第七章《復數(shù)》小結復數(shù)及其運算的幾何意義再探教學設計高一下學期數(shù)學人教A版

教學設計

課程基本信息學科數(shù)學年級高一學期春季課題第七章《復數(shù)》小結——復數(shù)及其運算的幾何意義再探教科書書名：普通高中教材出版社：人民教育出版社教學目標在充分理解復數(shù)與有序?qū)崝?shù)對一一對應的基礎上，類比實數(shù)的幾何意義，思考復數(shù)的幾何意義.通過有序?qū)崝?shù)對與平面內(nèi)的點一一對應，建立復平面的概念，理解復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應，進而理解構建復數(shù)的第一種幾何形態(tài).通過平面向量的坐標表示及相等向量坐標相同，平面內(nèi)相等向量亦和一有序?qū)崝?shù)對一一對應，理解復數(shù)與向量一一對應，進而構建復數(shù)的第二種幾何形態(tài).通過提取復數(shù)的模與復數(shù)的輻角主值，形成有序數(shù)對，該有序數(shù)對也和復數(shù)一一對應，因此復數(shù)的三角形式亦可理解為復數(shù)的又一種幾何形態(tài).同時，本節(jié)教學目標還包括：通過幾何意義理解復數(shù)的模及共軛復數(shù)的概念，在復數(shù)運算中能結合復數(shù)的幾何意義，融會使用坐標方法及向量方法，促進復數(shù)概念幾何意義上的理解，提升數(shù)形結合、直觀想象、邏輯推理的素養(yǎng).教學內(nèi)容教學重點：復數(shù)的兩種幾何意義，復數(shù)的模及共軛復數(shù)的幾何意義，復數(shù)四則運算的幾何意義，復數(shù)幾何意義的初步運用.

教學難點：復數(shù)幾何意義的產(chǎn)生及運用.教學過程（一）教學流程設計（二）教學過程設計環(huán)節(jié)一：溫故導入，啟發(fā)思考教師：漫威蜘蛛俠3《英雄無歸》影片中，為我們描述了平行宇宙的存在性.同樣的角色，在不同的世界中確有不一樣的經(jīng)歷與成長.例如，影片中有一個情節(jié)是蜘蛛俠2代在自己的世界里與敵人搏斗痛失愛人，而在3代的世界里，2代通過調(diào)整技術拯救了3代的愛人，也彌補了自己的遺憾.教師提問：同學們，這部影片中所刻畫的“平行宇宙”給了我們怎樣的啟發(fā)呢？設計意圖：以影片情節(jié)啟發(fā)學生思考同樣的事物是否可以以不同的形態(tài)存在，必要時通過轉化形態(tài)以幫助解決現(xiàn)實問題，為復數(shù)的兩種形式（代數(shù)形式、幾何形式）的轉化和應用進行鋪墊.思考：（1）實數(shù)存在幾何形式嗎？從代數(shù)形式到幾何形式如何轉化？（2）類比實數(shù)，復數(shù)存在幾何形式嗎？從代數(shù)形式到幾何形式如何轉化？師生活動：學生類比初中實數(shù)軸定義，由復數(shù)的代數(shù)形式進行幾何表達的擴展思考，教師作引導.設計意圖：通過回顧及類比，讓學生再次識別復數(shù)“有序數(shù)對”的本質(zhì).類比實數(shù)的幾何表示，學生可以聯(lián)想到復數(shù)空間是從一維數(shù)軸到二維平面的擴建.答案：（1）實數(shù)存在幾何形式；每一個實數(shù)都和實數(shù)軸上的一個點一一對應，因此可由實數(shù)軸上對應的點來表達，這個點的位置記為“”；（2）類比實數(shù)，猜想復數(shù)亦存在幾何形式；由于復數(shù)的代數(shù)形式是，確定一個復數(shù)需要同時確定它的實部和虛部，即有序?qū)崝?shù)對.因此類比一維數(shù)軸上的點，考慮可以用平面直角坐標系內(nèi)的點來刻畫復數(shù).同時，有序?qū)崝?shù)對除了點，還可以有平面向量相對應.環(huán)節(jié)二：推陳出新，構建新知問題1：嘗試在平面直角坐標系內(nèi)刻畫復數(shù)：、、、、、、、思考：每一個復數(shù)都可以在平面直角坐標系內(nèi)刻畫嗎？存在平面直角坐標系以外的復數(shù)嗎？復數(shù)在平面直角坐標系內(nèi)對應的點唯一嗎？平面直角坐標系內(nèi)的點表示的復數(shù)唯一嗎？師生活動：學生動手嘗試，在體驗數(shù)的幾何表示過程中感受數(shù)與點的一一對應關系，在思考中掌握一一對應關系的理解與判斷.設計意圖：在第一冊函數(shù)概念教學中，學生對“一一對應”關系有了一定的理解和判斷，在構建不同形態(tài)事物的“一一對應”關系中，學生的初判可能是模糊的、直觀性的、片面的，我們可以讓學生自主嘗試數(shù)與形的轉化過程，在數(shù)實例中感受“一一對應”關系的意義.思考題的設置是幫助學生建立“一一對應”關系的明確認知，將“一一對應”關系的判斷依據(jù)細化在逐級思考題中，深化學生對“一一對應”關系的認知與理解.答案：在平面直角坐標內(nèi)作圖如下：圖1思考：每一個復數(shù)都可以在平面直角坐標系內(nèi)刻畫；不存在平面直角坐標系以外的復數(shù)；復數(shù)在平面直角坐標系內(nèi)對應的點唯一；平面直角坐標系內(nèi)的點表示的復數(shù)唯一.問題1拓展：（1）實數(shù)與實數(shù)軸上的點一一對應，其坐標形式如何？（2）對于一般形式的復數(shù)，在平面直角坐標系下也有點的一一對應關系嗎？其坐標形式如何？嘗試用圖形表示出來.師生活動：教師引導學生類比思考，學生回答問題，教師作點評.設計意圖：通過類比，理解在本質(zhì)上，復數(shù)是實數(shù)從一元數(shù)到二元數(shù)的衍生；在代數(shù)結構上，復數(shù)是從“”到“”的衍生；在坐標表示上，復數(shù)是從“”到“”的衍生；在幾何空間上，復數(shù)集是從實軸到實虛軸新建的復平面的衍生.答案：（1）實數(shù)的坐標表示為“”；（2）有，關于復數(shù)，在平面直角坐標系內(nèi)，取軸上射影為、軸上射影的點，分別對應復數(shù)的實部與虛部，這樣就找到了復數(shù)在平面直角坐標系下所對應的點，亦可作為復數(shù)的坐標表示.圖2實數(shù)與復數(shù)三種形態(tài)下的類比問題2：復數(shù)與平面直角坐標系下的點一一對應，這個坐標平面有什么特點，實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)分別在坐標平面的哪些位置？師生活動：教師展示復數(shù)的幾何形式圖，學生就圖作出思考、回答.圖3復數(shù)的幾何形式設計意圖：在映射過程中，我們了解到復數(shù)點在軸、軸的投影恰好是復數(shù)的實、虛部；反之，找好軸、軸上的映像位置，我們也可以唯一確定復數(shù)所對應點的位置.由此，我們可以把確定復數(shù)實虛部結構的軸、軸，分別稱之為實軸、虛軸.只要明晰復數(shù)的代數(shù)形式，就可以根據(jù)其代數(shù)結構找到復數(shù)點的相應位置，并進行歸類.答案：復數(shù)在此坐標平面內(nèi)可找到唯一的點與之對應，坐標平面內(nèi)的點也有唯一的復數(shù)與之對應，這個坐標平面囊括了復數(shù)系中的每一個數(shù).根據(jù)各類復數(shù)的代數(shù)形式，我們不難發(fā)現(xiàn)，實數(shù)均落在軸上；反之，虛數(shù)落在除軸外的位置上；純虛數(shù)則落在軸非原點處.教師：我們把上述能表示復數(shù)點的直角坐標系平面叫做復平面，軸叫做實軸、軸叫做虛軸.我們可以得出結論，復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應.這是復數(shù)的第一種幾何意義.圖4復數(shù)的幾何意義一教師：點可以用坐標（有序數(shù)對）表示，還有什么也可以用坐標（有序數(shù)對）表示？學生：（思考片刻）“向量”也可以用坐標表示.教師提問：（1）向量與坐標（有序數(shù)對）是一一對應的嗎？如何理解“相等向量”，“相等向量”的坐標相同嗎？對應的復數(shù)相同嗎？在相等向量中你覺得用哪一種形式表示向量最簡潔？師生活動：學生思考并進行小組交流，教師點評學生結論.設計意圖：問題（1）中學生會因“自由向量”的概念產(chǎn)生誤判，因此在問題（2）中，教師引導學生對“相等向量”這一概念做出思考.“相等向量”是復數(shù)第二種幾何意義能否自然過渡的關鍵一筆.事實上，在“自由向量”概念的基礎上，“相等向量”亦可理解為“同一向量”，只要滿足大小相等方向相同（亦即坐標表示相同），向量是唯一確定的.因此，相等向量坐標相同，對應的復數(shù)亦是相同的.反之，相同的復數(shù)也對應相等的向量.問題（3），自由向量下同一向量可以有多種形式的表達，只需滿足向量終點減去起點的坐標不變即可.因此，我們努力找到更簡潔直接的向量形式，例如表示向量，可取起點、終點，向量可以簡潔地用表示.答案：（1）向量與坐標（有序數(shù)對）一一對應；（2）在“自由向量”概念上，“相等向量”亦可理解為“同一向量”，這樣一來“相等向量”的坐標是相同的，對應的復數(shù)也是相同的；（3）在相等向量中，取起點、終點，向量用表示最為簡潔.教師：我們知道，復數(shù)與有序數(shù)對是一一對應的，而有序數(shù)對除了與坐標平面內(nèi)的點一一對應外，還和平面內(nèi)的向量一一對應.這樣一來，我們不難得出結論，復數(shù)與平面向量一一對應.這是復數(shù)的第二種幾何意義.圖5復數(shù)的幾何意義二環(huán)節(jié)三：辨析理解，鞏固新知（一）復數(shù)的幾何意義“再”認識問題3：虛數(shù)有大小之分嗎？有正負之分嗎？嘗試作幾何解釋.師生活動：學生回顧實數(shù)有關“大小”、“正負”的論述，教師幫助學生回顧概念，引導學生作出思考.設計意圖：問題3是復數(shù)幾何形式初步運用，也是讓學生辨析理解，深化概念的第一個問題.在復數(shù)有關“大小關系”的思考中，教師可以借助例子“和哪個大”引導學生作出思考，體會虛數(shù)“二元數(shù)”的本質(zhì)，也可和向量進行類比，向量其代數(shù)形式上亦是二元數(shù)，亦不能直接比較大小,這里彰顯了復數(shù)幾何意義的初步運用.在復數(shù)有關“正負”的思考中，我們知道實數(shù)系還有一類重要的劃分體系就是“正數(shù)、、負數(shù)”，這也是在學生頭腦中根深蒂固的數(shù)系特征.在復數(shù)系的擴展后，學生很容易將以往固化了的數(shù)系特征也遷移至復數(shù)系中，導致紊亂.例如，學生在本例中會舉出諸如“為正數(shù)、為負數(shù)”，或是“為正數(shù)、為負數(shù)”的例子，這時教師可引導學生再思考多一些例子“”、“”等.事實上，正因為虛數(shù)無大小關系，無法和作比較，因此也無正負之分.答案：虛數(shù)無大小之分，無正負之分.（二）復數(shù)運算律的幾何認識教師：我們知道，復數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應，而我們討論過向量加法的幾何意義，你能由此出發(fā)討論復數(shù)加法的幾何意義嗎？師生活動：學生回顧復數(shù)幾何意義及向量加法幾何意義，教師引導學生作圖輔助思考.設計意圖：在回顧中，學生感悟復數(shù)具有幾何意義——與平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應；與此同時，向量加法也具其幾何意義：用有向線段作“三角形”或“平行四邊形”加法法則.因此，我們可以借助復平面內(nèi)作圖，引導學生借助坐標工具，實現(xiàn)“復數(shù)——向量——向量加法幾何意義——復數(shù)加法幾何意義”的思想過渡.答案：設，，向量，分別與復數(shù)、對應，則有，.由復數(shù)加法法則，我們有：；由平面向量的坐標運算法則，得；復數(shù)恰好對應向量，說明兩個復數(shù)之和所對應的向量正是原對應向量之和.因此，復數(shù)的加法可以按照向量的加法來進行，這就是復數(shù)加法的幾何意義.我們也可用以下圖象對復數(shù)加法的幾何意義作出解釋：圖6復數(shù)加法的幾何意義教師：類比復數(shù)加法的幾何意義，你能得到復數(shù)減法的幾何意義嗎？師生活動：學生思考并作圖輔助，教師點評.設計意圖：在前面復數(shù)加法幾何意義的鋪墊下，學生嘗試用向量作減法幾何意義思考.答案：設，，向量，分別與復數(shù)、對應，則有，.由復數(shù)減法法則，我們有：；由平面向量的坐標運算法則，得；復數(shù)恰好對應向量，說明兩個復數(shù)之差所對應的向量正是原對應向量之差.因此，復數(shù)的減法可以按照向量的減法來進行，這就是復數(shù)減法的幾何意義.我們也可用以下圖象對復數(shù)減法的幾何意義作出解釋：圖7復數(shù)減法的幾何意義問題4：實數(shù)的絕對值是什么？復數(shù)也有絕對值嗎？嘗試作幾何解釋.師生活動：學生回顧初中“絕對值”，學生回顧概念作出思考.設計意圖：問題4是復數(shù)幾何形式初步運用，也是讓學生辨析理解，深化概念的第三個問題.在回顧中，我們獲知初中關于絕對值的定義是“數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作”，可以發(fā)現(xiàn)這一定義亦可在復數(shù)中實現(xiàn)衍生和統(tǒng)一.同時，由向量“?！钡膶傩?，猜想復數(shù)亦有“?！边@一屬性.答案：參照實數(shù)絕對值的定義，雖然復數(shù)的本質(zhì)已然不同于以往的實數(shù)，但我們依然可以大膽地猜測復數(shù)也有“絕對值”這一數(shù)字特征.教師：復數(shù)與平面向量一一對應.我們把向量的模叫做復數(shù)的?；蚪^對值，記作或，即：，其中.特別的，如果,那么是一個實數(shù)，它的模就等于（的絕對值）.問題5：共軛復數(shù)有什么關系嗎？嘗試作幾何解釋.師生活動：學生思考后作答，教師作點評.設計意圖：問題5是復數(shù)幾何形式初步運用，也是讓學生辨析理解，深化概念的第四個問題.共軛關系是虛數(shù)不同于實數(shù)所具有的新關系.需特別注意，虛數(shù)的共軛關系不同于以往的相反關系，只在虛部取相反數(shù)，實部保持不變.通過共軛復數(shù)幾何表示關系的思考，能讓學生在數(shù)形結合中深化對共軛關系的理解，同時也是復數(shù)幾何意義的應用體現(xiàn).答案：共軛復數(shù)相加為實數(shù)，相減為純虛數(shù)，模相等.課堂練習1：（2020新課標Ⅱ）設復數(shù)、滿足，.則.師生活動：課堂練習在學生思考的基礎上師生共同完成.設計意圖：用代數(shù)法和幾何法分別求解復數(shù)方程，凸顯復數(shù)幾何意義運用的便捷和巧妙.答案：（代數(shù)法）設，由題知，解得故，，故，故.（幾何法）課堂練習2：探究以下結論是否成立.（1）；（2）.師生活動：課堂練習在學生思考的基礎上師生共同完成.設計意圖：考查學生對共軛復數(shù)重要性質(zhì)的理解與驗證，在運算結果中理解共軛復數(shù)“對稱”的重要性質(zhì)，在代數(shù)證明和幾何說明的對比中，凸顯復數(shù)幾何意義運用的便捷和巧妙.答案：（1）（代數(shù)證明）設、，則，且，故成立.（幾何說明）與關于軸對稱，與關于軸對稱，故有與關于軸對稱.又本身與對稱，故成立.圖8（2）（代數(shù)證明）設、，則，且，故成立.（幾何說明）與關于軸對稱，與關于軸對稱，故有與關于軸對稱.又本身與對稱，故成立.圖9課堂練習3：求解復數(shù)方程.師生活動：課堂練習在學生思考的基礎上師生共同完成.設計意圖：用代數(shù)法和幾何法分別求解復數(shù)方程，再次凸顯復數(shù)幾何意義運用的便捷和巧妙.答案：（代數(shù)方法）設復數(shù)，則，則，化簡得.（幾何法一）設復數(shù)，則可理解為對應的點到點的距離.由圓的定義可知，復數(shù)所對應的點滿足方程.（幾何法二）設復數(shù)，復平面內(nèi)對應向量，對應向量.則，化簡得.環(huán)節(jié)四：新知應用，鞏固內(nèi)化鞏固練習1:如果是復平面內(nèi)表示復數(shù)的點、分別指出在下列條件下點的位置.；（2）；（3）；（4）；（5）.師生活動：鞏固練習由學生自主完成，教師做點評.設計意圖：本題改編自課本P73頁習題7.1第4題，數(shù)形結合考查學生對復數(shù)幾何意義一的理解.答案：（1）（2）（3）（4）（5）鞏固練習2:設，在復平面內(nèi)對應的點為，那么滿足下列條件的點的集合是什么圖形？（1）；（2）；（3）.師生活動：鞏固練習由學生自主完成，教師做點評.設計意圖：本題為課本例3，數(shù)形結合考查學生對復數(shù)模的幾何意義的理解.答案：（1）滿足的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，如下圖;（2）滿足的點在以原點為圓心，1為半徑的圓面上，如下圖;（3）滿足的點在以原點為圓心，1及2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)內(nèi)（不包括圓環(huán)的邊界），如下圖.（1）（2）（3）鞏固練習3:設，在復平面內(nèi)對應的點為，那么滿足下列條件的點的集合是什么圖形？（1）；（2）；（3）.師生活動：鞏固練習由學生自主完成，教師做點評.設計意圖：數(shù)形結合考查學生對復數(shù)減法幾何意義及其模的理解.答案：（1），滿足的點在以為圓心，3為半徑的圓上，如下圖;（2）滿足的點在以為圓心，1為半徑的圓內(nèi)部，如下圖;（3）滿足的點在以、為端點的線段的中垂線上，如下圖.（1）（2）（3）鞏固練習4:快速寫出下列復數(shù)方程的解.（1）；（2）；（3）；（4）.師生活動：鞏固練習由學生自主完成，教師做點評.設計意圖：考查學生對復數(shù)方程幾何認識的掌握.答案：（1）；（2）；（3）；（4）.環(huán)節(jié)五:歸納總結,反思提升問題6：（1）在本節(jié)課中，你學習到了復數(shù)及其運算律有哪些幾何意義？（2）復數(shù)的幾何意義相比于實數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？（3）復數(shù)運算律的幾何意義相比于實數(shù)有什么區(qū)別和聯(lián)系？師生活動：學生思考、總結，進行組內(nèi)交流，以師生對話的形式進行小結.設計意圖：學生總結本節(jié)課的第一個重點知識“復數(shù)的兩種幾何意義”，在總結中收獲復數(shù)在幾何形式下的理解與應用.在總結中，學生理解復數(shù)的第一種幾何意義是在實數(shù)基礎上做延伸，將實數(shù)軸擴充為復平面；而復數(shù)的第二種幾何意義亦是在共線向量的基礎上衍生至共面向量.通過兩種幾何意義的回顧，在幾何角度上完成實、復數(shù)的區(qū)分與統(tǒng)一.同時，在幾何意義背景下從復數(shù)概念到復數(shù)運算的遷移與思考，使得復數(shù)概念的幾何意義得到應用與深化.學生總結本節(jié)課的第二個重點知識“復數(shù)加（減）法運算的幾何意義”，明確復數(shù)加（減）法運算本質(zhì)上是關于其實、虛結構的一次二項式加（減）法.在復數(shù)加（減）法幾何意義中，考慮到實數(shù)本身是作為復數(shù)的真子集，復數(shù)的加（減）運算及幾何意義也應適用于實數(shù)集，但實數(shù)集顯然更具特殊性.事實上，在實數(shù)加（減）法的幾何意義探討上，我們只需將平面向量特殊成與軸共線的向量即可.答案：（1）復數(shù)的幾何意義一：復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應；復數(shù)的幾何意義二：復數(shù)與平面向量一一對應.復數(shù)加（減）法運算與點坐標加（減）法運算、向量加（減）法運算相呼應.復數(shù)的加減運算同樣也具有相關的幾何意義.例如，，在復數(shù)的幾何意義一下，復數(shù)對應點，復數(shù)對應點，則所對應的點可理解為點作遷移運動，即將點往右平移2個單位長度，再往下平移個單位長度，得到的新點；在復數(shù)的幾何意義二下，復數(shù)對應向量，復數(shù)對應向量，則所對應的向量可理解為向量與向量的和向量，即.（2）實數(shù)作為一類特殊的元素存在于復數(shù)系中，同樣和復數(shù)具有相同的幾何意義，實數(shù)對應的點與向量所在的幾何空間，亦是復數(shù)所在幾何空間的一部分特殊結構.（3）復數(shù)加（減）的幾何意義在實數(shù)中仍然適用.教學反思復數(shù)的幾何意義是從幾何角度重新認識復數(shù)，也是從“形”的角度說明了虛數(shù)的存在性.從復數(shù)有序數(shù)對的本質(zhì)出發(fā)，通過有序數(shù)對與點、平面向量的