2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)講義-離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差解析版

第47講離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差

1.隨機(jī)變量的有關(guān)概念

隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，常用字母，…表示.

離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.

2.離散型隨機(jī)變量分布列的概念及性質(zhì)

(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的概念

設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為毛，/，…，x“，X取每一個(gè)值七(1=1,2，…，而的概率

P(X=xi)=pi,則下表稱為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱為X的分布列.

X%%XiX"

PPiP2P.P”

有時(shí)也用等式尸(X=xJ=p,/=L2,，”表示X的分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

①p20。=1,2,…，〃)；

②四+必+…+0=1.

3.必記結(jié)論

(1)隨機(jī)變量的線性關(guān)系

若X是隨機(jī)變量，y=aX+b,是常數(shù)，則y也是隨機(jī)變量.

(2)分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用

①利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.

②隨機(jī)變量4所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率.

4.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：

Xx2XiX?

PPiP2PiPK

(1)稱E(X)=%Pi+x2P2+…+x〃p〃為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取

值的平均水平.

(2)稱D(X)=ZQ-E(X)yn為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均

?=1

偏離程度，其算術(shù)平方根版的為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差.

5.均值與方差的性質(zhì)

若丫=。乂+〃,其中。力為常數(shù)，則F也是隨機(jī)變量，

且E(aX+b)=aE(X)+b；D(aX+b)=a?D(X)

6.二項(xiàng)分布的期望、方差：

若XB(n,p),則E(X)=叩，D(X)=叩(1-p).

題型一：離散型隨機(jī)變量分布列

1.(黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X01234

P0.20.10.10.3m

若隨機(jī)變量y=|x-i|,則尸(y=i)等于()

A.0.3B.0.4C,0.6D,0.7

【答案】A

【詳解】

因?yàn)閥=|x-i|,

所以尸(丫=1)=尸(X=0或X=2)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3.

故選：A

2.(全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量4只能取三個(gè)值和乙,￡,其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列

公差的取值范圍是()

11

B.

353

C.[-3,3]D.[0,1]

【答案】B

【詳解】

解：由題意得:

設(shè)隨機(jī)變量。取》,垃，制的概率分別為a-d,a,a+d,則由分布列的性質(zhì)得

(a-d)+a+(a+d)=l,故a——,

--^>0

3解得一：

由＜gwdw

-+d>0

,3

所以公差d的取值范圍是

故選：B

3（全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)施機(jī)變量的所有可能的取值為1,2,3,…，10,且。（4=左）=成（左=1,2,3,10）,

則。的值為（）

A.-----B.—C.110D.55

11055

【答案】B

【詳解】

??.隨機(jī)變量J的所有可能的取值為1,2,3,,10,

且「（＜=?=成伏=1,2,…，10）,

a+2a+3a+...+10a=I,

55a=1,a=—

55

故選：B.

4.（全國(guó)）袋中裝有大小相同的5個(gè)球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，現(xiàn)在在有放回的條件下依次

取出兩個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球的號(hào)碼之和為隨機(jī)變量4,則^所有可能取值的個(gè)數(shù)是（）

A.25B.10C.15D.9

【答案】D

【詳解】

由題意得：兩個(gè)球的號(hào)碼之和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9個(gè)

故選：D

5.（全國(guó)）拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為X，則“X>4”

表示試驗(yàn)的結(jié)果為（）

A.第一枚為5點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)

B.第一枚大于4點(diǎn)，第二枚也大于4點(diǎn)

C.第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)

D.第一枚為4點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)

【答案】c

【詳解】

拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為X,

所以“X>4”即“X=5”，

表示試驗(yàn)的結(jié)果為第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)，

故選：C

6.（全國(guó)）若P為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量占的分布列為

4012

1

P

丁P~2

則E（J）的最大值為（）

32

A.1B.-C.-D.2

23

【答案】B

【詳解】

由題分布列的性質(zhì)，可得且,解得,

113

XS￡（^）=0x（--p）+lxp+2x-=7?+l<-,

所以E⑷的最大值為5.

故選:B.

7.（全國(guó)高二單元測(cè)試）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：

X123

P68「3

則E(X)=2的充要條件是()

A.q=gB.P2—P3C.PY=P3D.Pl-P2=P3

【答案】c

【詳解】

解：由離散型隨機(jī)變量X的分布列知：

Px+P2+P3=1

當(dāng)EX=2時(shí)，,解得尸尸尸3,

[+2￡+34=2

當(dāng)P=R時(shí)，PI+P2+P3=2PI+P2=1.

EX=PI+2P2+3尸3=4PI+2P2=2.

，EX=2的充要條件是Pi=P3.

故選：C.

8.（河南高二期末（理））若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則機(jī)"的最大值是（）

X024

Pm0.5n

【答案】A

【詳解】

由分布列的性質(zhì)，得，”+〃=：,>n>0,n>0,

所以mn<["4」，當(dāng)且僅當(dāng)m="=J時(shí)，等號(hào)成立，

（2J164

故選：A.

9.（黑龍江哈爾濱三中高二月考）已知隨機(jī)變量X的概率分布如下：

X12345678910

222222222

m

p3-FF用F鏟7

則P（X=10）=（）

A.—B.—T7TC.—D.—rr

3931039310

【答案】c

【詳解】

2222

由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，可知耳+三+手++3+加=1，所以

（122

（33233

故選：C.

10.（全國(guó)）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示.

X-2-10123

134121

P

121212121212

若P（X2<?=jj，則實(shí)數(shù)％的取值范圍是（）

A.[4,9]B.（4,9]C.[4,9）D.（4,9）

【答案】B

【詳解】

解：由隨機(jī)變量X的分布列知，X2的可能取值為o,1,4,9,

且P（X』）4，**）=???

P（X2=4）=—+—=—,P（X2=9）=—,

,7121212v712

P（X2<x）=—=—+—+—=P（X2=0）+P（X2=1）+P（X2=2

''12121212v7v'v

,實(shí)數(shù)x滿足4<xW9.

故選：B.

題型二：離散型隨機(jī)變量的均值和方差

1.（全國(guó)高二單元測(cè)試）已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X123

3\_1

P

555

則X的數(shù)學(xué)期望磯x）=（）

A.-B.2C.-D.3

52

【答案】A

【詳解】

4112

￡（X）=lx—+2x—+3x—=—.

v75555

故選：A.

2.（全國(guó)高二單元測(cè)試）已知隨機(jī)變量占?E,則隨機(jī)變量邸方差。團(tuán)為（）

人16「8

A.-B.—C.-D.-

32799

【答案】D

因?yàn)镴?，所以D?=2xgx[l_g'_4

=9'

故選：D.

3（黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二月考）已知一組數(shù)據(jù)不，馬,無(wú)3，4無(wú)5，%的方差是1,那么另一組數(shù)據(jù)2占-1,

2%—1,2色一1,2%—1,2%一1,2%—1的方差是（）

A.1B.2C,3D,4

【答案】D

設(shè)y=2x-1,依題意得。（x）=i,

則zxy）=22￡＞（x）=4,

即另一組數(shù)據(jù)2%-1,2%-1,2三-1,2x「l,2%-1,2%-1的方差是4.

故選：D

4.(全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X的方差D(X)=1,則D(2X+1)的值為()

A.2B.3C.4D,5

【答案】C

O(2X+1)=4D(X)=4.

故選：C.

5.(全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量X的分布列為尸(X=A)=；,左=3,6,9.則。(X)等于()

A.6B.9

C.3D.4

【答案】A

由題意得E(X)=3xg+6xg+9xg=6,

22

O(X)=(3一6>X1+(6-6)X1+(6-9)義；=6.

故選：A.

6.(全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知隨機(jī)變量X滿足O(X)=2,則D0X+2)=()

A.6B,8

C.18D.20

【答案】C

【詳解】

D(X)=2,/.D(3X+2)=9D(X)=18.

故選:C.

7.(天津市薊州區(qū)擂鼓臺(tái)中學(xué))為了展示中華漢字的無(wú)窮魅力，傳遞傳統(tǒng)文化，提高學(xué)習(xí)熱情，某校開展“中

國(guó)漢字聽寫大會(huì)”的活動(dòng)為響應(yīng)學(xué)校號(hào)召高二9班組建了興趣班，根據(jù)甲、乙兩人近期8次成績(jī)所得數(shù)據(jù)分

別為

甲:68,69,71,72,74,78,83,85;

乙:65,70,70,73,75,80,82,85.

(1)求甲、乙兩人成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);

(2)現(xiàn)要從甲、乙兩人中選派一人參加比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加比較合適?

【答案】(1)甲、乙的平均數(shù)、中位數(shù)分別為｛75,73｝、｛75,741;(2)甲成績(jī)穩(wěn)定.

【詳解】

(1)甲的平均數(shù)為丁=(68+69+71+72+74+78+83+85)+8=75,中位數(shù)為(72+74)+2=73,

乙的平均數(shù)為歹=(65+70+70+73+75+80+82+85)+8=75,中位數(shù)為(73+75)+2=74.

(2)甲的方差為s聲[(68-75)2+(69-75)2+(71-75C+(72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+

(85-75)2尸8=35.5,

乙的方差為522=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2]+8=41,

2Vs22,

???甲成績(jī)穩(wěn)定

8.(四川南充?(理))隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上一面的點(diǎn)數(shù)為X.

(1)求X的分布列；

(2)求和。(X).

【答案】(1)分布列見解析；(2)3.5;2.92.

【詳解】

(1)由題意，X的可能取值為｛123,4,5,6｝且各點(diǎn)面的概率均為。,

0

.1?X的分布列為

X123456

111111

P

666666

161

(2)E(X)=Z￡X,=Z(1+2+3+4+5+6)=3.5；

6~76

161

D(X)=-Y[x,.-￡(X)]2=-x[(l-3.5)2+(2-3.5)2+(3-3.5)2+(4-3.5)2+(5-3.5)2+(6-3.5)2]=—.

6肯612

9.(福建省永春第二中學(xué)高二期末)設(shè)隨機(jī)變量X具有分布列:

X12345

P11111

55555

求這個(gè)隨機(jī)變量的E(X)與磯X+2)2

【答案】3,27

【詳解】

=lx-+2x-+3xl+4x-+5xl=3

55555

E(X2]=12X-+22X-+32X-42X-+52X-=U,

',555+55'

所以E(X+2)2=E(X2+4X+4)=E(X2)+4E(X)+4=11+12+4=27.

10.(浙江麗水?高二課時(shí)練習(xí))為降低霧霾等惡劣氣候?qū)用竦挠绊?，某公司研發(fā)了一種新型防霧霾產(chǎn)品.每

一臺(tái)新產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前都必須進(jìn)行兩種不同的檢測(cè)，只有兩種檢測(cè)都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷

售.已知該新型防霧霾產(chǎn)品第一種檢測(cè)不合格的概率為!,第二種檢測(cè)不合格的概率為白,兩種檢測(cè)是否

O10

合格相互獨(dú)立.

(1)求每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品不能銷售的概率；

(2)如果產(chǎn)品可以銷售，則每臺(tái)產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每臺(tái)產(chǎn)品虧損80元(即獲利-80

元).現(xiàn)有該新型防霧霾產(chǎn)品3臺(tái)，隨機(jī)變量X表示這3臺(tái)產(chǎn)品的獲利，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)；；(2)分布列見解析，期望為30

【詳解】

(1)設(shè)事件A表示“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品不能銷售”

事件又表示“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品能銷售”

所以咽=(1一

所以尸⑷=1-尸(可=;

(2)根據(jù)(1)可知，

3

“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品能銷售”的概率為-

“每臺(tái)新型防霧霾產(chǎn)品不能銷售”的概率為:

X所有的可能取值為：-240,-120,0,120

1

則尸(X=-240)=C；

64

27

產(chǎn)(X=120)=C；

64

所以X的分布列為

X-240-1200120

192727

P

64646464

1o27

所以破=(-240卜山+(-120卜石+120'6

則EX=30

11.(浙江麗水?高二課時(shí)練習(xí))某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：

X8910

P0.40.40.2

現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，目?jī)纱紊鋼艋ゲ挥绊?，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為J.

(1)求該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；

(2)求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)0.36;(2)見解析,9.2

【詳解】

(1)兩次者B命中8環(huán)的概率為q=0.4X0.4=0.16

兩次都命中9環(huán)的概率為g=0.4x0.4=0.16

兩次都命中10環(huán)的概率為鳥=02x0.2=0.04

設(shè)該運(yùn)動(dòng)員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率為尸

+￡+6=0.16+0.16+0.04=0.36

(2)J的可能取值為8,9,10

*=8)=04x0.4=0.16,

=9)=2x0.4x0.4+0.4x0.4=0.48,

P(^=10)=l-P(^=8)-P(^=9)=0.36,

?"的分布列為

8910

P0.160.480.36

段=8x0.16+9x0.48+10x0.36=9.2

12.(甘肅城關(guān)?蘭州一中高三月考(理))現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng)，該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參

加者選擇.為增加趣味性，約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為

1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.

(I)求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率；

(II)求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；

(皿)用x,r分別表