湖南圣級(jí)名校2025屆高三數(shù)學(xué)第七次5月大聯(lián)考試題理

PAGE12-湖南省頂級(jí)名校2025屆高三數(shù)學(xué)第七次（5月）大聯(lián)考試題理留意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U＝Z，A＝{1，2，3，4}，B＝{x|(x＋1)(x－3)>0，x∈Z}，則A∩(B)＝A.{1，2}B.{2，3}C.{1，2，3}D.{1，2，3，4}2.已知復(fù)數(shù)z＝，則z的共軛復(fù)數(shù)＝A.B.C.D.3.函數(shù)y＝ax－(a>0，a≠1)的圖象可能是4.(1－2t)(1＋t)6的綻開式中，t3項(xiàng)的系數(shù)為A.20B.30C.－10D.－245.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明白孿生素?cái)?shù)(注：素?cái)?shù)也叫做質(zhì)數(shù))猜想的一個(gè)弱化形式。孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問(wèn)題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p使得p＋2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對(duì)(p，p＋2)稱為孿生素?cái)?shù)。從20以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取兩個(gè)，其中能構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率為A.B.C.D.6.如圖所示的程序框圖，則輸出的x，y，z的值分別是A.，600，B.1200，500，300C.1100，400，600D.300，500，12007.若θ∈[]，sin2θ＝，則sinθ＝A.B.C.D.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上的一點(diǎn)，若△OFM的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為36π，則p＝A.2B.4C.6D.89.在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC為等邊三角形，PA＝AB，E是PC的中點(diǎn)，則異面直線AE和PB所成角的余弦值為A.B.C.D.10.直線x＝2與雙曲線的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上隨意一點(diǎn)，若(a，b∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則下列不等式恒成立的是A.|ab|＝2B.a2＋b2≥4C.|a－b|≥2D.|a＋b|≥211.已知函數(shù)f(x)＝cosxsin2x，給出下列命題：①x∈R，都有f(－x)＝－f(x)成立；②存在常數(shù)T≠0，x∈R恒有f(x＋T)＝f(x)成立；③f(x)的最大值為；④y＝f(x)在[]上是增函數(shù)。以上命題中正確的為A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④12.已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax2＋(a－1)x＋a(a>0)的值域與函數(shù)f(f(x))的值域相同，則a的取值范圍為A.(0，1]B.(1，＋∞)C.(0，]D.[，＋∞)第II卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把各題答案的最簡(jiǎn)形式寫在題中的橫線上。13.已知向量a＝(1，4)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)與(2a－b)共線，則實(shí)數(shù)k＝。14.某中學(xué)有學(xué)生3600名，從中隨機(jī)抽取300名調(diào)查他們的居住地與學(xué)校之間的距離，其中不超過(guò)1公里的學(xué)生共有15人，不超過(guò)2公里的學(xué)生共有45人，由此估計(jì)該學(xué)校全部學(xué)生中居住地到學(xué)校的距離在(1，2]公里的學(xué)生有人。15.如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，cos∠PEF＝，若A，B，C，D，P在同一球面上，則此球的體積為。16.如圖，在△ABC中，AC⊥BC，D為BC邊上的點(diǎn)，M為AD上的點(diǎn)，CD＝1，∠CAB＝∠MBD＝∠DMB，則AM＝。三、解答題：本大題共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分17.(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}和遞增的等比數(shù)列{bn}滿意：a1＝1，b1＝3且b3＝2a5＋3a2，b2＝a4＋2。(1)分別求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若對(duì)隨意的n∈N*，kbn≥Sn恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。18.(本小題滿分12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，AB＝AA1，∠BAA1＝60°。(1)求證：A1C⊥B1A1；(2)若平面ABC⊥平面ABB1A1，且AB＝BC，求直線CB1與平面A1BC所成角的正弦值。19.(本小題滿分12分)2024年上半年我國(guó)多個(gè)省市暴發(fā)了“非洲豬瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時(shí)間豬肉價(jià)格暴漲，其他肉類價(jià)格也跟著大幅上揚(yáng)，嚴(yán)峻影響了居民的生活。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我國(guó)政府一方面激勵(lì)有條件的企業(yè)和散戶防控疫情，擴(kuò)大生產(chǎn)；另一方面主動(dòng)向多個(gè)國(guó)家開放豬肉進(jìn)口，擴(kuò)大肉源，確保市場(chǎng)供應(yīng)穩(wěn)定。某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當(dāng)前市場(chǎng)形勢(shì)，確定響應(yīng)政府號(hào)召，擴(kuò)大生產(chǎn)。決策層調(diào)閱了該企業(yè)過(guò)去生產(chǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)，就“一天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關(guān)系”進(jìn)行探討?，F(xiàn)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：(1)探討員甲依據(jù)以上數(shù)據(jù)認(rèn)為y與x具有線性回來(lái)關(guān)系，請(qǐng)幫他求出y關(guān)于x的線性回來(lái)方程；(保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字)(2)探討員乙依據(jù)以上數(shù)據(jù)得出y與x的回來(lái)模型：。為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，請(qǐng)完成以下任務(wù)：①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.01元)(備注：稱為相應(yīng)于點(diǎn)(xi，yi)的殘差)；②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并通過(guò)比較Q1，Q2的大小，推斷哪個(gè)模型擬合效果更好。(3)依據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，生豬存欄數(shù)量達(dá)到1萬(wàn)頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.5元；生豬存欄數(shù)量達(dá)到1.2萬(wàn)頭時(shí)，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均收入為7.2元。若按(2)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一頭豬的平均成本，問(wèn)該生豬存欄數(shù)量選擇1萬(wàn)頭還是1.2萬(wàn)頭能獲得更多利潤(rùn)?請(qǐng)說(shuō)明理由。(利潤(rùn)＝收入－成本)參考公式：。參考數(shù)據(jù)：。20.(本小題滿分12分)已知A(x0，0)，B(0，y0)兩點(diǎn)分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，且|AB|＝1，若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿意。(1)求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)動(dòng)直線l與曲線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，與圓x2＋y2＝7相交于兩點(diǎn)P1，P2(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上)，求直線OP1、OP2的斜率之積。21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝＋lnx(a∈R，a為常數(shù))。。(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)在(e，＋∞)內(nèi)有極值，試比較ea－1與ae－1的大小，并證明你的結(jié)論。(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，若多做，則按所做的第一題記分。22.(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C1的方程為x2＋(y－1)2＝1。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(1)求直線l和曲