5.2平面向量的數量積

5.2平面向量的數量積課標要求精細考點素養(yǎng)達成1.理解平面向量數量積的含義并會計算2.理解向量a在向量b上的投影向量的概念3.掌握平面向量數量積的性質及其運算律,并會應用數量積的基本運算1.通過向量數量積的相關概念的學習,培養(yǎng)數學抽象、數學運算的核心素養(yǎng)投影向量及應用2.通過向量數量積的運算,培養(yǎng)數學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)向量模與夾角的有關計算1.(概念辨析)(多選)下列說法不正確的有().A.投影是一種變換,投影向量是向量B.若a·b<0,則a和b的夾角為鈍角C.若a∥b,b∥c,則a∥cD.若a·b=b·c,則a=c2.(對接教材)已知|a|=1,|b|=2,a·b=2,則向量a,b的夾角為().A.π6 B.π4 C.3π43.(對接教材)已知平面向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,且a與b的夾角為π3,則|a+b|=()A.3 B.5 C.7 D.34.(易錯自糾)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,則BA·AC的值為.

5.(模擬演練)(2024·廣東七校聯(lián)考)等邊△ABC邊長為2,BD=13BC,則AD·BC=(A.1 B.1 C.23 D.平面向量的數量積典例1(1)(2023·全國乙卷文)正方形ABCD的邊長是2,E是AB的中點,則EC·ED=().A.5 B.3C.25 D.5(2)(2024·江蘇如東期初學情檢測)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=3,|a2b|=3,則|ab|=().A.2 B.3 C.2 D.5(3)(2023·江蘇如皋中學月考)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|=2,且(ab)⊥b,則向量b在向量a方向上的投影向量的模為.

(4)設兩個向量a,b滿足|a|=1,|b|=2.若(2ab)·(a+b)=3,則a,b的夾角θ=;若a,b的夾角為60°,向量2tab與2a+tb的夾角為鈍角,則實數t的取值范圍為.

向量數量積的求法1.求兩個向量的數量積,首先確定兩個向量的模及向量的夾角,其中準確求出兩向量的夾角是求數量積的關鍵.2.求向量a,b的夾角θ的思路:(1)求向量的夾角的關鍵是計算a·b及|a||b|,在此基礎上結合數量積的定義或性質計算cosθ=a·b|a||(2)在個別含有|a|,|b|與a·b的等量關系式中,常利用消元思想計算cosθ的值.3.解決向量投影問題應注意以下三點:(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同方向的單位向量),它是一個向量,且與b共線,其方向由向量a和b夾角θ的余弦值決定;(2)向量a在b方向上的投影向量為a·b(3)向量a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同,即向量b在a上的投影向量可表示為a·b訓練1(1)已知a,b,c均為單位向量,且a+2b=3c,則a·c=().A.13 B.13 C.1 (2)(2023·江蘇連云港高中月考)若|a+b|=233|a|,且a⊥b,則向量a+b與a的夾角為(A.π6 B.π3C.2π3 (3)已知向量a,b滿足|a|=5,|ab|=6,|a+b|=4,則向量b在向量a方向上的投影向量的模為.

平面向量數量積的性質典例2關于非零的平面向量a,b,c,下列說法正確的是.(填序號)

①若a·c=b·c,則a=b;②(a+b)·c=a·c+b·c;③若a2=b2,則a·c=b·c;④(a·b)c=(b·c)a;⑤|a·b|≤a·b;⑥若|a+b|=|a||b|,則存在實數λ,使得a=λb.(1)向量的數量積不滿足消去律:設a,b,c均為非零向量且a·c=b·c,則不一定能得到a=b.(2)一般地,向量的數量積(a·b)c≠(b·c)a,這是由于a·b,b·c都是實數,(a·b)c表示與c共線的向量,(b·c)a表示與a共線的向量,而a與c不一定共線.(3)兩個結論:①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a+b)·(ab)=a2b2.訓練2給出以下結論:①0·0=0;②0a=0;③|a·b|=|a||b|;④a·b=0?a=0或b=0;⑤a⊥b?(a·b)c=0.其中正確的結論是.(填序號)

投影法的應用典例3(2023·河北石家莊月考)已知A,B是圓x2+y2=4上的兩個動點,|AB|=2,點C滿足CB=52CA,若M為AB的中點,則OC·OM的值為(A.3 B.23C.2 D.3作為數量積的幾何定義,通常適用于處理幾何圖形中的向量問題1.圖形中出現與所求數量積相關的垂直條件,尤其是垂足確定的情況下(此時便于確定投影),例如:直角三角形,菱形對角線,三角形的外心(外心到三邊的投影為三邊中點)2.從模長角度出發(fā),在求數量積的范圍中,如果所求數量積中的向量有一個模長是定值,則可以考慮利用投影,從而將問題轉化為尋找投影最大、最小的問題.訓練3如圖,在△ABC中,O是外接圓圓心,D是BC中點,AB=3,AC=2,則AD·AO=.

極化恒等式1.極化恒等式:a·b=14[(a+b)2(ab)2(1)公式推導:(a+b)2=a2+2a·b+b(2)幾何意義:向量的數量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的142.平行四邊形模式:如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對角線的交點,則AB·AD=14(|AC|2|BD|2)3.三角形模式:如圖,在△ABC中,設D為BC的中點,則AB·AC=|AD|2|BD|2.(1)推導過程:AB·AC=12(AB+AC)21(2)三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式,幾乎所有的問題都是用它解決.(3)記憶規(guī)律:向量的數量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差.典例如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=1,AD=2,點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,AD邊上的中點,則EF·FG+GH·HE=().A.32 B.32C.34極化恒等式使用步驟在確定求數量積的兩個向量共起點或共終點的情況下,極化恒等式的一般步驟如下:第一步,取第三邊的中點,連接向量的起點與中點;第二步,利用極化恒等式公式,將數量積轉化為中線長與第三邊長的一半的平方差;第三步,利用平面幾何方法或用正弦、余弦定理求中線及第三邊的長度,從而求出數量積.如需進一步求數量積的最值或范圍,可以用點到直線的距離或三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊或基本不等式等求得中線長的最值或范圍.訓練如圖,在平面四邊形ABCD中,O為BD的中點,且OA=3,OC=5.若AB·AD=7,則BC·DC的值是.

一、單選題1.(課本改編題)在銳角三角形ABC中,下列關于向量夾角的說法,正確的是().A.AB與BC的夾角是銳角 B.AC與BA的夾角是銳角C.AC與BC的夾角是銳角 D.AC與BC的夾角是鈍角2.下列說法正確的是().A.向量a,b滿足|a·b|≤a·bB.若向量a,b,c滿足a·c=b·c(c≠0),則a=bC.若向量a∥b,b∥c,則a∥cD.對任意兩向量a,b,ab與ba是相反向量3.(2024·廣東高三摸底考試)已知平面單位向量a,b,c滿足a+b+12c=0,則a·b=()A.52 B.2 C.3 D.4.(2023·江蘇徐州一中調研)在△ABC中,C=90°,點D在AB上,AD=3DB,|CB|=4,則CB·CD=().A.8 B.10 C.12 D.16二、多選題5.設平面向量|a|=1,|b|=2,b在a方向上的投影向量為c,則().A.a·c=c·bB.a·b=a·cC.|a·c|≤2 D.a·c=|a|·|c|6.(2023·江蘇泗洪中學月考)已知向量a,b的夾角為π6,|a|=3,|b|=1,t∈R,則()A.b在a方向上的投影向量的模為3B.a+3b在a方向上的投影向量的模為3C.|ta+b|的最小值為1D.當|ta+b|取得最小值時,a⊥(ta+b)三、填空題7.(2023·新課標Ⅱ卷)已知向量a,b滿足|ab|=3,|a+b|=|2ab|,則|b|=.

8.(2024·福建第一次質量檢測)已知菱形ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,點P在BC邊上(包括端點),則AD·AP的取值范圍是.

四、解答題9.已知平面向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,(a+2b)·(2ab)=3.(1)求|ab|;(2)若向量b與λa+b的夾角為銳角,求實數λ的取值范圍.10.如圖,在△ABC中,CM=2MB,點Q為AC的中點,BQ交AM于點N.(1)證明:點N為BQ的中點;(2)若NA·NM=6,求|AM|.11.(多選)定義一種向量運算“