江蘇省蘇州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月二模考試試題含解析

PAGE21-江蘇省蘇州市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月二?？荚囋囶}（含解析）一、填空題1.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)交集的概念，干脆計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】∵，；∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求集合的交集，熟記交集的概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.2.是虛數(shù)單位，則的值為_______.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算將復(fù)數(shù)化為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求出的值.【詳解】，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為____.【答案】【解析】【分析】焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，可知，由此可求出雙曲線的離心率．【詳解】由題可設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為，由于該雙曲線的漸近線方程為，則，在雙曲線中，所以雙曲線的離心率，故雙曲線的離心率為．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，雙曲線漸近方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的是，則輸出的變量的值是▲【答案】【解析】【分析】依據(jù)程序圖輸入的值，然后依據(jù)推斷語(yǔ)句，計(jì)算輸出的結(jié)果【詳解】第一次輸入，，故，，接著循環(huán)下去，當(dāng)時(shí)，，故，，，跳出循環(huán)，輸出結(jié)果.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)語(yǔ)句計(jì)算輸出結(jié)果，只要依據(jù)程序圖即可計(jì)算出結(jié)果，較為基礎(chǔ)，留意等差數(shù)列的求和.5.某高校數(shù)學(xué)學(xué)院三個(gè)不同專業(yè)分別有800，600，400名學(xué)生，為了解學(xué)生的課后學(xué)習(xí)時(shí)間，用分層抽樣的方法從數(shù)學(xué)系這三個(gè)專業(yè)中抽取36名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為______.【答案】16【解析】【分析】依據(jù)分層抽樣列式求解即可.【詳解】某高校數(shù)學(xué)學(xué)院三個(gè)不同專業(yè)分別有800，600，400名學(xué)生.用分層抽樣的方法從數(shù)學(xué)系這三個(gè)專業(yè)中抽取36名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則應(yīng)從專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為：.故答案為：16【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.6.在某學(xué)校圖書館的書架上隨意放著編號(hào)為1,2,3,4,5的五本書，若某同學(xué)從中隨意選出2本書，則選出的2本書編號(hào)相連的概率為______．【答案】【解析】【分析】本題首先可以寫出隨意選出2本書的全部可能狀況數(shù)目，然后寫出2本書編號(hào)相連的全部可能狀況數(shù)目，兩者相除，即可得出結(jié)果．【詳解】從五本書中隨意選出2本書的全部可能狀況為共十種，滿意2本書編號(hào)相連的全部可能狀況為共四種，故選出的2本書編號(hào)相連的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了古典概型的概率計(jì)算，首先須要找出全部可能的狀況事務(wù)，然后要找出滿意題意的狀況事務(wù)，是簡(jiǎn)潔題．7.已知函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，則的值為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，得到，即，解得，進(jìn)而求得的值，得到答案.【詳解】由函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，則，即，可得，解得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記余弦函數(shù)的對(duì)稱中心，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，意在考查運(yùn)算與求解實(shí)力.8.如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為______.【答案】【解析】【分析】利用綻開法可求得當(dāng)最小時(shí)，，進(jìn)而利用等體積轉(zhuǎn)化和三棱錐的體積公式計(jì)算.【詳解】將直三棱柱綻開成矩形，如圖，連結(jié)，交于，此時(shí)最小.∵，，，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)最小時(shí)，，此時(shí)三棱錐的體積：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間綻開法探討距離最值問題和棱錐的體積計(jì)算，關(guān)鍵是利用綻開法解決距離和的最小問題和棱錐的等體積轉(zhuǎn)化，得到屬基礎(chǔ)題.9.設(shè)周期函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若的最小正周期為3，且滿意，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)是奇函數(shù)，最小正周期為3，可得得到，當(dāng)，分別解之，然后求并集即得.【詳解】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，故有又周期函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若的最小正周期為3，故∵∴當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得所以的取值范圍是.【分析】本題考查函數(shù)的奇偶性和周期性，考查不等式的基本性質(zhì)和求解，涉及分類探討思想，屬中檔題.關(guān)鍵是結(jié)合奇偶性和周期性得到，進(jìn)而求解.10.如圖，在由5個(gè)邊長(zhǎng)為，一個(gè)內(nèi)角為的菱形組成的圖形中，______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)平面對(duì)量加法的三角形法則和平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】如圖：.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查了了向量加法的三角形法則，考查了平面對(duì)量數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.11.等差數(shù)列的公差為d，關(guān)于x的不等式＋＋c≥0的解集為[0，22]，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和最大的正整數(shù)n的值是．【答案】11【解析】試題分析：由題意得，所以，是單調(diào)遞減數(shù)列，故，令得，所以前11項(xiàng)為正，從第12項(xiàng)起為負(fù)，所以前11項(xiàng)和最大考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)及其性質(zhì)、的最值12.在中，已知邊所對(duì)的角分別為，若，則_________________【答案】【解析】由正弦定理得，由余弦定理得,即因?yàn)樗渣c(diǎn)睛：三角形中問題，一般先依據(jù)正、余弦定理及三角形面積公式結(jié)合已知條件敏捷轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，利用基本不等式或三角函數(shù)有界性求取值范圍.最終依據(jù)等號(hào)取法確定函數(shù)值.13.已知圓與曲線，曲線上兩點(diǎn)，，（、、、均為正整數(shù)），使得圓上隨意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為定值，則______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，則，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為定值，得出，依據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，再消去，得，進(jìn)而求出，，，從而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為定值，，消去，得所以，，此時(shí)，此時(shí).故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的綜合，以及軌跡方程的問題，屬于中檔題型.14.函數(shù)，其中，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程和各有三個(gè)解，得到函數(shù)的圖象與和各有三個(gè)零點(diǎn)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，其中，則，當(dāng)，或時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，又由，解得或，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0和，因?yàn)楹瘮?shù)恰有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則方程和各有三個(gè)解，即函數(shù)的圖象與和各有三個(gè)零點(diǎn)，由，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定及應(yīng)用，其中解答中把由函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與和各有三個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算實(shí)力.二、解答題15.如圖，四棱錐S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC,，AB=AD＝1DC=SD=2，M．N分別為SA，SC的中點(diǎn)，E為棱SB上的一點(diǎn)，且SE=2EB．(I)證明：MN//平面ABCD；(II)證明：DE⊥平面SBC．【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析．【解析】【分析】試題分析：（I）利用三角形的中位線證明線線平行，再利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；（Ⅱ）先利用勾股定理證明線線垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明．【詳解】試題解析：（Ⅰ）連，∵分別為中點(diǎn)，∴又∵平面平面∴平面(Ⅱ)連，∵，∴又底面，底面∴∵，∴平面∵平面，∴又，當(dāng)時(shí)，，在與中，∴又，∴∴，即∵，∴平面考點(diǎn)：1.線面平行的判定；2.線面垂直的判定．16.在的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，滿意.（1）求角的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，由正弦定理角化邊，得到三邊的關(guān)系，進(jìn)而利用余弦定理求解；（2）由正弦定理求得,并依據(jù)邊的大小關(guān)系判定為銳角，然后利用倍角公式和兩角和的正弦公式計(jì)算.詳解】解：（1）∵，由正弦定理得，.化簡(jiǎn)得，.由余弦定理得，.又，∴.（2）由（1）知，，又，，∴.又，∴.∴，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理的綜合運(yùn)用，涉及二倍角公式和兩角和差的三角函數(shù)公式，屬中等難度的題目.關(guān)鍵是嫻熟利用正弦定理，余弦定理和三角恒等變形計(jì)算.17.某學(xué)校在平面圖為矩形的操場(chǎng)內(nèi)進(jìn)行體操表演，其中，，為上一點(diǎn)，且，線段、、為表演隊(duì)列所在位置（分別在線段、上），點(diǎn)為領(lǐng)隊(duì)位置，且到、的距離均為12，記，當(dāng)面積最小時(shí)欣賞效果最好.（1）當(dāng)為何值時(shí)，為隊(duì)列的中點(diǎn)？（2）怎樣支配的位置才能使欣賞效果最好？求出此時(shí)的值【答案】（1）；（2）當(dāng)點(diǎn)滿意時(shí)，欣賞效果最好..【解析】【分析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，依據(jù)為的中點(diǎn)，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；（2）先由得到，再由得到，依據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過垂直于的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則，，，因?yàn)榈?、的距離均為12，所以.∴；，設(shè)，，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，此時(shí)，；（2）∵，∴，∴，∵由（1）知：，∴∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.∴，此時(shí).答：（1）當(dāng)時(shí)，為隊(duì)列的中點(diǎn)；（2）當(dāng)點(diǎn)滿意時(shí)，欣賞效果最好.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，熟記基本不等式，利用建系的方法求解即可，屬于?？碱}型.18.已知橢圓.（1）若橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，①求橢圓的方程；②設(shè)分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線和與軸和軸相交于點(diǎn)，求直線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且均在的右側(cè)，，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（1）①;②（2）【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件“離心率為，且點(diǎn)在橢圓”建立方程組求出橢圓方程，進(jìn)而借助題設(shè)“分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線和與軸和軸相交于點(diǎn)”求出，然后求出直線的方程為；（2）先設(shè)坐標(biāo)，再借助建立方程組，依據(jù)題意，，解得，進(jìn)而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依據(jù)題意建立不等式求出離心率的取值范圍．解：（1）①;②由前知，，所以直線的方程為.（2）設(shè)，因?yàn)椋?，依?jù)題意，，解得，連，延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，直線的方程為，代入橢圓方程解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以，即，解得，即，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是.點(diǎn)睛：解答本題的第一問時(shí)，先依據(jù)題設(shè)條件“離心率為，且點(diǎn)在橢圓”建立方程組求出橢圓方程，進(jìn)而借助題設(shè)“分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線和與軸和軸相交于點(diǎn)”求出，然后求出直線的方程為；求解其次問時(shí)，先設(shè)坐標(biāo)，再借助建立方程組，依據(jù)題意，，解得，進(jìn)而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，依據(jù)題意建立不等式，通過解不等式求出離心率的取值范圍．19.已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，，，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意求得,函數(shù)在上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化為恒成立,將參數(shù)與變量分別,構(gòu)造新函數(shù),推斷單調(diào)性求出最值,即可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出,由題意得有三個(gè)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)、，且、，由有一個(gè)零點(diǎn)，則，再利用分析法證明即可.【詳解】解：（1）由函數(shù)，其中，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即恒成立，即恒成立.令，則，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.（2）由，則由題意則有三個(gè)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)、，且、，由有一個(gè)零點(diǎn)，則，令，則，∴當(dāng)時(shí)取極值，時(shí)單調(diào)遞增，∴，則時(shí)有兩零點(diǎn)，且，要證：，即證（其中），即證：，即，由，，則，即證：；等價(jià)于，等價(jià)于，由在上單調(diào)遞增，即證：，又，則證，令，，∴.∴恒成立，則為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴原結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值問題,考查分析法的證明,考查學(xué)生邏輯推理實(shí)力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.20.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，.設(shè)，，，（其中，）成等差數(shù)列.（1）若.①當(dāng)，，為連續(xù)正整數(shù)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，求證：為定值；（2）求的最大值.【答案】（1）①；②證明見解析；（2）3.【解析】【分析】（1）①依題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)并化簡(jiǎn)得到，然后分為奇數(shù)，偶數(shù)分別探討求解即可；②利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)并化簡(jiǎn)可得，然后就，的奇偶性分四種狀況探討分析；（2）設(shè)，，成等差數(shù)列，按等差數(shù)列性質(zhì)化簡(jiǎn)后分，，分類探討,借助于不等式的基本性質(zhì)，分析得到只能，，成等差數(shù)列或，，成等差數(shù)列，其中為奇數(shù)，從而得到的最大值為3.【詳解】解：（1）①依題意，，，成等差數(shù)列，即，從而，化簡(jiǎn)得當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，解得，無解，當(dāng)