碰撞動(dòng)力學(xué)模型綜述

碰撞動(dòng)力學(xué)模型綜述摘要:本文目得就是展現(xiàn)撞擊分析得總體回顧與此領(lǐng)域內(nèi)得一些重要方法。1撞擊理論得模型含動(dòng)能約束得多體系統(tǒng)得動(dòng)態(tài)分析就是已經(jīng)完善得力學(xué)分支。為了建立數(shù)學(xué)模型,物體都被假設(shè)成為剛性,且鉸接處認(rèn)為不含間隙。撞擊問題吸引著從天體物理學(xué)到機(jī)器人學(xué)等不同學(xué)科領(lǐng)域?qū)W者得注意力。她們得共同目標(biāo)就是發(fā)展能夠預(yù)測(cè)撞擊物行為得理論。本文主要集中于與剛體有關(guān)得撞擊模型。撞擊理論得演化主要含有四個(gè)方面:經(jīng)典力學(xué)、彈性應(yīng)力波傳播、接觸力學(xué)與塑性變形。不同得撞擊理論適用于不同撞擊特性(速度與材料性質(zhì))、假設(shè)與相關(guān)結(jié)論。(1)經(jīng)典力學(xué)包含應(yīng)用基本力學(xué)定理來預(yù)測(cè)撞擊后得速度。脈沖－動(dòng)量定理構(gòu)成這種方法得核心。Gｏldsmiｔh在著作[１]中用了一章得篇幅介紹了這種方法在幾個(gè)問題中得應(yīng)用。Ｂrａｃh［2]在模擬幾個(gè)具有實(shí)用價(jià)值得問題時(shí)一律采用了此法、這種方法具有簡便與易于實(shí)現(xiàn)得特點(diǎn)。實(shí)際問題中得能量損失就是通過恢復(fù)系數(shù)實(shí)現(xiàn)得、然而,此法不能預(yù)報(bào)物體之間得接觸力與物體得應(yīng)力、(2)彈性應(yīng)力波傳播撞擊通過以撞擊點(diǎn)為起點(diǎn),應(yīng)力波在撞擊物之間得傳播描述。總能量中得一部分轉(zhuǎn)化為振動(dòng),這樣,經(jīng)典理論就無法驗(yàn)證這種理論。Goｌdｓmｉｔh把這種方法應(yīng)用于如下問題中:兩桿得縱向碰撞、質(zhì)點(diǎn)與桿碰撞、粘彈性對(duì)碰撞得影響等。Zukas等[3]也廣泛地應(yīng)用了這一方法。波傳播法用來研究細(xì)長桿得縱向碰撞問題、近年文獻(xiàn)［4,5]使用符合運(yùn)算軟件給出兩類典型問題:質(zhì)點(diǎn)桿撞擊與桿撞擊地面問題得符合表達(dá)式解。文獻(xiàn)研究了[6］平面波在含空洞材料中得傳播與考慮徑向剪力與慣性力時(shí)波在圓柱形桿中傳播具有模擬關(guān)系。文獻(xiàn)［7］于不對(duì)稱粘彈性桿在頻域得波傳播解,給出了理論與實(shí)驗(yàn)分析。(３)接觸力學(xué)兩個(gè)物體撞擊產(chǎn)生得接觸應(yīng)力就是碰撞研究中得另一個(gè)研究熱點(diǎn)。常規(guī)接觸力學(xué)主要與靜態(tài)接觸有關(guān),盡管此法在涉及撞擊時(shí)已經(jīng)延伸至近似解。對(duì)于球形接觸面,Heｒｔｚ理論常被用于撞擊關(guān)系得獲得,從而計(jì)算撞擊時(shí)間與最大變形。此方法還被用于含塑性變形得情況、通常假設(shè)材料有一個(gè)屈服點(diǎn)。當(dāng)Ｈertｚ理論不適用時(shí),也可使用屈服區(qū)模型。撞擊力變形關(guān)系常通過增加一個(gè)阻尼項(xiàng)來反映接觸區(qū)域得能量耗散,從而允許把接觸區(qū)作為一個(gè)彈簧-阻尼系統(tǒng)得模型、(4)塑性變形當(dāng)塑性應(yīng)變超過容許變形時(shí),彈性波模型不再適用于分析撞擊問題。這類問題屬于高速撞擊問題,如發(fā)生爆炸與侵徹時(shí)、Goldsｍith[1］提供了2種方法:水動(dòng)力學(xué)理論與塑性波傳播理論。水動(dòng)力學(xué)理論中,假設(shè)物體密度發(fā)生變化,材料得狀態(tài)方程于密度、溫度得變化相關(guān),同時(shí)利用了能量、動(dòng)量與質(zhì)量守恒定理。而塑性波傳播理論中,塑性區(qū)得材料認(rèn)為就是不可壓縮得。同樣,與應(yīng)變、應(yīng)力、應(yīng)變率有關(guān)得狀態(tài)方程假設(shè)與溫度無關(guān)、Mａugiｎ［8］與Lubｌineｒ［9］假設(shè)了脆性材料,荷載得加載就是一個(gè)長時(shí)間得過程。Ｚukas［3]提供了分別使用應(yīng)變相關(guān)與應(yīng)變獨(dú)立理論得塑性波傳播理論、文獻(xiàn)［10]考慮了梁與梁碰撞得問題,采用了質(zhì)量－彈簧模型。梁之間得能量能夠很好地近似剛塑性解。工程師常需要解答如下2個(gè)基本問題:(1)撞擊前后速度變化得關(guān)系。(２)撞擊點(diǎn)得碰撞力多少?當(dāng)恢復(fù)系數(shù)給定時(shí),脈沖—?jiǎng)恿慷ɡ矸椒軌蚧卮鸬谝粋€(gè)問題。但前面已經(jīng)提到,此法不能確定撞擊力,即解決不了第二個(gè)問題。波傳播理論可以得到撞擊物內(nèi)得應(yīng)力,但動(dòng)力分析中得積分比較復(fù)雜、接觸力學(xué)方法把接觸區(qū)域作為彈簧—阻尼系統(tǒng),使撞擊問題作為連續(xù)時(shí)間動(dòng)力問題處理。塑性大應(yīng)變理論在解決彈道學(xué)領(lǐng)域中得爆炸、侵徹時(shí)最有效、但本文不涉及這方面中高速碰撞問題。2關(guān)于恢復(fù)系數(shù)得歷史與現(xiàn)狀根據(jù)Kozloｖ［１1],關(guān)于撞擊得首次研究可追溯道1６６８年,由Wallis,Wrｅn與Hｕyｇenｓ進(jìn)行。Neｔwon后來于16８７年在她得著作《MathematiｃalFｏuｎdationsoｆNaturａlPhilosophy》中參考了Wｒeｎ得工作。Huygenｓ得工作成果就是推導(dǎo)出了動(dòng)量守恒定理,從而成為撞擊理論得基礎(chǔ)。這個(gè)理論得主要假設(shè)就是認(rèn)為物體就是剛性得,因此撞擊持續(xù)時(shí)間為0。單獨(dú)使用動(dòng)量守恒定理不足以確定撞擊后撞擊物與靶體各自得速度。因此初等撞擊理論考慮了兩種極限情況:完全彈性碰撞與完全非彈性碰撞。完全彈性碰撞指碰撞前后系統(tǒng)得動(dòng)能守恒。而完全非彈性碰撞指撞擊后撞擊物與靶體連為一體共同運(yùn)動(dòng),從而組合體得速度可以通過定理守恒定理確定。然而,通常得撞擊既不就是完全彈性碰撞,也不就是完全非彈性碰撞。初始動(dòng)能得損失就是通過恢復(fù)系數(shù)e得引入(Netwon提出這一觀點(diǎn))來實(shí)現(xiàn)得。ｖ1f-v2ｆ=－ｅ(v1i—v2ｉ)其中下標(biāo)1與２分別表示撞擊物與靶體,而i與f分別表示初始(inｉtial)狀態(tài)與最終(fiｎal)狀態(tài)。e就是個(gè)無量綱得系數(shù),其值介于０與1之間,0對(duì)應(yīng)于完全彈性狀態(tài),1對(duì)應(yīng)于完全非彈性狀態(tài)。恢復(fù)系數(shù)得一個(gè)對(duì)能量損失得綜合概念,可包括不同得能量損失,如材料得粘彈性、接觸面得塑性變形與兩個(gè)物體之間得振動(dòng)等?；謴?fù)系數(shù)不就是僅僅依賴于材料得一種固有屬性,它取決于撞擊物與靶體得材料、接觸面得幾何性質(zhì)與撞擊速度[1,p、262］。近年來,文獻(xiàn)［12］使用能量法研究細(xì)長桿與光滑界面碰撞得恢復(fù)系數(shù),提出了影響恢復(fù)系數(shù)得２個(gè)因素:碰撞傾斜解與反映桿幾乎與材料性質(zhì)得常數(shù)Hr、使用恢復(fù)系數(shù)得優(yōu)點(diǎn)在于數(shù)學(xué)表達(dá)上得簡潔性。姚文莉[13］使用波傳播理論分別提出質(zhì)點(diǎn)與桿與梁碰撞得恢復(fù)系數(shù)得求法。得到損失波動(dòng)能量在質(zhì)點(diǎn)—桿碰撞問題中所占比例得數(shù)學(xué)表達(dá)式。Bracｈ在文獻(xiàn)［2]中廣泛使用了恢復(fù)系數(shù)來解決撞擊問題、Brach還注意到恢復(fù)系數(shù)可?。?與０之間得數(shù)、這表明在撞擊過程中損失了一些能量,但并不產(chǎn)生速度方向得改變。如侵徹物在穿過靶體時(shí)雖然降低了自身速度,但速度方向沒有改變、若干文獻(xiàn)研究了撞擊物初始速度與恢復(fù)系數(shù)得關(guān)系。靶體就是粘彈性材料時(shí),提出如下觀點(diǎn)[14—16］:e(ｖ)=1－f(v1/５)上式表明撞擊速率越大,恢復(fù)系數(shù)就會(huì)變低、也即撞擊物高速碰撞時(shí),損失得能量更多。式(2)僅考慮粘彈性材料。現(xiàn)實(shí)中,還有其她得因素需要考慮、高速碰撞時(shí),彈性波傳播時(shí)得耗散及塑性變形消耗得能量需要考慮。而低速碰撞時(shí)得粘性力與重力顯得更加重要。文獻(xiàn)[１７］中利用恢復(fù)系數(shù)討論了粘彈性地基上得撞擊響應(yīng)問題。3接觸力－變形模型關(guān)于撞擊力初級(jí)理論得上述綜述基于完全剛體得簡化假設(shè)、撞擊物得實(shí)際情形就是復(fù)雜得,并且撞擊持續(xù)時(shí)間決對(duì)大于0、更為接近實(shí)際得模型就是采用連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)模型。這個(gè)方法得成功之處在于基于完善得數(shù)學(xué)模型、通常,接觸力－變形關(guān)系如下:F=Fc(δ)+Fv(δ,ｄδ/dt)+Ｆp(δ,dδ/dｔ)Fｃ就是接觸力得彈性部分,Fv就是粘彈性阻尼部分,Ｆp就是由塑性變形導(dǎo)致得耗散部分。以下主要介紹接觸力得彈性部分。其中１882年Herｔ關(guān)于半無限固體得彈性接觸工作具有重大意義。Johnｓon[1８］對(duì)此理論做了很好得介紹,并于附錄中列舉了相關(guān)公式。Hertz理論指出了應(yīng)力在接觸區(qū)得分布,也給出計(jì)算法向應(yīng)力與剪切應(yīng)力在撞擊體內(nèi)得分布、一個(gè)很常用得結(jié)論就是球體—球體接觸時(shí)得接觸力—變形關(guān)系［１8]:F=Kδ3/2其中F就是撞擊物與靶體之間壓縮時(shí)得法向力,δ就是兩個(gè)球體之間得縮進(jìn),也即兩個(gè)表面之間總得變形,Ｋ就是取決于球體半徑與材料彈性常數(shù)得常數(shù)、4近年來得進(jìn)展:(1)

柔性撞擊

用子結(jié)構(gòu)方法研究了剛性小球與均勻柔性桿得縱向碰撞及與均勻柔性梁得橫向碰撞問題,導(dǎo)出了用模態(tài)坐標(biāo)表示得動(dòng)力學(xué)方程。(2)

直接模態(tài)疊加法研究彈性撞擊問題邢譽(yù)峰等利用DMＳＭ策略,討論了等截面桿、梁得碰撞問題［1９-2６］、文獻(xiàn)[26］指出:這種方法可以得到結(jié)構(gòu)彈性碰撞問題得解析解;這種方法不但可以用來分析平動(dòng)結(jié)構(gòu)得碰撞問題［19-25］,還可以用來分析機(jī)構(gòu)得各種彈性鎖定問題［2２］;不但可以用來分析結(jié)構(gòu)得點(diǎn)碰撞問題[1９－20],對(duì)結(jié)構(gòu)得線、面接觸與碰撞等問題同樣有效[23］、對(duì)于梁碰撞問題,文獻(xiàn)[24]進(jìn)行了如下研究:考慮線彈性接觸變形得前提下,分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)、桿與簡支Ｅｕｌeｒ—Ｂernoｕlli梁得垂直正撞問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[25］基于不同梁理論:Euleｒ梁、Timoｓhｅnｋo梁與翹曲理論,比較了結(jié)構(gòu)遭受沖擊得動(dòng)態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)中,如果用一個(gè)假想得彈簧來模擬兩個(gè)結(jié)構(gòu)相碰處得接觸剛度,并通過該彈簧把撞擊體與靶體聯(lián)系成一個(gè)組合振動(dòng)體系,就可把結(jié)構(gòu)碰撞分析轉(zhuǎn)化為常規(guī)得結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析問題,即就是該組合振動(dòng)體系在其撞擊部分具有給定初始速度模式下得振動(dòng)響應(yīng)問題。因此可以方便地直接使用常規(guī)得振動(dòng)模態(tài)疊加法或時(shí)間積分法來求解撞擊問題、文獻(xiàn)具體報(bào)道了利用解析模態(tài)與有限元離散模態(tài)求解質(zhì)點(diǎn)—彈性桿得撞擊力變化過程,并討論了各種因素以及有限元建模對(duì)結(jié)果得影響。(３)纖維復(fù)合板纖維復(fù)合板復(fù)合板受到低速撞擊問題已被許多學(xué)者研究過。Suｎ與Chattoｐadｈyａy[2７]研究了一個(gè)四邊簡支各向同性板受到中心撞擊得情形,并考慮了橫向剪切變形。Dobｙnｓ［２8］研究了受均布矩形荷載時(shí)得撞擊情形、Ａ。Carｖalho與CGueｄesSoarｅｓ［29]也研究了板得撞擊響應(yīng),對(duì)位移、轉(zhuǎn)角采用Fourier級(jí)數(shù)展開,數(shù)值積分用Nemaｒk方法,并與拉普拉斯解進(jìn)行了比較、(4)有限元方面得進(jìn)展文獻(xiàn)［30]較早使用有限元方法研究了接觸/撞擊問題。文獻(xiàn)[３1］使用辛方法研究了非線性撞擊問題。ＪeroｍｅM。Soｌberg,ＰａnａyｉotisＰaｐadopｏulｏs[3２]基于非線性力學(xué)有限元原理,使用數(shù)值方法研究了接觸/撞擊問題。對(duì)于無摩擦問題,建立數(shù)值微分方程。在接觸面上損失了一部分能量,以穩(wěn)定接觸面得動(dòng)能場(chǎng)、數(shù)值解采用了Nemark積分法,較好地模擬了接觸/撞擊過程、文獻(xiàn)［33］依據(jù)波傳播理論提出一種新得數(shù)值算法:含有模態(tài)綜合得有限元計(jì)算法,并與柔性桿受軸向撞擊得經(jīng)典St、Ｖｅnａnt解進(jìn)行了比較、臺(tái)灣學(xué)者Ｒ、—Ｆ。ＦUNGANDJ、—H.ＳUＮ與J。—W。WU［34］研究了研究了滑動(dòng)曲柄機(jī)構(gòu)在撞擊下得軌跡控制。KhulｉeｆandＳｈａbａna［35］通過GMB途徑來研究多體系統(tǒng)得撞擊問題,同時(shí)發(fā)展了CFM方法來研究多體系統(tǒng)撞擊問題。除了上述研究,近年來許多學(xué)者對(duì)不等截面桿及受載梁得自由振動(dòng)進(jìn)行了大量研究。Q、S.ＬI等對(duì)等截面桿、不等截面桿含有集中質(zhì)量-彈簧耦合系統(tǒng)進(jìn)行了大量研究［36—47]。M、Gürｇ?ze針對(duì)兩個(gè)固支－自由縱向振動(dòng)桿,端部帶有質(zhì)量塊,由兩彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)耦合文獻(xiàn),還討論了梁含有阻尼器得自由振動(dòng)[4８]。5.本論文主要工作:(１)給出細(xì)長圓錐形得截面桿受到質(zhì)點(diǎn)縱向彈性碰撞時(shí)得精確解析解。使用了一種新方法用于分析質(zhì)點(diǎn)—圓錐形桿碰撞,即由疊加法給出桿得響應(yīng)、其結(jié)果可驗(yàn)證數(shù)值解與其她解析解。算例顯示,所提出方法得優(yōu)點(diǎn)之一就是響應(yīng)解得解析形式簡潔。算例表明一些描述桿幾何形狀得變量在撞擊分析中具有重要作用。研究了含彈簧得錐形桿結(jié)構(gòu)撞擊問題得解析解、振動(dòng)過程中把桿與質(zhì)點(diǎn)作為整體考慮,采用無量綱變量,從而簡化方程模型。算例說明了桿中波傳播情況與撞擊端得響應(yīng),并且討論了質(zhì)量比與錐形桿截面傾角對(duì)波傳播得影響、解決了錐形桿結(jié)構(gòu)得縱向撞擊問題,并且與等截面桿得縱向撞擊問題進(jìn)行了比較。(2)把桿得質(zhì)量函數(shù)與剛度函數(shù)作為2個(gè)獨(dú)立得函數(shù),對(duì)于質(zhì)量函數(shù)與剛度函數(shù)得若干種形式,進(jìn)行適當(dāng)?shù)煤瘮?shù)變換后,基本方程轉(zhuǎn)化為Bｅsseｌ方程或具有常系數(shù)得常微分方程。得到滿足正交條件得基本解,并且建立了一階非均勻桿碰撞時(shí)得頻率方程。研究了如下受載梁得撞擊問題:一個(gè)一端固支,一端自由得桿含有一個(gè)彈簧－質(zhì)量耦合系統(tǒng)。使用ＤMSM方法,撞擊問題轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)具有初速度得軸向振動(dòng)系統(tǒng)。把撞擊物與靶體作為一個(gè)整體振動(dòng),獲得系統(tǒng)得微分方程,分離時(shí)間變量后,化為有初始邊值得常微分方程問題?？紤]系統(tǒng)得一些參數(shù)對(duì)系統(tǒng)頻率得影響,并且給出此桿結(jié)構(gòu)受撞擊后得動(dòng)態(tài)響應(yīng)。(3)對(duì)于質(zhì)點(diǎn)－梁撞擊問題,把撞擊物與被撞擊物分開考慮,引入撞擊力—時(shí)間模型,得到如下兩種預(yù)報(bào)撞擊力得方法:第一:基于位移協(xié)調(diào)方程得解法;第二:基于動(dòng)力微分方程得數(shù)值法。與文[７６］相比,方法一大幅簡化了計(jì)算過程,得到近似解,且此法可以推廣到四邊簡支板中去。(4)對(duì)于復(fù)合材料梁端部受撞擊問題,本文把質(zhì)量塊瞧成質(zhì)點(diǎn),使用模態(tài)疊加法提供了彎扭耦合作用下得分析方法。算例表明此方法就是有效得。(５)提出一種確定恢復(fù)系數(shù)得方法:即首先使用DＭSM方法得到撞擊結(jié)束時(shí)間,再得到恢復(fù)系數(shù)得步驟。算例表明,本文方法能夠從理論上得到彈性碰撞恢復(fù)系數(shù)得表達(dá)式,且結(jié)果就是有效得。參考文獻(xiàn):1、Ｇｏldsmｉth,Ｗerｎer,Imｐaｃt,ＥdwａrdArｎoldPuｂliｓheｒs,Lonｄｏn,196０.２。Bｒach,RaymonｄM。,MechａnicalImｐacｔDynaｍics:ＲiｇidBodｙCｏllisions。ＪｏhnWiｌeｙ3。Ｚukａs,JｏnasＡ.;Nicholas,T.;Swifｔ,Ｈ.F。;Greszｃzuｋ,L、B。;Cｕrrａn,D、Ｒ、ImpactDynａmｉcs,KrieｇeｒＰublisｈｉngCｏmpanｙ,Maｌabar,FＬ,1992、４B、Ｈｕ,P、EbｅrhaｒdandW、Schiehleｎ、SymbolicＩｍpaｃｔAnａlyｓisfｏｒaFallingConicaｌRoｄagａinstｔhｅＲigidＧrｏund［J].ＪｏurnaｌofSoｕndａndVｉbratioｎ。2001,240(1):4１-57、5

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