人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)銳角三角函數(shù)《解直角三角形及其應(yīng)用（第5課時(shí)）》示范教學(xué)課件

解直角三角形及其應(yīng)用（第5課時(shí)）人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)如圖，從山腳到山頂有兩條路AB

與CB，哪條路比較陡？BACAB

比較陡．我們經(jīng)常說某某山坡很陡，這里其實(shí)涉及了坡度的知識(shí)．坡度究竟是指什么呢？你能根據(jù)圖示給出坡度的定義嗎？BC

表示水平面，AB

表示坡面，坡面的鉛直高度h

和水平寬度l

的比叫做坡度（或叫做坡比），用i

表示，記作i＝h∶l．坡面AB

與水平面BC

所形成的∠ABC

稱為坡角，記作α，且i＝

＝tan

α．坡度越大，坡角α

就越大，坡面就越陡；反之，坡度越小，坡角α

就越小，坡面就越緩．特別提醒（1）坡度不是角的度數(shù)，它是坡角的正切值，即

i＝tan

α．（2）坡度i

也叫做坡比，即

，一般寫成1∶m的形式．例1

如圖，一山坡的坡度為i＝1∶2．小剛從山腳A

出發(fā)，沿山坡向上走了240

m

到達(dá)點(diǎn)C．則小剛上升了多少米？i＝1∶2ABCα解：用α

表示坡角的大小，由題意可得tan

α＝，AC＝240

m，∴sin

α＝，∴BC＝240×．則小剛上升了m．解：（1）斜坡CD

的坡度i2＝tanα＝1∶2.5＝0.4，用計(jì)算器可算得α≈22°．故斜坡CD

的坡角α約為22°．例2如圖（示意圖），水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂BC寬6

m，壩高23

m，斜坡AB

的坡度i1＝1∶3，斜坡CD

的坡度

i2＝1∶2.5，求：（1）斜坡CD

的坡角α（精確到1°）；ADBCi2＝1∶2.5236αi1＝1∶3ADBCi2＝1∶2.5236αi1＝1∶3（2）壩底AD

與斜坡AB

的長度（精確到0.1

m

）．

解：（2）分別過點(diǎn)B，C

作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可知BE＝CF＝23

m，EF＝BC＝6

m．∵

，∴AE＝3BE＝3×23＝69（m）．同理可得FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5（m）．FEFE∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5（m）．在Rt△ABE

中，由勾股定理可得

（m）．故壩底AD

的長度為132.5

m，斜坡AB

的長度約為72.7

m．ADBCi2＝1∶2.5236αi1＝1∶3解題思路在解決坡度、坡角的有關(guān)問題時(shí)，一般通過作高構(gòu)造直角三角形，其實(shí)質(zhì)就是解直角三角形．與坡度、坡角有關(guān)的問題常用的方法一般是過上底的頂點(diǎn)作下底的垂線，構(gòu)造直角三角形和矩形來求解．例3

如圖，某人在山坡坡腳A

處測得電視塔尖點(diǎn)C

的仰角為60°，沿山坡向上走到P

處再測得電視塔尖點(diǎn)C

的仰角為45°，已知OA＝200

m，山坡坡度為

，且O，A，B

在同一條直線上，求電視塔

OC

的高度以及此人所在位置點(diǎn)P

的垂直高度（測傾器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果保留根號(hào)）．分析：解題的關(guān)鍵是理解仰角、俯角、坡度、坡角的有關(guān)概念，通過作輔助線，將有關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答．在Rt△AOC

中，直接利用銳角三角函數(shù)求得電視塔OC

的高度；求點(diǎn)P

的垂直高度時(shí)，關(guān)鍵有三步：①過點(diǎn)P

作PE⊥OB

于點(diǎn)E，PF⊥CO

于點(diǎn)F，得到Rt△PAE

和Rt△PFC；②利用60°，45°以及坡度，發(fā)現(xiàn)AE＝3PE，PF＝CF＝OC－PE，PF＝OA＋AE；③選取PE

為未知數(shù)，通過設(shè)元列方程求解．解：如圖，過點(diǎn)P

作PE⊥OB

于點(diǎn)E，PF⊥CO

于點(diǎn)F．在Rt△AOC

中，∵OA＝200

m，∠CAO＝60°，∴OC＝OA·tan∠CAO＝200×tan

60°＝

（m）．設(shè)PE＝x

m，∵

，∴AE＝3x

m．EF在Rt△PCF中，CF＝OC－PE＝(

－x)m，PF＝OA＋AE＝(200＋3x)m．∵

，∠CPF＝45°，∴

＝tan

45°＝1，則PF＝CF．∴200＋3x＝

－x，解得x＝

－50．∴PE＝(

－50)m．∴電視塔OC

的高度為

m，此人所