫

推斷空間線面位置關(guān)系應(yīng)留意的問題

解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合推斷題，主要是依據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種狀況，以

及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推斷，必要時(shí)可以利用正方體、長方體、棱錐等幾

何模型協(xié)助推斷，同時(shí)要留意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.（2024?湖北七市（州）聯(lián)考）設(shè)直線"與平面a相交但不垂直，則下列說法中正確的是（）

A.在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線力垂直

B.過直線0有且只有一個(gè)平面與平面a垂直

C.與直線勿垂直的直線不行能與平面a平行

D.與直線〃平行的平面不行能與平面。垂直

【答案】B

【就析】?選B.對(duì)于A,在平面a內(nèi)可能有無數(shù)條直線與直線人垂盲.這些直線是互相平行的，A錯(cuò)誤j

對(duì)于B,只要和S,過直線那必有并且也只有一個(gè)平面與平面a垂直.B正確；對(duì)于C,類似于A,在平

面a外可能有無數(shù)條直線垂直干惠線?并且平行干平面a,C錯(cuò)誤；對(duì)于D,與強(qiáng)線冊(cè)簾亍目與平面a垂

宜的平面有鋤個(gè)，D錯(cuò)誤.放送B

2.（2024?成都第一次診斷性檢測(cè)）在直三棱柱/吠48K中，平面a與棱/氏AC,4G,分別交于點(diǎn)

E,F,G,H,且直線9i〃平面a.有下列三個(gè)命題：①四邊形瓦1而是平行四.邊形；②平面?！ㄆ矫?/p>

BCCB；③平面a，平面加％其中正確的命題有（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

【答案】C.

【解析】

44〃平面a,平面aC平面44合6=幽所以44〃敬同理44〃6F,斫以EH〃GF,又ABG48c是直三

棱柱，易知EH=GF=AA\,所以四邊形廝絹是平行四邊形，故①正確；若平面。〃平面BB.QC,由平面

aC平面48C=勰平面比竊5c平面481G=8C,知而〃AG,而陽〃5；G不肯定成立，故②錯(cuò)誤；由

四」平面族E結(jié)合知極L平面a7區(qū)又跳匕平面a,所以平面平面8c殛:綜上可知，選

C.

空間平行、垂直關(guān)系的證明

［核心提煉］

1.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

(1)線面平行的判定定理：聞。，bua,a//a//a.

(2)線面平行的性質(zhì)定理：a//a,au￡,aCB=ga〃b.

(3)面面平行的判定定理：au￡,be.J3,aCb=P,a//a,6〃ana〃￡.

(4)面面平行的性質(zhì)定理：a//P,czPlY—a,BCy=ga〃b.

2.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

(1)線面垂直的判定定理：sca,nc.a,mCn=P,1上拼,a.

(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a±a,b,a=a〃b.

(3)面面垂直的判定定理：au￡,a_La今a_L￡.

(4)面面垂直的性質(zhì)定理：a_L￡,aC8=1,ac.a,allaalB.

A?

題為(2024?高考北京卷)如圖，在三棱錐2/回中，PALAB,PALBC,ABLBC,PA=AB=BC=2,。為線

段AC的中點(diǎn)，￡為線段戶。上一點(diǎn).

⑴求證：PALBD-,

5.(2024成都其次次診斷性檢測(cè))已知出〃是空間中兩條不同的直線，a,B是兩個(gè)不同的平面，且

歸a,〃u￡.有下列命題：①若a//P,則0〃〃；②若a//^,則/〃￡；③若aC8=1,且相LJ,n

±7,貝lja_L￡；④若aC8=1,且加11,mYn,貝U。J_￡.其中真命題的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B.

【解析】對(duì)于①，直線如〃可能異面；易知②正確；對(duì)于③，直線如〃同時(shí)垂直于公共棱，不能推出兩

個(gè)平面垂直，錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)直線〃〃/時(shí)，不能推出兩個(gè)平面垂直.故真命題.的個(gè)數(shù)為1.故選B.

6.

w

如圖所示，直線序垂直于。。所在的平面，△/阿內(nèi)接于。。，且26為。。的直徑，點(diǎn)〃為線段陽的中

點(diǎn).現(xiàn)有結(jié)論：①BCLPC；②陰〃平面加G③點(diǎn)8到平面必。的距離等于線段6c的長.其中正確的是

【答案】：①②③

【解析】：對(duì)于①，因?yàn)殛?，平面所以用，?因?yàn)闉?。。的直徑，所以比?G所以8a平面

序G又在平面以G所以比工/匕對(duì)于②，因?yàn)辄c(diǎn)〃為線段外的中點(diǎn)，所以如〃陽，因?yàn)橐評(píng)平面

序C,.所以。，〃平面片C；對(duì)于③，由①知6a平面用C所以線段歐的長即是點(diǎn)6到平面用C的距離，

故①②③都正確.

7.已知a,￡是兩個(gè)不同的平面，有下列三個(gè)條件：

①存在一個(gè)平面Y，r±a,y//0-

②存在一條直線a,a_L￡；

③存在兩條垂直的直線a,b,aLfi,bla.

其中，全部能成為“的充要條件的序號(hào)是.

答案：①③

案析；對(duì)于①，存在一個(gè)平面ria,"，仇則ap,反之也對(duì)，即“存在一個(gè)平面；，ria,rII

夕''是"a_Lg”的充要條件，所以①對(duì)；對(duì)于②，存在兩條我直的直線a,b,則直線a,b所成的角力

90*,因?yàn)閍idbla,所以a,力所成的角為W,即al￡,反之也對(duì)，即“存在兩條垂直的直線4

b,aLp,b_La”是“alf”的充要條件，所以⑦對(duì).

8.（2024?武昌調(diào)研）在矩形/及力中，AB<BC,現(xiàn)將△/四沿矩形的對(duì)角線劭所在的直線進(jìn)行翻折，在翻

折的過程中，給出下列結(jié)論：

①存在某個(gè)位置，使得直線4C與直線劭垂直；

②存在某個(gè)位置，使得直線4?與直線"垂直；

③存在某個(gè)位置，使得直線組?與直線寬垂直.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）

答案：②

AEkBG\

解析：①假設(shè)力C與初垂直，過點(diǎn)/作劭于￡,連接CE則，?=初，平面/￡63瓦小區(qū)而在

BDVAC\

平面8。中，原與切不垂直，故假設(shè)不成立，①錯(cuò).

②假設(shè)46,微因?yàn)樗韵?，平面所?8L/G由相〈%可知，存在這樣的等腰直角三

角形，使故假設(shè)成立，②正確.

③假設(shè)川江比；

因?yàn)榧庸r所以6UL平面

所以6C_L/G即△/寬為直角三角形，且/8為斜邊，而48<BC,故沖突，假設(shè)不成立，③錯(cuò).綜上，填

②.

9.(2024?石家莊質(zhì)量檢測(cè)(一))

如圖，四棱錐月/氏笫中，用，底面/區(qū)力，底面26切為梯形，AD//BC,CDVBC,49=2,AB=BC=3,PA=

4,〃為皿的中點(diǎn)，N為PC上一點(diǎn)、,且PC=3PN.

(1)求證：仞V〃平面》8；

⑵求點(diǎn)〃到平面處”的距離.

【解析】：(1)證明：在平面必C內(nèi)作泗〃a'交加于點(diǎn)〃，連接力〃，

在△陽。中，NH//BC,且川7=(占。=1,夕片1.

又相〃8G所以版〃/〃且*=

所以四邊形4W為平行四邊形，

所以MN//AH,

又AHu平面PAB,也限平面PAB,

所以磔〃平面PAB.

(2)連接ACMC,PM,平面以”即為平面用G設(shè)點(diǎn)〃到平面陽。的距離為4

由題意可得CD=2y[2,4c=2小,所以S^PAC=^PA,AC=4/,

所以?CD=y[2,

由VM-PAC=Vp-AMCy

得;5kHe*h—^S^AHC,PA,

即44人=/X4,所以力=坐，

所以點(diǎn)〃到平面序4的距離為半.

O

10.（2024?高考全國卷III）如圖，四面體4%/中，是正三角形，AD=CD.

⑴證明：ACLBD；

⑵已知是直角三角形，/8=9若￡為棱必上與〃不重合的點(diǎn)，且/吐￡4求四面體力及方與四面

體/儂的體積比.

【解析】：

⑴證明：取然的中點(diǎn)。，連接加，BO.

因?yàn)锳D=CD,所以

又由于△/花是正三角形，所以ZUL灰2

從而4UL平面，如板ACLBD.

⑵連接EO.

由（1）及題設(shè)知N4T=90°,所以次

在RtZ\/如中，B（f+A（f=A^.

又AB=BD,所以

Bd-YDd=BO^Ad=AS=BIJ,故如=90°.

由題設(shè)知為直角三角形，所以

又△被7是正三角形，且AB=BD,所以做

故￡為劭的中點(diǎn)，從而￡到平面46c的距離為2到平面4席的距離的右四面體力6。的體積為四面體力65

的體積的（，即四面體4?"與四面體40%的體積之比為1：1.

［實(shí)力提升］

1.（2024?高考全國卷I）平面a過正方體的頂點(diǎn)A,?！ㄆ矫鎍n平面/aZHr,a

G平面Z圈4=刀，貝IJ/，〃所成角的正弦值為（）

V2

V23B.

Ac.

V31

3-

D.3

【答案】A.

【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)力的平面。與平面平行，平面/靦〃平面加5G",所以卬〃84〃劭，又48〃平

A/3

面CS",所以〃〃48,則初與46所成的角為所求角，所以如〃所成角的正弦值為叩，選A.

2.如圖所示，正方體/氏/464〃的棱長為a,點(diǎn)尸是棱/〃上一點(diǎn)，且/片*過為、"、戶的平面交底

0

面ABCD于PQ,0在直線切上，則PQ=

答案:

解析:

因?yàn)槠矫?64"〃平面而平面反〃（/TI平面/效力=園，平面反〃（戶C平面4AG"=笈"，所以6以〃

PQ.

連接被因?yàn)楹稀āǔ?，所以BD〃PQ,

設(shè)PQCAB=M,因?yàn)锳B〃CD,

所以AAPMs4DPQ.

PQPD

所以有尸弁=2,即PQ=2PM.

又知△/叫如,

,PMAP1

所cr以瓦=拓=京'

所以"（切,又BD=取a,

U

所以閭=羋&

O

3.(2024.洛陽第一次統(tǒng)考)如圖，正方形/頌與梯形力及力所在的平面相互垂直，AB//CD,ABLBC,DC=

BC=?AB=3點(diǎn)〃在線段以上.

(L)證明：平面薇加L平面4%戶;

(2)若/￡〃平面切如，求三棱錐氏即的體積.

【解析】：(1)證明：因?yàn)槲?=8C=1,DCLBC,所以所平.

在梯形/以力中，AD=y12,AB=2,

所以4萬+加=初，所以//龍=90°.

所以ADLBD.

又平面/龐￡L平面/a2EDLAD,

平面平面/犯9=/〃&七平面/頌,

所以及LL平面力及力，因?yàn)槿?平面4犯9,所以BD1ED.

又ADCDE=D,所以劭_L平面49跖

又BDc.平面BDM,

所以平面加晚L平面ADEF.

⑵如圖，連接4GACCBD=O,連接題9,

4B

因?yàn)槠矫嫖顲G平面的切=加，AE〃平面MDB,/氏平面均C

所以/￡〃盟

又AB//CD,

EMAOAB

所以濟(jì)濟(jì)赤=2,

2211X72=^.

醞珊=亍必4=§義5義

因?yàn)槌?，平?8微比t平面/閱9,所以龐_1_a:

因?yàn)樗摹ㄇ?，ABLBC,所以aLLOZ

又EDCDC=D,所以比工平面初C

所以VE-Bt>H=%BC=三乂當(dāng)'X1=坐.

4.如圖1,在直角梯形46(力中，NADC=90°,CD//AB,