初中數(shù)學(xué)+++角的平分線的性質(zhì)+課件+人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)+

12.3角平分線的性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．會(huì)用尺規(guī)作一個(gè)角的平分線，知道作法的合理性．

2．探索并證明角的平分線的性質(zhì)．3．能用角的平分線的性質(zhì)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題．

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線1、角平分線的定義：回顧舊知：AOBC下圖中能表示點(diǎn)P到直線L的距離的是線段垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離

2、從直線外一點(diǎn)到這條直線的PC

的長(zhǎng)度問(wèn)題在紙上畫一個(gè)角，怎樣得到這個(gè)角的平分線？

用量角器度量，也可用折紙的方法．情景導(dǎo)入追問(wèn)2如圖是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個(gè)角的平分線。你能說(shuō)明它的道理嗎？ADBCE追問(wèn)3

借鑒角平分儀的原理，你能用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線嗎在△ABC和△ADC中AB=ADBC=DCAC=AC（公共邊）∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠CAB=∠CAD（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）③畫射線OC①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于M，OB于點(diǎn)NOAB已知:∠AOB求作∠AOB的平分線②

分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C探究活動(dòng)一射線OC即為所求。3.用尺規(guī)作圖作一個(gè)已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說(shuō)明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等A練課本50頁(yè)第1題（1）在探究活動(dòng)一中我們作出∠AOB的平分線OC，請(qǐng)?jiān)贠C上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P向兩邊畫垂線段PD、PE，垂足為點(diǎn)D、E（2）量得PD長(zhǎng)為

PE長(zhǎng)為發(fā)現(xiàn)PD

PE

探究活動(dòng)二OAB求證角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等這是個(gè)用文字描述的幾何命題，得先搞清楚“題設(shè)”和“結(jié)論”，然后畫出圖形，把命題轉(zhuǎn)化為用符號(hào)表示的形式.題設(shè)：角的平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離結(jié)論：距離相等命題證明：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等證明：∵OC是∠AOB的角平分線

∴∠AOC=∠BOC∵PE⊥OA，PF⊥OB∴∠PEO=∠PFO=90°在△EOP和△FOP中∠AOC=∠BOC

∠PEO=∠PFOOP=OP∴△EOP≌△FOP（AAS)∴PE=PF

已知：OC是∠AOB的角平分線，點(diǎn)P在OC上，OABEFPCPE⊥OA,PF⊥OB求證：PE=PF角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等性質(zhì)幾何語(yǔ)言：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE推理的理由有“一角平分，兩垂直”，共三個(gè)條件，必須寫完全，不能少了任何一個(gè)。角的平分線的性質(zhì)定理的作用是什么？

主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方

法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等．明確命題中的題設(shè)和結(jié)論;根據(jù)題意，畫出圖形,寫出已知和求證;經(jīng)過(guò)分析，寫出證明過(guò)程.123由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？例1(1)下面四個(gè)圖中,點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上,則圖形()中一定有PD＝PE.解決簡(jiǎn)單問(wèn)題

（2）如圖，∵點(diǎn)P

在OC

上，

PD⊥OA于D，PE⊥OB于點(diǎn)E，∴PD

=PE．ABOPCDE（×）判斷：解決簡(jiǎn)單問(wèn)題

1、如圖，OC

平分∠AOB，點(diǎn)P

在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD

=3，則點(diǎn)P

到OB

的距離為

．ABOPCD練習(xí)E例題如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求證：BE=CF.AD平分∠BACDE⊥AB，DF⊥ACBD=CDDE=DFRt△DBE≌Rt△DCFBE=CF分析證明：∵AD是∠BAC的平分線，

DE⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF,∠E=∠DFC=90°在Rt△DBE和Rt△DCF中

DE=DF

BD=CD∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴BE=CF如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.求證：BE=CF.例1ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14.（2）求△APB的面積.D（3）求?PDB的周長(zhǎng).由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=典例精析例

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF分析：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到DE=DF，再利用“HL”證明Rt△BDE

≌Rt△CDF.4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長(zhǎng)是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長(zhǎng)度是常用的方法．（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？（2）本節(jié)課是通過(guò)什么方式探究角的平分線的性質(zhì)的？（3）角的平分線的性質(zhì)為我們提供了證明什么的方法？

在應(yīng)用這一性質(zhì)時(shí)要注意哪些問(wèn)題？

課堂小結(jié)角平分線尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質(zhì)定理一角平分：角平分線上的點(diǎn)；二垂直：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過(guò)角平分線上一點(diǎn)向一邊或兩邊作垂線段ABCNMPDEF證明：過(guò)點(diǎn)P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=