基本不等式-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第一章集合、常用邏輯用語與不等式

第4講基本不等式

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

2021天津

掌握基本不等利用基本講是高考的熱點(diǎn)，常作為工具與其他知

T13；2020新高

式而FW誓本不等識(shí)綜合考查，主要考查基本不等式及其應(yīng)

考卷IT11；2020

(a,620).結(jié)式求最用，如求最值、證明不等式、求參數(shù)的取

天津T14；2019

合具體實(shí)例，值值范圍等，解題時(shí)要注意應(yīng)用基本不等式

天津T13

能用基本不等的三個(gè)前提條件.題型以選擇題、填空題為

基本不2022新高考卷

式解決簡(jiǎn)單的主，難度不大.預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變

等式的IIT12；2021浙

最大值或最小化不大，但應(yīng)加強(qiáng)對(duì)應(yīng)用基本不等式解決

綜合問江T8；2020新

值問題.實(shí)際問題的重視.

題高考卷IIT12

C---------------------------:—:遺透故材總合長(zhǎng)通--------------------------

。學(xué)生用書P010

1.基本不等式：夜W.

(1)基本不等式成立的條件：①4>0,6>0.

(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)②a=b時(shí)取等號(hào).

(3)其中，③—亨—叫做0,6的算術(shù)平均數(shù)，④—瘋一叫做°,6的幾何平均數(shù).基本

不等式表明：正數(shù)。，b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

注意若a<0,b<0,應(yīng)先轉(zhuǎn)化為一a>0,~b>0,再運(yùn)用基本不等式求解.

2.幾個(gè)重要不等式

(1)a2+b2^2ab(a,b^R,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)).

(2)a+b^2Vab(a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)).

(3)衛(wèi)■<而<乎叵(a>0,b>Q,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)).

——

口思維拓展

基本不等式鏈的幾何解釋

如圖，48是。。的直徑，4c=a,CB=b,點(diǎn)、D,F在。。上，且

DCLAB,FOLAB,連接94,DO,DB,FC,作CE_LD。，垂足為￡.由..

.Ifc1

圖可知，。。的半徑等于歿=竺墳=山..

222*

（1）因?yàn)?。C是RtZUOB斜邊上的高，所以由射影定理得。Gn/CCBna6noe=而.

由。02。。得等》而，當(dāng)且僅當(dāng)C與。重合，即a=b時(shí)不等式取等號(hào).

（2）因?yàn)镃E是RtZXDOC斜邊上的高，所以由射影定理得。所以?！?需

=M=W.由得房》占，當(dāng)且僅當(dāng)C與E重合，即時(shí)不等式取等號(hào).

a十b-4-—±-L±

-2-abab

（3）因?yàn)?C=/C—/O=a一等=與2，。廠=手，所以在Rt/XCOF中，由勾股定理可得

CF=JoC2+OF2=J（三）」+（千）2=由CF2OF得當(dāng)且僅當(dāng)

。與。重合，即a=6時(shí)不等式取等號(hào).

則由（1）（2）（3）可得不等式鏈：自忘房忘號(hào)wJ=Q,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)不等式取

—a+*b72N2

等號(hào).

拓展思維：類似地，我們可以由。。三得誓N金；由CFNDE得J老盧N金;由

ab'ab

CFNDC得

歸納總結(jié)：不等式鏈占忘而忘空叵一共包含了6個(gè)不等式（它們?nèi)〉忍?hào)的條件一

—aITb乙Nz

致，均是當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)不等式取等號(hào)），對(duì)于其中的每一個(gè)不等式，我們都可以根據(jù)上

圖給出它的幾何解釋.

注意聾，而，誓，昌正分別稱為正實(shí)數(shù)a,6的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平

ab

均數(shù)、平方平均數(shù)，故基本不等式鏈也稱為均值不等式.

3.利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0.

（1）如果積孫等于定值尸，那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y取得最小值⑤_2鼻（簡(jiǎn)記：積定

和最小）；

（2）如果和x+y等于定值S,那么當(dāng)x=y時(shí)，積孫取得最大值⑥簡(jiǎn)記：和定積

最大）.

注意應(yīng)用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個(gè)條件“一正"''二定”“三相等”.

1.下列說法正確的是（c）

A.函數(shù)的最小值是2

B.函數(shù)/（x）=cosx+—,xW（0,三）的最小值為4

cosx2

C."x>0且>>0”是“三十222”的充分不必要條件

yx

2.矩形兩邊長(zhǎng)分別為Q,6,且。+26=6,則矩形面積的最大值是（B）

A.4B.-C.-D.2

22

解析依題意可得〃>0,6>0,則6=a+2b22V^=2遮?而，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等

號(hào)，所以即矩形面積的最大值為名.故選B.

3.已知0,6為正數(shù)，則下列不等式中不成立的是（D）

B.abW（上）2c.再D.也，而

解析易知A,B成立；對(duì)于C,因?yàn)閷?岳三2"，所以2（解+房）與Q+b）2,所以

（半）2,所以Jw絲N誓,故C成立；對(duì)于D,取。=4,6=1,代入可知，不

等式不成立，故D不成立.由以上分析可知，選D.

4.［教材改編］已知x>2,則上+x的最小值是6.

x~2

解析由x>2知x—2>0,則」一+x=〃一+（x—2）+2^2/—?（%-2）+2=6,當(dāng)且

X—2X—2-Jx—2

僅當(dāng)二一=%—2,即x=4時(shí)取"=",所以」一十%的最小值是6.

x~2x~2

a學(xué)生用書P011

命題點(diǎn)1利用基本不等式求最值

角度1配湊法

例1（1）［2024四川省南充第一中學(xué)模擬］已知a>b>0,則2a+之+2的最小值為

a+ba-b

D)

A.4B.6C.3D.10

角不析a>b>0,.*.?+Z)>0,a—b>0.*.2tz+—+^—=[(Q+6)+—；—]+[(a—b)

9a-rba-ba+b

+-^~]^2I(a+b)--^—+2J(a—b)?^—=6+4=10,當(dāng)且僅當(dāng)a+b=4-且q—b=

a-bAIa+b-Ja-ba+b

二一，即4=36=工時(shí)取等號(hào)，故2a+——+」-的最小值為10.故選D.

a~b22a+ba-b

(2)[2024寧夏銀川模擬]已知0<x<4,則Jx(4-久)的最大值為2.

解析0<x<4,則0V4-x<4,由基本不等式可得Jx(4一刀)W丑尸=2,當(dāng)且僅當(dāng)X

=4—x,即x=2時(shí)，等號(hào)成立.故Jx(4—x)的最大值為2.

角度2常數(shù)代換法

例2(1)[2023江西省南昌一中模擬]已知正數(shù)a,6滿足8a+46=ab,則8a+6的最小值

為(C)

A.54B.56C.72D.81

解析解法一因?yàn)?a+4b=ab,所以6=f匕>0,因?yàn)镼>0,所以〃>4,所以8o+b=

a—4

8a+—=8，c,2^3a'=8[Q—4)+—+5]^8X(2四+5)=72,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等

a—4a—4a—4

號(hào).故選c.

解法二'：Sa+4h=ab,a>0,b>0,；.-+-=1,；.8a+^=(8a+b)(-+-)=—+-

bababa

+4022/64x4+40=72,當(dāng)且僅當(dāng)四=竺，即a=6,6=24時(shí)取“=”，故選C.

ba

(2)[山東高考]若直線工+[=1(a>0,6>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+6的最小值為8.

解析?直線孑+率=1(a>0,6>0)過點(diǎn)(1,2),.,.i+|=l.Va>0,b>Q,；.2a+b=

abab

(2a+b)(-+1)=4+-+^^4+2I--8,當(dāng)且僅當(dāng)2=竽和工+[=1同時(shí)成立，即a=

ababyababab

2,6=4時(shí)等號(hào)成立，；.2a+6的最小值為8.

角度3消元法

例3(1)[2024河南名校調(diào)研]若正數(shù)x,y滿足9-2x—y=0,則x+楙的最小值是

C)

A.2B.2V2C.4D.4V2

解析因?yàn)檎龜?shù)X,＞滿足初一2x—＞=0,所以＞=工＞0,則、一1＞0,所以x+5=x+

x-l2

-^-=x+-^—+l=x—l+^—+2^2/(%—1)+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x—1=-^—,即x=2

X-1x~lx—1-ylx-lx-l

時(shí)，等號(hào)成立.故選c.

(2)[江蘇高考]已知5%2)2+)4=1(%,y￡R),則/+產(chǎn)的最小值是,.

解析解法一由5x2f+y4=l得工2=以一!，則/+產(chǎn)=彘+竿三2J點(diǎn)?當(dāng)=：，當(dāng)且僅

當(dāng)最=苦，即產(chǎn)三時(shí)取等號(hào)，故爐+產(chǎn)的最小值是，

解法二因?yàn)?=(5x2+y2)-4^2^[15a)+4y]2=y(x2+y2)2,所以必+/三，當(dāng)

且僅當(dāng)5/+爐=4歹2=2,即N=卷，y2=g時(shí)取等號(hào)，故d+產(chǎn)的最小值是，

方法技巧

1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.

2.配湊、常數(shù)代換、消元的目的都是為了湊出和為定值或者積為定值的形式.

3.多次使用基本不等式時(shí)，尤其要注意等號(hào)能否同時(shí)成立.

訓(xùn)練1(1)[2024遼寧省阜新市高級(jí)中學(xué)模擬]兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足工+2=1,若關(guān)于根的

xy

不等式尤+宗〈加2+3僅有解，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是(c)

A.(-1,4)B.(-4,1)

C.(―8,—4)U(1,+0°)D.(—8,—3)U(0,+°°)

解析?.?正實(shí)數(shù)X,y滿足工+±=1,.?.x+?=G+')(工+3=2+―+工22+2件?)=

xy44xyy4x7y4%

4,當(dāng)且僅當(dāng)竺=工且工+3=1,即x=2,y=8時(shí)取等號(hào).二?不等式〈加?+3冽有解，.*.4

y4xxy4

<m2+3m,解得加>1或加V—4,即加￡(—00,—4)U(1,+00).故選C.

(2)[2021天津高考]若。>0,b>0,貝壯+合+6的最小值為2口.

aM

___(1_a_

解析因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即°=6=應(yīng)時(shí)取等號(hào)，

所以工+芻+6的最小值為2&\

aDZ

(3)[2024上海市松江二中高三上學(xué)期階段測(cè)]設(shè)正實(shí)數(shù)x,外z滿足4/—3盯+/一z=

0,則把的最大值為1.

解析因?yàn)?/—3xy-\-y2—z=0,所以z=4N—3xy~\~y2,所以苫=4%2_了

-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)絲==即歹=2x時(shí)等號(hào)成立，所以把的最大值為1.

絲j2x2—3yxz

fyx

命題點(diǎn)2基本不等式的綜合問題

角度1基本不等式的綜合應(yīng)用

例4(1)［2021浙江高考］已知a,B，7是互不相同的銳角，則在sinacos￡,sin￡cos匕

sinycosa三個(gè)值中，大于:的個(gè)數(shù)的最大值是(C)

A.OB.lC.2D.3

解析因?yàn)閍,p,>是互不相同的銳角，所以sina,cosP，sinP，cosy,siny,cosa均為正

數(shù).由基本不等式可知sinacos￡Wsm仇；8sB,sin/cosS：cosy,sin/cosaW

sm丫；3a,三式相加可得sinacos￡+sin￡cosy+sinycos當(dāng)且僅當(dāng)sina=

cosp,sin/3=cosy,siny=cosa,即時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閍,0,7是互不相同的銳

4

3

角，所以sinacos夕+sin夕cosy+sinycosa<5，所以sinacos從sin夕cos%sinycosa不會(huì)都

.TT71工

大于[若取a=*6=g尸;，則sin^cos^=1xi=i<isin-€os-=—X—=—>-

3422442

sin：cos；=WxW=^>3所以三個(gè)值中大于二的個(gè)數(shù)的最大值為2.故選C.

4622422

(2)［多選/2022新高考卷n］若x,y滿足N+/一孫=1,則(BC)

A.x+yWlB.x+>2—2

C.x2~\~y2<2D.x2+VC1

解析解法一由題意得，x2+y2=xy+1,所以(x+y)2=3xy~\~1,當(dāng)x>0且y>0時(shí)，

顯然有(x+y)2>1,即x+y>l,故A錯(cuò)誤.因?yàn)镹+y2N2xy,所以肛+1N2中，所以

盯W1,所以N+V<2,當(dāng)且僅當(dāng)X=J/時(shí)等號(hào)成立，故C正確.因?yàn)?x+y)2=x2+y2+2xy

=3孫+1W4,所以Ix+歹IW2,所以一2Wx+yW2,故B正確.因?yàn)?2+產(chǎn)=期+1,所以

當(dāng)孫〈0時(shí)，x2+y2<l,故D錯(cuò)誤.故選BC.

22

解法二由/+產(chǎn)一盯=(x—ly)+^y=l,可設(shè)x—$=cosa,*=sina,所以％=詈

+cosa,y=^^-.x+y=V3sina+cosa=2sin(a+^)￡[-2,2],且當(dāng)a=g時(shí)，x+y可取

得最大值2,故A錯(cuò)誤，B正確12+y=迪蛆、巴也=史上野+屋號(hào),2］,且當(dāng)a=一

凈，/+產(chǎn)取得最小值右所以c正確，D錯(cuò)誤，故選BC.

角度2利用基本不等式解決實(shí)際問題

例5［江蘇高考］某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年

的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是30.

解析一年購買竺2次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為吧X6+4x=4（―+x）28/—XX

XXXyX

=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30.

例6某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)

品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)，每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本GG）萬

x2+120%,0<x<50,

元，且G（x）每臺(tái)該產(chǎn)品的售價(jià)為200萬元，且

201x+--2100,50<%<100,

X

全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

（1）寫出年利潤WG）（單位：萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）的函數(shù)解析式（利潤

=銷售收入一成本）.

（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？

解析（1）由題意可得，當(dāng)0<xW50時(shí)，W（x）=200x—（x2+120x）-200=-x2+80x

-200,當(dāng)50VxW100時(shí)，W(x)=200x-(201x+^^-2100)-200=-(x+^^)

XX

+1900,

—x2+80x—200,0<%<50,

故W(x)

-(x+—)+1900,50<x<100.

X

2

(2)當(dāng)0<xW50時(shí)，W(x)=一7+80芯一200=-G-40)+l400,W(x)max=

W(40)=1400;

當(dāng)50<xW100時(shí)，W(x)=-(x+空上)+1900W—2k^+1900=1760,當(dāng)且僅

X"MX

當(dāng)X=-----,即X=70時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)少（x）max=l760.

x

綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤是1760萬元.

方法技巧

利用基本不等式求解實(shí)際問題時(shí)，要根據(jù)實(shí)際問題設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實(shí)際意義,

抽象出目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式，建立數(shù)學(xué)模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.

訓(xùn)練2⑴[2024陜西省商洛市部分學(xué)校階段測(cè)試]在中，BD=^BC,E是線段4D

上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)無而（x,yGR）,則甯的最小值是

（D）

A.6B.7C.8D.9

解析如圖，因?yàn)榍?,前,所以而=|方，因?yàn)槎?》81+了0，

所以B=m+|i而，因?yàn)镹,D,E三點(diǎn)共線，所以x+|y=l,易知

x>0,y>0,所以四地=芻+工=（―+i）（x+-y）=-+4+1+

z3xy3yx3yx/3y

會(huì)2聆W+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)方差，即x=Q三時(shí)取等號(hào)，所以震的最小值是9,

故選D.

（2）[2023湖南省部分學(xué)校聯(lián)考]某社區(qū)計(jì)劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面

積為1800平方米的矩形/BCD,為了方便居民觀賞，在這塊空地中間

修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的最大

面積是（C）

A.1208平方米B.1448平方米

C.1568平方米D.1698平方米

解析設(shè)48=x米，x>0,則種植花卉區(qū)域的面積5=（x—4）（〃"一2）=~2x

X

7?nn/

+1808.因?yàn)閤>0,所以2x+二巴22"4400=240,當(dāng)且僅當(dāng)x=60時(shí)，等號(hào)成立，貝”

X

SW—240+1808=1568,即當(dāng)/8=60米，8c=30米時(shí)，種植花卉區(qū)域的面積取得最大

值，最大值是1568平方米，故選C.

--------------------------面修?注:函踴*]-------------------------

a思維幫?提升思維快速解題

基本不等式鏈與柯西不等式的應(yīng)用

角度1求最值

例7已知x,y均為正實(shí)數(shù)，且白+去=也則x+y的最小值為20.

解析解法一（基本不等式鏈法）（%+2）+（y+2）-2^^^-2=4-2=10,當(dāng)

-,x+2~^~y+26

且僅當(dāng)x=y=10時(shí)取等號(hào)，itx+y的最小值為20.

解法二(柯西不等式法)?.”，y均為正實(shí)數(shù)，且義十二=3，6(二+二)=1,則

x+2y+26x+2y+2

x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(京+力)t(x+2)+(y+2)]-42

6[l—x(x+2)+/—x(y+2)]2-4=20,當(dāng)且僅當(dāng)(x+2)2=(y+2)2,且」一

,\l久+2y+2%+2

+*■=，，即x=y=10時(shí)取等號(hào)，則x+>的最小值為20.

解法三(基本不等式法)??h,y均為正實(shí)數(shù)，且2，6(二+々)=1,則

x+2y+26x+2y+2

x-\-y=(x+2)+(y+2)—4=6E(x+2)+(y+2)]—4=6(2+^|+

—)一4》6(2+2匡三)-4=20,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí)取等號(hào)，則x+>的最小值為

y+2-Mx+2y+2

20.

角度2判斷關(guān)于不等式的命題的真假

例8[2024四川成都聯(lián)考]已知正實(shí)數(shù)冽，〃滿足冽+〃=1,則下列不等式中錯(cuò)誤的是

(D)

1

A.mnW-B.2m2+2w2^1

4

C.m(幾+1)<1D.y/m+y/n^l

解析對(duì)于A,mnW(mU)2=1，當(dāng)且僅當(dāng)冽=〃=|?時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)A正確.

對(duì)于B,等W不吟Lm?+彥n(加丁)=：,當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=3時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)B正確.

對(duì)于C,易知加，"W(0,1),mn<n=>m(?+1)<n-\-m=1,選項(xiàng)C正確.

對(duì)于D,而:當(dāng)且僅當(dāng)加="=[時(shí)取等號(hào)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故

選D.

方法技巧

1.柯西不等式：(/+尻)(°2+理)2(ac+6d)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=6c時(shí)，等號(hào)成立.

2.無論是均值不等式還是柯西不等式，在使用的時(shí)候都要注意‘‘配湊”技巧，還要注意驗(yàn)

證等號(hào)成立的條件.

訓(xùn)練3(1)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足忌十六=1,貝h+y的最小值是_笑逗一

解析x-\-y=^[(x+3y)+(4x+2y)]=-|[(x+3j)+(4x+2y)]j+^jy，

蕓[J(x+3y)義總+J(4支+2y)x&]2=過券,當(dāng)且僅當(dāng)(x+3j)2=1(4x+

2y)2且士++=1時(shí)等號(hào)成立，即x=\H，y=空時(shí)，x+y取得最小值過言.

(2)[多選/2024云南省大理模擬]若12。=3,126=4,則下列結(jié)論正確的是(ACD)

A.->1B.ab>-C.a2+b2>-D.2a~b>-

a422

解析由12a=3,12。=4得a=logi23,b=logi24,tz+/>=logi23+log124=log1212=1,且a

=logl23>logl21=0,b=10gl24>logl21=0.

選項(xiàng)A:^Ogl24—log4>log33=1,故A正確.

alog/03

選項(xiàng)B:abW(等)2=；,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)閍于b,所以ab<：,故B錯(cuò)

、口

伏.

2

選項(xiàng)C:屋+=T，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)閍Wb,所以蘇+左君故

C正確.

選項(xiàng)D:a-Z)=logi23—Iogi24=logi2->logi2—=~1,

JJ412

所以2"P>2—i=(,故D正確.故選ACD.

1.[命題點(diǎn)1角度1]已知實(shí)數(shù)。>0,b>l,a+b=5,貝脛+3的最小值為(A)

ab—1

A3+2V2「3+4V2八3+2V2「3+4企

A.----B.----C.----D.----

4466

解析因?yàn)閍>0,b>\,a+b=5,所以2+」-=(-+—)[a+(6—1)]X-=-[3+

ab—1ab—144

2QT)+_g_]泉(3+2⑨,當(dāng)且僅當(dāng)2"一"=q且v+6=5時(shí)取等號(hào),所以'+二一的

ab—14ab~lab-l

最小值為坦&故選A.

4

2.[命題點(diǎn)1角度2/天津高考]已知a>0,6>0,且仍=1,則5+去+—工的最小值為4.

2a2ba+b-

解析依題意得方+/+嚏=興+嚏=乎+-，22±=4,當(dāng)且僅當(dāng)

2a2ba+b2aba+b2a+ba+b

a>0,

b>0,ab=1,

,_.即時(shí)取等號(hào).因此工+工+工的最小值為4.

cib—1,,a+b=42a2ba+b

a+b_8

、2a+b'

且則與的最小值為工.

3.［命題點(diǎn)1角度3］已知。>0,6>—1,a+Ql,

解析已知b>-\,且所以b=l—a>-l,所以2—a>0,所以貯壁

a>0,a+6=l,a

22

b,3」(1-a)3?1

--=a+—r?.令f(a)。十六，則/（a）\_a-\~(2—a)],G-F

b+la2~aa2—aa2~aa士）

州+六+『+］］若國+2口L]=—=2+國,即爐+3+

a2

V3,當(dāng)且僅當(dāng)3=3<2一。）時(shí)取等號(hào),故衛(wèi)十三的最小值為2+舊.

2~aaab+1

4.［命題點(diǎn)2角度1］已知b>\,則下列不等式成立的是（D）

B.V^V也

A"+Y整a+b

C.V2a2+2b2<2VabD.a+6<V2a2+2b2

解析對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?<a<l,b>l,所以(,a+b)2^a2+2ab+b2>4ab,故A錯(cuò)

、口

沃；

對(duì)于選項(xiàng)B,而>占=箋，故B錯(cuò)誤；

-a+-ba-vb

對(duì)于選項(xiàng)C,J2（a2+Z?2）>V2x2aZ?=2Vab,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,2a2+2尻>/+2成+62=（。十方）2,所以0+6<應(yīng)淳不2"，故D正確.

5.［命題點(diǎn)2角度2〃024河南省名校調(diào)研］以硅材料的應(yīng)用開發(fā)形成的光電轉(zhuǎn)換產(chǎn)業(yè)鏈條稱

之為“光伏產(chǎn)業(yè)”.某農(nóng)產(chǎn)品加工合作社每年消耗電費(fèi)24萬元.為了節(jié)能環(huán)保，決定修建一

個(gè)可使用16年的光伏電站，并入該合作社的電網(wǎng).修建光伏電站的費(fèi)用（單位：萬元）與

光伏電站的太陽能面板的面積（單位：1小）成正比，比例系數(shù)為0.12.為了保證正常用電,

修建后采用光伏電能和常規(guī)電能互補(bǔ)的供電模式用電.設(shè)在此模式下，當(dāng)光伏電站的太陽能

面板的面積為x（單位：n?）時(shí)，該合作社每年消耗的電費(fèi)為（單位：萬元，左為常

數(shù)）.記該合作社修建光伏電站的費(fèi)用與16年所消耗的電費(fèi)之和為尸（單位：萬元）.

（1）用x表示F.

（2）該合作社修建多大面積的太陽能面板，可使產(chǎn)最小？并求出最小值.

(3)要使廠不超過140萬元，求x的取值范圍.

解析⑴由題意可得，當(dāng)x=0時(shí)，媼=24,則后=1200,

所以該合作社修建光伏電站的費(fèi)用與16年所消耗的電費(fèi)之和尸=16X粵+0.12%="平+

x+50x+50

0.12x,x20.

(2)F=^^+0.12x=i^+0.12(x+50)—622/^^x0.12(%+50)-6=90,當(dāng)

x+50x+50Yx+50

且僅當(dāng)i9：°°=0.12(X+50),即x=350時(shí)，等號(hào)成立，即該合作社修建350m2的太陽能

%+50

面板，可使尸最小，且最小值為90萬元.

(3)要使廠不超過140萬元，只需尸=4絆+0.12xW140,整理得31—3350x+305

ooowo,

則(3x—3050)(x-100)WO,解得lOOWxW等，

故要使歹不超過140萬元，x的取值范圍是｛xCOOWxW等｝.

(------------------------------，練習(xí)幫，練透好題精準(zhǔn)分層-----------------------------

的學(xué)生用書?練習(xí)幫P262

MM：,欣m(xù)

1.[2024河北保定模擬]設(shè)x,y均為正數(shù)，且x+y=4,則中的最大值為(C)

A.lB.2C.4D.16

解析因?yàn)閤,y均為正數(shù)，且x+y=4,所以xyW(匕02=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等

號(hào)，故選C.

2.[2024江蘇常州模擬]已知。>1,b*,且20+6=4,則士+看的最小值是

(D)

4

A.lB.-C.2D.3

3

解析因?yàn)?a+b=4,所以(4Q—4)+(26—1)=3.因?yàn)椤?gt;1,b>3,所以上+4

2a—12D—1

紀(jì)祖―十

i[(4。一4)+(26—1)](-+—)=l[4mlL+4o4+5]>1[2

34a—42b—134a—42b~l3V4a—42b—1

5]=3,當(dāng)且僅當(dāng)竺獨(dú)二2_=七立即。=三，6=1時(shí)，等號(hào)成立.故選D.

4a—42b—12

3.當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)尸\了的最小值為(B)

A.2V3B.2V3-1C.2V3+1D.4

解析因?yàn)閤>0,所以y=3+x+/=_2_+x=3+(x+i)-t^2I--(x+1)~1=

/i+xi+xi+xqi+x

2V3—1,當(dāng)且僅當(dāng)——=x+l,即n=百一1時(shí)，等號(hào)成立.故選B.

1+x

4.［2023山西忻州第二次聯(lián)考］已知0Va<2,貝壯+｝的最小值是(C)

a2—a

A.4B.6C.8D.16

解析因?yàn)?<。<2,所以工>0,—>0,所以工+上=4〃+(2—q)］(i+―)=

-(—+—+10)^-X(2I——+10)=8,當(dāng)且僅當(dāng)三=2，即a=4寸等號(hào)成立.

2a2—a27a2—aCL2—a2

5.［多選］小王從甲地到乙地往返的速度分別為a和6(a<b),其全程的平均速度為%則

下列選項(xiàng)中正確的是(AD)

A.a<^<yTabB.i/=Vab

C.^b<^<—D.右如

2a+b

解析設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.因?yàn)樗云U=羋~<2三=16又3—a=

a+b2信

^--a=^-=a(b~a)>0,所以/>a,所以QV/V而，故選AD.

a+ba-\-ba+b

6.［多選/2023重慶市三檢］已知x>0,y>0,且x+y+xy—3=0,則下列結(jié)論正確的是

(BC)

A.xy的取值范圍是(0,9］

B.x+y的取值范圍是［2,3)

C.x+2y的最小值是4V2-3

D.x+4y的最小值是3

解析對(duì)于A,因?yàn)閤>0,y>0,x+y+xy—3=0,所以3—xy=x+y22代7,所以0<

y/xy^l,即0<xyWl,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，故A不正確.對(duì)于B,由x+y+xy—3=

0,得3—(x+y)=xyW(三與\當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，即(x+y)2+4(x+y)—

1220,結(jié)合x>0,y>0,得x+y22.又3—(x+y)=xy>0,(易錯(cuò)：忽略根據(jù)孫>0這

一隱含條件求x+y的范圍)

所以x+yV3,即2Wx+yV3,故B正確.對(duì)于C,由x+y+盯一3=0,得x=-^—=—1+

言所以工+2/=—1+1+2》=±+2(y+1)—322］卡-2(y+1)—3=4魚一3,

當(dāng)且僅當(dāng)W=2(y+1),即夕=迎一1時(shí)等號(hào)成立，故C正確.對(duì)于D,由C選項(xiàng)知：x=

-1+—,則x+4y=一l+±+4y=±+4(y+1)—522］士一4(y+1)—5=3,當(dāng)且

y+1y+1y+1-^y+1

僅當(dāng)去=4(y+1),即y=0或y=-2時(shí)等號(hào)成立，而y>0,故不能取等號(hào)，所以x+4y

>3,故D不正確.綜上所述，選BC.

7.［2024廣西河池聯(lián)考］若x>0,y>0,且§+2尸4,則押最大值為2.

解析因?yàn)閤>0,y>0,所以4=§+2y22后,整理可得?W(壺)】=2,當(dāng)且僅當(dāng)

C~2y，即卜=9時(shí)，等號(hào)成立，故［的最大值為2.

?+2y=4,ly=1x

8.［2023濟(jì)南市模擬］已知正數(shù)x,y滿足4x+2y=xy,則x+2"的最小侑.為18.

解析由4x+2y=肛，得4%+2y=&+」=］.又了,>是正數(shù)，所以x+2y=(x+2j)(-+-)

xyyxyx

=10+竺+竺》10+2/竺?竺=18,當(dāng)且僅當(dāng)竺=竺，即x=y=6時(shí)等號(hào)成立，所以x+2y的

yx-yJyxyx

最小值為18.

9.某電商自營店，其主打商品每年需要6000件，每年進(jìn)〃次貨，每次購買x件，每次購買

商品需手續(xù)費(fèi)300元，已購進(jìn)未賣出的商品要付庫存費(fèi)，可認(rèn)為年平均庫存量為理，每件

商品庫存費(fèi)是每年10元，則要使總費(fèi)用(手續(xù)費(fèi)+庫存費(fèi))最低，則每年進(jìn)貨次數(shù)為

10.

解析由題意，得辦=6000,每年的手續(xù)費(fèi)為300〃元，庫存費(fèi)為工X10=5x=雪”

2n

/—\、，/c八八八八,r八八

(兀)，息費(fèi)r用r?u為(300〃+?-3-0--0-0-0)x?！?因?yàn)椤?gt;0,所rd.以300幾十I-3-0-0-00三--^2c3Io00rx九--3-0-0-0-0-

nn7九

6000,當(dāng)且僅當(dāng)300"=雙2"，即〃=10時(shí)，總費(fèi)用最低.

n

10.［2024山東煙臺(tái)模擬］如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(。為■>—『

圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料N8CD,其頂點(diǎn)48在直徑上，頂點(diǎn)('_____.______

?*，

C,。在圓周上，則矩形48CD面積的最大值為16(單位：cm?).

解析如圖，連接。C,設(shè)。8=x（0<x<4）,貝]。。2—。82=J16-X2,4B=

2OB=2x,所以矩形48co的面積為4B-3C=2x[16—NWN+（16-

N）=16,當(dāng)且僅當(dāng)N=i6—N,即x=2近時(shí)，等號(hào)成立，所以矩形

ABCD面積的最大值為16cm2.

能力博?工￥〕

11.[2021全國卷乙]下列函數(shù)中最小值為4的是（C）

A.》=N+2X+4B.y=IsinxI+〔?

C.y=2x+22~xD.y=lnx+'^

解析選項(xiàng)A,因?yàn)?gt;=N+2x+4=（x+1）2+3,

所以當(dāng)