安徽省宣城市第十三中學2024-2025學年高三押題信息卷數(shù)學試題(三)含解析_第1頁
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安徽省宣城市第十三中學2024-2025學年高三押題信息卷數(shù)學試題(三)注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知直線與圓有公共點,則的最大值為()A.4 B. C. D.2.已知拋物線的焦點為,過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點,與軸的正半軸交于點,與準線交于點,且,則()A. B.2 C. D.33.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,若正方體的六個面所在的平面與直線相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,則下列結論正確的是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,若定義,則函數(shù),在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A. B.C. D.5.等差數(shù)列中,,,則數(shù)列前6項和為()A.18 B.24 C.36 D.726.A. B. C. D.7.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.8.如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額(單位:億元)的折線圖.則下列結論中表述不正確的是()A.從2000年至2016年,該地區(qū)環(huán)境基礎設施投資額逐年增加;B.2011年該地區(qū)環(huán)境基礎設施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多;C.2012年該地區(qū)基礎設施的投資額比2004年的投資額翻了兩番;D.為了預測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎設施投資額,根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為)建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型,根據(jù)該模型預測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎設施投資額為256.5億元.9.在中,角所對的邊分別為,已知,則()A.或 B. C. D.或10.若為虛數(shù)單位,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,圖中復平面內(nèi)點表示復數(shù),則表示復數(shù)的點是()A.E B.F C.G D.H11.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.412.已知集合,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________.14.如圖,的外接圓半徑為,為邊上一點,且,,則的面積為______.15.如圖,兩個同心圓的半徑分別為和,為大圓的一條直徑,過點作小圓的切線交大圓于另一點,切點為,點為劣弧上的任一點(不包括兩點),則的最大值是__________.16.函數(shù)的定義域是___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,點是線段的中點,,求的面積.18.(12分)如圖,在正四棱柱中,已知,.(1)求異面直線與直線所成的角的大??;(2)求點到平面的距離.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求m的值.20.(12分)“綠水青山就是金山銀山”,為推廣生態(tài)環(huán)境保護意識,高二一班組織了環(huán)境保護興趣小組,分為兩組,討論學習.甲組一共有人,其中男生人,女生人,乙組一共有人,其中男生人,女生人,現(xiàn)要從這人的兩個興趣小組中抽出人參加學校的環(huán)保知識競賽.(1)設事件為“選出的這個人中要求兩個男生兩個女生,而且這兩個男生必須來自不同的組”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù),求隨機變量的分布列和期望21.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當時,證明:.22.(10分)一酒企為擴大生產(chǎn)規(guī)模,決定新建一個底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館,發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體發(fā)酵池,其底面為長方形(如圖所示),其中.結合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模,設定修建的發(fā)酵池容積為450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元,發(fā)酵池造價總費用不超過65400元(1)求發(fā)酵池邊長的范圍;(2)在建發(fā)酵館時,發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道(為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設計,可使得發(fā)酵館占地面積最小.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點,得到,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為表示圓,所以,解得,因為直線與圓有公共點,所以圓心到直線的距離,即,解得,此時,因為,在遞增,所以的最大值.故選:C本題主要考查圓的方程,直線與圓的位置關系以及二次函數(shù)的性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.2.B【解析】

過點作準線的垂線,垂足為,與軸交于點,由和拋物線的定義可求得,利用拋物線的性質(zhì)可構造方程求得,進而求得結果.【詳解】過點作準線的垂線,垂足為,與軸交于點,由拋物線解析式知:,準線方程為.,,,,由拋物線定義知:,,,.由拋物線性質(zhì)得:,解得:,.故選:.本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應用,關鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.3.A【解析】

根據(jù)題意,畫出幾何位置圖形,由圖形的位置關系分別求得的值,即可比較各選項.【詳解】如下圖所示,平面,從而平面,易知與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∵平面,平面,且與正方體的其余四個面所在平面均相交,∴,∴結合四個選項可知,只有正確.故選:A.本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用,對空間想象能力要求較高,屬于中檔題.4.A【解析】

由題知,利用求出,再根據(jù)題給定義,化簡求出的解析式,結合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷,即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意,的圖象與直線的相鄰交點間的距離為,所以的周期為,則,所以,由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選:A.本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象,以及正弦函數(shù)的圖象,解題關鍵是對新定義的理解.5.C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式可得結果.【詳解】∵等差數(shù)列中,,∴,即,∴,故選C.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前項和公式的應用,屬于基礎題.6.A【解析】

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】本題正確選項:本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,是基礎的計算題.7.C【解析】

由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側棱長為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據(jù)三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側棱長為,如圖:由底面邊長可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C本題考查了多面體的內(nèi)切球與外接球問題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學生的空間想象能力,屬于基礎題.8.D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù),對四個選項逐一進行分析排除,由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項,由圖像可知,投資額逐年增加是正確的.對于選項,投資總額為億元,小于年的億元,故描述正確.年的投資額為億,翻兩翻得到,故描述正確.對于選項,令代入回歸直線方程得億元,故選項描述不正確.所以本題選D.本小題主要考查圖表分析能力,考查利用回歸直線方程進行預測的方法,屬于基礎題.9.D【解析】

根據(jù)正弦定理得到,化簡得到答案.【詳解】由,得,∴,∴或,∴或.故選:本題考查了正弦定理解三角形,意在考查學生的計算能力.10.C【解析】

由于在復平面內(nèi)點的坐標為,所以,然后將代入化簡后可找到其對應的點.【詳解】由,所以,對應點.故選:C此題考查的是復數(shù)與復平面內(nèi)點的對就關系,復數(shù)的運算,屬于基礎題.11.C【解析】

結合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎題.12.B【解析】

先由得或,再計算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B本題主要考查了集合的交集,補集的運算,考查學生的運算求解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎題.14.【解析】

先由正弦定理得到,再在三角形ABD、ADC中分別由正弦定理進一步得到B=C,最后利用面積公式計算即可.【詳解】依題意可得,由正弦定理得,即,由圖可知是鈍角,所以,,在三角形ABD中,,,在三角形ADC中,由正弦定理得即,所以,,故,,,故的面積為.故答案為:.本題考查正弦定理解三角形,考查學生的基本計算能力,要靈活運用正弦定理公式及三角形面積公式,本題屬于中檔題.15.【解析】

以為坐標原點,所在的直線為軸,的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標系,從而可得、,,,然后利用向量數(shù)量積的坐標運算可得,再根據(jù)輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】以為坐標原點,所在的直線為軸,的垂直平分線為軸,建立平面直角坐標系,則、,由,且,所以,所以,即又平分,所以,則,設,則,,所以,所以,,所以的最大值是.故答案為:本題考查了向量數(shù)量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題,同時考查了輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.16.【解析】

由于偶次根式中被開方數(shù)非負,對數(shù)的真數(shù)要大于零,然后解不等式組可得答案.【詳解】解:由題意得,,解得,所以,故答案為:此題考查函數(shù)定義域的求法,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理的邊化角公式,結合兩角和的正弦公式,即可得出的值;(2)由題意得出,兩邊平方,化簡得出,根據(jù)三角形面積公式,即可得出結論.【詳解】(1)由正弦定理得即即在中,,所以(2)因為點是線段的中點,所以兩邊平方得由得整理得,解得或(舍)所以的面積本題主要考查了正弦定理的邊化角公式,三角形的面積公式,屬于中檔題.18.(1);(2).【解析】

(1)建立空間坐標系,通過求向量與向量的夾角,轉(zhuǎn)化為異面直線與直線所成的角的大??;(2)先求出面的一個法向量,再用點到面的距離公式算出即可.【詳解】以為原點,所在直線分別為軸建系,設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為,異面直線與直線所成的角的大小為.(2)因為,,設是面的一個法向量,所以有即,令,,故,又,所以點到平面的距離為.本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離,意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力.19.(1)見解析(2)【解析】

(1)先求導,再對m分類討論,求出的單調(diào)性;(2)對m分三種情況討論求函數(shù)在區(qū)間上的最小值即得解.【詳解】(1)若,當時,;當時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減若.在R上單調(diào)遞增若,當時,;當時.,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減(2)由(1)可知,當時,在上單調(diào)遞增,則.則不合題意當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.則,即又因為單調(diào)遞增,且,故綜上,本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.20.(Ⅰ);(Ⅱ)分布列見解析,.【解析】

(Ⅰ)直接利用古典概型概率公式求.(Ⅱ)先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【詳解】(Ⅰ)(Ⅱ)可能取值為,,,,,的分布列為0123.本題主要考查古典概型的計算,考查隨機變量的分布列和期望的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)求導得,分類討論和,利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性;(2)根據(jù)(1)中求得的的單調(diào)性,得出在處取得最大值為,構造函數(shù),利用導數(shù),推出,即可證明不等式.【詳解】解:(1)由于,得,當時,,此時在上遞增;當時,由,解得,若,則,若,,此時在遞增,在上遞減.(2)由(1)知在處取得最大值為:,設,則,令,則,則在單調(diào)遞減,∴,即,則在單調(diào)遞減∴,∴,∴.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,涉及分類討論和構造新函數(shù),通過導數(shù)證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.22.(1)(2)當時,,米時,發(fā)酵館的占地面積最?。划敃r,時,發(fā)酵館的占地面積最小;當時,米時,發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】

(1)設米,總費用為,解即可得解;(2)結合(1)可得占地面積結合導函數(shù)分類討

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