2025年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題（每小題3分，共計(jì)30分）

1.（3分）-7的倒數(shù)是（）

11

A.7B.-C.-7D.-y

7

2.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（O2）5=/B.a2*a4=a6

D.(獷=竽

C.3。26-3加=0

3.（3分）下面的圖案中，不是軸對稱圖形的是（）

A.(6,9)B.(-6,9)C.(-6,-9)D.(6,-9)

6.(3分)方程｝=的解為()

3%%+5

A.x=-1B.x=0C.x=-3D.x=\

7.（3分）如圖，CD為OO的直徑，過點(diǎn)。的弦OE平行于半徑。若/。的度數(shù)是50°,

則/N的度數(shù)為（）

第1頁（共22頁）

A.50°B.40°C.30°D.25°

8.（3分）在△/BC中，ZA=35°,ZB=55°,BC=5,則4B邊的長是（）

5

A.——B.5cos55°C.5tan55°D.5sin55°

cos55°

9.（3分）如圖，矩形/BCD中，AC=2AB,將矩形沿對角線/C翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

B',CB，交4D于點(diǎn)、E,若4E=6,則CO=()

10.（3分）如圖，在△NBC中，點(diǎn)。、￡分別在BC、48邊上、DF//AB,交/C邊于點(diǎn)”,

EF//BC,交NC邊于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.-----=-----B.-----=-----C.-----=-----D.-----=------

BEGCGFGHAHBDCDCH

二、填空題（每小題3分，共計(jì)30分）

11.（3分）將682000000用科學(xué)記數(shù)法表示為.

12.（3分）函數(shù)y=%匕中，自變量x的取值范圍是.

13.（3分）把多項(xiàng)式2/-4x+2分解因式的結(jié)果是.

14.（3分）計(jì)算而一電的結(jié)果是.

（3—3x>1

15.（3分）不等式組的解集是.

16.（3分）將拋物線>=2x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得的拋物線的解

析式為.

17.（3分）一個(gè)袋子中裝有2個(gè)黑球1個(gè)白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完

全相同.攪勻后，在看不到球的條件下，隨機(jī)從這個(gè)袋子中摸出兩個(gè)黑球的概率

第2頁（共22頁）

是.

18.（3分）一個(gè)扇形的弧長是20TTC%,半徑是24cm,則此扇形的圓心角是度.

19.（3分）在矩形488中，AC,BD交于點(diǎn)O.過點(diǎn)。作。交射線8c于點(diǎn)E,

若BE=2CE,4B=3,則的長為.

20.（3分）如圖，在菱形48CD中，AC,3。交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段OD上，連接CE,若

BE=CD=2DE,AC=2小,貝UCE的長為.

三、解答題（其中21?22題各7分，23?24題各8分，25?27題各10分，共60分）

X—25

21.（7分）先化簡，再求代數(shù)式——+（———3+嗎的值，其中x=8cos30°-2tan45°.

x+3x+3

22.（7分）如圖1,圖2所示，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫

做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形，請按要求畫出符合條件的格點(diǎn)三角形.

（1）在圖1中，畫出以N5為直角邊的等腰直角三角形△A8E；并直接寫出ANBE的面

積；

一1

（2）在圖2中，畫出以CD為一邊的等腰三角形△?＞「；且保證一個(gè)內(nèi)角的正切值為萬

并直接寫出△CD尸的面積.

23.（8分）為了解哈市某中學(xué)學(xué)生的體育愛好情況，老李對該校九年級(jí)的部分同學(xué)的體育

愛好進(jìn)行了調(diào)查，并且繪成了統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

第3頁（共22頁）

（1）求一共調(diào)查了多少人；

（2）根據(jù)以上信息，請把條形圖補(bǔ)充完整；

（3）如果全校共有4000人，那么請你根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校約有多少人喜歡籃

球.

24.（8分）如圖，在△/BC中，。為48的中點(diǎn)，點(diǎn)E在/C上，尸在DE的延長線上，DE

=EF,連接CF,CF//AB.

（1）如圖1,求證：四邊形DBCF是平行四邊形；

（2）如圖2,若請直接寫出圖中與線段CF相等的所有線段.

25.（10分）某中學(xué)為了創(chuàng)建書香校園，去年購買了一批圖書.其中故事書的單價(jià)比文學(xué)書

的單價(jià)多4元，用1200元購買的故事書與用800元購買的文學(xué)書數(shù)量相等.

（1）求去年購買的文學(xué)書和故事書的單價(jià)各是多少元？

（2）若今年文學(xué)書的單價(jià)比去年提高了25%,故事書的單價(jià)與去年相同，這所中學(xué)今年

計(jì)劃再購買文學(xué)書和故事書共200本，且購買文學(xué)書和故事書的總費(fèi)用不超過2120元，

這所中學(xué)今年至少要購買多少本文學(xué)書？

26.（10分）已知：四邊形/BCD為OO的內(nèi)接四邊形，連接OC,若

第4頁（共22頁）

DFF

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求N4DC的度數(shù);

(2)如圖2,連接NC,點(diǎn)尸為弧4。上一點(diǎn)，連接月。并延長交NC于點(diǎn)￡,若AE=

CE,ZFAD=ZBAC,求證：4B=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DRBE,若DF=2,BE=與,求。。的半徑.

27.(10分)已知：如圖，拋物線y=-f+6x+c與x軸交于/、2兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)C,

(2)點(diǎn)尸為拋物線第一象限上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸的垂線垂足為E,連接為、PC,PA

交y軸于點(diǎn)。，設(shè)PE的長為△尸CD的面積為S,求S與/的函數(shù)解析式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)〃為。尸延長線上一點(diǎn)，射線。X與射線￡尸交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)

81

尸作X軸的垂線交射線CB于點(diǎn)G.連接GP、GE,若NDHC=45°,4PEG的面積為二,

O

求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第5頁(共22頁)

2025年黑龍江省哈爾濱市南崗區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共計(jì)30分）

1.（3分）-7的倒數(shù)是（）

11

A.7B.-C.-7D.-y

7

【解答】解：-7的倒數(shù)是—今

故選：D.

2.（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A.（。2）5=/B.q2?q4=q6

D.廢）2=竽

C.3a2b-3ab2=0

【解答】解：A.（〃2）5=小,錯(cuò)誤,不符合題意；

B、Q2?Q4=Q6,正確，符合題意；

C、3/6與3a扶不能合并，錯(cuò)誤，不符合題意;

D、居）2=竽，錯(cuò)誤，不符合題意;

故選：B.

3.（3分）下面的圖案中，不是軸對稱圖形的是（)

【解答】解：4是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意;

3、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意;

C、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

。、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

第6頁（共22頁）

故選：B.

4.（3分）如圖是五個(gè)相同的小正方體搭成的幾何體，其左視圖是（）

【解答】解：從左邊看易得第一層有2個(gè)正方形，第二層有4個(gè)正方形.

故選：A.

1c

5.（3分）二次函數(shù)y=2（%-6）2+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（6,9）B.（-6,9）C.（-6,-9）D.（6,-9）

【解答】解：由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，二次函數(shù)y=4（x—6）2+9的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6,9）,

故選：A.

12

6.（3分）方程丁=—的解為（）

3%%+5

A.x=-1B.x=0C.x=-3D.x=l

【解答】解：去分母得：x+5=6x,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是分式方程的解，

故選：D.

7.（3分）如圖，C7）為。。的直徑，過點(diǎn)。的弦QE平行于半徑若NQ的度數(shù)是50°,

則N4的度數(shù)為（）

A.50°B.40°C.30°D.25

【解答】解：???。4〃。玲

/.ZD=ZAOD=50°，

第7頁（共22頁）

'：OA=OC,

1

；./4C0=N04C=^/40D=25。.

故選：D.

8.（3分）在△/BC中，NN=35°,/B=55°,BC=5,則48邊的長是（）

5

A.---------B.5cos55°C.5tan55°D.5sin55°

cos55°

【解答】解：由題意可得：ZC=180°-/A-NB=90°,

△NBC為直角三角形，如下圖：

Rrc

由三角函數(shù)的定義可得，sinA=cosB=而，即s譏35。=cos55。=也，

可得48=~rro='［匚。'

cos55sin35

/選項(xiàng)符合題意，B、C、。選項(xiàng)不符合題意，

故選：A.

9.(3分)如圖，矩形Z5CQ中，AC=2AB,將矩形沿對角線4C翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

B’,CB'交AD于點(diǎn)E,若4￡=6,貝I」CD=()

【解答】解：在中，

?.?sinN/C5=兼，AC=2AB,

1

sinXACB=2，

ZACB=30°,

由折疊得，BC=B，C,ZACB=ZACBr=30°,

：?/ECD=90°-30°-30°=30°,

第8頁（共22頁）

???矩形4BCQ,

：.AD//BC,

：./ACB=/EAC,

AZEAC=ZACB,=30°,

：.EA=EC=6,

在RtADEC中，CD=EC,cos/ECD=6x圣=3V3,

故選：D.

10.（3分）如圖，在△43C中，點(diǎn)。、E分另I」在3C、AB邊上、DF//AB,交/C邊于點(diǎn)H,

EF//BC,交NC邊于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

EFAG

A.-----=-----B.-----=-----C.-----=------D.

BEGCGFGHAHBDCDCH

【角軍答】解：-DF//AB,EF//BC,

???四邊形即。尸是平行四邊形，BE=DF,EF=BD,

4、,:EF〃BC,

AEAG

??靛-Q

故4不符合題意，

B、*：DF〃AB,

.EGAG

??GF-GH'

故B不符合題意，

C、":DF〃AB,

CHCD

9'AH-BD'

故C不符合題意，

D、?：DF〃AB,

*_C_D__B_D_

??，

CHAH

第9頁（共22頁）

?_C_D___E_F

??—，

CHAH

EFAH

"CD~CH'

故。符合題意，

故選：D.

二、填空題（每小題3分，共計(jì)30分）

11.（3分）搟682000000用科學(xué)記數(shù)法表示為632X1（）8.

【解答】解：682000000=6.82X108；

故答案為：6.82X108.

12.（3分）函數(shù)丫=云之中，自變量x的取值范圍是#2

J2%—4------------

【解答】解：要使得函數(shù)y=春有意義，則2x-4W0,

解得xW2,

故答案為：xK2.

13.（3分）把,多項(xiàng)式2x2-公+2分解因式的結(jié)果是2（x-1）2

【解答】解：2x2-4x+2,

=2（x2-2x+D,

=2(x-1)2

故答案為：2（x-1）2.

,一[78VS

14.（3分）計(jì)算&U-的結(jié)果是―至-一

【解答】解：原式=2小—竽

875

—山、，8A/5

故答案為：—.

3—3x>12

15.（3分）不等式組―,%+5>4的解集是一IVxW變

3-3x>1①

【解答】解:

.無+5>4(2)'

由得，xW可,

由②得，x>-1,

不等式組的解集為-1＜立半

第10頁（共22頁）

故答案為-1VxW宗

16.（3分）將拋物線＞=2x2向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得的拋物線的解

析式為v=2（x+2）2-3.

【解答】解：將拋物線＞=2,向下平移3個(gè)單位得＞=2x2-3,再向左平移2個(gè)單位，得

y=2（x+2）2-3；

故所得拋物線的解析式為y=2（x+2）2-3.

故答案為：y—2（x+2）2-3.

17.（3分）一個(gè)袋子中裝有2個(gè)黑球1個(gè)白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完

全相同.攪勻后，在看不到球的條件下，隨機(jī)從這個(gè)袋子中摸出兩個(gè)黑球的概率是

【解答】解：列樹狀圖為:

開始

7\/\

黑2白黑1白黑1黑2

由樹狀圖可知共有6種等可能結(jié)果，其中摸出的兩個(gè)黑球的可能性有2種，即概率為:=7.

,心》,1

故答案為：--

18.（3分）一個(gè)扇形的弧長是20Tle冽，半徑是24c加，則此扇形的圓心角是150度.

【解答】解：根據(jù)/=愣=等念=20冗,

loUloU

解得：〃=150,

故答案為：150.

19.（3分）在矩形48CD中，AC,3。交于點(diǎn)O.過點(diǎn)。作。交射線于點(diǎn)E,

若BE=2CE,AB=3,則4D的長為3行或舊.

【解答】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在3c的延長線上時(shí)，

第11頁（共22頁）

D

?:BE=2CE,

：.BC=CE,

?：OE【BD,

:?OC=BC=CE,

??,四邊形45CZ）是矩形，

:?AO=CO=BO=DO,AD=BC；

：.BO=CO=BC,

**?/\BOC是等邊三角形，

???ZACB=60°

ARl

tanXACB=瓦;=V3,

:?BC=V3=AD,

如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段5C上時(shí)，設(shè)直線?！昱c直線45,CD交于點(diǎn)F,點(diǎn)H,

：.AF=CH,

■:AB〃CD,

第12頁（共22頁）

???△EBFs^ECH,

tCHCE1

,?BF-BE-2’

:?BF=2CH=2AF,

：.3+AF=2AF.

：.AF=3=ABf且

：.AO=AB=AF=3,

?：AO=BO=CO=DO,

：?AO=AB=BO,

：.AABO是等邊三角形，

ZABD=60°,

AH「

tanXABD=—V3,

：.AD=3^3f

故答案為：3W或W.

20.（3分）如圖，在菱形/5CQ中，AC.8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段。。上，連接CE,若

BE=CD=2DE,AC=2夕，貝ljCE的長為2魚.

1Q

【解答】解：設(shè)BE=CD=2DE=x,則DE=＞，BD=|x,

121

由菱形的性質(zhì)可得ZC_L5Z）,OD=-^BD=-rx,OC=-^AC=V7,

L4,L

o

在RtAOCD中，0c2+。。2=82,gp（Jx）2+7=刀2,

解得x=4,（負(fù)值舍去），

：.DE=2,OD=3,

：.OE=1

由勾股定理可得：CE=VOC2+0E2=2V2

故答案為：2a.

第13頁（共22頁）

三、解答題（其中21?22題各7分，23?24題各8分，25?27題各10分，共60分）

X—25

21.(7分)先化簡，再求代數(shù)式一--(—7-3+%)的值，其中x=8cos300-2tan45°.

x+3x+3

x—25

【解答】解：/+w

x-25_(3r)(x+3)]

x+3x+3~x+3」

_x—2.5—9+/

-x+3?x+3

_x—2x+3

—x+3(x+2)(x—2)

1

x+2f

-2tan45°=8x字-2義1=4百一2時(shí)，原式=一-=y|.

當(dāng)x=8cos30°

乙4V3-2+2

22.（7分）如圖1,圖2所示，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫

做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形，請按要求畫出符合條件的格點(diǎn)三角形.

圖1圖2

（1）在圖1中，畫出以為直角邊的等腰直角三角形△A8E；并直接寫出△A8E的面

積；

一1

（2）在圖2中，畫出以CD為一邊的等腰三角形△CDF；且保證一個(gè)內(nèi)角的正切值為5

并直接寫出尸的面積.

【解答】解：（1）如圖1,△/2E即為所求；

1

△4aE■的面積為：-x5X5=12.5；

第14頁（共22頁）

（2）如圖2,△CDF即為所求;

根據(jù)網(wǎng)格可知：

DF=V82+42=4^5,

找格點(diǎn)G,連接CG,則CGLDF,

:.DG=2亞,

CG=Vl2+22=V5,

./CG_&_1

??tanCDCJ—.-7T,

DG2V52

1

...△CE廳的面積為：-X4V5xV5=10.

23.（8分）為了解哈市某中學(xué)學(xué)生的體育愛好情況，老李對該校九年級(jí)的部分同學(xué)的體育

愛好進(jìn)行了調(diào)查，并且繪成了統(tǒng)計(jì)圖，請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:

4人數(shù)

90

90--------

60-

0籃球排球乒乓球滑冰靠目

（1）求一共調(diào)查了多少人;

（2）根據(jù)以上信息，請把條形圖補(bǔ)充完整；

（3）如果全校共有4000人，那么請你根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該校約有多少人喜歡籃

球.

【解答】解：（1）依題意，一共調(diào)查了90?45%=200（人）

（2）喜歡滑冰的人數(shù)為30%X200=60（人），喜歡排球的人數(shù)為200-20-60-90=30

（人）

第15頁（共22頁）

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示,

(3)估計(jì)喜歡籃球的人數(shù)為4000x照=400(人).

24.(8分)如圖，在△/8C中，。為N3的中點(diǎn)，點(diǎn)￡在/C上，/在。￡的延長線上，DE

=EF,連接CF,CF//AB.

(1)如圖1,求證：四邊形D3CF是平行四邊形;

(2)如圖2,若AB=4C,請直接寫出圖中與線段CF相等的所有線段.

【解答】(1)證明：???(；尸〃48,

/A=/ECF,

又Z.AED=ZCEF,DE=FE,

.?.△4DE烏ACFE(AAS),

：.AD=CF,

,:D為AB的中點(diǎn)，

：.AD=BD,

：.BD=CF,且CWBD,

...四邊形DBCF是平行四邊形；

(2)解：與線段。尸相等的所有線段為ND、BD、AE,CE；理由如下:

由(1)得：BD=AD=CF,AE=CE,

,JAB^AC,

第16頁(共22頁)

BD=AD=AE=CE=CF.

25.(10分)某中學(xué)為了創(chuàng)建書香校園，去年購買了一批圖書.其中故事書的單價(jià)比文學(xué)書

的單價(jià)多4元，用1200元購買的故事書與用800元購買的文學(xué)書數(shù)量相等.

(1)求去年購買的文學(xué)書和故事書的單價(jià)各是多少元？

(2)若今年文學(xué)書的單價(jià)比去年提高了25%,故事書的單價(jià)與去年相同，這所中學(xué)今年

計(jì)劃再購買文學(xué)書和故事書共200本，且購買文學(xué)書和故事書的總費(fèi)用不超過2120元，

這所中學(xué)今年至少要購買多少本文學(xué)書？

【解答】解：(1)設(shè)去年文學(xué)書單價(jià)為x元，則故事書單價(jià)為(x+4)元，根據(jù)題意得：

1200800

x+4x'

解得:x=8,

經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解，當(dāng)x=8時(shí)x+4=12,

答：去年文學(xué)書單價(jià)為8元，則故事書單價(jià)為12元.

(2)設(shè)這所學(xué)校今年購買y本文學(xué)書，根據(jù)題意得.

8X(1+25%)y+12(200-y)W2120,

代140,

最小值是140；

答：這所中學(xué)今年至少要購買140本文學(xué)書.

26.(10分)已知：四邊形/BCD為OO的內(nèi)接四邊形，連接。/、OC,^ZAOC=ZABC.

(1)如圖1,求NADC的度數(shù)；

(2)如圖2,連接NC,點(diǎn)尸為弧AD上一點(diǎn)，連接尸。并延長交/C于點(diǎn)E,若/￡=

CE,ZE4D=ABAC,求證：AB=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接DRBE,若DF=2,求。。的半徑.

第17頁(共22頁)

【解答】（1）解：四邊形48co為O。的內(nèi)接四邊形,

/.ZABC+ZADC=ISO°,

由圓周角定理可得：ZAOC^2ZADC,

：.ZAOC=ZABC=2ZADC,

：.2ZADC+ZADC^180°,

解得//DC=60。；

圖2

'：AE=CE,。為圓心，E、F、。三點(diǎn)共線，

：.EF±AC,

...△NFC為等腰三角形，

,：AC=AC,

：.ZAFC=ZADC=60°,

...△/FC為等邊三角形，

:.NE4E=/E4D+NDAC=60°,

由(1)可得：NABC=180°-ZADC^120°,

：.ZBAC+ZBCA=1SO°-ZABC=60°,

NE4D=ZBAC,

：.ZDAC=ZBCA,

：.AB=CD；

(3)解：作47〃8E交C8延長線于點(diǎn)“，作連接CM,如圖3：

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：.BC=DF=2,

由（2）可得E為ZC的中點(diǎn)，ZABM=60°,

,:AH〃BE,

：.AACHsAECB,

.ACAHHC

-=2，即3”=2,AH=小,

BHCB

設(shè)則W=2-x,

在RtZUBM中，可得4B=2x,由勾股定理得：AM=Wx,

由勾股定理可得：HA42+AM2^AH2,即（2-x）2+3f=7,

解得x=^|或"T（舍去），

DF5Q7

:.AB=3,AM=詈，BM=^,CM=p

由勾股定理可得：AC=VXM2+CM2=V19,

由（2）可得：AF=V19,

在RtZ\4EF中，4E=孚，EF=y/AF2-AE2=

設(shè)CM=OF=r,則。5二號(hào)一小

由勾股定理可得：AE2+OE2=AO2,即（零產(chǎn)+（孚一r）2=

解得「=孚.

27.（10分）已知：如圖，拋物線y=-x2+6x+c與x軸交于/、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

OB=OC=5.

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(2)點(diǎn)尸為拋物線第一象限上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線垂足為￡,連接為、PC,PA

交y軸于點(diǎn)D，設(shè)PE的長為/,△PCD的面積為S,求S與/的函數(shù)解析式；

(3)在(2)的條件下，點(diǎn)