江西省南康區(qū)2024年中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含解析）

江西省南康區(qū)重點(diǎn)達(dá)標(biāo)名校2024年中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題,每小題3分，共30分）

1.下列計(jì)算正確的是（）

A.y/3+V2y[5B.-A/3y/3C.y/3xy/2=6D.4=4

V2

2.下列調(diào)查中適宜采用抽樣方式的是（）

A.了解某班每個(gè)學(xué)生家庭用電數(shù)量B.調(diào)查你所在學(xué)校數(shù)學(xué)教師的年齡狀況

C.調(diào)查神舟飛船各零件的質(zhì)量D.調(diào)查一批顯像管的使用壽命

3.圖為小明和小紅兩人的解題過程.下列敘述正確的是（）

3x—3

計(jì)算:

-x---l+-1---X-27

小明的解決

小叔的M法

田上=改此一?盧土二

岸"（『型引體出楨

匚.幅*二3.?.?....@

一靖。僮-|）

二?W3+X-3.....Q

3-lx-1.......”?④I

A.只有小明的正確B.只有小紅的正確

C.小明、小紅都正確D.小明、小紅都不正確

4.已知a-b=l,則a3-a?b+b2-2ab的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形B.四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形

C.兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形D.四條邊都相等的四邊形是菱形

「3x-2y=3①

6.用加減法解方程組，-時(shí)，如果消去y,最簡捷的方法是（）

4x+y=15②

A.①x4-②x3B.①x4+②x3C.②x2-①D.②x2+①

7.如圖所示，二次函數(shù)y=ax?+bx+c（a#））的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1,2）,且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xi、xi,其中-2

<X1<-1,0<X2<l.下列結(jié)論:

@4a-2b+c<0；?2a-b<0；③abcVO；?b2+8a<4ac.

C,3個(gè)D.4個(gè)

8.如圖，△ABC的面積為8cm2,AP垂直NB的平分線BP于P,則4PBC的面積為（）

A.2cm2B.3cm2C.4cm2D.5cm2

9.如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被等分成6個(gè)扇形區(qū)域，并涂上了相應(yīng)的顏色，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針指

向藍(lán)色區(qū)域的概率是（）

1

A.B.

63

j_2

C.D.-

23

10.天氣越來越熱，為防止流行病傳播，學(xué)校決定用420元購買某種牌子的消毒液，經(jīng)過還價(jià)，每瓶便宜0.5元，結(jié)

果比用原價(jià)購買多買了20瓶，求原價(jià)每瓶多少元？設(shè)原價(jià)每瓶X元，則可列出方程為（）

420420420420

A.=20B.-----------=20

%+0.5XX%+0.5

420420420_420_

C.=20D.20

x-0.5XXx-0.5

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

《x++52>小1+的2%解集是一

11.不等式組《

12.為迎接文明城市的驗(yàn)收工作，某居委會(huì)組織兩個(gè)檢查組，分別對(duì)“垃圾分類”和“違規(guī)停車”的情況進(jìn)行抽查.各組

隨機(jī)抽取轄區(qū)內(nèi)某三個(gè)小區(qū)中的一個(gè)進(jìn)行檢查，則兩個(gè)組恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的概率是.

13.如圖，直線（時(shí)0）與拋物線y2=ox2+6x+c（存0）分別交于A（-1,0）,B（2,-3）兩點(diǎn)，那么當(dāng)yi

>72時(shí)，X的取值范圍是.

14.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720,則它是邊形.

15.如圖，在矩形ABCD中，E、F分另IJ是AD、CD的中點(diǎn)，沿著BE將△ABE折疊，點(diǎn)A剛好落在BF上，若AB=2,

貝?。軦D=________

16.觀察下列各等式:

-2+3=1

—5—6+7+8=4

-10-11-12+13+14+15=9

-17-18-19-20+21+22+23+24=16

根據(jù)以上規(guī)律可知第11行左起第一個(gè)數(shù)是

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）《楊輝算法》中有這么一道題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多幾何？”意思是：一塊

矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多了多少步？

18.（8分）（本題滿分8分）如圖，四邊形ABCD中，一T二一.4（二）二：灰二、,E是邊CD的中點(diǎn)，連接

BE并延長與AD的延長線相較于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形BDFC是平行四邊形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積.

19.(8分)如圖，已知一次函數(shù)二二二二一二的圖象與反比例函數(shù)W的圖象交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)

B的縱坐標(biāo)是-2。

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)求的面積。

20.(8分)已知：關(guān)于x的一元二次方程kx?-(4k+l)x+3k+3=0(k是整數(shù)).

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求k的值.

21.(8分)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,M,N均在格點(diǎn)上，P為線段MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

(1)MN的長等于,

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)，且使PA2+PB2取得最小值時(shí)，請(qǐng)借助網(wǎng)格和無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中畫出點(diǎn)

P的位置，并簡要說明你是怎么畫的，(不要求證明)

22.(10分)我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九

客一房空.詩中后兩句的意思是：如果每間客房住7人，那么有7人無房可??；如果每間客房住9人，那么就空出一間

房.求該店有客房多少間？房客多少人？

23.(12分)在初入短。中,4。=8,5。=6,/。=90。，AO是NC4B的角平分線，交于點(diǎn)。.

⑴求AB的長；

⑵求CD的長.

24.春節(jié)期間,，小麗一家乘坐高鐵前往某市旅游，計(jì)劃第二天租用新能源汽車自駕出游.

租車公司：按日收取固定租金80元，另外再按租車時(shí)間計(jì)費(fèi).

共享汽車：無固定租金，直接以租車時(shí)間（時(shí)）計(jì)費(fèi).

如圖是兩種租車方式所需費(fèi)用yi（元）、y2（元）與租車時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象，根據(jù)以上信息，回答下列問題:

（1）分別求出yi、y2與x的函數(shù)表達(dá)式；

（2）請(qǐng)你幫助小麗一家選擇合算的租車方案.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、B

【解析】

根據(jù)同類二次根式才能合并可對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法對(duì)B進(jìn)行判斷；先把g化為最簡二次根式，然

后進(jìn)行合并，即可對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法對(duì)D進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：A、若與友不能合并，所以A選項(xiàng)不正確；

B、屈-^=2拒-6=C'所以B選項(xiàng)正確；

C、73x72=76，所以C選項(xiàng)不正確；

辰___

D、造=瓜+0=20+叵=2,所以D選項(xiàng)不正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題考查二次根式的混合運(yùn)算，注意先化簡，再進(jìn)一步利用計(jì)算公式和計(jì)算方法計(jì)算.

2、D

【解析】

根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點(diǎn)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：了解某班每個(gè)學(xué)生家庭用電數(shù)量可采用全面調(diào)查；調(diào)查你所在學(xué)校數(shù)學(xué)教師的年齡狀況可采用全面調(diào)查；調(diào)查神

舟飛船各零件的質(zhì)量要采用全面調(diào)查；而調(diào)查一批顯像管的使用壽命要采用抽樣調(diào)查.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查：全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)：全面調(diào)查收集的到數(shù)據(jù)全面、準(zhǔn)確，但一般花費(fèi)多、

耗時(shí)長，而且某些調(diào)查不宜用全面調(diào)查.抽樣調(diào)查具有花費(fèi)少、省時(shí)的特點(diǎn)，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)

系到對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度.

3、D

【解析】

直接利用分式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案.

【詳解】

3x—3

------+

1-x(l-x)(l+x)

3(1+x)x-3

~+

(l-x)(l+x)(l-x)(l+x)

—3—3x+x—3

(l-x)(l+x)

-2x-6

(1-x)(l+x)'

故小明、小紅都不正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了分式的加減運(yùn)算，正確進(jìn)行通分運(yùn)算是解題關(guān)鍵.

4、C

【解析】

先將前兩項(xiàng)提公因式，然后把"-5=1代入，化簡后再與后兩項(xiàng)結(jié)合進(jìn)行分解因式，最后再代入計(jì)算.

【詳解】

a3-a2b+b2-2ab-a2(a-b')+b2-2ab=a2+b2-lab-(a-b)2=1.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了因式分解的應(yīng)用，四項(xiàng)不能整體分解，關(guān)鍵是利用所給式子的值，將前兩項(xiàng)先分解化簡后，再與后兩項(xiàng)結(jié)

合.

5、C

【解析】

根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可

【詳解】

解：A、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確；

B、四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形，故本選項(xiàng)正確；

C、兩條對(duì)角線垂直且平分的四邊形是菱形，不一定是正方形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、四條邊都相等的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)正確.

故選C

【點(diǎn)睛】

此題綜合考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟練掌握判定法則才是解題關(guān)鍵

6、D

【解析】

小一2》=3①

試題解析：用加減法解方程組,“時(shí)，如果消去7,最簡捷的方法是②X2+①，

4x+y=15②

故選D.

7、C

【解析】

首先根據(jù)拋物線的開口方向可得到aVO,拋物線交y軸于正半軸，則c>0,而拋物線與x軸的交點(diǎn)中，-2VX1V-1、

b

0<X2<l說明拋物線的對(duì)稱軸在-1?0之間，即*=->1,可根據(jù)這些條件以及函數(shù)圖象上一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)

2a

來進(jìn)行判斷

【詳解】

b

由圖知：拋物線的開口向下，則a<0；拋物線的對(duì)稱軸*=——>-1,且c>0；

2a

①由圖可得：當(dāng)x=-2時(shí)，y<0,即4a-2b+cV0,故①正確；

b

②已知x=——>-1,且aVO,所以2a-b<0,故②正確；

2a

③拋物線對(duì)稱軸位于y軸的左側(cè)，則a、b同號(hào)，又c>0,故abc>0,所以③不正確；

④由于拋物線的對(duì)稱軸大于-1,所以拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)該大于2,即：生』>2,由于a<0,所以4ac-b2V

4a

8a,即b2+8a>4ac,故④正確；

因此正確的結(jié)論是①②④.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與X軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)的理解和

掌握，能根據(jù)圖象確定與系數(shù)有關(guān)的式子的正負(fù)是解此題的關(guān)鍵.

8、C

【解析】

延長AP交3c于E,根據(jù)AP垂直N3的平分線3P于P,即可求出AAB尸絲△3EP,又知△APC和△CPE等底同高，

可以證明兩三角形面積相等，即可求得APBC的面積.

【詳解】

延長AP交3C于E.

；4尸垂直N5的平分線5尸于P,；.NABP=NEBP,ZAPB^ZBPE=90°.

在△AP5和△E尸3中，；____?____,AAAPB^AEPBCASA),：.SAAPB=SAEPB,AP=PE,/.AAPC^ACPE

I-rl

__■—_—

I------廠————,一

等底同高，，SAAPC=SAPCE,：?SAPBC=SAPBE+S&PCESAABC=4CM?

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形面積和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出SAPBC=SAPBE+SAPCES^ABC.

9、B

【解析】

試題解析：???轉(zhuǎn)盤被等分成6個(gè)扇形區(qū)域，

而黃色區(qū)域占其中的一個(gè)，

二指針指向黃色區(qū)域的概率=』.

6

故選A.

考點(diǎn)：幾何概率.

10、C

【解析】

關(guān)鍵描述語是：“結(jié)果比用原價(jià)多買了1瓶”；等量關(guān)系為：原價(jià)買的瓶數(shù)-實(shí)際價(jià)格買的瓶數(shù)=1.

【詳解】

原價(jià)買可買420,瓶，經(jīng)過還價(jià)，可買一42匕0瓶.方程可表示為：4--2-0------4-2-0-=1.

xx-0.5x-0.5x

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟在于找相等關(guān)系.本題要注意討價(jià)前后商品的單價(jià)的

變化.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11、2<x<l

【解析】

分別解兩個(gè)不等式得到x<l和x>2,然后根據(jù)大小小大中間找確定不等數(shù)組的解集.

【詳解】

x+5>1+2x(1)

解：，

[3%+2,,4x(2)

解①得xVl,

解②得x>2,

所以不等式組的解集為2<x<l.

故答案為29<1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共

部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找

不到.

1

12、—

3

【解析】

將三個(gè)小區(qū)分別記為A、B、C,列舉出所有情況即可，看所求的情況占總情況的多少即可.

【詳解】

解：將三個(gè)小區(qū)分別記為A、B、C,

列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩個(gè)組恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的結(jié)果有3種，

31

所以兩個(gè)組恰好抽到同一個(gè)小區(qū)的概率為X=-.

93

故答案為：-.

3

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了列表法求概率，列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法

適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)還要注意是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況

數(shù)與總情況數(shù)之比.

13、-l<x<2

【解析】

根據(jù)圖象得出取值范圍即可.

【詳解】

解：因?yàn)橹本€(時(shí)0)與拋物線y2=ax2+/?x+c(存0)分別交于A(-1,0),B(2,-3)兩點(diǎn)，

所以當(dāng)yi>72時(shí)，-1VXV2,

故答案為-l<x<2

【點(diǎn)睛】

此題考查二次函數(shù)與不等式，關(guān)鍵是根據(jù)圖象得出取值范圍.

14、六

【解析】

試題分析：這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是n,則(n-2).180°=720°,解得：n=l.則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是六，故答案為六.

考點(diǎn)：多邊形內(nèi)角與外角.

15、2y/2

【解析】

如圖，連接EF,

???點(diǎn)E、點(diǎn)F是AD、DC的中點(diǎn)，

11

，AE=ED,CF=DF=-CD=-AB=1,

22

由折疊的性質(zhì)可得AE=A，E,

/.A,E=DE,

在RtAEArF和RtAEDF中,

EA'=ED

EF=EF'

/.RtAEAT^RtAEDF(HL),

.,.AT=DF=L

/.BF=BA,+AT=AB+DF=2+1=3,

在RtABCF中，

BC=7BF2-CF2=A/32-I2=2A/2?

，AD=BC=20.

點(diǎn)睛：本題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是連接EF,證明RtAEA'FgRtAEDF,得出BF的長，再利用

勾股定理解答即可.

16、-1.

【解析】

觀察規(guī)律即可解題.

【詳解】

解：第一行=M=1,第二行=22=4,第三行=32=9...

.?.第n行=*第11行=1]?=121,

又???左起第一個(gè)數(shù)比右側(cè)的數(shù)大一，

.?.第11行左起第一個(gè)數(shù)是1

【點(diǎn)睛】

本題是一道規(guī)律題,屬于簡單題，認(rèn)真審題找到規(guī)律是解題關(guān)鍵.

三、解答題（共8題，共72分）

17、12

【解析】

設(shè)矩形的長為x步，則寬為（60-x）步，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)矩形的長為x步，則寬為（60-x）步，

依題意得：x（60-x）=864,

整理得:x2-60x+864=0,

解得：x=36或x=24（不合題意，舍去），

.?.60-x=60-36=24（步），

.*.36-24=12（步）,

則該矩形的長比寬多12步.

【點(diǎn)睛】

此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

18、（1）見解析；（2）6二或*三

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和中點(diǎn)的性質(zhì)證明三角形全等，然后根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形完

成證明；

(2)由等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分別求四邊形的面積.

試題解析：(1)證明：?.?NA=NABC=90。

；.AF〃BC

ZCBE=ZDFE,ZBCE=ZFDE

；E是邊CD的中點(diǎn)

ACE=DE

/.△BCE^AFDE(AAS)

/.BE=EF

二四邊形BDFC是平行四邊形

(2)若4BCD是等腰三角形

①若BD=DC

在RtAABD中，AB=、二口；-二二。==二、：

二四邊形BDFC的面積為S=：：x3=6\］；

②若BD=DC

過D作BC的垂線，則垂足為BC得中點(diǎn)，不可能；

③若BC=DC

過D作DGJ_BC,垂足為G

在RtACDG中，DG=、工-一二二:==

二四邊形BDFC的面積為S=:V.

考點(diǎn)：三角形全等，平行四邊形的判定，勾股定理，四邊形的面積

19、(1)二二二+二；(2)6.

【解析】

(1)由反比例函數(shù)解析式根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是2,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是-2可以求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系

數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；

(2)令直線AB與y軸交點(diǎn)為D,求出點(diǎn)D坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可得.

【詳解】

(1)當(dāng)x=2時(shí)，丫=±=4,

當(dāng)y=-2時(shí),-2=-,x=-4>

所以點(diǎn)A(2,4),點(diǎn)B(-4,-2),

將A,B兩點(diǎn)分別代入一次函數(shù)解析式，得

(:二十口=4

一二,二1=-二’

解得：三=]

電=z

所以，一次函數(shù)解析式為——*-J;

⑵令直線AB與y軸交點(diǎn)為D,則OD=b=2,

SXE=+XBD=：X：XG+/)=d.

a3

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵.

20、(3)證明見解析(3)3或-3

【解析】

(3)根據(jù)一元二次方程的定義得原2,再計(jì)算判別式得到△=(3兀-3)3,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即左的取值得到△>2,

則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；(3)根據(jù)求根公式求出方程的根，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求出發(fā)的值.

【詳解】

證明：(3)A=[-(4k+3)]3-4k(3k+3)=(3k-3)3.

為整數(shù)，

(3k-3)3>2,即4>2.

...方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(3)解：?方程kx3-(4k+3)x+3k+3=2為一元二次方程，

Vkx3-(4k+3)x+3k+3=2,即[kx-(k+3)](x-3)=2,

.rk+1,1

??X3=39%2=---------H?

kk

?.?方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且k為整數(shù)，

，k=3或-3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，熟知一元二次方程的根與A的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

21、（1）V34；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；

（2）取格點(diǎn)S,T,得點(diǎn)R；取格點(diǎn)E,F,得點(diǎn)G；連接GR交MN于點(diǎn)P即可得到結(jié)果

【詳解】

（l）W=732+52=734；

（2）取格點(diǎn)S,T,得點(diǎn)R；取格點(diǎn)E,F,得點(diǎn)G；連接G