高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：統(tǒng)計(jì)模型（題型戰(zhàn)法）

第九章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)模型

9.2.1統(tǒng)計(jì)模型（題型戰(zhàn)法）

知識(shí)梳理

一線(xiàn)性回歸方程及其應(yīng)用

n__八__

S（七一x）（y—y）X-nxy

1.相關(guān)系數(shù)：r=「“=-“

■（玉-%）2支（%-y）2J（f片-履）（￡＞：-〃『）

V1=1i=lVi=lZ=1

用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度。

（1）當(dāng)|廠區(qū)1,當(dāng)廠＞0時(shí)，變量y與X正相關(guān)，當(dāng)廠＜0時(shí)，變量y與％負(fù)相關(guān)。

（2）|/-|＜1,且|川越接近1,相關(guān)程度越強(qiáng)；且|川越接近0,相關(guān)程度越弱，幾乎不存在。

2.求線(xiàn)性回歸方程的步驟：

（1）利用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系;

（2）列表求出工亍等。

（3）線(xiàn)性回歸方程￡=%+&,其中6==譽(yù)號(hào)7嚼,a=y-bx

x—xxo

Si=i（i）Si=ij-nx

二獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中的應(yīng)用

解題步驟：（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)原理只能解決兩個(gè)對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象有兩類(lèi)屬性的問(wèn)題，所以對(duì)于一

個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們要明確能否用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想加以解決；

（2）如果確實(shí)屬于這類(lèi)問(wèn)題，要科學(xué)的抽取樣本，樣本容量要適當(dāng)，不可太??；

（3）根據(jù)數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表；

（4）提出假設(shè)%:所研究的兩類(lèi)對(duì)象無(wú)關(guān)；

根據(jù)公式計(jì)…許*整”

(5)的值;

（6）比較觀測(cè)值上與臨界值表中相應(yīng)的檢驗(yàn)水平，根據(jù)小概率原理肯定或否定假設(shè)，判斷是否相

關(guān)。

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一相關(guān)系數(shù)與誤差分析

典例i.對(duì)兩個(gè)變量y與x進(jìn)行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)〃如下，其中擬

合效果最好的模型是（）

①模型I的相關(guān)系數(shù)『為0.25；②模型n的相關(guān)系數(shù)〃為0.80；

③模型HI的相關(guān)系數(shù)r為-0.50;④模型W的相關(guān)系數(shù)r為-0.90;

A.IB.IIC.IIID.IV

變式1-L下列有關(guān)樣本線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)廠的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（）

A.相關(guān)系數(shù)r可用來(lái)衡量x與y之間的線(xiàn)性相關(guān)程度

B.且卜|越接近o,相關(guān)程度越小

C.卜|<1,且卜|越接近1,相關(guān)程度越大

D.卜歸1,且川越接近1,相關(guān)程度越小

變式1-2.某統(tǒng)計(jì)部門(mén)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖.

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

()0

1015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為勺相關(guān)系數(shù)為r2

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

0

5101520253035101520253035

相關(guān)系數(shù)為-3相關(guān)系數(shù)為七

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

A.r^<r2<rx<r3B.r2<r^<r{<r3C.r2<r^<r3<r{D.r^<r2<r3<r{

變式1-3.下列命題是真命題的有（）

A.經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（為,％）,卜2，%），…，（尤.，％）中的一個(gè)

B.可以用相關(guān)系數(shù)廠來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)變量x和y線(xiàn)性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，廠的值越小，說(shuō)明兩個(gè)變量線(xiàn)性

相關(guān)程度越弱

C.在回歸分析中，決定系數(shù)店=0.80的模型比決定系數(shù)玄=0.98的模型擬合的效果要好

D.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

變式1-4.關(guān)于線(xiàn)性回歸的描述，下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心B.殘差平方和越小，擬合效果越好

C.決定系數(shù)笈越接近1,擬合效果越好D.殘差平方和越小，決定系數(shù)改越小

題型戰(zhàn)法二回歸分析

典例2.哈三中高二數(shù)學(xué)備課組對(duì)學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)據(jù)如下表所示:

X46810

y2356

（1）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出》關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程9=%+加

（2）根據(jù)（1）中求出的線(xiàn)性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的學(xué)生的判斷力.

E（無(wú)，一牙）（》一刃附

（參考公式：3=—----------T--------,a=y-bx^

i=li=l

變式2-1.防疫抗疫，人人有責(zé),隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢(shì)越來(lái)越嚴(yán)峻，防疫物資需求

量急增.下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬(wàn)元）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):

月份X12345

訂單y2024m4352

⑴求y關(guān)于尤的線(xiàn)性回歸方程，并估計(jì)6月份該廠的訂單數(shù);

⑵求相關(guān)系數(shù)廠（精確到0.01）,說(shuō)明y與X之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系.

555_2

參考數(shù)據(jù)：Zx=175,￡X/=608,y）=700.5。2.646,V10?3.162.

i=li=li=l

參考公式:相關(guān)系數(shù)廠=回歸直線(xiàn)的方程是y=6無(wú)+。,

[(%-x)(x-y)-rixy

---------=三--------

%x,\-君2￡x；-位2

i=lz=l

A.—；—

a=y-bx

變式2-2.某服裝企業(yè)采用服裝個(gè)性化設(shè)計(jì)為客戶(hù)提供服務(wù)，即由客戶(hù)提供身材的基本數(shù)據(jù)用于個(gè)

人服裝設(shè)計(jì).該企業(yè)為了設(shè)計(jì)所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn)，隨機(jī)地抽取了10位男子的身高和臂長(zhǎng)的數(shù)據(jù),

數(shù)據(jù)如下表所示:

身高x/cm164165168172173176178181182191

臂長(zhǎng)y/cm160164161170175181170182180187

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求男子的身高預(yù)報(bào)臂長(zhǎng)的線(xiàn)性回歸方程￡=%+4,并預(yù)報(bào)身高為170cm的

男子的臂長(zhǎng)（男子臂長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果精確到0。1）;

（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，兩個(gè)變量x、y的相關(guān)系數(shù)「的大小可表明兩變量間的相關(guān)性強(qiáng)弱.一般地，

如果|r|e[0.75,1],那么相關(guān)性很強(qiáng);如果加仁[0.30,0.75）,那么相關(guān)性一般；如果卜|軌0,0.30）,

那么沒(méi)有相關(guān)性.求出廠的值，并判斷變量的相關(guān)性強(qiáng)弱（結(jié)果精確到0.01）.

1010

附：線(xiàn)性回歸方程+&其中&=歹-笳，￡1.022，WX=1750,^y-1730,

i=li=l

，（七一?。ā?y）10_______

r

=/“，1.I“一,工（X：—x）（yi-y）=648,J’634x8062715,,635x817?720

變式2-3.某市為吸引大學(xué)生人才來(lái)本市就業(yè)，大力實(shí)行人才引進(jìn)計(jì)劃，提供現(xiàn)金補(bǔ)貼，為了解政

策的效果，收集了2011-2020年人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù)數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)），統(tǒng)計(jì)如下（年份代碼1-10分

28292304

別代表2011-2020年）其中Zj=In%,wt=lnx.,e-~16.44,e-~18.54,e?20.91,

lnll?2.40.In12?2.48,In13?2.56,In2022?7.61.

年份代碼X12345678910

引進(jìn)人數(shù)y3.45.77.38.59.610.210.811.311.611.8

c+dx

⑴根據(jù)數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷，y-a+bx,y=&■,y=+771nx哪一個(gè)適合作為該市人才引進(jìn)

就業(yè)人數(shù)y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）

10_

￡(x,-X)2

XyZw

Z=1

5.59.022.141.5182.5

10_1010__10__

Z(叱-川)2￡(±7)卜->)Z(巧-磯%-y)

止11=1Z=1Z=1

4.8472.29.6718.41

⑵根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于龍的回歸方程；（所有過(guò)程保留兩位小數(shù)）

（3）試預(yù)測(cè)該市2022年的人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù).

參考公式：b=-s]—;,------,a=y—bx.

z=l

變式2-4.如圖是某市2011年至2020年當(dāng)年在售二手房均價(jià)（單位：千元/平方米）的散點(diǎn)圖（圖

中年份代碼1~10分別對(duì)應(yīng)20n年~2020年）.現(xiàn)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇用〉=。+麻和〉=y4'兩個(gè)模型對(duì)

年份代碼x和房?jī)r(jià)》的關(guān)系進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)模型對(duì)應(yīng)回歸方程的相關(guān)指數(shù)R2和一

些統(tǒng)計(jì)量的值，如下表：

，當(dāng)年在售二手房均價(jià)”千元

12-

11-

10-

9-

8-

7-?

6-????

5-?

1■年份代石取

(,111_______II_______11111A

o12345678910

模型y=a+bxy=e*

相關(guān)指數(shù)R20.88210.9046

101010

￡(乙-可2

yVV元)(y-9)2（%-元）（嗎一切）

i=\i=\Z=1

6.811.8982.544.556.6

表中嗎=lny,w=-Y,wi-

iuz=i

⑴請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)出判斷：哪個(gè)模型的擬合效果更好；并求出該模型對(duì)應(yīng)的回歸方程（參數(shù)估計(jì)

值精確到0.01）；

⑵根據(jù)（1）得到的方程預(yù)計(jì)；到哪一年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過(guò)10.5千元/平方米.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（4,匕），（孫匕），…，（""M），其回歸線(xiàn)v=a+的的斜率和截距的最小二

,f（"廠方）（匕-可

乘估計(jì)分別為：6=----------------，&-應(yīng)■.參考數(shù)據(jù)：e235?10.49,e236?10.59.

方『

Z=1

題型戰(zhàn)法三獨(dú)立性檢驗(yàn)

典例3.隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，消費(fèi)者對(duì)食品安全的關(guān)注度越來(lái)越高，通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)某地區(qū)110名

居民在購(gòu)買(mǎi)食品時(shí)是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期等內(nèi)容，得到如下的列聯(lián)表：

60歲以下60歲以上總計(jì)

看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期503080

不看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期102030

總計(jì)6050110

⑴從這50名60歲以上居民中按是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期采取分層抽樣，抽取一個(gè)容量為5的樣

本，問(wèn)樣本中看與不看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期的60歲以上居民各有多少名？

⑵根據(jù)以上列聯(lián)表，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的情況下，是否有把握認(rèn)為“該地區(qū)居民的年齡與

在購(gòu)買(mǎi)食品時(shí)是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期”有關(guān)？

n^ad-bc^

附:其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'

2

P(K>k0)0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

變式3-1.信息時(shí)代人們對(duì)通信功能的要求越來(lái)越高，5G的拓展運(yùn)營(yíng)在西部得到某科技公司的大

力推進(jìn).已知該公司現(xiàn)有1000名員工，其中女員工400名,為了解員工在某個(gè)月內(nèi)推進(jìn)5G運(yùn)行指標(biāo)

的情況，采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

運(yùn)行指標(biāo)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]

頻率0.15m0.250.150.10

⑴求相的值，并估計(jì)該科技公司該月推進(jìn)5G運(yùn)行指標(biāo)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中

點(diǎn)值為代表）；

⑵若將推進(jìn)5G運(yùn)行指標(biāo)不低于75的員工評(píng)為“璀璨之星”，已知該月被評(píng)為“璀璨之星”的男員工

有10人，完成如下2x2列聯(lián)表，并且判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為被評(píng)為“璀璨之星”與性別有關(guān).

“璀璨之星”非“璀璨之星”合計(jì)

男員工

女員工

合計(jì)

〃(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.1500.1000.0500.0250.010

k2.0722.7063.8415.0246.635

變式3-2.2022年6月17日，我國(guó)第三艘航空母艦“中國(guó)人民解放軍海軍福建艦”下水試航，這是

我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)建造的首艘彈射型航空母艦，采用平直通長(zhǎng)飛行甲板，配置電磁彈射和阻攔裝

置，滿(mǎn)載排水量8萬(wàn)余噸.“福建艦”的建成，下水及試航，是新時(shí)代中國(guó)強(qiáng)軍建設(shè)的重要成果.某

校為紀(jì)念“福建艦”下水試航，增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)防意識(shí)，組織了一次國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽，共有100名學(xué)生參

賽，成績(jī)均在區(qū)間［50,100］上，現(xiàn)將成績(jī)制成如圖所示頻率分布直方圖(每組均包括左端點(diǎn)，最后

一組包括右端點(diǎn)).

⑴學(xué)校計(jì)劃對(duì)成績(jī)不低于平均分的參賽學(xué)生進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表，試求受獎(jiǎng)勵(lì)的分?jǐn)?shù)線(xiàn)的估計(jì)值；

⑵對(duì)這100名參賽學(xué)生的成績(jī)按參賽者的性別統(tǒng)計(jì)，成績(jī)不低于80分的為“良好”，低于80分的

為“不良好”得到如下未填寫(xiě)完整的列聯(lián)表.

良好不良好合計(jì)

男48

女16

合計(jì)

(i)將列聯(lián)表填寫(xiě)完整；

(石)是否有95%以上的把握認(rèn)為參賽學(xué)生的成績(jī)是否良好與性別有關(guān)?

付K?n^ad—bc^

(a+Z?)(c+d)(〃+c)(b+d)

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

變式3-3.根據(jù)某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的原始記錄數(shù)據(jù)繪制了如下莖葉圖:

甲乙

80

463125

368254

389316679

2449

150

⑴根據(jù)莖葉圖判斷哪位運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)更好？并說(shuō)明理由；

⑵求24個(gè)得分的中位數(shù)m,并將所得分超過(guò)m和不超過(guò)m的得分?jǐn)?shù)填入下面的列聯(lián)表:

超過(guò)m不超過(guò)m

甲

乙

⑶根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每場(chǎng)比賽得分有差異?

n(ad-bc)1

(Q+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.150.100.05

k02.0722.7063.841

變式3-4.隨著人們生活水平的提高，國(guó)家倡導(dǎo)綠色安全消費(fèi)，菜籃子工程從數(shù)量保障型轉(zhuǎn)向質(zhì)量

效益型，為了測(cè)試A、B兩種不同有機(jī)肥料的使用效果，某科研單位用黃瓜做對(duì)比實(shí)驗(yàn)，分別在兩

片實(shí)驗(yàn)區(qū)各摘取100個(gè)，對(duì)其質(zhì)量的某項(xiàng)指標(biāo)值進(jìn)行檢測(cè)，質(zhì)量指數(shù)達(dá)到45及以上的為“質(zhì)量?jī)?yōu)

等“，由測(cè)量結(jié)果繪成頻率分布直方圖，其中質(zhì)量指標(biāo)值分組區(qū)間是網(wǎng),35),[35,40),[40,45),[45,50),

頻率

(B)

⑴分別求A實(shí)驗(yàn)區(qū)黃瓜質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)和中位數(shù)；(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果保留

小數(shù)點(diǎn)后一位有效數(shù)字)

⑵請(qǐng)根據(jù)題中信息完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“質(zhì)量?jī)?yōu)等”與使用肥

料有關(guān).

A有機(jī)肥料B有機(jī)肥料合計(jì)

質(zhì)量?jī)?yōu)等

質(zhì)量非優(yōu)等

合計(jì)

n^ad-bcy

2其中n=a-\-b~\-c~\-d,

z(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)'

尸(

?>X0)0.1000.0500.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

第九章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)模型

9.2.1統(tǒng)計(jì)模型（題型戰(zhàn)法）

知識(shí)梳理

一線(xiàn)性回歸方程及其應(yīng)用

〃__n__

Z（X,—x）（x—y）Z七％—nxy

1.相關(guān)系數(shù)：r=J「“=i〃

一（%-%）-（%7）2J（儲(chǔ)2這片_〃y2）

yi=li=lYi=li=l

用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度。

（1）當(dāng)|廠區(qū)1,當(dāng)廠＞0時(shí)，變量y與X正相關(guān)，當(dāng)廠＜0時(shí)，變量y與X負(fù)相關(guān)。

（2）|r|＜l,且|川越接近1,相關(guān)程度越強(qiáng)；且|川越接近0,相關(guān)程度越弱，幾乎

不存在。

2.求線(xiàn)性回歸方程的步驟：

（1）利用散點(diǎn)圖或進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)判斷兩個(gè)變量具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系；

（2）歹！J表求出x,y等。

（3）線(xiàn)性回歸方程￡=%+&,其中6=ER%］）飛/）=個(gè)零,a=y-bxo

Sili（xi-x）2ZiLiXf-nx

二獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中的應(yīng)用

解題步驟：（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)原理只能解決兩個(gè)對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象有兩類(lèi)屬性的問(wèn)題，

所以對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們要明確能否用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想加以解決；

（2）如果確實(shí)屬于這類(lèi)問(wèn)題，要科學(xué)的抽取樣本，樣本容量要適當(dāng)，不可太??；

（3）根據(jù)數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表；

（4）提出假設(shè)修：所研究的兩類(lèi)對(duì)象無(wú)關(guān)；

（5）根據(jù)公式計(jì)算片=-n（ad「bcy_的值；

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

（6）比較觀測(cè)值左與臨界值表中相應(yīng)的檢驗(yàn)水平，根據(jù)小概率原理肯定或否定假設(shè),

判斷是否相關(guān)。

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一相關(guān)系數(shù)與誤差分析

典例1.對(duì)兩個(gè)變量y與x進(jìn)行回歸分析，分別選擇不同的模型，它們的相關(guān)系數(shù)「如

下，其中擬合效果最好的模型是（）

①模型I的相關(guān)系數(shù)r為0.25；②模型n的相關(guān)系數(shù)『為。80；

③模型ni的相關(guān)系數(shù)r為-0.50;④模型IV的相關(guān)系數(shù)r為-0.90;

A.IB.IIC.IllD.IV

【答案】D

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的大小對(duì)相關(guān)關(guān)系強(qiáng)弱的判定，即可解出.

【詳解】因?yàn)椴穦越趨近于1,相關(guān)性越強(qiáng)，模型擬合效果越好，

所以擬合效果最好的模型是IV.

故選:D.

變式1-1.下列有關(guān)樣本線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)廠的說(shuō)法，錯(cuò)誤的是（）

A.相關(guān)系數(shù)r可用來(lái)衡量x與y之間的線(xiàn)性相關(guān)程度

B.|r|<l,且上|越接近0,相關(guān)程度越小

C.|r|<l,且越接近1,相關(guān)程度越大

D.|r|<l,且M越接近1,相關(guān)程度越小

【答案】D

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】相關(guān)系數(shù)是來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度的，線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)是一個(gè)

絕對(duì)值小于等于1的量，并且它的絕對(duì)值越大就說(shuō)明相關(guān)程度越大，所以不正確的

只有D.

故選：D.

變式1-2.某統(tǒng)計(jì)部門(mén)對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖.

35

30

25

20

15

10

5

5101520253035

相關(guān)系數(shù)為小

3535

3030

2525

2020

1515

1010

55

0

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為〃3相關(guān)系數(shù)為七

下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）

<r<r<r

A.h2\T,B.C.r2<r4<r3<r}D.r^<r2<r3<rx

【答案】C

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可得相關(guān)性的強(qiáng)弱，即可比較大小.

【詳解】由圖可知：與，6所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且弓對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比

4對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故0<4<4，04所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)

散點(diǎn)的分布情況可知2<4<。,因此4<〃<4",

故選：C

變式1-3.下列命題是真命題的有（）

A.經(jīng)驗(yàn)回歸方程>意+4至少經(jīng)過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（%,%）,（馬，%），…，（%，%）中的一個(gè)

B.可以用相關(guān)系數(shù)廠來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)變量尤和y線(xiàn)性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，廠的值越小，說(shuō)

明兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)程度越弱

C.在回歸分析中，決定系數(shù)尺2=0.80的模型比決定系數(shù)尺2=。98的模型擬合的效果要

好

D.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

【答案】D

【分析】根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程、相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)、殘差等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A,經(jīng)驗(yàn)回歸方程$=菽+&是由最小二乘法計(jì)算出來(lái)的，它不一定經(jīng)

過(guò)其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，一定經(jīng)過(guò)（元，9），所以A是假命題；

對(duì)于B,由相關(guān)系數(shù)的意義，當(dāng)卜|越接近1時(shí)，表示變量y與x之間的線(xiàn)性相關(guān)程

度越強(qiáng)，所以B是假命題；

對(duì)于C,用決定系數(shù)爐的值判斷模型的擬合效果，爐越大，模型的擬合效果越好,

所以C是假命題；

由殘差的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義知，D為真命題.

故選：D

變式1-4.關(guān)于線(xiàn)性回歸的描述，下列命題錯(cuò)誤的是()

A.回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心B.殘差平方和越小，擬合效果越好

C.決定系數(shù)R2越接近1,擬合效果越好D.殘差平方和越小，決定系數(shù)R2越小

【答案】D

【分析】根據(jù)線(xiàn)性回歸的性質(zhì)判斷即可

【詳解】對(duì)A,回歸直線(xiàn)一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心正確；

對(duì)B,殘差平方和越小，擬合效果越好正確；

對(duì)C,決定系數(shù)R2越接近1,擬合效果越好正確；

對(duì)D,殘差平方和越小，擬合效果越好，決定系數(shù)K越接近1,故D錯(cuò)誤；

故選：D

題型戰(zhàn)法二回歸分析

典例2.哈三中高二數(shù)學(xué)備課組對(duì)學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)

據(jù)如下表所示：

46810

y2356

(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程夕=%+4；

(2)根據(jù)(1)中求出的線(xiàn)性回歸方程，預(yù)測(cè)記憶力為9的學(xué)生的判斷力.

nn

^(x,.-x)(y,.-y)一網(wǎng)

(參考公式：b=----------T--------，a=y-bx)

元『支考_怖2

i=li=l

【答案】(1)y=o.7x-o.9;(2)判斷力為5.4.

【分析】(1)直接利用公式求解即可

(2)把x=9代入回歸方程中求解

-]-1

【詳解】解：(1)由表中數(shù)據(jù)可得x=T(4+6+8+10)=7,y=：(2+3+5+6)=4,

44

4____

￡元/?-4xy=4x2+6x3+8x5+10x6-4x7x4=14,

Z=1

4-

222222

2蒼2_以=4+6+8+10-4x7=20,

i=l

4

^x^-nxy

i=\__________

所以6=-4

￡X；_加2

i=l

所以&=y—bx=4-0.7x7=-0.9,

所以y關(guān)于X的線(xiàn)性回歸方程為y=0.7%-0.9,

（2）當(dāng)x=9時(shí)，＞=0.7x9—0.9=54,

所以記憶力為9的學(xué)生的判斷力約為5.4

變式2-1.防疫抗疫，人人有責(zé)，隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢(shì)越來(lái)越嚴(yán)峻,

防疫物資需求量急增.下表是某口罩廠今年的月份x與訂單》（單位：萬(wàn)元）的幾組

對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：

月份X12345

訂單y2024m4352

（1）求y關(guān)于X的線(xiàn)性回歸方程，并估計(jì)6月份該廠的訂單數(shù);

（2）求相關(guān)系數(shù)『（精確到0.01）,說(shuō)明y與X之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系.

參考數(shù)據(jù)：X%=175,WX%=608,3（%7）=70°.522.646,加々3.162.參考

z=li=li=l'

公式：相關(guān)系數(shù)r=回歸直線(xiàn)的方程是y=6x+。，其中

￡（%-君（%-了）—rixy

g=-^1-----------------------=旦---------

之（X,-君2-偵2-

z=li=l

-，-

a=y—bx

【答案】⑴y=8.3x+10.1,6月份該廠的訂單數(shù)為59.9萬(wàn)元;

（2）0.99,＞與％之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.

【分析】（1）求出5與G的值，可得y關(guān)于1的線(xiàn)性回歸方程，取X=6求得54直得答

案；

（2）由已知數(shù)據(jù)求得r值，可得y與X的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,故y與X之間的線(xiàn)性

相關(guān)程度相當(dāng)高.

(1)

5

由題可得：-1+2+3+4+5「自升1755

解:=55

x=-----------------二3,y=——=-----

5551=1

__^X，y'-_608-5x3x35

二￡九一孩一55-5x3°

4=5-位=35-8.3x3=10.1,

，＞關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程為y=8.3X+10.1,

2022年6月對(duì)應(yīng)的變量為6,將x=6代入＞=8.3尤+10.1,

得夕=8.3x6+10.1=59.9,

估計(jì)6月份該廠的訂單數(shù)為59.9萬(wàn)元.

（2）

?1與龍之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.

變式2-2.某服裝企業(yè)采用服裝個(gè)性化設(shè)計(jì)為客戶(hù)提供服務(wù)，即由客戶(hù)提供身材的基

本數(shù)據(jù)用于個(gè)人服裝設(shè)計(jì).該企業(yè)為了設(shè)計(jì)所用的數(shù)據(jù)更精準(zhǔn)，隨機(jī)地抽取了10

位男子的身高和臂長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如下表所示：

身IWJ%/cm164165168172173176178181182191

臂長(zhǎng)y/cm160164161170175181170182180187

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求男子的身高預(yù)報(bào)臂長(zhǎng)的線(xiàn)性回歸方程5-浪+&,并預(yù)報(bào)身

高為170cm的男子的臂長(zhǎng)（男子臂長(zhǎng)計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；

（2）統(tǒng)計(jì)學(xué)認(rèn)為，兩個(gè)變量x、＞的相關(guān)系數(shù)廠的大小可表明兩變量間的相關(guān)性強(qiáng)

弱.一般地，如果加仁[0.75,1],那么相關(guān)性很強(qiáng)；如果|r|e[0.30,0.75）,那么相關(guān)

性一般；如果|收[0,0.30）,那么沒(méi)有相關(guān)性.求出r的值，并判斷變量x、y的相關(guān)

性強(qiáng)弱（結(jié)果精確到0Q1）.

1010

附：線(xiàn)性回歸方程9=標(biāo)+&其中&羨,就1.022，￡尤，=1750,2丫，=1730,

4=14=1

工（七一君（X一9）

10

r

=舊I「…1農(nóng)……-%）（y-y）=648,4634x806?715,J635x817?720

【答案】（1）y=1.022^-5.85；167.89cm；（2）r?0.91；變量工廣間的相關(guān)性很強(qiáng).

【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出U，從而利用d=y-故可求出6,進(jìn)而可得回歸

方程，然后當(dāng)x=170時(shí)，代入回歸方程可求出身高為170cm的男子的臂長(zhǎng)；

（2）直接利用公式和已知的數(shù)據(jù)求解相關(guān)系數(shù)，再根據(jù)所給數(shù)據(jù)判斷強(qiáng)弱

1010

【詳解】⑴解:學(xué)_,學(xué)_

X-----------1/JV-------------1/J

10-10

由￡1.022，得&=》-加=173-1.022x175=-5.85

所以所求線(xiàn)性回歸方程為9=L022元-5.85

當(dāng)x=170時(shí)，夕=1.022xl70-5.85=167.89

所以身高為170cm的男性臂長(zhǎng)約為167.89的

10

Z（%-畫(huà)）（％一歹）

648

1=1?0.91

[76（w7634x5/806

因?yàn)閞e[0.75,1],所以變量％5間的相關(guān)性很強(qiáng).

變式2-3.某市為吸引大學(xué)生人才來(lái)本市就業(yè)，大力實(shí)行人才引進(jìn)計(jì)劃，提供現(xiàn)金補(bǔ)

貼，為了解政策的效果，收集了20H-2020年人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù)數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)）,

統(tǒng)計(jì)如下（年份代碼1-10分別代表2011-2020年）其中z，=lny,嗎=ln%,

e、8°i6.44,eZ92218.54看3~20.91,lnllB2.40,l1112n2.48,11113^2.56,In2022。7.61.

年份代碼X12345678910

引進(jìn)人數(shù)y3.45.77.38.59.610.210.811.311.611.8

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，并判斷，y=a+bx,y=ec+dx,y=m+771nx哪一個(gè)適合作為

該市人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù)y關(guān)于年份代碼x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必

說(shuō)明理由)

10_

X(xi-x)2

Xyzw

i=l

5.59.022.141.5182.5

10_101010__

Z(叱-W)2X(X>~XXZi~Z)

Z=1i=li=li=l

4.8472.29.6718.41

⑵根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(所有過(guò)程保留兩

位小數(shù))

⑶試預(yù)測(cè)該市2022年的人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù).

參考公式：b=--------;—,a=y—bx.

i=l

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)9=3.8。Inx+3.28

(3)12.704

【分析】(1)根據(jù)數(shù)據(jù)直接做圖，并根據(jù)圖判斷函數(shù)類(lèi)型;

(2)根據(jù)回歸方程計(jì)算公式和已知數(shù)據(jù)求解即可得出方程;

(3)將x=12代入回歸方程即可求解.

(1)

圖像

y=m+〃lnx適合作為該市人才引進(jìn)就業(yè)人數(shù)y關(guān)于年份代碼X的回歸方程類(lèi)型

⑵

(2)n=

叱.一W

i=l

m=y-?zw?9.02-3.80x1.51=3.28

$=3.801n%+3.28

(3)

(3)將x=12代入得y=3.80x2.48+3.28=12.704.

變式2-4.如圖是某市2011年至2020年當(dāng)年在售二手房均價(jià)(單位：千元/平方米)

的散點(diǎn)圖(圖中年份代碼1~10分別對(duì)應(yīng)2011年~2020年).現(xiàn)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇用

y=a+法和y=e?*兩個(gè)模型對(duì)年份代碼x和房?jī)r(jià)y的關(guān)系進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得

到兩個(gè)模型對(duì)應(yīng)回歸方程的相關(guān)指數(shù)4和一些統(tǒng)計(jì)量的值，如下表：

［當(dāng)年在售二手房均價(jià)"千元

12-

11-

9

S

7

6

5

1-年份代而取

,,I___I_____I_____I_____I_____I_____I_____I_____II,

o12345678910

^c+dx

模型y=a+bxy=e

相關(guān)指數(shù)后0.88210.9046

10c1010

之（七-元）（）（）

yVV2x,.-xy,.-yZ（x,-?。ㄟ?刃）

i=li=li=l

6.811.8982.544.556.6

_1W

表中嗎=ln%,藥嗎.

1Ui=i

⑴請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)&判斷：哪個(gè)模型的擬合效果更好；并求出該模型對(duì)應(yīng)的回歸方

程（參數(shù)估計(jì)值精確到0.01）；

（2）根據(jù)（1）得到的方程預(yù)計(jì)；到哪一年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過(guò)10.5

千元/平方米.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（小匕），（％,匕），…，（""#"），其回歸線(xiàn)"=夕+"的斜率和

截距的最小二乘估計(jì)分別為：6=千----------，&=天-瓦7.參考數(shù)據(jù)：e235?10.49,

i=l

e236?10.59.

【答案】⑴模型y=e*的擬合效果更好，Re-

（2）到2022年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過(guò)10.5千元/平方米

【分析】（1）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的數(shù)值可知模型>=6。+&的擬合效果更好，從而可得

lny=c+公，利用最小二乘法即可求解.

（2）由（1）將x=ll,x=12代入即可求解.

（1）

由相關(guān)指數(shù)氏°：0.9046>0.8821,知模型y=e*的擬合效果更好.

y=ec+dx,/.\ny=c+dx,令vv=lny,

可知w與x滿(mǎn)足線(xiàn)性模型回歸方程詁=2+各，

元=￡（1+2+…+10）=5.5,

10

-EU-月（叱-江）660

貝=J-----------------=^7=0.08,

vv_\282.5

?（七-町

2=1

c=w-dx=1.89-0.08x5.5=1.45,

所以回歸方程為W=1.45+0.08^，即$="+。則

⑵

235

將X=11代入，可得好233<e<10.5,

將x=12代入，nJWj=e241>e2-36>10.5,

所以，根據(jù)方程預(yù)計(jì)：到2022年，該市的當(dāng)年在售二手房均價(jià)能超過(guò)10.5千元/平

方米.

題型戰(zhàn)法三獨(dú)立性檢驗(yàn)

典例3.隨著經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，消費(fèi)者對(duì)食品安全的關(guān)注度越來(lái)越高，通過(guò)隨機(jī)詢(xún)

問(wèn)某地區(qū)no名居民在購(gòu)買(mǎi)食品時(shí)是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期等內(nèi)容，得到如下的列

聯(lián)表：

60歲以下60歲以上總計(jì)

看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期503080

不看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期102030

總計(jì)6050110

(1)從這50名60歲以上居民中按是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期采取分層抽樣，抽取一個(gè)

容量為5的樣本，問(wèn)樣本中看與不看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期的60歲以上居民各有多少

名？

(2)根據(jù)以上列聯(lián)表，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的情況下，是否有把握認(rèn)為“該地區(qū)

居民的年齡與在購(gòu)買(mǎi)食品時(shí)是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期”有關(guān)？

k-,（，其中〃_a+b+c+d.

附：,v

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）

2

P（K>k0）0.1000.0500.0250.0100.001

k。2.7063.8415.0246.63510.828

【答案】(1)樣本中看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期的60歲以上居民有3名，樣本中不看生產(chǎn)

日期與保質(zhì)期的60歲以上居民有2(名)；

(2)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的情況下，有把握認(rèn)為“該地區(qū)居民的年齡與在購(gòu)買(mǎi)食

品時(shí)是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期”有關(guān).

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣的定義，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.

(2)根據(jù)列聯(lián)表列出式子計(jì)算12,然后結(jié)合所給表格即可判斷.

(1)

根據(jù)分層抽樣可得：樣本中看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期的60歲以上居民有,X3O=3名，

樣本中不看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期的60歲以上居民有點(diǎn)x20=2(名).

(2)

根據(jù)題中的列聯(lián)表得lc=1Wx(50x20-30x10)^539。＞6635,

80x30x60x5072

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%的情況下，有把握認(rèn)為“該地區(qū)居民的年齡與在購(gòu)買(mǎi)

食品時(shí)是否看生產(chǎn)日期與保質(zhì)期”有關(guān).

變式3-1.信息時(shí)代人們對(duì)通信功能的要求越來(lái)越高，5G的拓展運(yùn)營(yíng)在西部得到某

科技公司的大力推進(jìn).已知該公司現(xiàn)有1000名員工，其中女員工400名.為了解員工

在某個(gè)月內(nèi)推進(jìn)5G運(yùn)行指標(biāo)的情況，采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取100名員工進(jìn)

行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

運(yùn)行指標(biāo)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95]

頻率0.15m0.250.150.10

(1)求m的值，并估計(jì)該科技公司該月推進(jìn)5G運(yùn)行』「旨標(biāo)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)注

該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(2)若將推進(jìn)5G運(yùn)