人教版初中八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義-約分與通分（解析版）

第02講約分與通分

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握最簡(jiǎn)分式的概念，并能夠熟練的進(jìn)行判斷。

①最簡(jiǎn)分式2.掌握公因式的概念能夠熟練的求分子分母的公因式，

②公因式與約分然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行約分。

③最簡(jiǎn)公分母與通分3.掌握最簡(jiǎn)公分母的概念，能夠熟練的求最簡(jiǎn)公分母，

然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行分式之間的通分。

思維導(dǎo)圖

公因式的假念與求i去

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01公因式

1.公因式的概念：

一個(gè)分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。

2.公因式的求法：

對(duì)分子分母進(jìn)行因式分解，然后求出系數(shù)的最大公因數(shù)與相同式子的最低次「。他們的

乘積為公因式。

題型考點(diǎn)：①求分子分母的公因式。

【即學(xué)即練1】

4m

1.分式rj中分子、分母的公因式為4mn.

20mn

【解答】解：分式-4mH-中分子、分母的公因式為4加小

20mn

故答案為：4m幾.

【即學(xué)即練2】

2.2

2.在分式XVXV中,分子與分母的公因式是XV

2xy

【解答】解：原分式中：分母=2盯；分子=孫（x+y）；因此分子與分母的公因式為孫.

知識(shí)點(diǎn)02最簡(jiǎn)分式

1.最簡(jiǎn)分式的概念:

分子分母沒有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)公因式。

題型考點(diǎn)：①判斷最簡(jiǎn)分式。

【即學(xué)即練1】

3.下列分式中,是最簡(jiǎn)分式的是（)

A.RX-lC.也D.

x2x2-l2xX-l

顰二當(dāng),不是最簡(jiǎn)分式,不符合題意;

【解答】解:A、

Xx

B、X-1x-l1,不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;

x2-11(x+1)(x-l)x+1

三上是最簡(jiǎn)分式，符合題意；

2x

D、-x-l）=7,不是最簡(jiǎn)分式,不符合題意;

X-lX-1

故選：C.

【即學(xué)即練2】

4.下列分式中，屬于最簡(jiǎn)分式的是（）

x+1

A-.B.

x2-11

Cx+12x

D.

Jd+2x+lx2+l

【解答】解：A、原式=2,不是最簡(jiǎn)分式,不符合題意;

X

B、原式=工，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;

X-1

C、原式=，，不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;

x+1

D、牛-是最簡(jiǎn)分式，符合題意；

x2+l

故選：D.

【即學(xué)即練3】

5.如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且這個(gè)分式是最簡(jiǎn)分式，那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分

式”.下列分式中，是“和諧分式”的是()(填序號(hào)即可).

①—②*;③4;④

x2+la2-b2x2-y(a+b)2

A.①B.②C.③D.@

【解答】解：①與L，分子、分母都不可以因式分解，不是“和諧分式”，不符合題意；

x2+l

②-於/a，2b_分母可以因式分解，是最簡(jiǎn)分式，是“和諧分式”，符合題意；

22

a-b(a+b)(a-b)

③_j+y。：一§一-=-^,分母可以因式分解，不是最簡(jiǎn)分式，不是“和諧分式”，不符合題

(x+y)(x-y)x-y

思；

2

④烏亡2=(a+b)(a：b)=三”,分子、分母可以因式分解，不是最簡(jiǎn)分式，不是“和諧分式”，

(a+b)2(a+b)2a+b

不符合題意；

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)03約分

1.約分的概念：

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分子分母的公因式約去,這個(gè)過程叫約分。

2.約分的步驟：

①對(duì)分式中能因式分解的分子或分母先進(jìn)行因式分解。

②約去分子分母的公因式即可。

題型考點(diǎn)：①約分。

【即學(xué)即練1】

22

6.分式15x乜z約分為_^^x_.

-10xyz22z

2

【解答】解：原式二5：yZ?3x

5xyzp（-2z）

__3x

—2?'

故答案為：-包.

2z

【即學(xué)即練2】

7.下列約分正確的是（）

B.e=1

b-a

2

r2a+4b_a_

C?-=a+4b2,2=~

ab

【解答】解：A.原式=（a+b）此選項(xiàng)正確;

a-b

B.原式=：-b7,此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

-（a-b）

C.原式=2（a+2b）=a+2b,此選項(xiàng)錯(cuò)誤;

2

D.原式=」、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

b2

故選：A.

【即學(xué)即練3】

若分式（）可以進(jìn)行約分化簡(jiǎn),則該分式中的不可以是（

8.X-?1x+2A)

（x-A）x

A.1B.xC.-xD.4

【解答】解：A=1或％或4時(shí)，分子分母有公因式，可以約分.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)04最簡(jiǎn)公分母與通分

1.通分的概念:

根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來分式值相等的同分母的分式的

過程叫做通分。這個(gè)相同的分母叫做最簡(jiǎn)公分母。

2.最簡(jiǎn)公分母的求法：

最簡(jiǎn)公分母=所有系數(shù)的最小公倍數(shù)義所有因式的最高次幕。對(duì)能進(jìn)行因式分解的分母

先因式分解，在確定所含有的因式。

3.通分的步驟：

①將所有能分解因式的分母分解因式。

②求出最簡(jiǎn)公分母

③利用分式的性質(zhì)在分子分母上同時(shí)乘一個(gè)因式，使分母變成最簡(jiǎn)公分母

題型考點(diǎn)：①求公分母。②對(duì)分式進(jìn)行通分。

【即學(xué)即練1】

9.分式一5—，且p2^的最簡(jiǎn)公分母是（

xy2xJ3xyZ

A.3孫B.6x3y2C.6x6y6D.

【解答】解：?%,上⑦分母分別是/y、2尤3、3沖2,故最簡(jiǎn)公分母是6*3y2；

xy2x33x/

故選：B.

【即學(xué)即練2】

10.分式一―與大,的最簡(jiǎn)公分母是（

x+5x

A.x(x+5)B.(x+5)(x-5)

C.x(x-5)D.x(x+5)(x-5)

【解答】解：分式T—與一—的最簡(jiǎn)公分母是尤（x+5）（x-5）.

x+5xx-25

故選：D.

【即學(xué)即練3】

11.分式手L，一一，一的最簡(jiǎn)公分母是()

2

X-XX-1X+2X+1

A.（%2-尤）（龍+1）B.(x2-1)(x+1)2

C.尤（尤-1）（x+1）2D.x(x+1)2

【解答】解：Vx2-x=x(x-1),x2-1=(x+1)(X-1),X2+2X+1=(X+1)2

???分式手L,一的最簡(jiǎn)公分母是x（x-1）（x+1）2

x-xx-1x+2x+l

故選：C.

【即學(xué)即練4】

12.通分：

(1)區(qū)與3x

3y

6cLe

(2)1一與---T

3ab"

【解答】解：(1)?.?旦與居的最簡(jiǎn)公分母是6y2,

3y2y2

.x_2xy,3x9x.

3y6y22y26y2

(2):號(hào)與上7的最簡(jiǎn)公分母是3/戶，

ab3ab

?6c_18bcc_ac

2,2,2?,2n2,2*

aboJaboSab3ab

【即學(xué)即練5】

13.通分：

(1)xy,2；

22,22

x-y'x+2xy+yx-y'

(2)1,3,x

2x+2x2Tx2+2x+l

【解答】解：(1)x(x?2,y手),2(廣)

(x+y)2(x-y)(x+y)Z(x-y)(x+y)Z(x-y)

⑵(x+1)(x-1)6(x+l),2x(x-1)

2(X+1)2(X-1)2(x+1)(x-l)2(X+1)2(X-1)

題型精講

題型01最簡(jiǎn)分式的判斷

【典例1】

下列各式中，最簡(jiǎn)分式是()

A34>3)B.x2+y2

22

85(x-y)xy+xy

c.D.

x+y2-2

vJxA

【解答】解：A、A的分子分母有最大公約數(shù)17,不是最簡(jiǎn)分式;

B,2的分子、分母都不能再分解，且不能約分，是最簡(jiǎn)分式；

C、y2-x2(y+x)(y-x)廠方

x+yx+y

D(x—)2_(x.)2_x燈;

y2-x2(y+x)(y-x)y-x'

故選：B.

【典例2】

下列分式是最簡(jiǎn)分式的是()

A.6(x-y)B.金近

8(x+y)x-y

cx?+y2Dx2+y2+2xy

x2y+xy2x2-y2

【解答】解：A、60-y?=3V,不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

8(x+y)4(x+y)

B、了2-乂2=(y+x)(y-x)=-x-y,不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意；

x-yx-y

2

C、二是最簡(jiǎn)分式，符合題意；

92tJ

xy+xy

2

D、*2+丫2+?丫=_(.x+y)_=x+y；不是最簡(jiǎn)分式，不符合題意;

22

x-y(x+y)(x-y)x-y

故選：c.

【典例3】

下列分式是最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)為（）

②—；③乎④戶

x2+y3a^bxz-4x'-5x-6

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：①手■是最簡(jiǎn)分式;

x2+y

②告-是最簡(jiǎn)分式；

3a，

⑨x+2_x+2_1不是最簡(jiǎn)分式;

>2.4(x+2)(x-2)x-2

④x-6_x-6=1不是最簡(jiǎn)分式;

X2_5X-6(X-6)(X+1)X+1

綜上分析可知，最簡(jiǎn)分式有2個(gè)，故8正確.

故選：B.

【典例4】

工工

下列分式：孚&匕，y2~x2,x2y2,xy+x,其中最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)有（

)

3xx-yx+y2x+4x2y

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解答】解：型L=-2y,故不是最簡(jiǎn)分式；

3x

y!V=-（x-y）（x^）=_x_y；故不是最簡(jiǎn)分式;

x-yx-y

2.2

圣二是最簡(jiǎn)分式；

x+y

xy+x=x(y+l)_y+1故不是最簡(jiǎn)分式;

2x+4x2y2x(l+2xy)2+4xy

故最簡(jiǎn)分式的個(gè)數(shù)有1個(gè).

故選：A.

題型02公因式與公分母

【典例1】

要將5xv：化成最簡(jiǎn)分式,應(yīng)將分子分母同時(shí)約去它們的公因式，這個(gè)公因式為（）

20x2y

A.xyB.5xyC.5xyzD.20xy

【解答】解：5xyz=5xy?z=_g_,

20x2y5xy?4x4x

則將5xq化成最簡(jiǎn)分式,應(yīng)將分子分母同時(shí)約去的公因式為5孫,

20x2y

故選：B.

【典例2】

22222

下列各式①刎；②y-X,；③y+x；④工；⑤生旦中分子與分母沒有公因式的分式是③⑤.（填

27ax+yx+ymx-3

序號(hào)）.

【解答】解：①公因式是：3；

②公因式是：（x+y）；

③沒有公因式；

④公因式是：7”.

⑤沒有公因式；

則沒有公因式的是③、⑤.

故答案為：③⑤.

【典例3】

分式一J，的最簡(jiǎn)公分母是（

222

x-yx+xy

2

A.x2-y2B.x+xy

C.(x+y)(%-y)D.x(x+y)(x-y)

【解答］解：_------k---1_1

v2-v2(x+y)(x-y)x2+xyx(x+y)

分式一二，一—的最簡(jiǎn)公分母是x(x+y)(x-y),

x2-y2x+xy

故選：D.

【典例4】

分式，、」一、—二的最簡(jiǎn)公分母是()

22

x+yx-yx_y

A.(x+y)(x-y)B.(x+y)(x-y)(x2~y2)

C.(%+y)(x2-y2)D.(x-y)(x2-y2)

【解答】解：分式二「、,——-―^的最簡(jiǎn)公分母是（x+y）（x-y）,

x+yx-yx2-y

故選：A.

【典例5】

已知分式一—,—2_,。是這兩個(gè)分式中分母的公因式，6是這兩個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母，且包=3,則X

2x-2x+1b

的值為()

A.AB.工C.反D.5

7656

【解答】解：兩分式分母的公因式為a=x+l,最簡(jiǎn)公分母為6=2(x+1)(x-1),

—=—~~斗2--------=-3~針=3,即x=工.

b2(x+1)(x-l)2(x-l)6

故選：B.

題型03約分

【典例1】

32

y

約分$x9的結(jié)果是()

2xy

A.3xB.3xyC.3xy2D.3/y

u32

【解答】解：bx/=3xy.

2xy

故選：B.

【典例2】

2_2

計(jì)算工尸一的結(jié)果為()

x-xy

A.也B.*C.立D.x-y

XXX

2_2

【解答】解：xjy

x-xy

_(x+y)(x-y)

x(x-y)

=遼

X

故選：A.

【典例3】

如果一個(gè)分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱這個(gè)分式為“和諧分式”.下列分式中,

是“和諧分式”的是()

o2

、x-yx+y

、--------D.---------

x-yx2-xy+y

r4x+2ynx2-2xy+y2

x2-4y2'2x-2y

【解答】解：x2-y=(x「)(x-y)=中,故選項(xiàng)a不符合題意;

x-yx-y

的分子分母都不能分解因式,故選項(xiàng)B不符合題意;

x2-xy+yZ

4x+2y_2(2x+y)

故選項(xiàng)C符合題意;

22

x-4y(x+2y)(x-2y)

222

x-2xy+y=(叮)=立,故選項(xiàng)。不符合題意;

2x-2y2(x-y)2

故選：C.

【典例4】

K二-^,則？等于()

X2+2X+1X+1

A.x+1B.x-1C.x+2D.x-2

【解答】解：(x-l)=0,

X2+2X+1(X+1)2X+1

?等于X-I>

故選:B.

【典例5】

小麗在化簡(jiǎn)分式一一上工時(shí)，*部分不小心滴上了墨水，請(qǐng)你推測(cè)，*部分的式子應(yīng)該是()

x2-lx+1

A.x2-2x+lB.X2+2X+1C.x2-1D.x2-2x-1

【解答】解：

X2-1x+1

?_____*______(x-1)(x-1)_x2-2x+l

(x-1)(x+1)(x+1)(x-1)x2-l

故*部分的式子應(yīng)該是X2-2x+l.

故選：A.

題型04通分

【典例1】

分式23a2的分母經(jīng)過通分后變成21a-b)之(a+b),那么分子應(yīng)變?yōu)?)

a-b

A.6a(a-b)2(a+b)B.2(a-Z?)

C.6a(〃-/?)D.6a(.a+b)

【解答】解：03a__汽?2(yb)____6a(a-b)_.

a2-b2(a+b)(a-b)?2(a-b)2(a-b)2(a+b)

故選：C.

【典例2】

將分式一三與分式—通分后，—的分母變?yōu)?1+a)(1-2,則一1^的分子變?yōu)?)

I-aa-2a+la-2a+l1-a

A.\~G,B.l+〃C.~1~ciD.1+〃

【解答】解：兩分式的最簡(jiǎn)公分母為(1+。)(1-6Z)2,

..._1_」_1-a

I-a2(1+a)(1-a)(1+a)(l-a)?

則」方的分子變?yōu)?-%

I-a

故選:A.

【典例3】

若將分式包與產(chǎn)通分,則分式①的分子應(yīng)變?yōu)?)

m+n2(m-n)m+n

A.6m-6mnB.6m-6n

C.2(m-n)D.2(m-n)(m+n)

【解答】解：分式也與4n的公分母是2(m+?)(777-〃)，則分式包的分子應(yīng)變?yōu)?m(m-?)

m+n2(m-n)m+n

=6m-6mn.

故選：A.

【典例4】

按照下列要求解答：

2工

(1)約分：

(2)通分：與二^

2x'y3xy2

2

X+xy_x(x+y)

【解答】解:x

122

x-y(x-+y)(x-y)x-y

⑵1_3y1_2x

O2u2“2'T^-22,

2xy6xy3xy6xy

【典例5】

再分十一，A」

x'-6x+9x'-93x-9

【解答】解：它們的最簡(jiǎn)公分母是3(x-3)2(x+3),

1二3x+9

X2-6X+93(X-3)2(X+3)

2二6x-18

X2-93(x-3)2(x+3)

1二x2-9

3x-93(X-3)2(X+3)

強(qiáng)化訓(xùn)練

下列分式中，最簡(jiǎn)分式是（

【解答】解：A、—=工，則原分式不是最簡(jiǎn)分式，故此選項(xiàng)不合題意;

故此選項(xiàng)符合題意;

則原分式不是最簡(jiǎn)分式，故此選項(xiàng)不合題意;

(2-x)(2+x)x+2

D、——=-x-3-_X,則原分式不是最簡(jiǎn)分式，故此選項(xiàng)不合題意;

x-6x+9（x-3）“X-3

故選：B.

2.下列說法正確的是（）

A.代數(shù)式是分式

B.分式胃*中x,y都擴(kuò)大3倍，分式的值不變

2_

C.分式^~力Q的值為0,則x的值為-3

D.分式與L是最簡(jiǎn)分式

X-1

【解答】解：A、代數(shù)式主畦是整式，不是分式，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意;

B、分式產(chǎn)一中x,y都擴(kuò)大3倍后的值為一二二了即分式的值擴(kuò)大3倍，故本選

3x-2y3*3x-2p3y3x-2y

項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

2_

C、分式二色Q的值為0時(shí)，f-9=o且尤-3W0,解得x=-3,故本選項(xiàng)說法正確，C符合題意；

。、分式岑L=」一，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意.

.21V-1

故選：C.

3.下列結(jié)論中，正確的是（)

A.x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，分式矢L總有意義

2/

B.當(dāng)％=±2時(shí)，分式-4的值為0

x-5x+6

2

C.____2_____和.y的最簡(jiǎn)公分母是6根(2x-y)(y-2x)

2m(2x-y)6m(y-2x)

D.將分式竺L中的尤，y的值都變?yōu)樵瓉淼?0倍，分式的值不變

y-2x

【解答】解：4、當(dāng)尤=0時(shí)，分式紅泮沒有意義，不符合題意;

X

2/

B、當(dāng)尤=2時(shí)，分式-j-4無(wú)意義,不符合題意;

x-5x+6

的最簡(jiǎn)公分母是6加(2x-y)不符合題意;

2m(2x-y)6m(y-2x)f

D、將分式空里中的x,y的值都變?yōu)樵瓉淼?0倍，則1。(2x+y)=空工即分式的值不變，符合題

y-2x10(y-2x)y-2x

思.

故選：D.

4.化簡(jiǎn)分式7b2的結(jié)果是()

A.B.—C.-^―D."

7a+ba-b7

【解答】解：粵白

_7(a+b)

(a+b)(a-b)

_7

a-b

故選：C.

2

111

5.若冽為整數(shù)，則能使-2m+l也為整數(shù)的m有()

21

m-1

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

?.?m22m+](m-l)2irrl

【解答】解:

(m+1)(m-1)m+1

2

.??能使私1m+1也為整數(shù)的m有:%=-2或冽=-3或根=0,

m-1

故選：c.

2

6.若l+2a+a=上且,則尤等于（）

a2-11AY

A.〃+2B.a-2C.a-1D.〃+l

(a+1)2一1+4

【解答】解：等式左邊=

(a+1)(a_l)a-1

??%=〃-1,

故選：C.

—J通分過程中，不正確的是（

7.把」-——A——-)

x-2(x-2)(x+3)（x+3）2

A.最簡(jiǎn)公分母是（x-2）（x+3）2

B.-J-=―(x+3)2_

2

x-2(x-2)(x+3)

C______1_____=_____x+3_____

2

(x-2)(x+3)(x-2)(x+3)

D2_2x-2____

(x+3產(chǎn)(x-2)(x+3)2

【解答】解：A、最簡(jiǎn)公分母為最簡(jiǎn)公分母是(x-2)(x+3)2,正確;

B、-A-=一(X+3)2_,通分正確；

2

x-2(x-2)(x+3)

C、-一±一-=-----姿——通分正確；

2

(x-2)(x+3)(x-2)(x+3)

D、通分不正確，分子應(yīng)為2義(x-2)=2x-4；

故選：D,

8.把—與一'通分后，—的分母為(15)(a+1)2,則—'的分子變?yōu)?

a+2a+lI-aa+2a+l1-a

A.i~aB.1+〃C.~1~ciD.1+〃

【解答】解:1_1_l+a

22

l-a(1-a)(l+a)(l-a)(1+a)

故一'的分子為1+億

I-a

故選：B.

2

9.約分：①5a?=_工_,②x

2x3

20a2b4ax-6x+9-

【解答】解：①5aB」；

20a?b4a

②x」-9—(x+3)(x-3)=x+3

X2-6X+9(X-3)2x-3

10.有分別寫有x,x+1,x-1的三張卡片，若從中任選一個(gè)作為分式J一的分子，使得分式為最簡(jiǎn)分式，

X-1

則應(yīng)選擇寫有X的卡片.

【解答】解：?.?學(xué)工一總一T='，

X2-l(x-1)(x+1)X-1

X-1_X-1_1

2

x-l(x+1)(x-1)x+1

...早一，早-都不是最簡(jiǎn)分式，

X-1X-1

——無(wú)法化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)分式，

X-1

故使得分式為最簡(jiǎn)分式，則應(yīng)選擇寫有X的卡片.

故答案為：X.

11.以下三個(gè)分式小不，——，一上一的最簡(jiǎn)公分母是2x(x+1)G--1)

z

2x+2x+xX<1

【解答】解：V2x+2=2(x+1),x2+x=x(x+1),x2-1=(x+1)(x-1),

/「'的最簡(jiǎn)公分母是2尤(x+1)(x-1),

22

2x+2x+xX-1

故答案為：2x(x+1)(x-1).

2_

12.已知x為整數(shù)，則能使代數(shù)式匚乏的值為整數(shù)的x值之和為

x+1

2_

【解答］解：工^

x+1

_(1+1)2-3X-1

x+1

—(」+1)2-3(x+1)+2

x+1

=x+l-3+—?—

x+1

=x-2+2，

??,分式的值為整數(shù),

/.x+l=+1,±2,

.*.x=0,-2,1,-3.

/.0+(-2)+1+(-3)=-4.

故答案為：-4.

13.通分

⑴4x％y』6xyJ

(2)&I

2a+6，a2-9

(3)——

a_9a_6a+9

(4)——^―.

(a+1)-42-4a+2a

【解答】解：(1)最簡(jiǎn)公分母：12丁丁，

1_3y4_8x2