2024年高考數(shù)學(xué)試卷（新課標(biāo)Ⅱ卷）【解析版】

2024年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)n卷）【解析版】

本試卷共10頁(yè)，19小題，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證

號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草

稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知z=-1—i,則目=（）

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

【詳解】若Z=—l—i,則目=—

故選：C

2.已知命題p：VxeR,Ix+11>1；命題］：Hx〉0,匯3=%,則（）

A.p和夕都是真命題B.「夕和q都是真命題

C.p和一1夕都是真命題D.和「9都是真命題

【答案】B

【解析】

【分析】對(duì)于兩個(gè)命題而言，可分別取x=-1、x=l,再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.

【詳解】對(duì)于0而言，取x=—1,則有n+1|=0<1,故P是假命題，「。是真命題，

對(duì)于q而言，取X=l,則有x3=F=l=x，故q是真命題，「夕是假命題，

綜上，/和q都是真命題.

故選：B.

3.已知向量癡滿足問(wèn)=1點(diǎn)+2可=2,且僅-2山＞,則同=（）

A.|B.—C.—D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由伍—2Z）點(diǎn)得片=2鼠5,結(jié)合同=1,（+2*2,得1+4＞石+4片=1+6石2=4,由此即可

得解.

【詳解】因?yàn)槲?2））11,所以（B—2同％=0,即片=2遍，

又因?yàn)?=1,卜+2w=2,

所以1+47另+4片=1+6片=4,

從而w=q.

故選：B.

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并

部分整理下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)612182410

據(jù)表中數(shù)據(jù)，結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

【答案】C

【解析】

【分析】計(jì)算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計(jì)算出低于1100kg的頻數(shù)，再計(jì)算比例即可判斷B；根據(jù)極差計(jì)

算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計(jì)算公式即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比為w=66%,故B錯(cuò)誤；

100

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200-900=300,最小為1150-950=200,故C正確;

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，畝產(chǎn)量在［1050,1100)的頻數(shù)為100—(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值為六乂(6義925+12*975+18義1025+30*1075+24*1125+10><1175)=1067,故口錯(cuò)誤.

故選；C.

5.已知曲線C：x2+y2=16(y>0),從C上任意一點(diǎn)尸向x軸作垂線段PP,P'為垂足，則線段尸尸'

的中點(diǎn)M的軌跡方程為()

2222

A.—+—=1(y>0)B.—+^-=1(7>0)

164168

2222

C.匕+二=1(y>0)D.上+上=1(y>0)

164168

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)”(x,y),由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得尸(x,2y),代入圓的方程即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(x,y),則尸(x,%),P(x,o),

因?yàn)?為尸尸'的中點(diǎn)，所以為=2了，即P(x,2y),

又尸在圓x2+y2=16(y>0)上，

22

所以—+4/=16(y〉0),BP—+—=l(y>0),

164

22

即點(diǎn)M的軌跡方程為土+匕=l(y>0).

164

故選：A

6.設(shè)函數(shù)/(X)=Q(X+1)2—1,g(x)=cosx+2ax,當(dāng)工￡(一1,1)時(shí)，曲線歹=/(x)與y=g(x)恰有一個(gè)

交點(diǎn)，則。=()

A.—1B.—C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令歹(x)=ax?+"l,G(x)=cosx,分析可知曲線y=廠(》)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn),

結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得。=2,并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令

A(x)=f{x)-g(x),xe(-1,),可知"x)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知〃(x)的零點(diǎn)只能為0,

即可得。=2,并代入檢驗(yàn)即可.

【詳解】解法一：令/(x)=g(x),即a(x+l)2-1=cosx+2ox,可得渡+q_i=cosx，

令尸(x)=ax1+a-1,G(%)=cosx,

原題意等價(jià)于當(dāng)xe(―1,1)時(shí)，曲線y=F(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

注意到尸(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，

可得萬(wàn)(0)=G(0),即a-l=l,解得°=2,

若a=2,令/(x)=G(x),可得2丁+1-cosx=0

因?yàn)閤e(-1,1),則2X2?0,1—COSXN0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得ZV+i—cosxNO，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

則方程2X2+1-COSX=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線y=尸(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

所以a=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：令h(x)=/(x)-g(x)=ax~+a-cosx,xe(-1,1),

原題意等價(jià)于/z(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?/(-x)=a(-x)~+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x),

則為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知〃(x)的零點(diǎn)只能為0,

即"(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,則/z(x)=lx+1-cosx,xe(-1,1),

又因?yàn)?必20,1—cosxNO當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立,

可得〃(x"0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

即〃(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以。=2符合題意；

故選：D.

52

7.已知正三棱臺(tái)44cl的體積為§，AB=6,4g=2,則2/與平面/臺(tái)。所成角的正切值為

()

A.1B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高的=述，做輔助線，結(jié)合正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求

3

得4M=逑,進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺(tái)44G補(bǔ)成正三棱錐

3

P-ABC,2/與平面所成角即為R4與平面/2C所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得=18,進(jìn)而可

求正三棱錐P-A8C的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取8C,B]G的中點(diǎn)，則AD==V3,

可知

△Ab。=-2x6x6x—2=973,5,￡s>|cC/J=-2x2xV3=V3.

設(shè)正三棱臺(tái)ABC-44G的為人，

則%CWG=19—+G+J9四=解得力=乎，

如圖，分別過(guò)4,2作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)=

則AAX=4M2DN=AD-AM-MN=2y/3-x

可得DR=^DN2+D,N2=^（2V3-x）2+y，

結(jié)合等腰梯形BCC,BX可得BB：=［一］+DD；,

即/+個(gè)=（2省—》了+個(gè)+4,解得手，

所以A.A與平面ABC所成角的正切值為tanDA.AD=&4=1；

1AM

解法二：將正三棱臺(tái)ABC-451G補(bǔ)成正三棱錐P—/BC,

則4Z與平面48c所成角即為R4與平面4BC所成角,

因?yàn)橐?=2=!，則殳如L=L,

PAAB3VP_ABC27

2652

可知匕IBC-A］BiG=P_ABC=了，則—P.4BC=18,

設(shè)正三棱錐P—48。的高為d,則?！啊?LdxLx6x6x也=18,解得d=2百，

PH322

取底面4BC的中心為0,則尸。上底面N2C,且/。=26，

P0

所以R4與平面ABC所成角的正切值tanZPAO=—=1.

A0

故選：B.

8.設(shè)函數(shù)/（》）=0+。）111（》+6）,若f（x）N0,則/+〃的最小值為（）

111

A.—B.—C.-D.1

842

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由題意可知：/（X）的定義域?yàn)椋ㄒ黄?8）,分類討論-。與-6,1-6的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)

分析判斷，即可得6=a+1,代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析ln(x+6)的符號(hào)，進(jìn)而可

得x+a的符號(hào)，即可得6=a+1,代入可得最值.

【詳解】解法一：由題意可知：/(x)的定義域?yàn)?-仇+8),

令x+a=0解得％=-。；令1no+5)=0解得％=1—6；

若一aV—b,當(dāng)X￡(一九1一人)時(shí)，可知x+a>0,ln(x+/?)<0,

此時(shí)/(x)<0,不合題意；

若一—力，當(dāng)％￡(一。,1一人)時(shí)，可知x+a>O,ln(x+Z?)<0,

此時(shí)/(x)<0,不合題意;

若一〃二1一/7,當(dāng)工￡(—九1一人)時(shí)，可知x+a<0,ln(x+b)<0,此時(shí)/(x)>0；

當(dāng)工￡[1-仇+8)時(shí)，可知x+a20,ln(x+Z?)20,此時(shí)/(x)20；

可知若一。二1一b,符合題意；

若一。>1一6,當(dāng)XE(1-仇一a)時(shí)，可知x+a<0,ln(x+6)〉0,

此時(shí)/(x)<0,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即b=a+l,

則/+/=/+(4+1)2=214+4〕+工21,當(dāng)且僅當(dāng)。=—工/=!時(shí)，等號(hào)成立,

\(2)2222

所以/+〃的最小值為g；

解法二：由題意可知：/(x)的定義域?yàn)?—九+8),

令x+a=0解得*=一。；令ln(x+b)=0解得》=1一6；

則當(dāng)xe(-Z?,l-b)時(shí)，ln(x+Z))<0,故x+aWO,所以1—b+aVO；

xe(l—Z?,+oo)時(shí)，ln(x+&)>0,故x+aNO,所以1—b+aNO；

故1—6+a=0,則/+〃=片+(。+ip=2.+g]+X>1.,

當(dāng)且僅當(dāng)。=-工,6=工時(shí)，等號(hào)成立，

22

所以/+〃的最小值為

故選：c.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求x+a=O、ln(x+6)=0的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討

論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

7T

9.對(duì)于函數(shù)/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x—1),下列正確的有()

A./(x)與g(x)有相同零點(diǎn)B./(x)與g(X)有相同最大值

C./(x)與g(x)有相同的最小正周期D.“X)與g(x)的圖像有相同的對(duì)稱軸

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點(diǎn)，最值，周期公式，對(duì)稱軸方程逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】A選項(xiàng)，令/(x)=sin2x=0,解得x=]■，左eZ,即為“幻零點(diǎn)，

令g(x)=sin(2x—工)=0,解得x=包+工，1eZ,即為g(無(wú))零點(diǎn)，

428

顯然/(x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，顯然/(')max=g(x)max=1，B選項(xiàng)正確；

2兀

C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，/(x),g(x)的周期均為飛-=兀，C選項(xiàng)正確；

-JrKTTTT

D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)/(x)的對(duì)稱軸滿足2x=kn+—=x=—+—,keZ,

224

g(x)的對(duì)稱軸滿足2x—巴=也+工=x=@+型，左eZ,

4228

顯然/(x),g(x)圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.拋物線C：j2=4x的準(zhǔn)線為/,P為。上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)尸作。/:一+3一4)2=1的一條切線，。為切點(diǎn),

過(guò)P作/的垂線，垂足為2,則()

A./與相切

B.當(dāng)尸，A,2三點(diǎn)共線時(shí)，|尸0|=衣

C.當(dāng)|尸8|=2時(shí)，PALAB

D.滿足|PA|=|尸切的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，拋物線準(zhǔn)線為x=-l,根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來(lái)判斷；B選項(xiàng)，P,43三點(diǎn)共線時(shí)，先

求出產(chǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線長(zhǎng)；C選項(xiàng)，根據(jù)|必|=2先算出產(chǎn)的坐標(biāo)，然后驗(yàn)證七AB=T是否成立;

D選項(xiàng)，根據(jù)拋物線的定義，|必|=|「修，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化成|/訓(xùn)=|?人的尸點(diǎn)的存在性問(wèn)題，此時(shí)考察/尸

的中垂線和拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，亦可直接設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解.

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線/=4x的準(zhǔn)線為x=—1,

OZ的圓心(0,4)到直線x=—1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和。Z相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，P,43三點(diǎn)共線時(shí)，即則尸的縱坐標(biāo)方>=4,

由，=4%尸，得到xp=4,故P(4,4),

此時(shí)切線長(zhǎng)歸@=^\PA\2-r2=底-儼=715-B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)，當(dāng)|必|=2時(shí)，%=1,止匕時(shí)"=4%=4,故尸(1,2)或尸(1,-2),

當(dāng)P(1,2)時(shí)，2(0,4),8(—1,2),kpA='=-2,kAB=-^-=2,

0—10—(—1)

不滿足怎/KB=-1；

當(dāng)尸(1,一2)時(shí)，2(0,4),8(—1,2),原4=與午2=一6,的8=廿3=6,

0—10—(—1)

不滿足原?以陽(yáng)B=-1；

于是尸2,48不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|必|=|尸尸|,這里E(l,0),

于是|/訓(xùn)=|必|時(shí)P點(diǎn)的存在性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成歸=|PF|時(shí)P點(diǎn)的存在性問(wèn)題，

2(0,4),/(1,0),/方中點(diǎn)]1,2],/尸中垂線的斜率為一4=。，

12)kAF4

O?1<

于是/方的中垂線方程為：j=——,與拋物線/=4x聯(lián)立可得16y+30=0,

8

A=162-4X30=136>0.即//的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，

即存在兩個(gè)p點(diǎn)，使得|24|=|尸刊，D選項(xiàng)正確.

方法二：(設(shè)點(diǎn)直接求解)

設(shè)P—,t,由必邛可得以―1,。，又40,4),又|尸/|=歸同,

(4J

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，J—+(t-4)2=-+1，整理得/―16/+30=0,

V164

A=16?—4x30=136〉0，則關(guān)于/的方程有兩個(gè)解，

即存在兩個(gè)這樣的P點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

11.設(shè)函數(shù)/(幻=2%3—3a?+i,貝I]()

A.當(dāng)a>l時(shí)，“X)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)。<0時(shí)，x=0是/(刈的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.存在°,使得點(diǎn)(1,/。))為曲線了=/(尤)的對(duì)稱中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為x=0,x=〃，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出/(x)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存

在這樣的a,6,使得x=b為/(x)的對(duì)稱軸，則/(x)=/(2b-x)為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存

在這樣的。，使得(1,3-3a)為"X)的對(duì)稱中心,則/(x)+/(2—x)=6—6a,據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利

用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.

【詳解】A選項(xiàng)，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(—oo,0)u(a,+oo)時(shí)f\x)>0,故/(x)在(—oo,0),(a,+")上單調(diào)遞增，

xe(O,a)時(shí),f'(x)<0,/O)單調(diào)遞減,

則f(x)在x=o處取到極大值，在x=a處取到極小值，

由/(0)=1〉0,/(a)=l-?3<0,則/(0)/(a)<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理f(x)在(0,a)上有一個(gè)零點(diǎn)，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4/+i>0,則/(—1)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

則/(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是a>1時(shí)，/⑴有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng),f'(x')=6x(x-a),a<0時(shí)，xe(a,0),/'(x)<0,，(幻單調(diào)遞減,

xe(0,+co)時(shí)f'(x)>0,fix)單調(diào)遞增,

此時(shí)/(x)在x=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的人，使得x=b為/(x)的對(duì)稱軸，

即存在這樣的使得/(%)=/(2b-x),

即2/—3aY+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(2b-4展開(kāi)式含有V的項(xiàng)為2C；(2A)°(-x)3=-2x3,

于是等式左右兩邊｛的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的凡人，使得x=b為/(x)的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)

/(1)=3-3?,若存在這樣的。，使得(1,3—3a)為/(x)的對(duì)稱中心，

則/(x)+/(2-x)=6-6。，事實(shí)上，

/(x)+/(2-x)=2d-3ax2+1+2(2-x)3-3o(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12?

12-6a=0

即12a—24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1J⑴)是/⑴的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

18-12o=6-6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

f(x)=2x3-3ax2+1(f'(x)=6x2-6ax?=12x-6a,

n

由/"(%)=0x=—,于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為

a

由題意(1J⑴)也是對(duì)稱中心，故土=1。。=2,

2

即存在a=2使得(1,/(1))是Ax)的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)/(x)的對(duì)稱軸為x=bo/(x)=/(2b—x)；(2)/(x)關(guān)于(a,6)對(duì)稱

=/(x)+/(2a—x)=2b；(3)任何三次函數(shù)/(x)=a/+小2+cx+d都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次

函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是/"(x)=0的解,是三次函數(shù)的對(duì)稱中心

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S"為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，若。3+%=7，3%+%=5,則Eo=.

【答案】95

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出4,d,再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.

a,+2d+(7,+3d=7<7,=—4

【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得八一u，解得<：.,

3(?1+d)+aA+4d=5[d=3

10x9

則Sio=10q+-^―d=10義(一4)+45義3=95.

故答案為：95.

13.已知戊為第一象限角，￡為第三象限角，tana+tan/?=4,tanatan6=0+1,則

sin(a+/?)=.

【答案】—翌1

3

【解析】

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan（a+m=-2應(yīng)，再縮小a+6的范圍，最后結(jié)合同角

的平方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

/、tan。+tan,4i-

【詳解】法-：由題意得tan（a+m=]Tanatan：=]_（^+]]-2-2,

因?yàn)閍￡^2A71,2ATI+^,^e[2冽兀+兀,2加兀+費(fèi)）,k.meZ,

則a+尸￡（（2加+2左）兀+兀,（2加+2左）兀+2兀）,k,meZ,

又因?yàn)閠an（a+〃）=-2后＜0,

則尸((

a+ef2m+2k^TI+,2m+2k^TI+2TIj,k,meZ,則sin(a+,)<0,

sin(cr+/?)

則=-2V2,聯(lián)立sin?(a+6)+cos~(a+力)=1,解得sin(a+q)=—.

cos(cr+夕)

法二：因?yàn)閍為第一象限角，A為第三象限角，貝！Icosa〉0,cos，＜0,

cosa1cos,-1

cosa=/cosp=i=/=

Vsin2a+cos2a71+tan2a[sin?0+cos20Jl+tan2/3

貝ijsin(a+〃)=sinacos°+cosasin/3=cosacos/(tana+tan]3)

_____________-4______________-423

=4cosacos0=/一/.=

V1+tan2aJl+tan2/?^/(tana+tan^)2+(tanatan-1)2S+2~T~

故答案為：_巫.

3

14.在如圖的4x4方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法,

在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】①.24②.112

【解析】

【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果,

即可求解.

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法;

每種選法可標(biāo)記為(小仇G”)，a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列

舉法寫(xiě)出所有的可能結(jié)果.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.記的內(nèi)角aB,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinZ+Geos/=2.

(1)求

(2)若a=2,?sinC=csin25，求“BC的周長(zhǎng).

TT

【答案】(1)A=-

6

(2)2+76+372

【解析】

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sinZ+百cosZ=2進(jìn)行化簡(jiǎn)處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角

三角函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬(wàn)能公式解決；

(2)先根據(jù)正弦定理邊角互化算出3,然后根據(jù)正弦定理算出4c即可得出周長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sin/+A/Jcos4=2可得Lsin4+-^cos4=1，即sin(Z+￡)=l,

223

，十1/人、i兀/兀4兀、,.7171,.71

由于Ze(0,7i)nZ+-e(一,-),故/+—=一，解z得2=一

333326

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sin/+JJcosZ=2，又sin2Z+cos?4=1,消去sinZ得到：

4cos2A-4^/3COS力+3=00(2cosA-V3)2=0，解得cosA--y，

TT

又/￡(0,兀)，故/二一

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/(x)-sinx+V3cosx(0<x<兀)，則/(x)=2sin[x+g](0<x<兀)，

顯然x=4時(shí)，/(x)max=2，注意到f(A)=sinA+y/3cosA=2=2sin(A+—)f

63

/(Mmax=/(/)，在開(kāi)區(qū)間(°，兀)上取到最大值，于是X=4必定是極值點(diǎn)，

即ff(A)=0=cos4一Gsin4,即tan/=當(dāng)，

jr

又/￡(0,兀)，故/二一

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)a=(1,6)花二(sincosA),由題意，a-b=sinA+V3cosA-2，

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，a-b=BMCOS(N,B)=2cosG，B),

則2cos=2ocos"B=1,此時(shí)落B=0,即同向共線，

根據(jù)向量共線條件，Leos/=J^?sin/otan/=——，

3

jr

又/e(0,兀)，故/=一

6

方法五：利用萬(wàn)能公式求解

設(shè)/=tang,根據(jù)萬(wàn)能公式，sinZ+GcosZ=2=&+?q，

21+產(chǎn)1+J

整理可得，?2-2(2-V3)/+(2-V3)2=0=(Z-(2-V3))2,

解得tanW=/=2—G，根據(jù)二倍角公式，tanA=^=—

21"3

TT

又/e(0,7t),故/=—

6

【小問(wèn)2詳解】

由題設(shè)條件和正弦定理

41bsinC=csin2Bo拒sin5sinC=2sinCsinBcosB，

又民Ce(0,兀)，則sinBsinCwO,進(jìn)而cosB=4Z，得到3=百

24

7兀

于是。=?！猌—8=—

12

sinC=sin(7i-A-B)=sin(/+B)=sinAcos5+sin5cosA=近+瓜

4

2b

a_b_c

由正弦定理可得,即.兀.717兀

sinAsinBsinCsin一sm—sm一

6412

解得b=2A/2,C=V6+V2，

故以8C的周長(zhǎng)為2+指+3收

16.已知函數(shù)/(x)=e"-辦一/.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線V=/(x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程;

(2)若/(x)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

【答案】(1)(e-l)x-j-l=0

(2)(l,+oo)

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析a<0和a>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得力+ina-1>0,

構(gòu)建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知/'(x)=e*-a有零點(diǎn)，可得a>0,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求/(x)的

單調(diào)性和極值，分析可得力+ina-1>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)a=l時(shí)，則/(x)=e-x—1,/'(x)=e、—1,

可得〃D=e-2,/'(l)=e-1,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e-2),切線斜率后=e-1,

所以切線方程為歹一(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

【小問(wèn)2詳解】

解法一：因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,且/'(x)=e、—。，

若aWO,則/'(x)20對(duì)任意xeR恒成立，

可知Ax)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-oo,lna)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+00)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值/(lna)=a-alna—/,無(wú)極大值，

由題意可得：f(\na)=a-a\na-ai<0,即/+ina—l>0,

構(gòu)建g(a)="+lna-l,a>0,則g'(a)=2a+4〉0,

a

可知g(a)在(0,+“)內(nèi)單調(diào)遞增，且g(l)=0,

不等式小+如.—1>0等價(jià)于g(a)>g⑴,解得a>1，

所以a的取值范圍為(1,+QO);

解法二：因?yàn)椤癤)的定義域?yàn)镽,且/'(x)=ex-a,

若/(x)有極小值,則/'(x)=e「a有零點(diǎn),

令/，(x)=e￡—a=O,可得，

可知>=e，與>=。有交點(diǎn)，則。>0,

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-oo,lna)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+00)內(nèi)單調(diào)遞增，

則/(x)有極小值/(lna)=a-alna—/,無(wú)極大值，符合題意,

3

由題意可得：f(ina)=a-a]na-a<0,即6+]114一1>0,

構(gòu)建g(a)=a?+lna-l,?>0,

因?yàn)閯ty==lna-l在(0,+e)內(nèi)單調(diào)遞增，

可知g(a)在(0,+。)內(nèi)單調(diào)遞增,且g⑴=0,

不等式J+lnq—1>0等價(jià)于g(a)>g⑴,解得。>1,

所以°的取值范圍為(1,+s).

17.如圖，平面四邊形中，AB=8,CD=3,AD=573>ZADC=90°，NBAD=30°，點(diǎn)E,

廠滿足近=-7萬(wàn)，AF=-AB,將△ZEE沿跖對(duì)折至！PEE,使得尸。=46.

52

(1)證明：EF1PD；

(2)求面PCD與面P5尸所成的二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵8海

65

【解析】

【分析】(1)由題意，根據(jù)余弦定理求得所=2,利用勾股定理的逆定理可證得，則

EFLPE,EFLDE,結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；

(2)由(1),根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明PEJ_E。，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-盯z,利

用空間向量法求解面面角即可.

【小問(wèn)1詳解】

由48=8,4。=53',亞=215,萬(wàn);=上而，

52

得ZE=26,N尸=4,又N84D=30°，在△ZEE中，

由余弦定理得EF=y^AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=jl6+12-2-4-2^-三=2,

所以4￡2+.2=4^2，則即EE140，

所以EF_LPE,EF_LDE,又PE^DE=E,PE、OEu平面P￡)￡,

所以所上平面P￡>￡,又？。u平面PQ￡,

板EF工PD；

【小問(wèn)2詳解】

連接C￡,由//。。=90",￡7)=36,0)=3,貝!JCE2=EZ)2+CZ>2=36,

在APEC中，PC=4>j3,PE=7.^3,EC=6,得EC?+PE?=PC?，

所以P￡_L￡C,由(1)知PELEE,又ECCEF=E,EC、EFu平面ABCD,

所以PEL平面/BCD,又EDu平面/BCD,

所以PE_LEQ,則尸瓦ERED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系E-盯z,

則5(0,0,0),P(0,0,2我,￡)(0,36,0),C(3,36,0),根(2,0,0),4(0,-26,0),

由口是48的中點(diǎn)，得5(4,26,0),

所以PC=(3,36,-2石)，麗=(0,36,-26),而=(4,2也-2⑻，而=(2,0,-2@,

設(shè)平面PCD和平面PBF的一個(gè)法向量分別為“=(X],%,zj,加=(x2,y2,z2),

則n-PC=3%j+3y/3y1-2y/3z1=0m-PB=4x2+2yf3y2-2A/3Z2=0

n-PD=3也y[-2也z、=bm-PF=2x2-2A/3Z2=0

令必=2,X2=^3,得&=0,Z]=3,J^2=-1,Z2=1,

所以3=(0,2,3),而=(6,-1,1),

fiCh,i應(yīng)?司_1_V65

1HITV5-V1365

設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為6,則sin6=Vl-cos2^=包至，

65

即平面PCD和平面PAT所成角的正弦值為WH.

65

z,

p\

*xB

18.某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名

隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階

段，由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總

和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為0,乙每次投中的概率為q,各次投中與否相

互獨(dú)立.

(1)若夕=0.4,q=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.

(2)假設(shè)0<p<q,

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙，所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

【答案】(1)0.686

(2)(i)由甲參加第一階段比賽；(i)由甲參加第一階段比賽；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)對(duì)立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)(i)首先各自計(jì)算出編=[1-(1-pF]/,2=[i_Q_q)3].p3,再作差因式分解即可判斷；5)

首先得到X和V的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再次作差比較大小即可.

【小問(wèn)1詳解】

甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，

二比賽成績(jī)不少于5分的概率P=(l-0.63)(l-0.53)=0.686.

【小問(wèn)2詳解】

(i)若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為偏=[1-(1-2)3][3,

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率為％=[1-(1-

0<p<q,

；?%一生=q3_(q_pq)3_p3+(p_pq)3

=(q—p)(q2+pq+p2)+(p-q)-[(p-pq￥+(q—pq￥+(p-pq)(q-pq)\

=(p-q)(3,2q2-3p-q-3m2)

=3Pq(P-q)(pq-p-q)=3Pq(p-q)[(l一2)(1-q)—1]>0,

...埼>與，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

(ii)若甲先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績(jī)X的所有可能取值為0,5,10,15,

P(X=0)=(l-^)3+[l-(l-^)3].(l-^)3,

P(X=5)=[1—(1-夕產(chǎn)]*.<_4,

P(X=10)=[l-(1-p)3]C/(l-q),

P(X=15)=[1-(1-桓

：.E(X)=15[l-(l-p)3~\q=15(p3-3p2+3p\q

記乙先參加第一階段比賽，數(shù)學(xué)成績(jī)y的所有可能取值為0,5,10,15,

同理E(y)=15(/—3d+34.夕

E(X)-EQ")=15[pq(p+q)(p-q)-3Pq(p-q)]

=15(p-q)pq(p+q-3),

因?yàn)?<P<g,則夕一q<0,夕+q—3<1+1—3<0,

^(p-q)pq(p+q-3)>0,

應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大

小關(guān)系，最后得到結(jié)論.

19.已知雙曲線Uf—丁=加(加>()),點(diǎn)4(5,4)在0上，左為常數(shù)，0(左<1.按照如下方式依次構(gòu)

造點(diǎn)￡(〃=2,3,...),過(guò)P“_\作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qz，令月,為2T關(guān)于>軸的對(duì)稱點(diǎn)，

記勺的坐標(biāo)為

(1)若k=—,求//2；

（2）證明：數(shù)列｛%-%｝是公比為的等比數(shù)列；

\-k

（3）設(shè)S"為△々a+C+z的面積，證明：對(duì)任意的正整數(shù)〃，Sn=Sn+x.

【答案】（1）x2=3,y2=0

（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出鳥(niǎo)的坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；

（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明S"的取值為與〃無(wú)關(guān)的定值即可.思路二：使用

等差數(shù)列工具，證明J的取值為與〃無(wú)關(guān)的定值即可.

【小問(wèn)1詳解】

由已知有切=5?-4?=9,故。的方程為/=%

當(dāng)4=g時(shí)，過(guò)4（5,4）且斜率為—勺直線為了=苫3，與=9聯(lián)立得到=9.

解得x=-3或x=5,所以該直線與。的不同于4的交點(diǎn)為。i（-3,0）,該點(diǎn)顯然在C的左支上.

故A（3,0）,從而％=3,%=0.

【小問(wèn)2詳解】

由于過(guò)勺（%,此）且斜率為左的直線為歹=左（%—％）+以，與——/=9聯(lián)立，得到方程

22

x-（k（x-xn）+yn）=9.

展開(kāi)即得（1—左2）/—2曲刃—自/x—（券—丘"—9=0,由于勺（當(dāng),匕）已經(jīng)是直線y=