北師大版九年級數(shù)學知識點

北

師

大

版

九

年

級

數(shù)

學

知

識

點

匯

總

第一章特殊平行四邊形

一、平行四邊形

1.定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

2.性質：(1)平行四邊形的對邊平行且相等。

(2)平行四邊形的對角相等，鄰角互補。

(3)平行四邊形的對角線互相平分，兩條對角線把平行四邊形分成四個面積相等的三角

形。

(4)平行四邊形是中心對稱圖形。

3.判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

4.面積：S平行四邊形=底乂高

二、菱形

1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

2、性質：(1)菱形具有平行四邊形的所有性質。

(2)菱形的四條邊都相等。

(3)菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；兩條對角線把菱形

分成四個全等的直角三角形。

(4)菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形(兩條)。

3、判定：(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

(3)四條邊都相等的四邊形是菱形。

4.面積：S菱形=底乂高；S菱形=對角線乘積的一半

三、矩形

1.定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

2、性質：(1)矩形具有平行四邊形的所有性質。

(2)矩形的四個角都是直角。

(3)矩形的對角線相等且互相平分，兩條對角線把矩形分成四個面積相等的等腰三角形。

(4)推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

(5)矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形(兩條)。

3、判定：(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

(2)對角線相等的平行四邊形是矩形。

(3)有三個角是直角的四邊形是矩形。

4.面積：S矩形=底x高

四、正方形

1.定義：有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

2.性質：(1)正方形具有菱形和矩形的所有性質。

(2)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

(3)正方形的對角線互相垂直平分且相等，兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直

角三角形。

(4)正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形(四條)。

3、判定：(1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

(2)對角線互相垂直的矩形是正方形。正方形=菱形+矩形

(3)有一個角是直角的菱形是正方形。

(4)對角線相等的菱形是正方形。

4.面積：S正方形=邊長的平方；S正方形=對角線乘積的一半

五、中點四邊形

1.定義：以四邊形四條邊的中點為頂點組成的四邊形

2、中點四邊形：一般四邊形T平行四邊形；平行四邊形T平行四邊形；菱形T矩形；矩

形T菱形；

正方形T正方形。

第二章一元二次方程

一、定義：我們把形如的方程，稱為一元二次方程。其中，，分別稱為二次項，一次項和常數(shù)

項，，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。

二、解一元二次方程的方法

1.配方法：移項-?二次項系數(shù)化為1T配方(方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方)T開平方(有正

負兩個結果)T求解T寫根。

2.公式法：化為一般形式()T找出，，(記得帶上符號)T代入根的判別式0T代入求根公式()T

求解T寫根。

3、因式分解法：當一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時可用因式分解法。

(1)提公因式法：T

(2)公式法：①平方差公式：

②完全平方公式:

(3)十字相乘法:

三、一元二次方程根的判別式：對于一元二次方程

(1)當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。

(2)當時，方程有兩個相等的實數(shù)根。

(3)當時，方程沒有實數(shù)根。

四、一元二次方程根與系數(shù)之間的關系(韋達定理)

如果方程有兩個實數(shù)根，，那么，

五、應用一元二次方程(1.幾何面積問題；2、銷售問題)

審題T尋找數(shù)量關系和等量關系T設未知數(shù)(直接假設和間接假設)T列一^元二次方程T解方程T

檢驗T作答。

第三章概率的進一步認識

一、列表法和化樹狀圖法

1.列表法：當一次實驗涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的

結果，通常采用列表法。

2.畫樹狀圖法：當一次實驗涉及3個或更多因素時，列表就不方便，為了不重不漏地列出所有可能的結果,

通常采用畫樹狀圖法。

二、頻率估計概率：一般的，在大量重復實驗時，如果事件A發(fā)成的頻率穩(wěn)定于某個常數(shù)，那么

事件A發(fā)生的概率

第四章圖形的相似

一、成比例線段

1.定義：四條線段中，如果與的比等于與的比，即，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

2.性質：(1)基本性質：如果，那么；

如果，那么

(2)等比性質：如果，那么

(3)合比性質：如果，那么，

二、平行線分線段成比例

1.定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例

2、推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例

三、相似多邊形

1.定義：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應邊的比叫做相似比

2、性質：相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方

四、相似三角形

1.定義：三角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形

2、判定：(1)兩角分別相等的兩個三角形相似

(2)兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

(3)三邊成比例的兩個三角形相似

3.性質：(1)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例

(2)相似三角形對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比

(3)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方

五、黃金分割：點把線段分成兩條線段和，如果，那么稱線段被點黃金分割，點叫做線段的黃

金分割點，與的比叫做黃金比，即/

六、位似圖形

1.定義：一般的，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點，所在的直線都經(jīng)過同一點，且有=,那么這樣的

兩個多邊形叫做位似多邊形，點叫做位似中心

2.性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比

3.畫圖步驟：(1)尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關

鍵點關于中心的對應點；③描出新圖形

(2)坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊

形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同

一個數(shù)，所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它

們的相似比為網(wǎng)

第五章投影與視圖

一、投影：物體在光線的照射下，會在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象，影子

所在的平面叫做投影面

1.中心投影：由同一點(點光源)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。如物體在燈泡發(fā)出的光照射下形

成的影子就是中心投影

2、平行投影：由平行光線形成的投影叫做平行投影。如物體在太陽光的照射下形成的影子(簡稱日影)

就是平行投影。若平行光線與投影面垂直，則這種投影稱為正投影

二、三視圖

1.視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖

2.三視圖概念：(1)主視圖：從正面得到的視圖叫做主視圖，反映物體的長和高

(2)左視圖：從左面得到的視圖叫做左視圖，反映物體的長和寬

(3)俯視圖：從上面得到的視圖叫做俯視圖，反映物體的高和寬

3、三視圖特點：(1)主視圖和俯視圖的長對正

(2)主視圖和左視圖的高平齊

(3)左視圖和俯視圖的寬相等

第六章反比例函數(shù)

一、定義：一般的，形如的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其中是自變量，是函數(shù)。

自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù)

二、表達式：1.;2.；3.

三、圖象與性質

1.圖象：由兩條曲線組成（雙曲線）

2、性質：

k圖象所在象限增減性

函數(shù)

'V

第一、三象限在同一象限內，隨

的增大而減小

k>0（x,y同號）

0

k

y=-i

X

（左為常數(shù)，左W。）第二、四象限在同一象限內，隨

k<Q2的增大而增大

--------?X（x,y異號）

丫

越大，函數(shù)圖象越遠離坐標原點

3.反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義

如圖，在反比例函數(shù)上任取一點，過這一點分別作軸，軸

的垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積

4.對稱性：（1）中心對稱，對稱中心是坐標原點

（2）軸對稱：對稱軸為直線和直線

第七章直角三角形的邊角關系

一、銳角三角函數(shù)

斜邊/對

在中，，

取伍W國-1c關系

則的三角函數(shù)為定義表達式

鄰邊

正弦..ZA的對邊?Aa0<smA<1

sinA=——sinA=一

斜邊c（NA為銳角）sinA=cosB

余弦cosA=sinB

4/A的鄰邊,b0<cosA<l

cosA=----——------cosA=—22

斜邊c（NA為銳角）sinA+cosA=1

正切/atanA>0

tanA=—tanA=—^—

NA的鄰邊b(NA為銳角)tan5

二、特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)30°45°60°

J_V2叵

sina

2~2T2

V3V2j_

cosa

~2~"2"5

V3

tana1V3

~3~

三、解直角三角形

1.直角三角形的邊角關系：(1)兩銳角關系:

(2)三邊關系：(勾股定理)

(3)邊角關系：，

2.解直角三角形的類型和

解法圖形解法

已知條件

已知一直角邊和一個銳角

N3=90°—NA,c=-^-力=—或人=J。？—“2）

(a,ZA)BsinAtanA\'

已知斜邊和一個銳角ZB=90°-ZA,a=csinA.b-ccosA（或Z?=J/一片）

(c,ZA)對

邊

C。=，/+/,由12114=3求4,/3=90°—/4

已知兩直角邊(a,b)鄰邊

b

已知斜邊和一條直角邊

b=Jo2—/,由$也A=0求ZA,N5=90?！狽A

(c,a)c

第八章二次函數(shù)

一、概念：一般的，若兩個變量，之間的對應關系可以表示成的形式，則稱是的二次函數(shù)，其中,

是自變量，分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項

二、二次函數(shù)圖象及其性質

1.圖像與性

質y-ax-/z）2+k（a.k,k為常數(shù),aw0）y=ax2+"+《〃,反。是常數(shù),。00)

函數(shù)

〃>0〃<0〃>0a<0

JJJ

圖象

7

1R

J/n

性開口開口向上開口向下開口向上開口向下

質方向

對稱軸直線X=。直線x=---

2a

當時，隨的增大而減

當時，隨的增大而

當時，隨的增大而小；當時，隨的增大而增

減??；

增大；當時，隨的增大而增大；

當時，隨的增大而

當時，隨的增大而大當時，隨的增大而減

增大

減小；b小；

當x>〃時，y隨x當九〉----時，y隨

增減性2a

的增大而增大

X的增大而增大

時，在對稱軸左側，隨的增大而減小，在對稱軸右側，隨的增大而增大；

時，在對稱軸左側，隨的增大而增大，在對稱軸右側，隨的增大而減小

時，在對稱軸左側，y隨工的增大而增大，在對稱軸右側，y隨x的增大而減小

'b4ac-b2y

頂點(h,k)

、2〃’4〃,

拋物線有最低點，當

拋物線有最低點，拋物線有最高點，

時，有最小值拋物線有最高點，當

最值當時，有最小值，當時，有最大值時，有最大值

_4ac-b2

y最小值=卜y最大值=此為小值—4a

,拋物線開口向上；

決定拋物線開口方向,拋物線開口向下

2.拋物線與的關系

a<0,拋物線開口向下

a

越大，開口越小

決定拋物線開口大小

,對稱軸為軸；

決定拋物線對稱軸位置，,對稱軸在軸左側；同號在左，

a.bb,對稱軸在軸右側異號在右

對稱軸為直線%=——

2aab<0,對稱軸在y軸右側異號在

右

,拋物線過原點；

,拋物線與軸交于正半軸；

決定拋物線與y軸的交點位置

c,拋物線與軸交于負半軸

c<0,拋物線與y軸交于負半軸

時，與軸有兩個交點；

時，與軸有一個交點；

2決定拋物線與X軸的交點

Z?-4-ac時，與軸沒有交點

a.b.cZ?2-4ac<0時，與x軸沒有交點

'b4ac-]'b4-cic-Z?2

決定頂點位置頂點坐標為-二,

、2〃’4〃J、2〃4aJ

三、二次函數(shù)表達式的確定。確定二次函數(shù)表示的方法仍是待定系數(shù)法，有以下三種方法:

1.一般式：若已知拋物線過三點，一般設函數(shù)表達式為

2、頂點式：若已知拋物線的頂點是，可設函數(shù)表達式為

3、交點式：若已知拋物線與軸兩個交點，，可設函數(shù)表達式

四、二次函數(shù)的平移規(guī)律

移動方向平移前的表達式平移后的表達式簡記

向左平移加個單位左力口

y=a+左y—a^x—h+m^+k

向右平移m個單位y=ax-hf+ky=ax—h—mf+k右減

向上平移m個單位y=ax-hf+ky=ax—h^+k+m上加

向下平移加個單位y=a[x-hf+ky=ax—h^+k—m下減

注意平移之前函數(shù)表達式必須先化為頂點式

五、二次函數(shù)與一元二次方程的關系

二次函數(shù)的圖象與軸ax2+Z?x+c=O的才艮拋物線y=ax2+/zx+c與x軸的交點

的交點有三種情況：

有兩個交點；有一個

交點；沒有交點，當

圖象與軸有交點時，

令，解方程就可以求

出與軸交點的橫坐標

A=匕2-4-ac

A>0兩個不相等的實數(shù)根兩個交點

A=0兩個相等的實數(shù)根一個交點

A<0沒有實數(shù)根沒有交點

第九章圓

—＞圓的有關概念和性質

1.圓的基本概念：

(1)圓：到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點是圓心，定長是半徑

(2)弦、直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦；經(jīng)過圓心的弦叫做直徑

(3)?。簣A上任意兩點間的部分叫做??；大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧

(4)等圓、等?。耗軌蛑睾系膱A叫做等圓；能夠重合的弧叫做等弧

(5)圓心角：頂點在圓心，端點在圓上的角叫做圓心角

(6)圓周角：定點和端點都在圓上的角叫做圓周角

2.圓的性質

(1)圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸；圓也是中心對稱圖形,

對稱中心是

圓心

(2)把圓繞圓心旋轉任意一個角度，所得到的圖形都與原圖形重合

(3)過不在同一直線上的三個點確定一個圓

二、與圓有關的定理和推論

文字語言圖形幾何語言

定理：在同圓或等圓中，相等的圓

心角所對的弧相等，所對的

弦也相等在同圓或等圓中，

1.圓心角相等：

圓

心2.弧相等：

角推論：在同圓或等圓中，如果兩個3、弦相等：

、圓心角，兩條弧，兩條弦中以上條件知其中一個可得其二

弧

B

、有一組相等，那么它們所對

弦應的其余各組量都分別相等

之推論：在同圓或等圓中，如果兩個

間

的圓心角，兩條弧，兩條弦中

關有一組相等，那么它們所對

系應的其余各組量都分別相等

推論：在同圓或等圓中，如果兩個

圓心角，兩條弧，兩條弦中

有一組相等，那么它們所對

應的其余各組量都分別相等

是所對的圓心角，

定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的是所對的圓周角，

弧的圓心角度數(shù)的一半

ZC=-ZAOB

定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的地2

弧的圓心角度數(shù)的一半

Dc

推論1:同弧或等弧所對的圓周角NC和都是⑨所對的圓周角

圓相等

周ZC=ZD

角推論1:同弧或等弧所對的圓周角

定相等

理

AB是」。的直徑

CNC是貓所對的圓周角

推論2：直徑所對的圓周角是直ZC=90°

角，的圓周角所對的弦是

直徑/C是卷所對的圓周角

推論2：直徑所對的圓周角是直ZC=90°

角，的圓周角所對的弦是二AB是0的直徑

直徑

推論2：直徑所對的圓周角是直

角，90°的圓周角所對的

弦是直徑

四邊形ABCD是O。的內接四邊形

推論3:圓的內接四邊形對角互補ZB+ZD=180°

推論3：圓的內接四邊形對角互補ZBAZ)+ZC=180°

L/C=/DAE

定理：垂直于弦的直徑平分弦，并是的直徑，

A

且平分弦所對的兩條弧，，

CE=DE,BC=BD,AC=AD

推論：平分弦（不是直徑）的直徑是的直徑，

垂

徑垂直于弦，并且平分弦所對ABLCD于點、E

定

的兩條弧B

理推論：平分弦（不是直徑）的直徑BC=BD,^C^D

垂直于弦，并且平分弦所對

的兩條弧

推論：平分弦（不是直徑）的直徑

垂直于弦，并且平分弦所對

的兩條弧

三、與圓有關的位置關系

1.點文字語言圖形幾何語言

與

圓、

直線

與圓

的位

置關

系

設的半徑為，點到圓心的距離為，

點則有:

與

圓點在圓外點在圓外

的Au>d>r

位

置?

點在圓上點5在圓上od=廠

關

系￡

點在園內點C在圓外0dv廠

直設的半徑為，圓心到直線的距離為

線則有:

與

則有：

圓

的

位相交：直線和圓有

置

兩個公共點

關直線/和。0相交<=>d<一

系相交：直線和圓有

兩個公共點2

(1)切線性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑

(2)切線性質的推論：①經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點