2024年中考數(shù)學(xué)：實(shí)際應(yīng)用題(解析版)(全國(guó)版)

實(shí)際應(yīng)用題

中考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)解答題☆☆☆☆☆

①方程（組）和不等式（組）的結(jié)合

考向預(yù)測(cè)②一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

③二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

應(yīng)試

實(shí)際應(yīng)用題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容！實(shí)際應(yīng)用題是運(yùn)用方程（組）、不等

式（組）和函數(shù)等來(lái)解決的一類實(shí)際生活中的問(wèn)題。

1.從考點(diǎn)頻率看，實(shí)際應(yīng)用題是高頻考點(diǎn)，且實(shí)際應(yīng)用題考查知識(shí)點(diǎn)多，題型也復(fù)雜！

2.從題型角度看，以解答題為主，分值9分左右！

一、基礎(chǔ)的方程（組）、不等式（組）

（1）審題。（2）設(shè)未知數(shù).（3）找關(guān)系式（4）求解，個(gè)別方程需要檢驗(yàn)⑸作答

二、方案選取問(wèn)題

（1）題型一方程（組）和不等式（組）類型的

（2）題型二方程（組）和一次函數(shù)類型的，此類題一般有2個(gè)方案，需要求2個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式，

然后去比較大小。

（3）題型三方程（組）、不等式（組）和一次函數(shù)類型的，此類題要用到一次函數(shù)的增減變化性質(zhì)。

三、方案設(shè)計(jì)問(wèn)題

方程（組）、不等式（組）和一次函數(shù)，此類題要根據(jù)一次函數(shù)的增減變化性質(zhì)去設(shè)計(jì)方案。

四、最值問(wèn)題

求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定最值.

五、函數(shù)圖象問(wèn)題

通過(guò)圖象，找出信息，求出解析式。

典例剖析

典例1.小強(qiáng)的爸爸平常開車從家中到小強(qiáng)奶奶家，勻速行駛需要4小時(shí)，某天，他們以平常的速度行駛了

7的路程時(shí)遇到了暴雨，立即將車速減少了20千米/小時(shí)，到達(dá)奶奶家時(shí)共用了5小時(shí)，問(wèn)小強(qiáng)家到他奶

奶家的距離是多少千米？

【答案】240千米

【分析】平常速度行駛了g的路程用時(shí)為2小時(shí)，后續(xù)減速后用了3小時(shí)，用遇到暴雨前行駛路程加上遇

到暴雨后行駛路程等于總路程這個(gè)等量關(guān)系列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是尤千米，則平時(shí)每小時(shí)行駛:千米，減速后每小時(shí)行駛仔-20）

千米，由題可知：遇到暴雨前用時(shí)2小時(shí)，遇到暴雨后用時(shí)5-2=3小時(shí)，

則可得：2X：+3（｝20）=X,

解得：x=240,

答：小強(qiáng)家到他奶奶家的距離是240千米.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程應(yīng)用中的行程問(wèn)題，直接設(shè)未知數(shù)法，找到準(zhǔn)確的等量關(guān)系，列出方程

正確求解是解題的關(guān)鍵.

典例2.習(xí)近平總書記對(duì)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出重要指示強(qiáng)調(diào)：實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，是黨的十九大作出的重

大決策部署，是新時(shí)代做好“三農(nóng)”工作的總抓手.為了發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，紅旗村花費(fèi)4000元集中采購(gòu)了A種

樹苗500株，B種樹苗400株，已知B種樹苗單價(jià)是A種樹苗單價(jià)的1.25倍.

⑴求A、8兩種樹苗的單價(jià)分別是多少元？

⑵紅旗村決定再購(gòu)買同樣的樹苗100株用于補(bǔ)充栽種，其中A種樹苗不多于25株，在單價(jià)不變，總費(fèi)用不

超過(guò)480元的情況下，共有幾種購(gòu)買方案？哪種方案費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少元？

【答案】⑴A種樹苗的單價(jià)是4元，則3種樹苗的單價(jià)是5元

⑵有6種購(gòu)買方案，購(gòu)買A種樹苗，25棵，購(gòu)買8種樹苗75棵費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是475元.

【分析】（1）設(shè)A種樹苗的單價(jià)是x元，則3種樹苗的單價(jià)是1.25x元，根據(jù)“花費(fèi)4000元集中采購(gòu)了A種

樹苗500株，3種樹苗400株，”列出方程，即可求解；

（2）設(shè)購(gòu)買A種樹苗a棵，則購(gòu)買2種樹苗（100%）棵，其中。為正整數(shù)，根據(jù)題意，列出不等式組，

可得20W25,從而得到有6種購(gòu)買方案，然后設(shè)總費(fèi)用為取元，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)A種樹苗的單價(jià)是x元，則B種樹苗的單價(jià)是1.25x元，根據(jù)題意得：

500x+400x1.25%=4000,

解得：x=4,

1.25x=5,

答：A種樹苗的單價(jià)是4元，則2種樹苗的單價(jià)是5元；

（2）解：設(shè)購(gòu)買A種樹苗?？?，則購(gòu)買8種樹苗（100/）棵，其中。為正整數(shù)，根據(jù)題意得：

j0<a<25

[4a+5（100-a）<480，

解得:20<a<25,

為正整數(shù)，

.“取20,21,22,23,24,25,

.,.有6種購(gòu)買方案，

設(shè)總費(fèi)用為w元，

w=4a+5（100-。）=-a+500,

'.-I<0,

隨a的增大而減小，

當(dāng)a=25時(shí)，w最小，最小值為475,

止匕時(shí)100/=75,

答：有6種購(gòu)買方案，購(gòu)買A種樹苗，25棵，購(gòu)買8種樹苗75棵費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是475元.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，明確題意，

準(zhǔn)確得到數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

典例3.某工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)4和8兩種防疫用品，已知/種防疫用品每箱成本比8種防疫用品每箱成本多500

元.經(jīng)計(jì)算，用6000元生產(chǎn)/種防疫用品的箱數(shù)與用4500元生產(chǎn)5種防疫用品的箱數(shù)相等.請(qǐng)解答下列

問(wèn)題：

⑴求4,2兩種防疫用品每箱的成本；

（2）該工廠計(jì)劃用不超過(guò)90000元同時(shí)生產(chǎn)/和B兩種防疫用品共50箱，且3種防疫用品不超過(guò)25箱，該

工廠有幾種生產(chǎn)方案？

⑶為擴(kuò)大生產(chǎn)，廠家欲拿出與（2）中最低成本相同的費(fèi)用全部用于購(gòu)進(jìn)甲和乙兩種設(shè)備（兩種都買）.若

甲種設(shè)備每臺(tái)2500元，乙種設(shè)備每臺(tái)3500元，則有幾種購(gòu)買方案？最多可購(gòu)買甲，乙兩種設(shè)備共多少臺(tái)？

（請(qǐng)直接寫出答案即可）

【答案】（1口種防疫用品2000元/箱，2種防疫用品1500元/箱

(2)共有6種方案

(3)4種，33臺(tái)

【分析】(1)設(shè)3種防疫用品成本x元/箱，N種防疫用品成本(》+500)元/箱，根據(jù)題意列出分式方程解得

即可；

(2)設(shè)3種防疫用品生產(chǎn)m箱，/種防疫用品生產(chǎn)(50-%)箱，根據(jù)題意列得不等式解得即可；

(3)先根據(jù)(2)求得最低成本，設(shè)購(gòu)進(jìn)甲和乙兩種設(shè)備分別為0,6臺(tái)，根據(jù)題意列得方程，解得正整數(shù)

解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)8種防疫用品成本x元/箱，N種防疫用品成本(x+500)元/箱，

由題意，得幽=冬，

JCinuu

解得x=1500,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=1500時(shí)，x(x+500)/0,所以x=1500是原分式方程的解，

x+500=1500+500=2000(元/箱)，

答：4種防疫用品2000元/箱，2種防疫用品1500元/箱；

(2)解：設(shè)2種防疫用品生產(chǎn)機(jī)箱，/種防疫用品生產(chǎn)(50-旭)箱，

1500/M+2000(50-m)<90000,解得m>20,

種防疫用品不超過(guò)25箱，

20<m<25,

??,m為正整數(shù),

：.m=20,21,22,23,24,25,共有6種方案；

(3)解：設(shè)生產(chǎn)/和2兩種防疫用品費(fèi)用為叱

w=1500w+2000(50-m)=-500m+100000,

：k<0,

.,.w隨m的增大而減小，

，當(dāng)加=25時(shí)，w取得最小值,此時(shí)卬=87500,

設(shè)購(gòu)進(jìn)甲和乙兩種設(shè)備分別為0,6臺(tái)，

..2500a+35006=87500,

175—76

a=-------

5

???兩種設(shè)備都買，

.??“，6都為正整數(shù)，

JQ=28fa=21[a=14Ja=7

一16二5，（6=01=5[b=20,

一共4種方案，最多可購(gòu)買甲乙兩種設(shè)備共28+5=33臺(tái).

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程、一元一次不等式組、二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出等式或不等

式是解題的關(guān)鍵.

典例4.為改善村容村貌，陽(yáng)光村計(jì)劃購(gòu)買一批桂花樹和芒果樹.已知桂花樹的單價(jià)比芒果樹的單價(jià)多40

元，購(gòu)買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元.

⑴桂花樹和芒果樹的單價(jià)各是多少元？

（2）若該村一次性購(gòu)買這兩種樹共60棵，且桂花樹不少于35棵.設(shè)購(gòu)買桂花樹的棵數(shù)為“，總費(fèi)用為w元,

求w關(guān)于"的函數(shù)關(guān)系式，并求出該村按怎樣的方案購(gòu)買時(shí)，費(fèi)用最低？最低費(fèi)用為多少元？

【答案】⑴桂花樹單價(jià)90元/棵，芒果樹的單價(jià)50元/棵；

⑵w=40“+3000（35s於60）；當(dāng)購(gòu)買35棵掛花樹，25棵芒果樹時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為4400元.

【分析】（1）設(shè)桂花樹單價(jià)x元/棵，芒果樹的單價(jià)y元/棵，根據(jù)桂花樹的單價(jià)比芒果樹的單價(jià)多40元,

購(gòu)買3棵桂花樹和2棵芒果樹共需370元，列出二元一次方程組解出即可；

（2）設(shè)購(gòu)買掛花樹?力棵，則芒果樹為（60-〃）棵，根據(jù)題意求出w關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)桂花樹

不少于35棵求出"的取值范圍，再根據(jù)n是正整數(shù)確定出購(gòu)買方案及最低費(fèi)用.

【詳解】（1）解：設(shè)桂花樹單價(jià)x元/棵，芒果樹的單價(jià)y元/棵,

x=y+40

根據(jù)題意得:

3x+2j=370'

答：桂花樹單價(jià)90元/棵，芒果樹的單價(jià)50元/棵;

（2）設(shè)購(gòu)買桂花樹的棵數(shù)為心則購(gòu)買芒果樹的棵數(shù)為（60-〃）棵,

根據(jù)題意得w=90M+50(60-??)=40〃+3000(35<?<60),

■/40>0,

隨〃的增大而增大，

二當(dāng)〃=35時(shí)，&小=40x35+3000=4400(元)，

此時(shí)60-”=60-35=25,

，當(dāng)購(gòu)買35棵掛花樹，25棵芒果樹時(shí)，費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為4400元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵

是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系.

典例5.某公司引入一條新生產(chǎn)線生產(chǎn)43兩種產(chǎn)品，其中/產(chǎn)品每件成本為100元，銷售價(jià)格為120元,

2產(chǎn)品每件成本為75元，銷售價(jià)格為100元，A,2兩種產(chǎn)品均能在生產(chǎn)當(dāng)月全部售出.

⑴第一個(gè)月該公司生產(chǎn)的43兩種產(chǎn)品的總成本為8250元，銷售總利潤(rùn)為2350元，求這個(gè)月生產(chǎn)4B

兩種產(chǎn)品各多少件？

⑵下個(gè)月該公司計(jì)劃生產(chǎn)4,8兩種產(chǎn)品共180件,且使總利潤(rùn)不低于4300元,則B產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？

【答案】⑴這個(gè)月生產(chǎn)A產(chǎn)品30件，5產(chǎn)品70件

(2)140件

【分析】(1)設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品X件，8產(chǎn)品了件，根據(jù)題意列出方程組，求出即可；

(2)設(shè)B產(chǎn)品生產(chǎn)加件，則A產(chǎn)品生產(chǎn)(180-㈤件，根據(jù)題意列出不等式組，求出即可.

【詳解】(1)解：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品V件，

根據(jù)題思，得［120-100)尤+(100-75=2350

fx=30

解得2

卜=70

，這個(gè)月生產(chǎn)A產(chǎn)品30件，8產(chǎn)品70件，

答：這個(gè)月生產(chǎn)A產(chǎn)品30件，5產(chǎn)品70件；

(2)解：設(shè)3產(chǎn)品生產(chǎn)機(jī)件，貝產(chǎn)品生產(chǎn)(180-%)件，

根據(jù)題意，得(100-75)加+(120-100)(180-機(jī)”4300,

解這個(gè)不等式，得加之140.

二8產(chǎn)品至少生產(chǎn)140件，

答：B產(chǎn)品至少生產(chǎn)140件.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，能根據(jù)題意列出方程組和不等式是解此題

的關(guān)鍵.

典例6.某商店決定購(gòu)進(jìn)/、8兩種北京冬奧會(huì)紀(jì)念品.若購(gòu)進(jìn)/種紀(jì)念品10件，8種紀(jì)念品5件，需要

1000元；若購(gòu)進(jìn)4種紀(jì)念品5件，2種紀(jì)念品3件，需要550元.

⑴求購(gòu)進(jìn)N、3兩種紀(jì)念品的單價(jià)；

(2)若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)/種紀(jì)念品的數(shù)量不少

于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念品數(shù)量不少于20件，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？

(3)若銷售每件4種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件3種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第(2)間的各種進(jìn)貨方案

中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤(rùn).

【答案】⑴購(gòu)進(jìn)/、3兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元

⑵共有6種進(jìn)貨方案

(3)當(dāng)購(gòu)進(jìn)/種紀(jì)念品160件8種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元

【分析】(1)根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可;

(2)根據(jù)題意列出一元一次不等式組進(jìn)行求解即可;

(3)設(shè)總利潤(rùn)為少元，求出少和x之間的函數(shù)關(guān)系式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)設(shè)/種紀(jì)念品單價(jià)為。元，8種紀(jì)念品單價(jià)為b元

根據(jù)題意，得屋fl0〃+5,6=,10?00?解得\.a=50

[5〃+3b=550[/>=100

，購(gòu)進(jìn)48兩種紀(jì)念品的單價(jià)分別為50元、100元.

(2)設(shè)該商店購(gòu)進(jìn)N種紀(jì)念品x個(gè)，購(gòu)進(jìn)8種紀(jì)念品y個(gè)

根據(jù)題意，得50x+100〉=10000

變形得y=ioo-；x

x>6|100--x|(l)

由題意得：I2J

100-|x>20?

由①得：尤150

由②得：x160

.-.150x160

.XV均為正整數(shù)

??.X可取的正整數(shù)值是150,152,154,156,158,160

與x相對(duì)應(yīng)的y可取的正整數(shù)值是25,24,23,22,21,20

.,.共有6種進(jìn)貨方案.

（3）設(shè)總利潤(rùn)為少元

則用=20x+30y=5x+3000

5>0

,少隨x的增大而增大

.,.當(dāng)x=160時(shí)，少有最大值：5x160+3000=3800（元）

，當(dāng)購(gòu)進(jìn)/種紀(jì)念品160件，3種紀(jì)念品20件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是3800元.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)題意正確的列出二元

一次方程組，一元一次不等式組，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

誤區(qū)點(diǎn)撥

一元二次方程或二次函數(shù)的利潤(rùn)問(wèn)題一直是很多同學(xué)的易錯(cuò)點(diǎn)，要注意數(shù)量關(guān)系是：總利潤(rùn)

=單利潤(rùn)X總銷量，而單利潤(rùn)=實(shí)際售價(jià)-進(jìn)價(jià)、總銷量等于目前銷量土變化量（一般升價(jià)會(huì)降

低銷量，降價(jià)會(huì)增加銷量），列出方程或函數(shù)后進(jìn)行求解，也要注意解出來(lái)的值是否滿足題意。

典例7.端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種品牌粽子的進(jìn)價(jià)

不變.第一次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子100袋和3品牌粽子150袋，總費(fèi)用為7000元；第二次購(gòu)進(jìn)A品牌粽子180

袋和B品牌粽子120袋，總費(fèi)用為8100元.

⑴求A、8兩種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元；

⑵當(dāng)8品牌粽子銷售價(jià)為每袋54元時(shí)，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對(duì)8品牌粽子進(jìn)行降價(jià)

銷售.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋.當(dāng)3品牌粽子每袋的銷售

價(jià)降低多少元時(shí)，每天售出3品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

【答案】⑴A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元

⑵當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出3品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組，即可求解；

（2）設(shè)8品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低。元，利潤(rùn)為卬元，列出卬關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，求出函數(shù)的最值即

可.

【詳解】(1)解：設(shè)A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是x元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是了元,

100%+150^=7000

根據(jù)題意得,

180x+120y=8100

x=25

解得

)=30'

故A種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是25元，B種品牌粽子每袋的進(jìn)價(jià)是30元;

(2)解：設(shè)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低。元，利潤(rùn)為w元,

根據(jù)題意得,

w=(54-a-30)(20+5a)=-5a2+100a+480=-5(z-10)+980,

-5<0,

當(dāng)B品牌粽子每袋的銷售價(jià)降低10元時(shí)，每天售出B品牌粽子所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是980元.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)已知數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)解析式和二元一次方

程組是解題的關(guān)鍵.

典例8.擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目.如圖1是一名女生投擲實(shí)心球，實(shí)心求

行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度yM與水平距離xM之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時(shí)起點(diǎn)處高

度為;m,當(dāng)水平距離為3%時(shí),

圖1

⑴求》關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)(女生)，投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距

離大于等于6.70機(jī)，此項(xiàng)考試得分為滿分10分.該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴》關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式為>±

(2)該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分，理由見解析.

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)就是實(shí)心球落地時(shí)的水平距離，令y=0,解方程即可求解.

【詳解】（1）解：?.,當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處,

?,?設(shè)J7=Q(x-3)+3,

5

'：y=a{x-3]9+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-),

g=4(0-3)+3

4

解得：a=,

.4(3?+3-4-85

..V----(X-3)十J----XHXH,

272793

485

.?.7關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=-點(diǎn)/+_|尤+?

（2）解：該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分，理由如下：

,對(duì)于二次函數(shù)y=—另4/+8%+5當(dāng)歹=。時(shí)，有一4f+Xx5+o

???4X2-24X-45=0,

解得：玉=1了5％=-31（舍去）,

—>6.70,

???該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析是是解題

的關(guān)鍵.

典例9.某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源,該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m）,

另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個(gè)面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m,設(shè)較小

矩形的寬為xm（如圖）.

⑴若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2,求此時(shí)x的值；

（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少?

【答案】（曲的值為2m；

⑵當(dāng)X=彳時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為Ym:

【分析】(1)由8C=x,求得出9=3x,AB=8-x,利用矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2,列一元二次方程，解方

程即可求解；

(2)設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S,列出矩形的面積公式可得S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：14。力，矩形CD即的面積是矩形3CE4面積的2倍，

/.CD=2.x,

:.BD=3x,AB=CF=DE=1(24-BD)=8-x,

依題意得：3x(8-x)=36,

解得：X]=2,%2=6(不合題意，舍去)，

此時(shí)工的值為2m；

(2)解：設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為S,

由(1)得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48,

,?,墻的長(zhǎng)度為10,

.,.0<3x<10,

10

0<x<—,

/-3<0,

」.XV4時(shí)，S隨著X的增大而增大，

.?.當(dāng)X=與時(shí)，S有最大值，最大值為-3義(1-4)2+48=年,

即當(dāng)x=g時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為?r^.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和二次函數(shù)在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

名校模擬

1.(2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模)為慶祝第十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議和全國(guó)政協(xié)一次會(huì)議圓滿閉幕，某中學(xué)舉

行了以“兩會(huì)”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，一共有20道題，滿分100分，每一題答對(duì)得5分，答錯(cuò)或不答扣2分.若

某參賽同學(xué)的總得分為86分，求該參賽同學(xué)一共答對(duì)了多少道題？

【答案】18

【分析】該參賽同學(xué)一共答對(duì)了x道題，根據(jù)某參賽同學(xué)的總得分為86分，可列出方程，再求解方程即可.

【詳解】解：該參賽同學(xué)一共答對(duì)了x道題，

由題意，得：5x-2(20-x)=86,

解得：尤=18,

答：該參賽同學(xué)一共答對(duì)了18道題.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次方程.

2.(2023?四川成都?統(tǒng)考二模)隨著問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙、夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙的成功發(fā)射，中國(guó)空間站建設(shè)取得重大成就，

我國(guó)載人航天事業(yè)正式進(jìn)入空間站應(yīng)用與發(fā)展階段,某學(xué)校舉行了主題為“逐夢(mèng)寰宇問(wèn)蒼穹”的航天知識(shí)競(jìng)賽,

一共有25道題，滿分100分，每一題答對(duì)得4分，答錯(cuò)扣1分，不答得0分.

⑴小明同學(xué)有兩道題沒有作答，總分為77分，問(wèn)小明同學(xué)一共答對(duì)了多少道題？

(2)若規(guī)定每道題都必須作答，總分不低于90分者將被評(píng)為“航天小達(dá)人”，問(wèn)至少答對(duì)多少道題才能被評(píng)為

“航天小達(dá)人”？

【答案】⑴小明同學(xué)一共答對(duì)了20道題

(2)至少需答對(duì)23道題才能被評(píng)為“航天小達(dá)人”

【分析】(1)設(shè)小明同學(xué)一共答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)了(25-2-x)道題，由此列方程即可求解；

(2)設(shè)需答對(duì)了道題才能被評(píng)為“航天小達(dá)人”，則答錯(cuò)了(25-y)道題，由此列不等式即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)小明同學(xué)一共答對(duì)了x道題，則答錯(cuò)了(25-2-尤)道題，

二由題意得4x-lx(25—2—x)=77,解得x=20,

二.小明同學(xué)一共答對(duì)了20道題.

(2)解：設(shè)需答對(duì)了道題才能被評(píng)為“航天小達(dá)人”，則答錯(cuò)了(25-y)道題，

，由題意得勺一lx（25-y”90,解得好23,

至少需答對(duì)23道題才能被評(píng)為“航天小達(dá)人”.

【點(diǎn)睛】本題主要考查方程與不等式的綜合，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握數(shù)量關(guān)系列方程，不等式解實(shí)

際問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?湖南長(zhǎng)沙?統(tǒng)考一模）某初級(jí)中學(xué)為了提高教職工的身體素質(zhì)，舉辦了“堅(jiān)持鍛煉，活力無(wú)限”的健

身活動(dòng)，并準(zhǔn)備購(gòu)買一些體育器材為活動(dòng)做準(zhǔn)備.已知購(gòu)買2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，購(gòu)

買6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元.

⑴購(gòu)買一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？

⑵已知該中學(xué)需要購(gòu)買兩種球拍共80副，羽毛球拍的數(shù)量不超過(guò)40副.現(xiàn)商店推出兩種購(gòu)買方案，方案A：

購(gòu)買一副羽毛球拍贈(zèng)送一副乒乓球拍；方案3：按總價(jià)的八折付款.試說(shuō)明選擇哪種購(gòu)買方案更實(shí)惠.

【答案】⑴購(gòu)買一副乒乓球拍需35元，購(gòu)買一副羽毛球拍需70元

⑵當(dāng)購(gòu)買羽毛球拍的數(shù)量少于20副時(shí)，選擇方案B更實(shí)惠；當(dāng)購(gòu)買羽毛球拍的數(shù)量等于20副時(shí)，兩種購(gòu)買

方案所需總費(fèi)用相同；當(dāng)購(gòu)買羽毛球拍的數(shù)量大于20副且不超過(guò)40副時(shí)，選擇方案A更實(shí)惠

【分析】（1）設(shè)購(gòu)買一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根據(jù)“購(gòu)買2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共

需要350元，購(gòu)買6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元”，即可得出關(guān)于x,V的二元一次方程組，解

之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購(gòu)買加（0〈加S40且加為整數(shù)）副羽毛球拍，則選擇方案A所需總費(fèi)用為2800元，選項(xiàng)方案B所

需總費(fèi)用為（28機(jī)+2240）元，分2800>28機(jī)+2240,2800=28小+2240及2800<28加+2240三種情況，即可

求出m的取值范圍或m的值，此題得解.

【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買一副乒乓球拍需x元，購(gòu)買一副羽毛球拍需V元,

2x+4y=350

依題意得:

6x+3y=420

x=35

解得:

y=70

答：購(gòu)買一副乒乓球拍需35元，購(gòu)買一副羽毛球拍需70元..

（2）設(shè)購(gòu)買加（0〈機(jī)040且加為整數(shù)）副羽毛球拍，則:

選擇方案A所需總費(fèi)用為：70m+35（80-2m）=2800（元）,

選項(xiàng)方案B所需總費(fèi)用為：80%x[70m+35（80-m）]=（28^+2240）（元）,

當(dāng)2800>28加+2240時(shí)，

解得：加<20,

0<m<40,

0<m<20；

當(dāng)2800=28〃z+2240時(shí)，

解得：M7=20;

當(dāng)2800<28機(jī)+2240時(shí)，

解得：m>20,

0<m<40,

20<m40.

答：當(dāng)購(gòu)買羽毛球拍的數(shù)量少于20副時(shí)，選擇方案3更實(shí)惠；當(dāng)購(gòu)買羽毛球拍的數(shù)量等于20副時(shí)，兩種購(gòu)

買方案所需總費(fèi)用相同；當(dāng)購(gòu)買羽毛球拍的數(shù)量大于20副且不超過(guò)40副時(shí)，選擇方案A更實(shí)惠.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及一元一次不等式的應(yīng)用，

解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含根的代

數(shù)式表示出選項(xiàng)各方案所需總費(fèi)用.

4.（2023?安徽宿州?統(tǒng)考二模）某校團(tuán)委組織九年級(jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，準(zhǔn)備租用43兩種類型的客

車.若3輛N類客車，2輛3類客車需要租金1220元；2輛N類客車，1輛3類客車需要租金720元.

⑴2兩種類型的客車租金分別為每輛多少元？

（2）若學(xué)校準(zhǔn)備租用4,3兩種類型客車共10輛，其中/類客車機(jī)輛，試用含優(yōu)的式子表示出總租金.

【答案】⑴/類客車租金為220元/輛，B類客車租金為280元/輛

⑵總租金為（-60機(jī)+2800）元

【分析】（1）設(shè)4類客車租金為x元/輛，3類客車租金為y元/輛.根據(jù)3輛/類客車，2輛2類客車需要

租金1220元；2輛/類客車，1輛8類客車需要租金720元列出方程組，解方程組即可；

（2）根據(jù)（1）中的求得的租金列出代數(shù)式，再化簡(jiǎn)即可.

【詳解】（1）解：設(shè)/類客車租金為x元/輛，2類客車租金為y元/輛.

3x+2y=1220

根據(jù)題意可得

2x+y=720'

x=220

解得

y=28(T

答：A類客車租金為220元/輛，B類客車租金為280元/輛.

（2）由（1）可得總租金為220%+280（10-m）=-60加+2800.

答：總租金為（-60%+2800）元.

【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，整式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，讀懂題意，正確列方程組是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?廣西梧州?統(tǒng)考一模）某校計(jì)劃租用甲、乙兩種客車送170名師生去研學(xué)基地開展綜合實(shí)踐活動(dòng).已

知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元.甲型客車

每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生.

⑴租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？

（2）若學(xué)校計(jì)劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費(fèi)用最少？

【答案】⑴甲種客車每輛200元，乙種客車每輛300元；

⑵租用甲種客車3輛，乙種客車5輛，租車費(fèi)用最低為2100元.

【分析】（1）可設(shè)甲種客車每輛x元，乙種客車每輛y元，根據(jù)等量關(guān)系：一輛甲型客車和一輛乙型客車

共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元，列出方程組求解即可；

（2）設(shè)租車費(fèi)用為w元，租用甲種客車0輛，則乙種客車（8-°）輛，根據(jù)題意列出不等式組，求出a的取

值范圍，進(jìn)而列出w關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)甲種客車每輛x元，乙種客車每輛y元，依題意知，

卜+y=500

[2x+3y=1300，

人,fx=200

解得:，

答：甲種客車每輛200元，乙種客車每輛300元；

（2）解：設(shè)租車費(fèi)用為w元，租用甲種客車。輛，則乙種客車（8-a）輛，

依題意得：15a+25（8-a”170,

解得：0<aw3,

w=200A+300（8-a）=TOO。+2400

,/-100<0,

隨。的增大而減小,

'/a取整數(shù)，

.'.a最大為3,

：a=3時(shí),費(fèi)用最低為：-100x3+2400=2100（元），

8-3=5（輛）.

答：租用甲種客車3輛，乙種客車5輛，租車費(fèi)用最低為2100元.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式組及二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂

題意，找到符合題意的不等關(guān)系式及所求量的等量關(guān)系.

6.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考二模）某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批足球和籃球，從體育商城了解到：一個(gè)足球和三個(gè)籃

球共需275元；三個(gè)足球和兩個(gè)籃球共需300元.

⑴求一個(gè)足球和一個(gè)籃球的售價(jià)各是多少元；

（2）若該學(xué)校準(zhǔn)備同時(shí)購(gòu)進(jìn)這兩種足球和籃球共80個(gè)，并且足球的數(shù)量不多于籃球數(shù)量的3倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最

省錢的購(gòu)買方案，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴一個(gè)足球的價(jià)格為50元，一個(gè)籃球的價(jià)格為75元

⑵購(gòu)買足球60個(gè)，購(gòu)買籃球20個(gè)最省錢，理由減解析

【分析】（1）設(shè)一個(gè)足球的價(jià)格為x元，一個(gè)籃球的價(jià)格為了元，然后根據(jù)一個(gè)足球和三個(gè)籃球共需275

元；三個(gè)足球和兩個(gè)籃球共需300元列出方程組求解即可；

（2）設(shè)購(gòu)買足球機(jī)個(gè)，則購(gòu)買籃球（80-間個(gè)，花費(fèi)為少元，列出乎關(guān)于加的一次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)

題意列出不等式求出m的取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)一個(gè)足球的價(jià)格為x元，一個(gè)籃球的價(jià)格為y元，

由題意得‘叫+<3。。'

解得n

[y=75

，一個(gè)足球的價(jià)格為50元，一個(gè)籃球的價(jià)格為75元，

答：一個(gè)足球的價(jià)格為50元，一個(gè)籃球的價(jià)格為75元；

（2）解：購(gòu)買足球60個(gè)，購(gòu)買籃球20個(gè)最省錢，理由如下：

設(shè)購(gòu)買足球機(jī)個(gè)，則購(gòu)買籃球（80-冽）個(gè)，花費(fèi)為少元，

由題意得，少=50%+75(80-加)=-25%+6000,

?足球的數(shù)量不多于籃球數(shù)量的3倍，

mv3(80-m),

0<m<60,

:W=-2.5m+6000,-25<0,

：少隨機(jī)增大而減小，

.1當(dāng)機(jī)=60時(shí)，少最小，最小為4500,

.?.購(gòu)買足球60個(gè)，購(gòu)買籃球20個(gè)最省錢.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，

正確理解題意列出對(duì)應(yīng)的方程組，函數(shù)關(guān)系式和不等式是解題的關(guān)鍵.

7.(2023?湖南邵陽(yáng)?校聯(lián)考二模)為了抓住文化藝術(shù)節(jié)的商機(jī)，某商店決定購(gòu)進(jìn)43兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品.若

購(gòu)買8件/種紀(jì)念品，3件3種紀(jì)念品，需要950元;；若購(gòu)進(jìn)4種紀(jì)念品5件，2種紀(jì)念品6件，需要

800元.

⑴求購(gòu)進(jìn)/、3兩種紀(jì)念品每件各需多少元？

(2)若該商店購(gòu)買A種紀(jì)念品的數(shù)量比B種紀(jì)念品的2倍少10件，且購(gòu)買B種紀(jì)念品不少于34件，考慮市

場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，計(jì)劃投入資金不超過(guò)8000元，那么該商店有多少種進(jìn)貨方案？

【答案】(1必種紀(jì)念品每件100元，8種紀(jì)念品每件50元

⑵有三種方案：可購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品58件，3種紀(jì)念品34件；可購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品60件，B種紀(jì)念品35件;

可購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品62件，B種紀(jì)念品36件

【分析】(1)設(shè)/種紀(jì)念品每件需x元，8種紀(jì)念品每件需y元，根據(jù)題意，列出方程組進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)商店可購(gòu)進(jìn)B紀(jì)念品a件，根據(jù)題意列出一元一次不等式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)N種紀(jì)念品每件需x元，8種紀(jì)念品每件需y元，由題意，得：

j8x+3y=950

[5^+6y=800'

答：N種紀(jì)念品每件100兀，8種紀(jì)念品每件50兀;

（2）設(shè)商店可購(gòu)進(jìn)8紀(jì)念品。件，則購(gòu)進(jìn)/紀(jì)念品（2。-10）件,

由題意得100（2a-10）+50a<8000,

解得：aw36.

購(gòu)買B種紀(jì)念品不少于34件,

34<a<36.

有三種方案：可購(gòu)進(jìn)/種紀(jì)念品58件，8種紀(jì)念品34件；

可購(gòu)進(jìn)/種紀(jì)念品60件，8種紀(jì)念品35件；

可購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品62件，B種紀(jì)念品36件.

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是正確的列出方

程和不等式.

8.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考一模）某企業(yè)加快恢復(fù)生產(chǎn)，去年11月份生產(chǎn)產(chǎn)品1400件，今年3月份實(shí)際生

產(chǎn)產(chǎn)品2400件.已知該企業(yè)3月份累計(jì)生產(chǎn)時(shí)間比11月份累計(jì)生產(chǎn)時(shí)間多50個(gè)小時(shí)，如果該企業(yè)11月

份與3月份生產(chǎn)該產(chǎn)品的工作效率之比為2：3,求該企業(yè)每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品多少件？

【答案】該企業(yè)去年11月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品4件，今年3月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品6件

【分析】設(shè)該企業(yè)去年11月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品2x件，則今年3月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品3x件，由題意：

該企業(yè)3月份累計(jì)生產(chǎn)時(shí)間比11月份累計(jì)生產(chǎn)時(shí)間多50個(gè)小時(shí)，列出分式方程，解方程，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)該企業(yè)去年11月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品2x件，則今年3月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品3尤件，

解得：x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=2是原方程的解，且符合題意，

2x=2x2=4,3尤=3x2=6,

答：該企業(yè)去年11月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品4件，今年3月份每小時(shí)生產(chǎn)該產(chǎn)品6件.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考二模）2023年是中國(guó)農(nóng)歷癸卯兔年.春節(jié)前，某商場(chǎng)進(jìn)貨員打算進(jìn)貨“吉祥兔”和“如

意兔”兩種布偶，發(fā)現(xiàn)用8800元購(gòu)進(jìn)的“吉祥兔”的數(shù)量是用4000元購(gòu)進(jìn)的“如意兔”的2倍，且每件“吉祥

兔”的進(jìn)價(jià)比“如意兔”貴了4元.

⑴“吉祥兔”、“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）為滿足消費(fèi)者需求，該超市準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)“吉祥兔”和“如意兔”兩種布偶共200個(gè)，“吉祥兔”售價(jià)定價(jià)為

70元“如意兔”售價(jià)為60元若總利潤(rùn)不低于4120元，問(wèn)最少購(gòu)進(jìn)多少個(gè)“吉祥兔”?

【答案】⑴“吉祥兔”、“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)分別是44元和40元

⑵最少購(gòu)進(jìn)20個(gè)吉祥兔

【分析】（1）設(shè)如意兔每件的進(jìn)價(jià)為x元，則吉祥兔每件的進(jìn)價(jià)為（x+4）元，根據(jù)題意列出關(guān)于x的分式

方程，進(jìn)行求解即可；

（2）設(shè)購(gòu)買吉祥兔。個(gè)，則如意兔（200-°）個(gè)，根據(jù)題意列出關(guān)于a的一元一次不等式，進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)如意兔每件的進(jìn)價(jià)為x元，則吉祥兔每件的進(jìn)價(jià)為（x+4）元,

幽、幽

題意，得:;2解得：x=40,

x+4x

經(jīng)檢驗(yàn)x=40是原方程的解,

1+4=44；

答：“吉祥兔”、“如意兔”每件的進(jìn)價(jià)分別是44元和40元.

（2）解：設(shè)購(gòu)買吉祥兔。個(gè)，則如意兔（200-a）個(gè),

（70-44）。+（60-40）（200-0）>4120,

解得（7-20

答：最少購(gòu)進(jìn)20個(gè)吉祥兔.

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，正確列出方程或不等式是解

題的關(guān)鍵.

10.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模）某校計(jì)劃到商場(chǎng)購(gòu)買43兩種品牌的足球，購(gòu)買/種品牌的足球50個(gè)，

B種品牌的足球25個(gè)，共花費(fèi)4500元,已知購(gòu)買一個(gè)B種品牌的足球比購(gòu)買一個(gè)A種品牌的足球多花30

元.

⑴求購(gòu)買一個(gè)/種品牌、一個(gè)3種品牌的足球各需多少元.

（2）學(xué)校為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，決定再次購(gòu)進(jìn)48兩種品牌足球共50個(gè)，正好趕上商場(chǎng)對(duì)商品價(jià)

格進(jìn)行調(diào)整，A品牌足球銷售單價(jià)比第一次購(gòu)買時(shí)提高4元，3品牌足球按第一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的9折出售，

如果學(xué)校此次購(gòu)買4B兩種品牌足球的總費(fèi)用不超過(guò)第一次花費(fèi)的65%,則第二次購(gòu)買/種足球至少多

少個(gè).

【答案】⑴購(gòu)買一個(gè)/種品牌的足球需要50元，購(gòu)買一個(gè)2種品牌的足球需要80元

（2）第二次購(gòu)買的A種足球個(gè)數(shù)的最小值為38個(gè)

【分析】（1）設(shè)N種品牌足球的單價(jià)為x元，3種品牌足球的單價(jià)為y元，列出二元次一方程組，解方程組

即可求解；

（2）設(shè)第二次購(gòu)買N種足球個(gè)，則購(gòu)買8中足球（50-加）個(gè)，根據(jù)題意列出一元一次不等式，解不等式

即可求解.

【詳解】（1）設(shè)4種品牌足球的單價(jià)為x元，5種品牌足球的單價(jià)為y元,

50x+25y=4500

依題意得:

尤+30=y

x=50

解得:

歹二80'

答：購(gòu)買一個(gè)工種品牌的足球需要50元，購(gòu)買一個(gè)2種品牌的足球需要80元.

（2）設(shè)第二次購(gòu)買/種足球機(jī)個(gè)，則購(gòu)買2中足球（50-間個(gè),

即：（50+4）m+80x90%x（50-m）<4500x65%,

解得加N37.5,

則第二次購(gòu)買的A種足球個(gè)數(shù)的最小值為38個(gè).

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)

量關(guān)系找出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出關(guān)于m的一元一次不等式組.本題屬于中

檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程（方程組、不等式或不等式組）是關(guān)鍵.

11.（2023?陜西西安??？既＃┠晨萍蓟顒?dòng)小組制作了兩款小型機(jī)器人，在同一賽道上進(jìn)行試驗(yàn)運(yùn)行.甲

機(jī)器人離/點(diǎn)的距離與出發(fā)時(shí)間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表.乙機(jī)器人在離/點(diǎn)15米處出發(fā)，以

0.5米/秒的速度勻速前進(jìn)，兩個(gè)機(jī)器人同時(shí)同向（遠(yuǎn)離/點(diǎn)）出發(fā)并保持前進(jìn)的狀態(tài).

出發(fā)時(shí)間（單位：秒）510

甲機(jī)器人離/點(diǎn)距離（單位：米）1015

⑴請(qǐng)分別求出甲、乙兩機(jī)器人離A點(diǎn)的距離與出發(fā)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式;

⑵①甲機(jī)器人出發(fā)時(shí)距離N點(diǎn)多遠(yuǎn)？

②兩機(jī)器人出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)相遇？

［答案】⑴了=x+5,v=0.5x+15

（2）①5米;②20秒

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；

（2）①令x=0,求出y的值即可；

fy=x+5

②聯(lián)立方程組求出X的值即可得解.

【詳解】（1）解：設(shè)甲機(jī)器人離/點(diǎn)的距離y與出發(fā)時(shí)間，之間的函數(shù)關(guān)系式＞=米+6,

當(dāng)x=5時(shí)，y=10；當(dāng)x=10時(shí)，y=15,

,5左+6=10

-110左+6=15'

\k=\

解得八＜，

[0=5

二甲機(jī)器人離/點(diǎn)的距離y與出發(fā)時(shí)間f之間的函數(shù)關(guān)系式V=x+5,

1,乙機(jī)器人在離/點(diǎn)15米處出發(fā)，以0.5米/秒的速度勻速前進(jìn)，

二乙機(jī)器人離N點(diǎn)的距離y與出發(fā)時(shí)間[之間的函數(shù)關(guān)系式＞=0.5x+15

（2）解：①對(duì)于y=x+5,

當(dāng)x=0時(shí)，J=5,

.?.甲機(jī)器人出發(fā)時(shí)距離N點(diǎn)5米遠(yuǎn)

fy=x+5

②聯(lián)立方程組-...

[y=0n.5x+15

Afx=20

解得

[）=25

二兩機(jī)器人出發(fā)20秒長(zhǎng)時(shí)間時(shí)相遇.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

12.（2023?內(nèi)蒙古包頭.?？家荒＃┙鹎锖谩柏S”光，助力秋收忙.某村小麥種植約2000畝，計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行收

割.經(jīng)投標(biāo)，由甲乙兩個(gè)生產(chǎn)隊(duì)來(lái)完成.甲生產(chǎn)隊(duì)每天可收割小麥60畝，乙生產(chǎn)隊(duì)每天可收割小麥50畝.已

知乙生產(chǎn)隊(duì)每天的收割費(fèi)比甲生產(chǎn)隊(duì)少200元，當(dāng)甲生產(chǎn)隊(duì)所需收割費(fèi)為5000元，乙生產(chǎn)隊(duì)所需收割費(fèi)為

4000元時(shí)，兩生產(chǎn)隊(duì)工作天數(shù)剛好相同.

⑴甲乙兩個(gè)生產(chǎn)隊(duì)每天各需收割費(fèi)多少元？

⑵現(xiàn)由甲乙兩個(gè)生產(chǎn)隊(duì)共同參與小麥?zhǔn)崭睿阎獌蓚€(gè)生產(chǎn)隊(duì)工作天數(shù)均為正整數(shù)，且所有小麥剛好收割完,

總費(fèi)用不超過(guò)33000元.

①甲乙兩生產(chǎn)隊(duì)分別工作的天數(shù)共有多少種可能？

②寫出其中費(fèi)用最少的一種方案，并求出最低費(fèi)用.

【答案】（1）甲生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)1000元、乙生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)800元.

（2）①甲乙兩生產(chǎn)隊(duì)分別工作的天數(shù)共有5種可能.②費(fèi)用最少的方案是甲生產(chǎn)隊(duì)工作5天，乙生產(chǎn)隊(duì)工作

34天，最低費(fèi)用為32200元.

【分析】（1）設(shè)甲生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)x元、乙生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)（尤-200）元，根據(jù)當(dāng)甲生產(chǎn)隊(duì)所需收

割費(fèi)為5000元，乙生產(chǎn)隊(duì)所需收割費(fèi)為4000元時(shí)，兩生產(chǎn)隊(duì)工作天數(shù)剛好相同列出方程，解方程并檢驗(yàn)

即可；

（2）①設(shè)甲生產(chǎn)隊(duì)工作〃z天，則乙生產(chǎn)隊(duì)工作〃天.由題意得到60機(jī)+50〃=2000①，且1000〃z+800"w33000

②，由①得到〃=40-g用③，整理得到關(guān)于加的一元一次不等式組，解得加v25,由％，”是正整數(shù)得到甲

乙兩生產(chǎn)隊(duì)分別工作的天數(shù)共有5種可能.②得到總費(fèi)用枚=1000機(jī)+800（40-|加1=40根+32000,根據(jù)一

次函數(shù)的性質(zhì)得到費(fèi)用最少的方案和最少費(fèi)用即可.

【詳解】（1）解；設(shè)甲生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)x元、乙生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)卜-200）元,

,壯土50004000

由題意，---=------,

,xx-200'

解得x=1000,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=1000是分式方程的解且符合題意.

貝IJx-200=800,

答：甲生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)1000元、乙生產(chǎn)隊(duì)每天需收割費(fèi)800元.

（2）①設(shè)甲生產(chǎn)隊(duì)工作機(jī)天，則乙生產(chǎn)隊(duì)工作〃天.

由題意，60m+50?=2000①，1.1000m+800/7<33000②，

由①得到n=40-：機(jī)③，

把③代人②得到，1000m+800^40<33000,即40冽+32000w33000,

,/n>0,

40--m>0,

5

40--m>0

15,

40m+32000<33000

解得加w25,

???加，〃是正整數(shù)，

/加=25/冽=20[m=15[m=10\m=5

-'-[?=10或3=16或1=22或[=28或=34，

二甲乙兩生產(chǎn)隊(duì)分別工作的天數(shù)共有5種可能.

②總費(fèi)用w=1000m+800（40-：h）=40加+32000,

-/40＞0,

隨機(jī)的增大而增大，

7=5時(shí),w有最小值,此時(shí)墳=40x5+32000=32200.

即費(fèi)用最少的方案是甲生產(chǎn)隊(duì)工作5天，乙生產(chǎn)隊(duì)工作34天，最低費(fèi)用為32200元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查較為全

面，對(duì)于一次函數(shù)尸去+6（左/0）而言，當(dāng)人＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)左＜0時(shí)，y隨x的增大而減小.

13.（2023?廣西南寧?統(tǒng)考一模）老友粉入選廣西非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.為滿足消費(fèi)者需求，某超市購(gòu)進(jìn)甲、

乙兩種品牌老友粉，已知甲品牌老友粉比乙品牌老友粉每袋進(jìn)價(jià)少2元，用2700元購(gòu)進(jìn)甲品牌老友粉與用

3300元購(gòu)進(jìn)乙品牌老友粉的數(shù)量相同.

⑴求甲、乙兩種品牌老友粉每袋的進(jìn)價(jià)；

（2）本次購(gòu)進(jìn)甲、乙品牌老友粉共800袋，均按13元出售，且購(gòu)進(jìn)甲品牌老友粉的數(shù)量不超過(guò)乙品牌老友粉

數(shù)量的3倍.若該批老友粉全部售完，則該超市應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種老友粉各多少袋才能獲得最大利潤(rùn)？最

大利潤(rùn)是多少？

【答案】（1）甲品牌老友粉每袋9元，乙品牌老友粉每袋11元

⑵當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲種老友粉600袋，乙種老友粉200