北師大版數(shù)學八年級上冊1.3勾股定理的應用 同步練習【培優(yōu)版】（附參考答案）

北師大版數(shù)學八年級上冊1.3勾股定理的應用同步練習【培優(yōu)版】班級：姓名：一、選擇題1．如圖，圓柱底面半徑為4πcm，高為18cm，點A、B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到A．24cm B．30cm C．221cm 2．如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用x、y表示直角三角形的兩直角邊(x>y)，下列四個說法：①x2+y2=49，②x?y=2A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可用其面積關系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內得到的，∠BAC=90°，AB=6，AC=8.點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）．A．288 B．400 C．432 D．4404．《九章算術》是古代東方數(shù)學代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸5．如圖，在長方體ABCD?EFGH盒子中，AB=4cm，BC=3cm，CG=5cm，長為10cm的細直木棒IJ恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面ABCD接觸.當木棒的端點I在長方形ABCD內及邊界運動時，GJ長度的最小值為（）A．(10?52)cm B．3cm C．(10?46．《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x2?6=(10?x)C．x2+6=(10?x)7．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD=6m），踏板離地的垂直高度CF=4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（）mA．212 B．152 C．6 8．現(xiàn)有一樓房發(fā)生火災，消防隊員決定用消防車上的云梯救人，如圖（1）已知云梯最多只能伸長到15m，消防車高3m．救人時云梯伸長至最長，在完成從12m高處救人后，還要從15m高處救人，這時消防車要從原處再向著火的樓房靠近的距離AC為（）

A．3米 B．5米 C．7米 D．9米二、填空題9．如圖，小巷左右兩側是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為2米，頂端距離地面1.5米．若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2.4米，則小巷的寬度為米．10．如圖，校園內有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米.11．某賓館在重新裝修后，準備在大廳的主樓梯上鋪上紅色地毯．已知樓梯總高度5米，樓梯長13米，主樓道寬2米；這種紅色地毯的售價為每平方米30元，其側面如圖所示，則購買地毯至少需要元．12．在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的大意是：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，則這個水池的深度是尺．13．如圖是某路口處草坪的一角，當行走路線是A→C→B時，有人為了抄近道而避開路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪內走出了一條不該有的捷徑路AB.某學習實踐小組通過測量可知，AC的長約為6米，BC的長約為8米，為了提醒居民愛護草坪，他們想在A，B處設立“踏破青白可惜，多行數(shù)步無妨”的提示牌．則提示牌上的“多行數(shù)步”是指多行米．三、解答題14．如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船．河岸上一男孩拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時小船從A移動到B，且繩長始終保持不變．A、B、F三點在一條直線上，CF⊥AF．回答下列問題：（1）根據(jù)題意可知：ACBC+CE（填“＞”、“＜”、“＝”）．（2）若CF=6米，AF=8米，AB=3米，求小男孩需向右移動的距離（結果保留根號）．15．為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖所示的AB所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，已知AB＝5千米，CA＝3千米，DB＝2千米，試問：（1）圖書室E應該建在距點A多少千米處，即AE＝千米，才能使它到兩所學校的距離相等？（2）證明上題中的結論.16．學校正在增加綠化區(qū)域，種植花草樹木，提高校園的綠化覆蓋率，準備在四邊形的空地上種植花卉，如圖所示，∠C=90°，AC=12m，BC=9m，BD=17m，AD=8m，求四邊形ABCD的面積．17．如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米.（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路.請通過計算加以說明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米.18．如圖，曲柄連桿裝置是很多機械上不可缺少的，曲柄OA（定長）繞固定點O做圓周運動，連桿AP（定長）拉動活塞做往復運動.如圖1，當曲柄的A端運動到最右邊時（P，O，A三點共線），OP的長為8cm.如圖2，當曲柄的A端運動到最左邊時（點P，A，O三點共線），OP的長為18cm.（1）求曲柄OA和連桿AP的長；（2）如圖3，當OA⊥OP時，求OP的長.19．如圖，小明家在一條東西走向的公路MN北側200米的點A處，小紅家位于小明家北500米（AC=500米）、東1200米（BC=1200米）點B處．（1）求小明家離小紅家的距離AB；（2）現(xiàn)要在公路MN上的點P處建一個快遞驛站，使PA+PB最小，請確定點P的位置，并求PA+PB的最小值．20．閱讀材料，回答問題：（1）中國古代數(shù)學著作圖1《周髀算經》有著這樣的記載：“勾廣三，股修四，經隅五．”.這句話的意思是：“如果直角三角形兩直角邊為3和4時，那么斜邊的長為5.”.上述記載表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之間的數(shù)量關系是：．（2）對于這個數(shù)量關系，我國漢代數(shù)學家趙爽根據(jù)“趙爽弦圖”(如圖2，它是由八個全等直角三角形圍成的一個正方形)，利用面積法進行了證明．參考趙爽的思路，將下面的證明過程補充完整：證明：∵S△ABC=1S正方形MNPQ=又∵=，∴(a+b)整理得a2∴．（3）如圖3，把矩形ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF，如果AB=4，BC=8，求BE的長．

1．【答案】B【解析】【解答】解：

如圖，當棉線走的路程為上圖所示，把圓柱展開，高分成三等分走，長度最短；

底面周長為：4π×π×2=8，分成三等份后每份為6，則AC=62+

【分析】棉線走的路程為上圖所示，把圓柱展開，高分成三等分走，長度最短，由勾股定理求出AC長即可求解。2．【答案】A【解析】【解答】如圖所示，∵△ABC是直角三角形，∴根據(jù)勾股定理：x2由圖可知x?y=CE=4由圖可知，四個直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，列出等式為4×1即2xy+4=49，故③符合題意；由2xy+4=49可得2xy=45，又∵x2兩式相加得：x2整理得：(x+y)2x+y=94故正確的是①③．故答案選A．

【分析】根據(jù)直角三角形三邊關系及正方形的性質，通過圖形找他們之間的關系，逐項判定即可。3．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，延長AB交KL于P，延長AC交LM于Q，則△ABC≌△PFB≌△QCG，∴PB=AC=8，CQ=AB=6，∵圖2是由圖1放入矩形內得到，∴IP=8+6+8=22，DQ=6+8+6=20，∴矩形KLMJ的面積=22×20=440．故答案為：D．【分析】延長AB交KL于P，延長AC交LM于Q，可得?ABC、?PFB、?QCG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PB=AC，CQ=AB，然后求出IP和DQ的長，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解。4．【答案】C【解析】【解答】解：設OA=OB=AD=BC=x，過D作DE⊥AB于E，則DE=10，OE=12CD=1，AE=x?1在Rt△ADE中，AE2+D解得2x=101．故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸．故答案為：C．【分析】先構造直角三角形，再根據(jù)勾股定理列方程求解．5．【答案】A【解析】【解答】解：當GI最大時，GJ最小，當I運動到點A時，GI最大，此時GI=AC2+CG2，

∵AC2=AB2+BC2=25，

∴故答案為：A.

【分析】先證出當GI最大時，GJ最小，當I運動到點A時，GI最大，此時GI=A6．【答案】D【解析】【解答】解：如圖，根據(jù)題意，AB+BC=10，AC=6，設折斷處離地面的高度是x尺，即AB=x，根據(jù)勾股定理，AB2+A故答案為：D．

【分析】設折斷處離地面的高度是x尺，即AB=x，利用勾股定理即可得到方程x27．【答案】B【解析】【解答】解：設秋千繩索AB的長度為xm，由題意可得AC=AB=xm，四邊形DCFE為矩形，BE=1m，DC=6m，CF=4m，DE=CF=4m，∴DB=DE?BE=3m，AD=AB?BD=(x?3)m，在Rt△ADC中，AD即62解得x=15即AC的長度為152故答案為：B．

【分析】設秋千繩索AB的長度為xm，利用勾股定理可得62+(x?3)8．【答案】A【解析】【解答】解：如圖所示：OE=3m，OB=12?3=9m，OD=15?3=12m，AB=CD=15m，在Rt△ABO中，AO=A在Rt△COD中，CO=C∴AC=AO?CO=3m，故答案為：A．【分析】先利用勾股定理求出AO和CO的長，再利用線段的和差列出算式AC=AO?CO=3求解即可。9．【答案】2.7【解析】【解答】解：如圖，由題意得：AC=CD，AB=1.5米，BC=2米，ED=2.4米，

∴在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=（1.5）2+2210．【答案】13【解析】【解答】解：如圖所示，AB，CD為樹，且AB=13，CD=8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中，AC=A則小鳥至少要飛13米.故答案為：13.【分析】如圖，AB，CD為樹，且AB=13，CD=8，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC.11．【答案】1020【解析】【解答】解：如圖，利用平移線段，把樓梯的橫豎向上向左平移，構成一個矩形，

則長為：13∴地毯的長度為12+5=17（米），地毯的面積為17×2=34（平方米），∴購買這種地毯至少需要30×34=1020（元）．故答案為：1020．【分析】本題考查勾股定理的運用．根據(jù)圖形可得：先把樓梯的橫豎向上向左平移，構成一個矩形，利用勾股定理先求出地毯的長度，進而求出地毯的面積，據(jù)此可求出購買地毯的錢數(shù)．12．【答案】12【解析】【解答】設水池的深度為x尺，則蘆葦?shù)拈L為(x+1)尺，根據(jù)勾股定理得：x2解得：x=12即水池的深度是12尺．故答案為：12【分析】設水池的深度為x尺，則蘆葦?shù)拈L為(x+1)尺，根據(jù)勾股定理列出關于x的方程，解此方程即可解答.13．【答案】4【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC的長約為6米，BC的長約為8米，∴AB=A∴AC+BC?AB=4米，∴多行4米，故答案為：4．

【分析】利用勾股定理求出AB的長，再利用線段的和差求解即可。14．【答案】（1）=（2）解：∵A、B、F三點共線，∴在Rt△CFA中，AC=A∵BF=AF?AB=8?3=5，∴在Rt△CFB中，BC=C由（1）可得：AC=BC+CE，∴CE=AC?BC=10?61∴小男孩需移動的距離為(10?61【解析】【解答】解：（1）∵AC的長度是男孩拽之前的繩長，(BC+CE)是男孩拽之后的繩長，繩長始終未變，∴AC=BC+CE，故答案為：=；【分析】（1）根據(jù)繩長不變即得結論；

（2）在Rt△CFA中，利用勾股定理求出AC=10，從而得出BF=AF-AB=5，在Rt△CFB中，利用勾股定理求出BC=61，由（1）知CE=AC-BC即可求解.15．【答案】（1）2（2）方法一：當AE=2，則BE=3，而AC=3，BD=2，由勾股定理可得：CE=∴CE=DE，方法二：∵AE=BD=2，AC=BE=3，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，∴∠CAE=∠DBE=90°，∴△CAE≌△EBD，∴CE=DE.【解析】【解答】解：（1）設AE=x，則BE=AB?AE=5?x，∵CE=DE，CA⊥AB于點A，DB⊥AB于點B，∴A∵CA＝3千米，DB＝2千米，∴解得：x=2所以當AE=2千米時，它到兩所學校的距離相等.

故答案為：2；【分析】（1）設AE=x，則BE=AB?AE=5?x，根據(jù)勾股定理可得AC2+AE2=BD2+B16．【答案】解：如圖，連接AB，∴AB==9∵15∴AB∴△ABD是直角三角形，∴==114；答：四邊形ABCD的面積為114m【解析】【分析】根據(jù)勾股定理及其逆定理求解。連接AB，先由勾股定理求出AB的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可。17．【答案】（1）解：是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB為直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由點到直線的距離垂線段最短可知，CH是從村莊C到河邊AB的最近路；（2）解：設AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米.【解析】【分析】（1）是，理由：根據(jù)勾股定理的逆定理可得△CHB為直角三角形，且∠CHB=90°，據(jù)此即得結論；

（2）設AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，利用勾股定理可得x2=(x-0.9)2+1.22，解出x的值，即得AC，利用AC-CH即得結論.

18．【答案】（1）設OA=xcm，則AP=(x+8)cm.由題意可知OA+AP=18cm，即x+x+8=18，解得x=5，∴OA=5cm，AP=13cm.（2）當OA⊥OP時，在Rt△PAO中，OA∵OA=5cm，AP=13cm，∴OP=13【解析】【分析】（1）設OA=xcm，則AP=(x+8)cm，根據(jù)OA+AP=18cm構建方程求解即可；

（2）在Rt△PAO中，根據(jù)勾股定理即可解決問題.19．【答案】（1）解：如圖，連接AB，由題意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，在Rt△ABC中，∵∠AC