高考數(shù)學(xué) 熱點(diǎn)題型和提分秘籍 專題09 指數(shù)函數(shù) 理（含解析）

專題九指數(shù)函數(shù)【高頻考點(diǎn)解讀】1.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景．2.理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算．3.理解指數(shù)冪的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)．4.知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．【熱點(diǎn)題型】題型一指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的考查例1、求下列函數(shù)的定義域和值域．(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))－|x＋1|；(2)y＝eq\f(2x,2x＋1)；(3)y＝.【提分秘籍】解決與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)問題時應(yīng)注意(1)大小比較時，注意構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性去比較，有時需要借助于中間量如0,1判斷．(2)與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的綜合應(yīng)用問題，要注意分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【舉一反三】已知函數(shù)f(x)＝.(1)若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有最大值3，求a的值．【熱點(diǎn)題型】題型二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2、(1)已知函數(shù)f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()(2)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．【答案】(1)A(2)[－1,1]【提分秘籍】1．與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象．2．y＝ax，y＝|ax|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之間的關(guān)系：y＝ax與y＝|ax|是同一函數(shù)的不同表現(xiàn)形式．函數(shù)y＝a|x|與y＝ax不同，前者是一個偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x≥0時兩函數(shù)圖象相同．【舉一反三】當(dāng)a≠0時,函數(shù)y=ax+b和y=bax的圖象只可能是下圖中的()【熱點(diǎn)題型】題型三分類討論思想在指數(shù)函數(shù)中的應(yīng)用例3、設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．【提分秘籍】分類討論思想在指數(shù)函數(shù)中主要是涉及單調(diào)性問題，一般情況下，當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)不明確時，要分a>1或0<a<1兩種情況討論．本題主要考查換元法求二次函數(shù)最值及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解題時，換元后由于底數(shù)a取值不定故要分兩種情況進(jìn)行討論．【舉一反三】若指數(shù)函數(shù)y＝ax在[－1,1]上的最大值與最小值的差是1，則底數(shù)a＝________.【高考風(fēng)向標(biāo)】1．（·福建卷）若函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖像如圖1-1所示，則下列函數(shù)圖像正確的是()圖1-1ABCD2．（·江西卷）已知函數(shù)f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，則a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.3．（·遼寧卷）已知a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因?yàn)?<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.4．（·山東卷）設(shè)集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，則A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根據(jù)已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故選C.5．（·山東卷）已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax＜ay(0＜a＜1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y36．（·陜西卷）下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()A．f(x)＝xeq\f(1,2)B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．f(x)＝3x7．（·陜西卷）已知4a＝2，lgx＝a，則x＝________．【答案】eq\r(10)【解析】由4a＝2，得a＝eq\f(1,2)，代入lgx＝a，得lgx＝eq\f(1,2)，那么x＝10eq\f(1,2)＝eq\r(10).8．（·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集為xeq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,)))x<－1或x>eq\f(1,2)，則f(10x)>0的解集為()A．{x|x<－1或x>－lg2}B．{x|－1<x<－lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}【答案】D【解析】根據(jù)已知可得不等式f(x)>0的解是－1<x<eq\f(1,2)，故－1<10x<eq\f(1,2)，解得x<－lg2.9．（·湖南卷）設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為________；(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是________．(寫出所有正確結(jié)論的序號)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長；③若△ABC為鈍角三角形，則x∈(1，2)，使f(x)＝0.10．（·浙江卷）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy【答案】D【解析】∵lg(xy)＝lgx＋lgy，∴2lg(xy)＝2lgx＋lgy＝2lgx2lgy，故選擇D.【隨堂鞏固】1．已知a<eq\f(1,4)，則化簡eq\r(4,4a－12)的結(jié)果是()A.eq\r(4a－1) B．－eq\r(4a－1)C.eq\r(1－4a) D．－eq\r(1－4a)【答案】C【解析】eq\r(4,4a－12)＝eq\r(4,1－4a2)＝(1－4a)eq\s\up15(eq\f(1,2))＝eq\r(1－4a).2．設(shè)函數(shù)f(x)＝a－|x|(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，則()A．f(－2)>f(－1) B．f(－1)>f(－2)C．f(1)>f(2) D．f(－2)>f(2)3．若點(diǎn)(a,9)在函數(shù)y＝3x的圖像上，則taneq\f(aπ,6)的值為()A．0 B.eq\f(\r(3),3)C.1 D.eq\r(3)4．函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖像可能是()5．給出下列結(jié)論：①當(dāng)a<0時，(a2)eq\s\up15(eq\f(3,2))＝a3；②eq\r(n,an)＝|a|(n>1，n∈N＋，n為偶數(shù))；③函數(shù)f(x)＝(x－2)eq\s\up15(eq\f(1,2))－(3x－7)0的定義域是{x|x≥2且x≠eq\f(7,3)}；④若2x＝16,3y＝eq\f(1,27)，則x＋y＝7.其中正確的是()A．①② B．②③C．③④ D．②④6．函數(shù)y＝ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則a的值為()A.eq\f(1,2) B．2C．4 D.eq\f(1,4)7．設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．若x>0，則(2xeq\s\up15(eq\f(1,4))＋3eq\s\up15(eq\f(3,2)))(2xeq\s\up15(eq\f(1,4))－3eq\s\up15(eq\f(3,2)))－4xeq\s\up15(－eq\f(1,2))(x－xeq\s\up15(eq\f(1,2)))＝________.【答案】－23【解析】原式＝(2xeq\s\up15(eq\f(1,4)))2－(3eq\s\up15(eq\f(3,2)))2－4xeq\s\up15(1－eq\f(1,2))＋4xeq\s\up15(－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2))＝4xeq\s\up15(eq\f(1,2))－33－4xeq\s\up15(eq\f(1,2))＋4＝－23.9．若函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0,2]，則a＝________.10.若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的圖像有兩個公共點(diǎn)，則a11．已知2x2＋x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－2，則函數(shù)y＝2x－2－x