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文檔簡介
北京市東城區(qū)示范校2025屆高三3月模擬數(shù)學試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復數(shù)的實部與虛部相等,其中為虛部單位,則實數(shù)()A.3 B. C. D.2.已知整數(shù)滿足,記點的坐標為,則點滿足的概率為()A. B. C. D.3.已知命題,那么為()A. B.C. D.4.已知集合,則等于()A. B. C. D.5.已知復數(shù)滿足,其中是虛數(shù)單位,則復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為()A. B. C. D.6.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長寬高互不相等的長方體7.已知,且,則()A. B. C. D.8.若復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內(nèi)所對應的點在虛軸上,則實數(shù)a為()A. B.2 C. D.9.已知直線是曲線的切線,則()A.或1 B.或2 C.或 D.或110.中,,為的中點,,,則()A. B. C. D.211.若,則“”是“的展開式中項的系數(shù)為90”的()A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是等比數(shù)列,若,,且∥,則______.14.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為____________.15.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為_____.16.已知函數(shù)的定義域為R,導函數(shù)為,若,且,則滿足的x的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐的底面是菱形,底面,,分別是的中點,.(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;(III)在邊上是否存在點,使與所成角的余弦值為,若存在,確定點的位置;若不存在,說明理由.18.(12分)已知,求的最小值.19.(12分)以直角坐標系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸,且兩坐標系取相同的長度單位.已知曲線的參數(shù)方程:(為參數(shù)),直線的極坐標方程:(1)求曲線的極坐標方程;(2)若直線與曲線交于、兩點,求的最大值.20.(12分)在本題中,我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù):①的定義域和值域都是;②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).(1)若在區(qū)間上是閉函數(shù),求常數(shù)的值;(2)找出所有形如的函數(shù)(都是常數(shù)),使其在區(qū)間上是閉函數(shù).21.(12分)選修4—5;不等式選講.已知函數(shù).(1)若的解集非空,求實數(shù)的取值范圍;(2)若正數(shù)滿足,為(1)中m可取到的最大值,求證:.22.(10分)在直角坐標系中,直線l過點,且傾斜角為,以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程,并判斷曲線C是什么曲線;設直線l與曲線C相交與M,N兩點,當,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
利用乘法運算化簡復數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知,,所以,解得.故選:B本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算,考查學生的基本計算能力,是一道容易題.2.D【解析】
列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個,滿足條件的有7個,相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù),所以所有滿足條件的點是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點,滿足條件的整數(shù)點有共37個,滿足的整數(shù)點有7個,則所求概率為.故選:.本題考查了古典概率的計算,意在考查學生的應用能力.3.B【解析】
利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題,,那么是.故選:.本題主要考查特稱命題的否定,意在考查學生對該知識的理解掌握水平,屬于基礎題.4.C【解析】
先化簡集合A,再與集合B求交集.【詳解】因為,,所以.故選:C本題主要考查集合的基本運算以及分式不等式的解法,屬于基礎題.5.B【解析】
利用復數(shù)的除法運算化簡z,復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為利用模長公式即得解.【詳解】由題意知復數(shù)在復平面中對應的點到原點的距離為故選:B本題考查了復數(shù)的除法運算,模長公式和幾何意義,考查了學生概念理解,數(shù)學運算,數(shù)形結(jié)合的能力,屬于基礎題.6.C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形,球的三個三視圖都是相等的圓,圓錐的三個三視圖有一個是圓,另外兩個是全等的等腰三角形,長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形.故選:C.本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵.7.B【解析】分析:首先利用同角三角函數(shù)關系式,結(jié)合題中所給的角的范圍,求得的值,之后借助于倍角公式,將待求的式子轉(zhuǎn)化為關于的式子,代入從而求得結(jié)果.詳解:根據(jù)題中的條件,可得為銳角,根據(jù),可求得,而,故選B.點睛:該題考查的是有關同角三角函數(shù)關系式以及倍角公式的應用,在解題的過程中,需要對已知真切求余弦的方法要明確,可以應用同角三角函數(shù)關系式求解,也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.8.D【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由實部為求得值.【詳解】解:在復平面內(nèi)所對應的點在虛軸上,,即.故選D.本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎題.9.D【解析】
求得直線的斜率,利用曲線的導數(shù),求得切點坐標,代入直線方程,求得的值.【詳解】直線的斜率為,對于,令,解得,故切點為,代入直線方程得,解得或1.故選:D本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù),屬于基礎題.10.D【解析】
在中,由正弦定理得;進而得,在中,由余弦定理可得.【詳解】在中,由正弦定理得,得,又,所以為銳角,所以,,在中,由余弦定理可得,.故選:D本題主要考查了正余弦定理的應用,考查了學生的運算求解能力.11.B【解析】
求得的二項展開式的通項為,令時,可得項的系數(shù)為90,即,求得,即可得出結(jié)果.【詳解】若則二項展開式的通項為,令,即,則項的系數(shù)為,充分性成立;當?shù)恼归_式中項的系數(shù)為90,則有,從而,必要性不成立.故選:B.本題考查二項式定理、充分條件、必要條件及充要條件的判斷知識,考查考生的分析問題的能力和計算能力,難度較易.12.D【解析】
設,,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎題和易錯題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】若,,且∥,則,由是等比數(shù)列,可知公比為..故答案為.14.(或?qū)懗桑窘馕觥?/p>
設與的夾角為,通過,可得,化簡整理可求出,從而得到答案.【詳解】設與的夾角為可得,故,將代入可得得到,于是與的夾角為.故答案為:.本題主要考查向量的數(shù)量積運算,向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關鍵,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力,分析能力及計算能力.15.4【解析】
根據(jù)等差數(shù)列關系,用首項和公差表示出,解出首項和公差的關系,即可得解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4此題考查等差數(shù)列基本量的計算,涉及等比中項,考查基本計算能力.16.【解析】
構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)條件確定為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減,最后利用單調(diào)性以及奇偶性化簡不等式,解得結(jié)果.【詳解】依題意,,令,則,故函數(shù)為奇函數(shù),故函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,即,故,則x的取值范圍為.故答案為:本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及利用函數(shù)性質(zhì)解不等式,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析.【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關系可證得平面,據(jù)此證明題中的結(jié)論即可;(Ⅱ)建立空間直角坐標系,求得直線的方向向量與平面的一個法向量,然后求解線面角的正弦值即可;(Ⅲ)假設滿足題意的點存在,設,由直線與的方向向量得到關于的方程,解方程即可確定點F的位置.【詳解】(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得:,結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知:,故,底面,底面,故,且,故平面,平面,(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知,,,以點O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則:,設平面的一個法向量為,則:,據(jù)此可得平面的一個法向量為,而,設直線與平面所成角為,則.(Ⅲ)由題意可得:,假設滿足題意的點存在,設,,據(jù)此可得:,即:,從而點F的坐標為,據(jù)此可得:,,結(jié)合題意有:,解得:.故點F為中點時滿足題意.本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理,線面角的向量求法,立體幾何中的探索性問題等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18.【解析】
討論和的情況,然后再分對稱軸和區(qū)間之間的關系,最后求出最小值【詳解】當時,,它在上是減函數(shù)故函數(shù)的最小值為當時,函數(shù)的圖象思維對稱軸方程為當時,,函數(shù)的最小值為當時,,函數(shù)的最小值為當時,,函數(shù)的最小值為綜上,本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)的應用,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題。19.(1);(2)10【解析】
(1)消去參數(shù),可得曲線C的普通方程,再根據(jù)極坐標與直角坐標的互化公式,代入即可求得曲線C的極坐標方程;(2)將代入曲線C的極坐標方程,利用根與系數(shù)的關系,求得,進而得到=,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線C的參數(shù)方程為,消去參數(shù),可得曲線C的普通方程為,即,又由,代入可得曲線C的極坐標方程為.(2)將代入,得,即,所以=,其中,當時,取最大值,最大值為10.本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程,極坐標方程與直角坐標方程的互化,以及曲線的極坐標方程的應用,著重考查了運算與求解能力,屬于中檔試題.20.(1);(2).【解析】
(1)依據(jù)新定義,的定義域和值域都是,且在上單調(diào),建立方程求解;(2)依據(jù)新定義,討論的單調(diào)性,列出方程求解即可。【詳解】(1)當時,由復合函數(shù)單調(diào)性知,在區(qū)間上是增函數(shù),即有,解得;同理,當時,有,解得,綜上,。(2)若在上是閉函數(shù),則在上是單調(diào)函數(shù),①當在上是單調(diào)增函數(shù),則,解得,檢驗符合;②當在上是單調(diào)減函數(shù),則,解得,在上不是單調(diào)函數(shù),不符合題意。故滿足在區(qū)間上是閉函數(shù)只有。本題主要考查學生的應用意識,利用所學知識分析解決新定義問題。21.(1);(2)見解析.【解析】試題分析:(1)討論三種情況去絕對值符號,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因為,要證,只需證,即證,只需證即可得結(jié)果.試題解析:(1)去絕對值符號,可得所以,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.(2)由(1)知,,所以.因為,所以要證,只需證,即證,即證.因為,所以只需證,因為,∴成立,所以解法二:x2+y2=2,x、y∈R+,x+y≥2
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