第16講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第16講直線和圓錐曲線的位置關(guān)系【人教A版2019】·模塊一直線與橢圓的位置關(guān)系·模塊二直線與雙曲線的位置關(guān)系·模塊三直線與拋物線的位置關(guān)系·模塊四課后作業(yè)模塊一模塊一直線與橢圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：(2)對(duì)于點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，有如下結(jié)論：點(diǎn)在橢圓外+>1;點(diǎn)在橢圓內(nèi)+<1;點(diǎn)在橢圓上+=1.2．直線與橢圓的位置關(guān)系(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：>0直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn);=0直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn);<0直線與橢圓相離無公共點(diǎn).3．弦長(zhǎng)問題(1)定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.(2)弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線l:y=kx+m交橢圓+=1(a>b>0)于，兩點(diǎn)，則或.4．“中點(diǎn)弦問題”(1)解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法①根與系數(shù)的關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.②點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將端點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.設(shè)，，代入橢圓方程+=1(a>b>0)，得，①②可得+=0，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，有+=0.因?yàn)闉橄褹B的中點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)與直線AB的斜率之間的關(guān)系，這就是處理弦中點(diǎn)軌跡問題的常用方法.(2)弦的中點(diǎn)與直線的斜率的關(guān)系線段AB是橢圓+=1(a>b>0)的一條弦，當(dāng)弦AB所在直線的斜率存在時(shí)，弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則弦AB所在直線的斜率為，即.【考點(diǎn)1判斷直線與橢圓的位置關(guān)系】【例1.1】（2324高二上·山東濟(jì)南·期中）直線l：2m+1x+m+1y?7m?4=0與橢圓C：xA．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【例1.2】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線y=3x?1與橢圓x24+A．0 B．1C．2 D．無數(shù)個(gè)【變式1.1】（2324高二下·上海浦東新·期中）已知橢圓C:x225+y29=1，直線A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【變式1.2】（2324高二上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若直線mx?ny=4與⊙O：x2+y2=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)Pm,n、A．至多為1 B．2 C．1 D．0【考點(diǎn)2橢圓的弦長(zhǎng)問題】【例2.1】（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)直線l:y=3x+3與橢圓C:x26+y23A．827 B．867 C．【例2.2】（2324高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知橢圓x24+y23=1的焦點(diǎn)為F，橢圓上M，NA．23 B．3 C．938【變式2.1】（2324高二上·福建莆田·階段練習(xí)）已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F1(?23,0)，F(xiàn)2(23,0)，且離心率e=32．過點(diǎn)P(2,?1)的直線l與橢圓E相交于A，A．23 B．22 C．25【變式2.2】（2324高二上·福建三明·期中）已知直線l:y=2x+1被橢圓C:x22+y2mA．y=2x?2 B．y=?2x?1C．y=?2x+1 D．y=2x?1【考點(diǎn)3橢圓的“中點(diǎn)弦”問題】【例3.1】（2324高二上·江蘇·期中）設(shè)A，B為雙曲線x28?y216=1右支上的兩點(diǎn)，若線段ABA．x+y?3=0 B．2x+y?3=0 C．x?y+1=0 D．x?2y+3=0【例3.2】（2324高二上·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知橢圓M:x25+y23=1，過點(diǎn)P1,m，斜率為35的直線l與M交于A．1 B．?1 C．12 D．【變式3.1】（2324高二上·安徽·階段練習(xí)）已知橢圓x216+y29=1A．329 B．89 C．?9【變式3.2】（2324高二上·重慶黔江·階段練習(xí)）設(shè)直線l與橢圓C:x22+y26=1交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)A．3x?y+2=0 B．3x+y?2=0C．3x?y?2=0 D．3x+y+1=0模塊二模塊二直線與雙曲線的位置關(guān)系1．直線與雙曲線的位置關(guān)系(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：一般通過直線方程與雙曲線方程所組成的方程組的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.①代入②得.當(dāng)=0，即時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).當(dāng)0，即時(shí)，=.>0直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相交；=0直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn),稱直線與雙曲線相切；<0直線與雙曲線沒有交點(diǎn),稱直線與雙曲線相離.(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件；②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件>0x③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件Δ>02．弦長(zhǎng)問題①弦長(zhǎng)公式：直線y=kx+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d.②解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).④雙曲線的通徑：過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上，雙曲線的通徑總等于.3．“中點(diǎn)弦問題”“設(shè)而不求”法解決中點(diǎn)弦問題：①過橢圓內(nèi)一點(diǎn)作直線，與橢圓交于兩點(diǎn)，使這點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的這類問題中，則不能確定.要注意檢驗(yàn).②在解決此類問題中，常用韋達(dá)定理及垂直直線的斜率關(guān)系.常用的解題技巧是如何應(yīng)用直線方程將轉(zhuǎn)化為能用韋達(dá)定理直接代換的.垂直關(guān)系有時(shí)用向量的數(shù)量關(guān)系來刻畫，要注意轉(zhuǎn)化.4．雙曲線的第二定義平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M到一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(點(diǎn)不在直線上)的距離之比是常數(shù)e=(e>1)時(shí)，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是雙曲線，定點(diǎn)是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線是雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.【考點(diǎn)1判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系】【例1.1】（2324高二上·黑龍江哈爾濱·期中）直線y=13x?72A．0 B．1 C．2 D．4【例1.2】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）直線y=32x+2A．相切 B．相交 C．相離 D．無法確定【變式1.1】（2324高二上·四川成都·期中）已知直線l:y=2x?8，雙曲線C:x24A．直線l與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B．直線l與雙曲線C的左支有兩個(gè)公共點(diǎn)C．直線l與雙曲線C的右支有兩個(gè)公共點(diǎn)D．直線l與雙曲線C的左右兩支各有一個(gè)公共點(diǎn)【變式1.2】（2324高二上·湖北武漢·期中）過點(diǎn)4,33作直線，使它與雙曲線x24A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【考點(diǎn)2雙曲線的弦長(zhǎng)問題】【例2.1】（2324高二下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=2x，過其左焦點(diǎn)F(?3,0)A．7 B．8 C．9 D．10【例2.2】（2324高二上·浙江金華·期中）已知等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，與直線2x+y=0交于A，B兩點(diǎn)，若AB=215，則該雙曲線的方程為（A．y2?x2=25 B．y2【變式2.1】（2324高二上·廣東惠州·期末）過雙曲線x2?y22=1右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式2.2】（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:y2?x23=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F1的直線與雙曲線A．94 B．9 C．274【考點(diǎn)3雙曲線的“中點(diǎn)弦”問題】【例3.1】（2324高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線x2?y29=1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為點(diǎn)A．?49 B．49 C．?【例3.2】（2324高三上·湖北武漢·期末）已知A，B為雙曲線x2?y2=1A．1,1 B．(2,3) C．2,1 D．【變式3.1】（2324高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)A，B為雙曲線x28?y216=1上的兩點(diǎn)，若線段ABA．x+y?3=0 B．2x+y?3=0 C．x?y+1=0 D．x?2y+3=0【變式3.2】（2324高二上·浙江寧波·期末）過雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)內(nèi)一點(diǎn)M1,1且斜率為1A．62 B．52 C．3 模塊三模塊三直線與拋物線的位置關(guān)系1．直線與拋物線的位置關(guān)系(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：(2)設(shè)直線l:y=kx+m，拋物線:=2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于x的方程.①若k≠0，當(dāng)>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，直線與拋物線相離，無交點(diǎn).②若k=0，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.2．弦長(zhǎng)問題設(shè)直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，則|AB|==或|AB|==(k為直線的斜率，k≠0).3．拋物線的焦點(diǎn)弦問題拋物線=2px(p>0)上一點(diǎn)A與焦點(diǎn)F(,0)的距離為|AF|=，若MN為拋物線=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦，則焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為|MN|=++p(,分別為M,N的橫坐標(biāo)).設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A,B，則四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式下的弦長(zhǎng)公式為：標(biāo)準(zhǔn)方程弦長(zhǎng)公式y(tǒng)2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=2px(p>0)|AB|=p(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=2py(p>0)|AB|=p(y1+y2)4．拋物線的切線過拋物線=2px(p>0)上的點(diǎn)P的切線方程是.拋物線=2px(p>0)的斜率為k的切線方程是(k≠0).【考點(diǎn)1判斷直線與拋物線的位置關(guān)系】【例1.1】（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）已知拋物線方程y2=4x，過點(diǎn)P0,2A．0 B．1 C．2 D．3【例1.2】（2324高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線l與拋物線x2=2pyp>0只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線lA．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【變式1.1】（2324高二上·安徽宿州·期末）過點(diǎn)P(0,1)作直線與拋物線y2=?4x相交，恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則符合條件的直線的條數(shù)為（A．0 B．1 C．2 D．3【變式1.2】（2324高二下·江西新余·期末）已知直線y=kx?k及拋物線y2=2px(p>0)，則（A．直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn) B．直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)C．直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn) D．直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)【考點(diǎn)2拋物線的弦長(zhǎng)問題】【例2.1】（2024·四川自貢·二模）已知定點(diǎn)D2,0，直線l：y=kx+2k>0與拋物線y2=4x交于兩點(diǎn)A，B，若∠ADB=90°A．4 B．6 C．8 D．10【例2.2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線y2=2pxp>0的一條弦AB恰好以P1,1為中點(diǎn)，弦AB的長(zhǎng)是15，則A．1 B．2 C．3 D．4【變式2.1】（2024·山東聊城·三模）已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，則ABA．2 B．4 C．6 D．8【變式2.2】（2324高二上·河北衡水·期中）若拋物線x2=2pyp>0的焦點(diǎn)為F，直線l：y=2x+p2與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且AFA．4 B．3 C．2 D．3【考點(diǎn)3拋物線的焦點(diǎn)弦問題】【例3.1】（2324高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知F為拋物線C:y2=?3x的焦點(diǎn)，過F的直線y=kx+3與C交于A,B兩點(diǎn)，則ABA．2716 B．3916 C．5116【例3.2】（2324高二上·廣東珠?！て谥校┮阎獟佄锞€y2=2px，過其焦點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，A在第一象限，且AF=2FB，則直線AB的斜率為（A．1 B．2C．22 【變式3.1】（2324高三上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）拋物線C:y2=2px(p>0)上存在一點(diǎn)M2,y0，M到拋物線焦點(diǎn)F的距離為3，直線MF交拋物線C于另一點(diǎn)A．52 B．92 C．112【變式3.2】（2324高二上·河北保定·期中）已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且傾斜角為π3的直線在第一象限交C于點(diǎn)A，若點(diǎn)A在l上的投影為點(diǎn)B，且|AB|=4，則A．1 B．2 C．22 【考點(diǎn)4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【例4.1】（2324高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知過拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于(1)求拋物線方程；(2)若|AB|=24，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積．【例4.2】（2324高二上·四川涼山·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)A2,0，過點(diǎn)B?1,0的直線l與橢圓C交于M，N(1)求橢圓C的方程；(2)求△AMN面積的取值范圍.【變式4.1】（2324高三上·四川成都·期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A1,?1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于?3(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線y=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【變式4.2】（2324高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為3，且頂點(diǎn)到漸近線的距離為263.已知直線l過點(diǎn)0,?1，直線l與雙曲線C的左，右兩支的交點(diǎn)分別為M,N，直線l與雙曲線(1)求雙曲線C的方程；(2)求S2【考點(diǎn)5圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】【例5.1】（2324高三上·廣西·開學(xué)考試）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)G3,0且斜率不為零的直線與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得∠ETO=∠FTG．若存在，求出定點(diǎn)T【例5.2】（2324高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）已知拋物線C：y2(1)過拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為3的直線l1交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，求AB(2)直線l2過點(diǎn)P2,0且與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，過M，N分別作拋物線的切線，這兩條切線交于點(diǎn)Q.證明：點(diǎn)【變式5.1】（2324高三上·上海閔行·期中）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為2，點(diǎn)3,?1在雙曲線C上．過(1)求雙曲線C的方程；(2)若M?2,0，試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB(3)點(diǎn)P?4,2，直線AP交直線x=?2于點(diǎn)Q．設(shè)直線QA、QB的斜率分別k1、k2【變式5.2】（2324高三上·河北石家莊·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的上、下頂點(diǎn)分別是A,B，點(diǎn)(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知T(0,1)，直線PT與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，且直線AP與BQ相交于點(diǎn)D，證明點(diǎn)D在定直線上.模塊四模塊四課后作業(yè)一、單選題1．（2324高二上·遼寧大連·期中）已知橢圓C:x24+y2=1，直線l:x?2y+A．相交 B．相切 C．相離 D．以上選項(xiàng)都不對(duì)2．（2324高二上·江蘇南京·期末）已知直線l：ax?2y+2a+4=0與雙曲線C：x24?yA．2 B．4 C．±2 D．±43．（2324高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期末）已知拋物線C:y2=2x，過點(diǎn)M(?1,0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若AF=5A．2 B．32 C．1 D．4．（2324高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知橢圓C:x29+y23=1內(nèi)一點(diǎn)M(1,1),直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且A．?3 B．13 C．3 D．5．（2324高二上·江蘇泰州·期中）已知雙曲線C：x24?y2=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若A．0條 B．2條 C．3條 D．4條6．（2324高二上·江蘇無錫·期中）斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為8，則p的值為（A．12 B．1 C．2 7．（2324高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知橢圓C:x23+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與CA．23 B．22 C．?28．（2324高二上·福建莆田·期末）已知P為橢圓x24+y2=1y≠?1上任一點(diǎn)，過P作圓C:x2A．3 B．22 C．533二、多選題9．（2324高二上·湖南長(zhǎng)沙·