專題1.7空間向量與立體幾何（基礎鞏固卷）（人教A版2019選擇性）

專題1.7空間向量與立體幾何（基礎鞏固卷）考試時間：120分鐘；滿分：150分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共19題，單選8題，多選3題，填空3題，解答5題，滿分150分，限時150分鐘，試卷緊扣教材，細分題組，精選一年好題，兩年真題，練基礎，提能力！選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，，則線段的中點關于平面對稱的點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的中點的坐標，再求出關于平面對稱的點的坐標即可.【詳解】因為點，所以的中點，所以關于平面對稱的點的坐標為，故選：A.2．（2024高二上·山東濟寧·階段練習）已知，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出向量的坐標，然后利用數量積夾角坐標公式直接計算即可.【詳解】因為，，所以，，所以.故選：C3．（2324高二下·浙江·期中）空間點，則點到直線的距離（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，利用空間向量夾角余弦公式求出，進而求出，再利用距離公式即可求出結果.【詳解】由題意得，所以，所以，所以點A到直線BC的距離.故選：D.4．（2324高二上·北京·期中）已知平面，其中，法向量，則下列各點中不在平面內的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據向量垂直則向量數量積為0，逐個代入驗證即可.【詳解】若點在平面內，則，對于A：，所以A選項的點不在平面內；對于B：，滿足要求，所以在平面內；對于C：，滿足要求，所以在平面內；對于D：，滿足要求，所以在平面內，故選：A5．（2324高二上·河南駐馬店·期末）如右圖，三棱錐中，為的中點，點滿足，記，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量的加減法和數乘向量即可以為基底表示向量【詳解】故選：D6．（2024高二上·遼寧鐵嶺·階段練習）下列命題正確的是（

）A．是向量，不共線的充要條件B．在空間四邊形ABCD中，C．在棱長為1的正四面體ABCD中，D．設A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若，則P，A，B，C四點共面【答案】B【分析】對于A，利用向量共線和充要條件的定義即可判斷；對于B，利用向量的加法和數量積的定義即可判斷；對于C，利用向量的數量積的定義計算即可判斷；對于D，利用四點共面的條件即可判斷.【詳解】對于A，當時，向量，可能不共線，比如共線向量，的模分別是，則A不正確；對于B，在空間四邊形ABCD中，，故B正確；對于C，在棱長為1的正四面體ABCD中，，故C不正確；對于D，設A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若,由，可得P，A，B，C四點不共面，故D不正確.故選：B.7．（2324高二上·湖南懷化·期末）如圖，在直三棱柱中，，則直線與直線夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為原點，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】如圖示，以為原點，為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，則.所以.所以直線與直線夾角的余弦值為.故選：A8．（2324高二下·河南許昌·期末）如圖，在長方體中，M，N分別為棱，的中點，下列判斷中正確的個數為（

）①直線；②平面；③平面ADM.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，求得相關點的坐標，利用向量的運算結合數量積的含義即可判斷①③，根據長方體的性質可判斷②.【詳解】設長方體棱長為，以D為坐標原點，分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則故,,故直線不成立，①不正確；在長方體中，平面，②正確，因為，設平面ADM的法向量為，則，令，則，則，而，故，故平面ADM.不成立，故③錯誤，故選：B多選題（共3小題，滿分18分，每小題6分）9．（2324高二上·廣東江門·期末）若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據空間向量的共面定理判斷即可.【詳解】A：，A是；B:，B是；C：構成空間的一個基底，故無法用表示，C不是；D：，D是；故選：ABD10．（2324高二上·新疆喀什·期中）在如圖所示的空間直角坐標系中，是棱長為1的正方體，給出下列結論中，正確的是（

）A．直線的一個方向向量為 B．直線的一個方向向量為C．平面的一個法向量為 D．平面的一個法向量為【答案】AC【分析】根據已知可得出點的坐標，進而求出相關向量的坐標，求出平面的法向量，即可得出答案.【詳解】由題意，，，，，.對于A、B項，可知，∴向量為直線的一個方向向量，故A正確，B不正確；對于C項，設平面的法向量為，則.又，，所以有.令，可得，則C正確；對于D項，設平面的法向量為，則.又，，所以有.令，得，故D不正確.故選：AC.11．（2324高二上·重慶永川·期中）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬中，側棱底面，且分別為的中點，則（

）A．四面體是鱉臑B．與所成角的余弦值是C．點到平面的距離為D．點到直線的距離為【答案】ABD【分析】以點為原點，建立空間直角坐標系，結合向量的數量積的運算公式，以及向量的夾角公式和距離公式，準確運算，逐項判定，即可求解.【詳解】以點為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，對于A中，，因為，所以，即，所以四面體的四個面都為直角三角形，所以四面體是鱉臑，故A正確；對于B中，，則與所成角的余弦值為，所以B正確；對于C中，，設平面的法向量為，則，取，可得，所以，則點到平面的距離為，所以C錯誤；對于D中，由，直線方向上的單位向量是，則到的距離為，所以D正確.故選：ABD.填空題（共3小題，滿分15分，每小題5分）12．（2324高二下·江蘇徐州·期中）定義.若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是.【答案】【分析】先設夾角，則,由即得解.【詳解】由題意知，．設，則．又，則，故．故答案為：13．（2024高二·全國·課后作業(yè)）在平行六面體中，若，則．【答案】【分析】由向量的線性運算法則得到，結合，求得的值，即可求解.【詳解】在平行六面體中，由向量的線性運算法則，可得，又由，所以，解得，，，故．故答案為：.14．（2324高二上·廣東·期中）在平行六面體中，點P是AC與BD的交點，若，且，則.【答案】【分析】由向量的運算法則，求得，根據，結合向量的數量積的運算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題15分，第18、19題17分，滿分77分）15．（2024高二·全國·課后作業(yè)）如圖，四棱錐的底面為一矩形，，，，點，分別是和的中點，試用，，表示，，，．【答案】；；；．【分析】利用空間向量的線性運算幾何意義，結合空間向量基本定理，注意回路的選擇，即可得到答案；【詳解】．．．．16．（2024高三·全國·專題練習）如圖，正四面體ABCD(所有棱長均相等)的棱長為1，E，F，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點，設，，，試采用向量法解決下列問題：

(1)求的模長；(2)求，的夾角.【答案】(1)；(2)90°.【分析】（1）根據空間向量線性的運算性質，結合空間向量數量積的運算性質進行求解即可；（2）根據空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）因為E，F，G是中點，所以，因此，因為正四面體所有棱長為1，所以，所以；（2）由（1）可知：，同理，，所以，的夾角為90°.17．（2324高二上·湖南長沙·開學考試）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，，平面平面ABCD．

(1)求證：平面ABCD；(2)若，求二面角的平面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接AC交BD于點O，易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，利用面面垂直的性質定理可得出AC⊥平面PBD，從而AC⊥PD，利用線面垂直的判定定理可得結論；（2）以O為坐標原點，OC為x軸，OD為y軸，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量的夾角即可得出．【詳解】（1）連接AC交BD于點O，由平面幾何知識易知AC⊥BD，又平面ABCD⊥平面PBD，BD是交線，AC平面ABCD，∴AC⊥平面PBD，又PD平面PBD，∴AC⊥PD，又PD⊥AB，AC∩AB＝A，AC,AB平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD；（2）如圖，以O為坐標原點，OC為x軸，OD為y軸，建立如圖空間直角坐標系，

PD＝1，則，易知是平面PBD的一個法向量，，設是平面PBC的一個法向量，則，即，取，∴，∵二面角的平面角為銳角，∴二面角的平面角的余弦值為．18．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，正方形的邊長為4，，分別為，的中點.將正方形沿著線段折起，使.設為的中點.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）推導出，，從而平面，由此能證明.（2）由為等邊三角形，且，，，得到平面.設的中點為，連接，則，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為軸?軸和軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：因為正方形中，，分別為，的中點，所以，，又因為，所以平面，又因為平面，所以.（2）因為，，，所以為等邊三角形，且.又因為，，所以平面.設的中點為，連接，則，，兩兩垂直，故以，，所在直線分別為軸?軸和軸建立空間直角坐標系，如圖，則，0，，，0，，，4，，，4，，，0，，，0，，，0，，，，，設平面的法向量，，，則，取，得，設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.19．（2324高三上·江蘇揚州·期末）將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面平面CBD，又平面ABD．（1）若，求證：；（2）若二面角的大小為，求線段AE的長.