北京市三帆中學2024-2025學年九年級上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

北京三帆中學2025屆暑假學習反饋初三數(shù)學注意：（1）考試時間80分鐘；（2）請將答案填寫在答題紙相應的位置上．一、選擇題（共24分，每題3分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列二次根式中，最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】A、=，被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式；故A選項不符合題意；B、=，被開方數(shù)為小數(shù)，不是最簡二次根式；故B選項不符合題意；C、，是最簡二次根式；故C選項符合題意；D．=，被開方數(shù)，含能開得盡方的因數(shù)或因式，故D選項不符合題意；故選C．2.以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A.3，3，3 B.1，， C.45，45，90 D.8，16，17【答案】B【解析】【分析】本題考查勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題關鍵．只要比較較小兩個數(shù)的平方和與第三第三個數(shù)的平方是否相等即可．【詳解】解：A．∵3，3，3組成等邊三角形，不是直角三角形，故不符合題意；B．∵，∴1，，能組成直角三角形，故符合題意；C．∵，∴45，45，90不能組成直角三角形，故不符合題意；D．∵，∴8，16，17不能組成直角三角形，故不符合題意；故選B．3.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查二次根式的運算，根據(jù)二次根式的運算法則可以計算出各個選項中的正確結果，從而可以判斷哪個選項中的式子是正確的．熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．【詳解】解：A、，故A正確；B、、不是同類二次根式，不能合并，故B錯誤；C、，故C錯誤；D、，故D錯誤．故選：A．4.如圖，菱形的對角線交于點O，點M為的中點，連接，若，，則的長為（）A. B.4 C.5 D.3【答案】A【解析】【分析】此題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，根據(jù)勾股定理求出的長是解題的關鍵．由菱形的性質(zhì)得，，，則，所以，由點為的中點，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是菱形，，，，，OB=OD=，，點為的中點，.故選：．5.已知一次函數(shù)y=kx+1，y隨x的增大而減小，則該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限【答案】B【解析】【詳解】試題分析：對于一次函數(shù)y=kx+b，當k＞0，b＞0時，函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限；當k＞0，b＜0時，函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限；當k＜0，b＞0時，函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限；當k＜0，b＜0時，函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限.考點：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系6.若關于x的一元二次方程有一個根是，則a的值為（）A. B.0 C.1 D.或1【答案】A【解析】【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．【詳解】∵關于x的一元二次方程有一個根是∴解得∵一元二次方程∴∴∴故選：A．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的解，注意二次項系數(shù)不能為零．7.甲、乙、丙三名射箭運動員在某次測試中各射箭8次，三人的測試成績?nèi)缦卤恚杭椎某煽儹h(huán)數(shù)頻數(shù)乙的成績環(huán)數(shù)頻數(shù)丙的成績環(huán)數(shù)頻數(shù)分別表示甲、乙、丙三名運動員這次測試成績的方差，下面各式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了方差，熟記方差公式是解題的關鍵，方差公式計算即可解答．【詳解】解：甲的平均數(shù)為方差；乙的平均數(shù)為方差；丙的平均數(shù)為方差；所以故選：D．8.如圖1，在邊長為2的正方形中，O為對角線的交點，E為的中點，以為邊在右側作正方形．如圖2，將正方形繞點D逆時針旋轉，連接，，，，過點D作于點M，延長交于點N，連接．在旋轉過程中，給出下面四個結論：①；②；③；④的最大值為．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A.①② B.②③ C.①④ D.②③④【答案】B【解析】【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，根據(jù)旋轉得出，說明與不一定全等，即可得出①錯誤；②先證明，得出，根據(jù)，得出，即可證明結論；③延長，過點G作于點H，過點E作于點K，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，證明，得出，根據(jù)，，即可得出答案；④延長，過點E作于點K，過點C作于點H，證明，得出，同理得，得出，證明，得出，根據(jù)中位線性質(zhì)得出，當最大時，最大，根據(jù)，得出當、D、E三點共線時，最大，且最大值為：，即可得出答案．【詳解】解：①∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∴根據(jù)旋轉可知：，，∵，∴，∵，∴與不一定全等，∴，故①錯誤；②設與交于點P，、交于點Q，如圖所示：∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，，∴，即∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；③延長，過點G作于點H，過點E作于點K，如圖所示：則，∵四邊形和為正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，故③正確；④延長，過點E作于點K，過點C作于點H，如圖所示：則，∵四邊形和為正方形，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，同理得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴當最大時，最大，∵由圖1知，為的中點，∴，∵，∴當、D、E三點共線時，最大，且最大值為：，∴的最大值為，故④錯誤；綜上分析可知：正確的是②③．故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，余角的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質(zhì)．二、填空題（共24分，每題3分）9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關鍵．10.直線向上平移4個單位后得到的直線解析式為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，熟知“上加下減”的平移規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)解析式“上加下減”的平移規(guī)律是解題的關鍵．【詳解】將一次函數(shù)的圖象向上平移4個單位，所得的函數(shù)解析式為，即為．故答案為：．11.方程的根為______．【答案】，【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程—因式分解法，先把方程右邊化為0，再把左邊因式分解，這樣把原方程化為兩個一元一次方程，然后解一次方程即可得到原方程的解．方程左邊分解得到，原方程化為或，然后解一次方程即可．【詳解】解：或，∴，．故答案為：，．12.中，，，，則AB邊上的高為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的而關鍵．過點C作于點D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理，求得，最后根據(jù)三角形的面積，即可求得答案．詳解】過點C作于點D，，，，，，，．故答案為:．13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，點B的坐標分別為（0，2），（，0），將線段AB繞點O順時針旋轉，若點A的對應點的坐標為（2，0），則點B的對應點的坐標為________．【答案】（0,1）【解析】【詳解】由圖可知：的坐標為（0，1），故答案為：（0,1）．14.一位求職者參加某公司的招聘，面試和筆試的成績分別是和，公司給出他這兩項測試的平均成績?yōu)?，可知此次招聘中______（填“面試”或“筆試”）的權重較大．【答案】面試【解析】【分析】本題主要考查加權平均數(shù)，解題的關鍵是設出面試和筆試的權重，根據(jù)加權平均數(shù)的定義列出方程．設面試成績所占百分比為，則筆試成績所占百分比為，根據(jù)加權平均數(shù)的定義列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：設面試成績所占百分比為，則筆試成績所占百分比為，

根據(jù)題意，得：，

解得：，

則，

∴此次招聘中面試的權重較大，

故答案為：面試．15.如圖，四邊形中，和互相垂直，，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】設和的交點為，分別取的中點，連接，，利用三角形的中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】解：設和的交點為，分別取的中點，連接，，則，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴三點共線時，取得最小值，最小值為，此時，∵，，∴．∴，故答案為：．【點睛】此題只要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，線段的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．16.已知函數(shù)（為常數(shù)），給出下列四個結論：①該函數(shù)圖象經(jīng)過；當時，隨的增大而增大；③當時，直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象總有兩個交點；④當時，若點和都在函數(shù)的圖象上，且，則有．其中所有正確結論的序號是______．【答案】①④##④①【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，絕對值，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)是解題的關鍵．當x=1時，，進而判定①正確；令，則，，，進而得當時，y2-y1=ax2-x1>0，此時隨的增大而增大；當時，，此時隨的增大而減?。慌卸ㄗC函數(shù)與軸交于點，當時，與軸交于點0,1，從而得當時，直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象只有個交點，故③錯誤；當時，函數(shù)化為，利用數(shù)形相結合得到x=1的距離大于到x=1的距離，進而得，求解即判定故④正確；【詳解】解：①∵當x=1時，，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過1,0，故①正確；令，則，，，∴，∴當時，y2-y1=a當時，，此時隨的增大而減??；故錯誤；③函數(shù)中，當x=0時，，∴函數(shù)與軸交于點，當時，直線得，當x=0時，，此時與軸交于點0,1，當x=1時，，∴過點1,0，如圖，由圖可知，當時，直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象只有個交點，故③錯誤；④當時，函數(shù)化為，如圖，由圖可知關于x=1對稱，或∵點和都在函數(shù)的圖象上，且，∴到x=1的距離大于到x=1的距離，∴，解得，故④正確；故答案為：①④三、解答題（共52分，第17-19題每題8分，第20題10分，第21題8分，第22題10分）17.計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了二次根式的加減乘除混合運算，絕對值的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的加減乘除混合運算是解題的關鍵．（1）先根據(jù)完全平方公式和二次根式的性質(zhì)計算，再根據(jù)二次根式的加減計算，即得答案；（2）先根據(jù)平方差公式和絕對值的性質(zhì)計算，再根據(jù)二次根式的加減計算，即得答案．【小問1詳解】；【小問2詳解】．18.已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1=0有兩個不相等的實數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值．【答案】（1）m＜；（2）m=2．【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0，列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍；（2）找出m取值范圍中的正整數(shù)，然后分別代入原方程，求出方程的根，經(jīng)檢驗即可得到滿足題意的m的值．【詳解】（1）∵依題意，得△=（-4）2﹣4（2m﹣1）＞0，∴m＜，即m的取值范圍是m＜；（2）∵m為正整數(shù)，∴m=1或2，當m=1時，方程為x2﹣4x+1=0的根不是整數(shù)；當m=2時，方程為x2﹣4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整數(shù)，綜上所述，m=2．【點睛】本題主要考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．19.如圖，在平面直角坐標系中，，．（1）①連接，畫出線段關于軸對稱線段；②將線段繞點順時針旋轉一個角度，得到對應線段，使得軸，請畫出線段．（2）若直線平分（1）中四邊形的面積，則的值為______．（3）若直線與（1）中四邊形有公共點，則的取值范圍為______．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）①先根據(jù)對稱性質(zhì)求出的坐標，進而得到點的位置，再連接、即可；②由軸，可先畫出平行于軸的一條直線，點在這條直線上，再根據(jù)旋轉的性質(zhì)找到點的位置，最后連接即可；（2）根據(jù)題意可得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平分平行四邊形面積的直線經(jīng)過平行四邊形的中心，且平行四邊形的對角線的中點即為平行四邊形的中心，求出的中點坐標，然后代入直線解析式即可求解；（3）先求出點坐標，然后分別求出直線過點、時的值，再結合題意即可求解．【小問1詳解】解：①線段關于軸對稱的線段，和關于軸對稱，，連接，畫出線段如圖1所示；②軸，先畫出平行于軸的一條直線，點在這條直線上，線段由線段旋轉得到，，將線段繞點順時針旋轉與直線相交于點，如圖2，線段即為所求；【小問2詳解】如圖3，且，四邊形是平行四邊形，在平行四邊形中，平分平行四邊形面積的直線經(jīng)過平行四邊形的中心，且平行四邊形的對角線的中點即為平行四邊形的中心，平行四邊形的中心為：，即，直線經(jīng)過，，解得：，故答案為：；【小問3詳解】，，，四邊形是平行四邊形，，又軸，，，當直線過點時，，解得：，當直線過點時，，解得：，直線與（1）中四邊形有公共點時，的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題是一次函數(shù)的綜合，涉及對稱、旋轉的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關鍵是數(shù)形結合．20.如圖，菱形對角線，相交于點O，E是的中點，點F，G在上，，．（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求和的長．【答案】（1）見詳解（2）13；8【解析】【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和三角形中位線定理，證明四邊形OEFG為矩形是解題的關鍵．（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，再由三角形中位線定理得，得四邊形是平行四邊形，然后證，即可得出結論；（2）由三角形的中位線定理得，再由矩形的性質(zhì)得，，，然后由勾股定理求出的長，即可得出的長．【小問1詳解】∵四邊形是菱形，∴，，∵E是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．【小問2詳解】∵四邊形是菱形，∴，由（1）得：，四邊形是矩形，∴，，，∵E是的中點，∴，在中，由勾股定理得：，∴．21.如圖，在平面直角坐示系xOy中，直線與直線交于點A(3，m).(1)求k，m的値；(2)已知點P(n，n)，過點P作垂直于y軸的直線與直線交于點M，過點P作垂直于x軸的直線與直線交于點N(P與N不重合).若PN≤2PM，結合圖象，求n的取值范圍.【答案】(1)k=-2；(2)n的取值范圍為:或【解析】【分析】（1）把A點坐標代入y=x-2中，求得m的值，再把求得的A點坐標代入y=kx+7中，求得k的值；（2）根據(jù)題意，用n的代數(shù)式表示出M、N點的坐標，再求得PM、PN的值，根據(jù)PN≤2PM，列出n的不等式，再求得結果．【詳解】(1)∵直線y=kx+7與直線y=x-2交于點A(3，m)，∴m=3k+3，m=1.∴k=-2.(2)∵點P(n，n)，過點P作垂宜于y軸的直線與直線y=x-2交于點M，∴M(n+2，n).∴PM=2.∴PN≤2PM，∴PN≤4.∵過點P作垂直于x軸的直線與直線y=kx+7交于點N，k=-2，∴N(n，-2n+7).∴PN=|3n-7|.當PN=4時，如圖，即|3n-7|=4，∴n=l或n=∵P與N不重合，∴|3n-7|0.∴當PN≤4(即PN≤2PM)時，n的取值范圍為:或【點睛】本題是一次函數(shù)圖象的相交于平行的問題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，第（2）小題關鍵是用n的代數(shù)式表示PM與PN的長度．22.如圖，中，，，于點，點在的延長線上，連接，點與點關于直線對稱，連接．（1）依題意補全圖形；（2）求證：；（3）當時，連接，，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）補圖見解析（2）證明見解析（3），證明見解析【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，中位線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意畫圖即可；（2）設與交于點，分別證明、為、中點，利用中位線可證；（3）過點作交于點，連接，設與交于點，與交于點，與交于點，先證，得，推出，再證，推出，推出，再證，最后在中，利用求證．【小問1詳解】解：補全圖形如圖：【小問2詳解】解：如圖，設與交于點，∵點與點關于直線對稱，∴，，∵，，∴，∴M，D分別為的中點∴，即：；【小問3詳解】解：，證明如下：如圖，過點作交于點，連接，設與交于點，與交于點，與交于點，∵，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∵，，于點，∴，，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，，即：，即：．四、附加題（共10分，第23-24題每題2分，第25題6分）23.七個邊長為2的正方形按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點且將這七個正方形的面積分成相等的兩部分，則直線l與x軸的交點B的橫坐標為______．【答案】【解析】【分析】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)直線l經(jīng)過點且將這七個正方形的面積分成相等的兩部分列方程求解是解本題的關鍵．作軸于D，軸于E，設Bm，0m>0，則，根據(jù)題意有，代入相關數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：作軸于D，軸于E∵，∴，設Bm，0則根據(jù)題意有：∴，∴，解得：∴直線l與x軸的交點B的橫坐標為．故答案為：．24.甲、乙、丙三人進行羽毛球賽前訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行，半天訓練結束時，發(fā)現(xiàn)甲共當裁判局，乙、丙分別進行了局、局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共進行了______局比賽，其中第局比賽的裁判是______．【答案】①.②.甲【解析】【分析】本題考查推理與論證，解本題關鍵根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其存在的規(guī)律和方法，并遞推出相關的關系式，從而解決問題．先確定了乙與丙打了局，甲與丙打了局，乙與甲打了局，進而確定三人一共打的局數(shù)，可推導出甲當裁判局，乙當裁判局，丙當裁判局，由此能求出結果，即可得到答案．【詳解】解：甲當了局裁判，乙、丙之間打了局，又乙、丙分別進行了局、局比賽，乙與甲打了局，丙與甲打了局，甲、乙、丙三人共打了局，又甲當了局裁判，而從到共個奇數(shù)，個偶數(shù)，甲當裁判的局為偶數(shù)局，第局比賽的裁判是：甲，故答案為：，甲．25.對于平面直角坐標系中的點P和圖形M，給出如下定義：若在圖形M上存在一點Q，使得P，Q兩點間的距離小于或等于1，則稱點P為圖形M的“鄰點”．已知點．（1）如圖1，畫出線段的所有“鄰點”組成的圖形，并用陰影表示；（2）如圖2，已知P是直