2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理課時(shí)31平面向量基本定理練習(xí)含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-課時(shí)31平面向量基本定理知識(shí)點(diǎn)一平面向量基本定理的理解1.如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，λ，μ是實(shí)數(shù)，那么下列說法中不正確的是()①λe1＋μe2可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對(duì)于平面α內(nèi)任意一個(gè)向量a，使得a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ，μ)有無窮多個(gè)；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＝μe2，則λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②答案B解析由平面向量基本定理可知，①④正確．對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故②不正確．對(duì)于③，當(dāng)兩向量均為零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0時(shí)，λ有無窮多個(gè)，故③不正確．2．若{e1，e2}是平面α內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面α的一組基底的是()A．{e1－e2，e2－e1} B．{2e1＋e2，e1＋eq\f(1,2)e2}C．{2e2－3e1,6e1－4e2} D．{e1＋e2，e1－e2}答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故該組向量不能作為該平面的基底；對(duì)于選項(xiàng)B,2e1＋e2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，所以(2e1＋e2)∥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e1＋\f(1,2)e2))，故該組向量不能作為該平面的基底；對(duì)于選項(xiàng)C,2e2－3e1＝－eq\f(1,2)(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故該組向量不能作為該平面的基底；對(duì)于選項(xiàng)D，顯然e1＋e2與e1－e2不共線，故該組向量能作為該平面的基底．知識(shí)點(diǎn)二用基底表示向量3．如圖所示，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個(gè)部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)．若eq\o(OP,\s\up6(→))＝aeq\o(OP1,\s\up6(→))＋beq\o(OP2,\s\up6(→))，且點(diǎn)P落在第Ⅲ部分，則實(shí)數(shù)a，b滿足()A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0答案B解析取第Ⅲ部分內(nèi)一點(diǎn)畫圖易得a＞0，b＜0.4．如圖，在△ABC中，P為BC邊上一點(diǎn)，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→)).(1)用基底{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))}表示Aeq\o(P,\s\up6(→))＝________；(2)用基底{eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))}表示Aeq\o(P,\s\up6(→))＝________.答案(1)eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→))解析(1)∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(PC,\s\up6(→)).5.在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，過點(diǎn)D作DE∥BC，與邊AC相交于點(diǎn)E，△ABC的中線AM與DE相交于點(diǎn)N，如圖所示．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用基底{a，b}表示eq\o(DN,\s\up6(→)).解∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(b－a)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)(a＋b)．∵DN∥BM，AN與AM共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ，使得eq\o(DN,\s\up6(→))＝λeq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λ(b－a)．eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)μ(a＋b)＝eq\f(μ,2)a＋eq\f(μ,2)b.∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)λ(b－a)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(λ,2)))a＋eq\f(λ,2)b，∴根據(jù)平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(λ,2)＝\f(μ,2)，,\f(λ,2)＝\f(μ,2)，))∴λ＝μ＝eq\f(1,4)，∴eq\o(DN,\s\up6(→))＝eq\f(1,8)(b－a)＝－eq\f(1,8)a＋eq\f(1,8)b.知識(shí)點(diǎn)三平面向量基本定理的應(yīng)用6.已知O，A，M，B為平面上四點(diǎn)，且eq\o(OM,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋(1－λ)·eq\o(OA,\s\up6(→))，實(shí)數(shù)λ∈(1,2)，則()A．點(diǎn)M在線段AB上B．點(diǎn)B在線段AM上C．點(diǎn)A在線段BM上D．O，A，M，B四點(diǎn)一定共線答案B解析由題意得eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).又λ∈(1,2)，所以點(diǎn)B在線段AM上．故選B.7．在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若Aeq\o(C,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.答案eq\f(4,3)解析設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(AF,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.又∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(Aeq\o(E,\s\up6(→))＋Aeq\o(F,\s\up6(→)))，即λ＝μ＝eq\f(2,3).∴λ＋μ＝eq\f(4,3).8．已知a，b是兩個(gè)不共線的向量，若它們起點(diǎn)相同，a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上，則實(shí)數(shù)t＝________.答案eq\f(1,3)解析如圖，∵a，eq\f(1,2)b，t(a＋b)三個(gè)向量的終點(diǎn)在一條直線上，∴存在實(shí)數(shù)λ使t(a＋b)－eq\f(1,2)b＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)b))，即(t－λ)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)λ－t))b.又∵a，b不共線，∴t－λ＝0且eq\f(1,2)－eq\f(1,2)λ－t＝0，解得t＝eq\f(1,3).9．如圖，已知三點(diǎn)O，A，B不共線，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)設(shè)AD與BC交于點(diǎn)E，試用a，b表示向量eq\o(OE,\s\up6(→))；(2)設(shè)線段AB，OE，CD的中點(diǎn)分別為L，M，N，試證明L，M，N三點(diǎn)共線．解(1)∵B，E，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)x，使eq\o(OE,\s\up6(→))＝xeq\o(OC,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))＝2xa＋(1－x)b.①同理，∵A，E，D三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)y，使eq\o(OE,\s\up6(→))＝y(tǒng)a＋3(1－y)b.②由①②，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝y(tǒng)，,1－x＝31－y，))解得x＝eq\f(2,5)，y＝eq\f(4,5).∴eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b.(2)證明：∵eq\o(OL,\s\up6(→))＝eq\f(a＋b,2)，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(4a＋3b,10)，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\f(2a＋3b,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(6a＋12b,10)＝eq\f(3a＋6b,5)，eq\o(ML,\s\up6(→))＝eq\o(OL,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(a＋2b,10)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝6eq\o(ML,\s\up6(→))，∴L，M，N三點(diǎn)共線.易錯(cuò)點(diǎn)忽略兩個(gè)向量作為基底的條件10.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0易錯(cuò)分析若認(rèn)為e1，e2是一組基底，則會(huì)得到如下解析：設(shè)a＝kb(k∈R)，則e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，所以1－2k＝0，且λ＝0，選A.事實(shí)上，e1，e2并不一定是平面內(nèi)的一組基底，不要漏掉e1，e2共線的情況．答案D正解當(dāng)e1∥e2時(shí)，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a與b共線；當(dāng)λ＝0時(shí)，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a與b共線．一、選擇題1．設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下面四組向量中，不能作為基底的是()A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}答案B解析因?yàn)锽中3e1－2e2和4e2－6e1為平行向量，所以不能作為一組基底．故選B.2．{e1，e2}為基底向量，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2e1－e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值是()A．2 B．－3C．－2 D．3答案A解析根據(jù)題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1－ke2，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λ，,－k＝－2λ，))∴k＝2.3．若點(diǎn)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝6e2，則3e2－2e1＝()A．eq\o(AO,\s\up6(→)) B．eq\o(CO,\s\up6(→))C．eq\o(BO,\s\up6(→)) D．eq\o(DO,\s\up6(→))答案C解析3e2－2e1＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→)).4．在△ABC中，設(shè)M是邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D．1答案A解析解法一：設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝teq\o(BC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)teq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,2)－eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)，故λ＋μ＝eq\f(1,2).解法二：(特殖值法)設(shè)M為BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝μ＝eq\f(1,4)，故λ＋μ＝eq\f(1,2).5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，則Aeq\o(F,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bC.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b D.eq\f(1,2)a＋eq\f(2,3)b答案C解析?ABCD中，△DEF∽△BEA，故eq\f(DE,BE)＝eq\f(DF,BA)＝eq\f(1,3)，再由AB＝CD可得eq\f(DF,DC)＝eq\f(1,3).故eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，∴eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)a，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.二、填空題6．?ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)M，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(MB,\s\up6(→))，則eq\o(MB,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(1,2)a－b解析eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.7．設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)的一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可表示為另一組向量a，b的線性組合，則e1＋e2＝________a＋________b.答案eq\f(2,3)－eq\f(1,3)解析設(shè)e1＋e2＝λa＋μb，則e1＋e2＝λe1＋2λe2＋(－μe1)＋μe2，整理得e1＋e2＝(λ－μ)e1＋(2λ＋μ)e2，又e1與e2不共線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝1，,2λ＋μ＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(2,3)，,μ＝－\f(1,3).))8．設(shè){e1，e2}是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，則向量a＝e1＋λe2與向量b＝－e1＋2e2共線的條件是________．答案λ＝－2解析向量a，b共線，即存在x∈R使b＝xa，即－e1＋2e2＝x(e1＋λe2)，整理得(x＋1)e1＋(λx－2)e2＝0.∵e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,λx－2＝0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,λ＝－2.))三、解答題9．如圖，已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→)).解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b；eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(2,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b.10．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．解(1)證明：設(shè)a＝λb(