陜西省西安市碑林區(qū)工業(yè)大學附屬中學2024-2025學年九年級上學期開學數學試題（解析版）VIP

九年級數學試卷一、選擇題（共“10小題，每小題3分，計30分.每小題只有一個選項是符合題意的）1.下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據一元二次方程的定義逐個判斷即可．本題主要考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．【詳解】解：A、，含有兩個未知數，不屬于一元二次方程；B、不是整式方程，不屬于一元二次方程；C、次數為3，不屬于一元二次方程；D、屬于一元二次方程；故選：D2.下列式子正確的是（

）A.若，則x＜y B.若bx＞by，則x＞yC.若，則x=y D.若mx=my，則x=y【答案】C【解析】【詳解】A選項錯誤，，若a＞0，則x＜y；若a＜0，則x＞y；B選項錯誤，bx＞by，若b＞0，則x＞y；若b＜0，則x＜y；C選項正確；D選項錯誤，當m=0時，x可能不等于y.故選C.點睛：遇到等式或者不等式判斷正誤，可以采用取特殊值代入的方法.3.下列四幅圖形中，表示兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的圖形可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據平行投影的定義判斷即可．本題考查平行投影，解題的關鍵是掌握平行投影的定義．【詳解】解：這里屬于平行投影，兩棵小樹在同一時刻同一地點陽光下的影子的圖形可能是：故選：A．4.如圖，將繞點逆時針旋轉得到，點，的對應點分別為，，若且于點，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由旋轉的性質可得，，由直角三角形的性質可得，即可求解．本題考查了旋轉的性質和直角三角形的性質，掌握旋轉的性質是本題的關鍵．【詳解】解：∵將繞點逆時針旋轉得到，，，，．故選：B．5.如圖所示，順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，使四邊形為正方形，應添加的條件分別是（）A.且 B.且C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】直接利用三角形中位線性質以及正方形的判定方法分析得出答案．【詳解】解：使四邊形為正方形，應添加的條件分別是且．理由：∵順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，∴，，，，，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是菱形，∵，∴，∵，，∵，∴，∴菱形是正方形．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質、三角形中位線定理、平行線性質，解題的關鍵是連接，構造平行線．6.如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接，，若菱形的面積為64，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據直角三角形的性質得到，再根據菱形面積公式求出，進而求出，由此即可利用勾股定理求出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∵，，∴，∵菱形的面積為64，∴，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質等等，正確根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出的長是解題的關鍵．7.三個邊長為的正方形按圖所示的方式重疊在一起，點O是其中一個正方形的中心，則重疊部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，，由正方形的性質可得，證明可得，進而可求解．【詳解】解：連接，，由題意知：四邊形，四邊形都是正方形，，，，，，在和中，，，，，．故選：D．【點睛】本題主要考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，證明構造全等三角形是解題的關鍵．8.某種品牌的手機經過四、五月份連續(xù)兩次降價，每部售價由元降到了元，設平均每月降低的百分率為x，根據題意列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據原售價降低率）得出兩次降價后的價格，然后即可列出方程．【詳解】解：設平均每月降低的百分率為x，依題意得：，故選：D【點睛】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關鍵在于理解題意列出方程.9.若關于x的方程的解為正數，則m的取值范圍是（）A. B.且 C.且 D.【答案】B【解析】【分析】把分式方程化為整式方程，根據解為正數，得出的取值范圍．此題主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解題的關鍵，注意要排除產生增根時的值．【詳解】解：去分母得：，整理得：，解得：，關于的方程的解為正數，，解得，當時，，解得：，的取值范圍是：且．故選：B．10.如圖，在四邊形中，，射線平分，于點，連接，延長至，若，，則線段的長度為（）A. B. C. D..4【答案】A【解析】【分析】如圖③中，延長交于，延長交的延長線于．先證明，得出是的中點，然后得，結合勾股定理得，運用等腰三角形的三線合一得是的中點，證明是的中位線，即求解即可．本題考查四邊形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，應用三角形中位線定理解決問題．【詳解】如圖，延長交于，延長交的延長線于．

∵射線平分，于點∴∵∴∴即是的中點由題意，，，，，∵，∴∵∴∴∵∴是的中點（等腰三角形的三線合一）∵是的中點∴是的中位線∴故選：A二、填空題（共6小題，每小題3分，計18分）11.因式分解：_________________________．【答案】【解析】【分析】本題考查了因式分解，先提公因式再運用平方差公式來進行因式分解，據此即可作答．詳解】解：故答案為：12.如圖所示為一幾何體的三種視圖（單位：）通過我們所學的有關三視圖的知識及圖中所標數據，得這個幾何體的側面積是_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了求幾何體的側面積以及幾何體的三視圖，先由三視圖得出這個幾何體是正三棱柱，結合側面積等于三個長方形的面積之和，即，據此作答．【詳解】解：依題意，這個幾何體是正三棱柱∴∴這個幾何體的側面積是故答案為：13.在一個不透明的中裝材料、大小完全相同顏色不同的若干個紅球和3個白球．搖勻后每次隨機從袋中摸出一個球，記錄顏色后放回袋中，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，估計袋中紅球有__________個．【答案】９【解析】【分析】由題意，大量重復實驗后，摸到白球的頻率來估計概率為，結合實際白球數量計算得到總數量，然后計算紅球數量即可．【詳解】解：由題意知，摸到白球的概率為：所以總數量為：（個）紅球數量為：（個）故答案為：9【點睛】本題考查用頻率來估計概率的求法，根據題意找見對應量是解題關鍵．14.如圖，在長為28米，寬為10米的矩形空地上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分），余下部分鋪設草坪，要使得草坪的面積為243平方米，設道路的寬為x米，則________．【答案】1【解析】【分析】根據平行四邊形的面積計算公式及道路的鋪設方式，可得出鋪設草坪的面積等于長為米、寬米的矩形面積，結合草坪的面積為243平方米，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．【詳解】解：依題意，道路的寬為米，鋪設草坪的面積等于長為米、寬米的矩形面積．草坪的面積為243平方米，．∴．∴（舍去）故答案為：115.如果關于的方程有實數根，那么的取值范圍是________．【答案】m≤3【解析】【分析】分類討論：當m-2=0時，-2x+l=0有實數根；當m-2≠0時，根據根的判別式得出b2-4ac≥0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：∵關于x的方程（m-2）x2-2x+l=0有實數根，∴當m-2=0時，m=2時，-2x+l=0有實數根；當m-2≠0時，b2-4ac=（-2）2-4（m-2）=-4m+12≥0，解得m≤3．由以上可知m≤3．故答案為m≤3．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根；注意分類討論思想探討．16.如圖，，矩形的頂點A、B分別在邊、上，當B在邊上運動時，A隨之在上運動，矩形的形狀保持不變，其中，．運動過程中點D到點O的最大距離是__________________．【答案】【解析】【分析】取線段的中點E，連接，根據直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可．本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，矩形的性質，三角形不等式，熟練掌握三角形不等式，勾股定理是解題的關鍵．【詳解】解：如圖：取線段的中點E，連接，∵，矩形，，，∴，∴，∵，∴當點D，點E，點O共線時，的長度最大．∴點D到點O的最大距離，故答案為：．三、解答題（共7小題，共52分．解答應寫出過程）17.計算：（1）解不等式組：并寫出該不等式組的整數解；（2）解方程①（用公式法）：；②解方程：．【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及解一元二次方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）分別解出每個不等式，再取共同解集，即可作答．（2）①先求出，再運用求根公式代入數值，進行計算，即可作答．②先把等號右邊整理，得，再移項，然后提公因式，令每個因式為0，進行計算，即可作答．【小問1詳解】解：由得由得∴【小問2詳解】解：①∴∴②∴∴18.先化簡，再求值：其中m是方程的根．【答案】，【解析】【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，將方程變形得到，整體代入計算即可求出值．此題考查了分式的化簡求值，已知式子的值，求代數式的值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【詳解】解：，是方程的根，；，原式．19.如圖，是由轉盤和箭頭組成的兩個裝置，裝置A，B的轉盤分別被分成四、三個面積相等的扇形，裝置A上的數字分別是1，2，3，4，裝置B上的數字分別是3，4，5，這兩個裝置除了表面數字不同外，其它構造完全相同．現在分別同時用力轉動A，B兩個轉盤．（1）A轉盤指向偶數的概率是．（2）請用列表法或畫樹狀圖的方法，求A、B轉盤指向的數字之和不小于6的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根據概率公式求解即可；（2）依據題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式求出該事件的概率．【小問1詳解】解：A轉盤指向偶數概率是．故答案：；【小問2詳解】列表如下：1234345674567856789由上圖可得出所有等可能的結果有12種，其中A、B轉盤指向的數字之和不小于6的情況有9種，則A、B轉盤指向的數字之和不小于6的概率是．【點睛】此題考查了用樹狀圖或列表法求概率，還用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比，熟練掌握樹狀圖或列表法是解題的關鍵．20.如圖，已知E、F分別為平行四邊形的對邊、上的點，且，于M，于N，交于點O．求證：（1）；（2）與互相平分．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質得出，，得出，，由證明，得出對應邊相等即可；（2）連接、，求出，，得出平行四邊形，根據平行四邊形的性質得出即可．小問1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∵于M，于N，∴，在和中，∴，∴；【小問2詳解】證明：連接、，如圖所示：∵，，∴，∴，又∵由（1）得，∴四邊形是平行四邊形，∴與互相平分．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，平行線的判定，解此題的關鍵是推出四邊形是平行四邊形．構造出平行四邊形對一部分學生是難點．21.已知關于x的方程（x-3）(x-2)-p2=0．（1）求證：無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；（2）設方程兩實數根分別為x1、x2，且滿足x12+x22=3x1x2，求實數p的值．【答案】（1）詳見解析；（2）p=±1．【解析】【分析】（1）先把方程化成一般形式，再計算根的判別式，判定△＞0，即可得到總有兩個不相等的實數根；（2）根據一元二次方程根與系數的關系可得兩根和與兩根積，再把變形，化成和與乘積的形式，代入計算，得到一個關于p的一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】證明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，∵無論p取何值時，總有4p2≥0，∴1+4p2＞0，∴無論p取何值時，方程總有兩個不相等的實數根；（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，∴52=5（6﹣p2），∴p=±1．22.直播購物逐漸走進了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價為40元的小商品進行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調查發(fā)現，每件小商品售價每降低5元，日銷售量增加10件．（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？（2）小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進線下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？【答案】（1）50元；（2）八折【解析】【分析】（1）設每件的售價定為x元，根據利潤不變，列出關于x的一元二次方程，求解即可；（2）設該商品至少打m折，根據銷售價格不超過（1）中的售價列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】解：（1）設每件的售價定為x元，則有：，解得：(舍)，答：每件售價為50元；（2）設該商品至少打m折，根據題意得：，解得：，答：至少打八折銷售價格不超過50元．【點睛】本題主要考查