高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點突破12導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題(七大題型)(原卷版+解析)

重難點突破12導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題目錄導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離、兩點間的距離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值．方法之一是轉(zhuǎn)化化歸，將動點間的距離問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值．題型一：曲線與直線的距離例1．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，其中，若存在，使得成立，則實數(shù)的值為_________.例2．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最小值______.例3．（2023·遼寧錦州·高二校聯(lián)考期中）若實數(shù)滿足，則的最小值為_____．變式1．（2023·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為___．變式2．（2023·江蘇蘇州·高二蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）實數(shù)滿足：，則的最小值為________變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小值是，則的值是_______變式4．（2023·湖南常德·高二臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，存在，使得成立，則實數(shù)=_______.變式5．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，當，變化時，則的最小值______．題型二：曲線與點的距離例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數(shù)的值為A． B． C． D．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點與曲線上點距離最小值為，則實數(shù)為A． B． C． D．例6．（2023·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．題型三：曲線與圓的距離例7．（2023·福建龍巖·高三統(tǒng)考期末）已知為函數(shù)圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為___．例8．（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）對于平面曲線S上任意一點P和曲線T上任意一點Q，稱的最小值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線和曲線，則曲線S與曲線T的距離為（

）A． B． C． D．2例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)圖像上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為（

）A． B．C． D．變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．題型四：曲線與拋物線的距離例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，當a，b變化時，的最小值為_______.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè),其中，則的最小值為A． B． C． D．例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè).，則的最小值為A． B．1 C． D．2題型五：曲線與曲線的距離例13．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為___________.例14．（2023·四川成都·高二棠湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________．例15．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）設(shè)點在曲線上，點曲線上，則的最小值為________．變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_____.變式9．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________.則|PQ|的最小值等于.變式10．（2023·黑龍江大興安嶺地·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，若，則的取值范圍是___________.變式11．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）分別是函數(shù)和圖象上的點，若與x軸平行，則的最小值是（

）A． B．C． D．變式12．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．題型六：橫向距離例16．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．例17．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┲本€分別與直線，曲線交于A，B兩點，則的最小值為A． B．1 C． D．4例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：在點處的切線與曲線：相切，若動直線分別與曲線、相交于、兩點，則的最小值為A． B． C． D．變式13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)，函數(shù)，直線分別與兩函數(shù)交于、兩點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖像分別與直線交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．變式15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）函數(shù)，的圖象與直線分別交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型七：縱向距離例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線分別與曲線和曲線交于，兩點，則的最小值為A． B．2 C． D．例20．（2023·高二課時練習(xí)）動直線（）與函數(shù)，的圖象分別交于點A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．例21．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若動直線與函數(shù)和的圖象分別交于，兩點，則的最大值為A．2 B． C．1 D．變式17．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式18．（多選題）（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測）若直線與兩曲線、分別交于、兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．存在，使 B．當時，取得最小值C．沒有最小值 D．變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線分別與直線，曲線交于、兩點，則的最小值為__________．

重難點突破12導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題目錄導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題，利用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想可把問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離、兩點間的距離問題，再利用導(dǎo)數(shù)法來求距離的最值．方法之一是轉(zhuǎn)化化歸，將動點間的距離問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導(dǎo)數(shù)求得的切點；方法之二是構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值．題型一：曲線與直線的距離例1．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，其中，若存在，使得成立，則實數(shù)的值為_________.【答案】10【解析】設(shè)，則可看做圖象上任意一點與圖象上點的距離的平方，設(shè)函數(shù)過點的切線平行于直線．則，令，解得，∴切點．點P到直線的距離，此時，∴存在，使，過點P且與直線垂直的直線方程為：.聯(lián)立，解得．即，時，存在使得為成立，此時.故答案為：10例2．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中階段練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最小值______.【答案】【解析】由題意可得可以表示兩點與之間距離的平方故，可以看成是函數(shù)，即函數(shù)在的切線與函數(shù)平行時求出最小值則，解得此時故的最小值為例3．（2023·遼寧錦州·高二校聯(lián)考期中）若實數(shù)滿足，則的最小值為_____．【答案】8【解析】實數(shù)、、、滿足：，，設(shè)，，則有：，且，設(shè)，，則有：，就是曲線與直線之間的最小距離的平方值，對曲線求導(dǎo)：，與平行的切線斜率，解得：或（舍，把代入，得：，即切點為，切點到直線的距離：，的最小值就是8．故答案為：8.變式1．（2023·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為___．【答案】【解析】由，得，所以表示直線上點到曲線上點距離的平方，由，令，解得或（舍），得，所以所求最小值為，故答案為：.變式2．（2023·江蘇蘇州·高二蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）實數(shù)滿足：，則的最小值為________【答案】/4.5【解析】由題設(shè)可得，，故，設(shè)，，則，即函數(shù)的圖象的點與直線上的點的連線段的平方，而，令，則，此時對應(yīng)的函數(shù)值為1，故函數(shù)的圖象在處的切線為，的最小值即為平行線，之間的距離，此距離為，故的最小值為，故答案為：變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的最小值是，則的值是_______【答案】/【解析】函數(shù)，可得表示兩點，的距離的平方，即有函數(shù)，圖象上的兩點距離的最小值的平方為，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切，，設(shè)切點為，可得，解得，則，即有切點為，則，解得，則的值為．故答案為：．變式4．（2023·湖南常德·高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中，存在，使得成立，則實數(shù)=_______.【答案】/【解析】設(shè)，設(shè)，則，而點P在曲線，點Q在直線上，當過曲線上的一點的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最小值由，可得，所以，到直線的距離，則，即恒成立，由題意可知存在，使得，則過點垂直于的直線為由，可得，則，則故答案為：變式5．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，當，變化時，則的最小值______．【答案】【解析】由可知，此式表示點與點間的距離，而點在曲線上，點在直線上，所以問題轉(zhuǎn)化為求直線與曲線間的最小距離，將直線向下平移恰好與曲線相切時，所平移的距離為所求的距離，設(shè)直線向下平移與曲線相切時的直線方程為，設(shè)切點為，，則，得，所以，切點為，所以切線方程為，此時直線與間的距離為，故答案為：題型二：曲線與點的距離例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】先設(shè)切點B，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義以及最值列式解得實數(shù)的值.因為,所以由題意得以A為圓心，為半徑的圓與曲線相切于點B,設(shè),則在B點處切線的斜率為，所以，選D.例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點與曲線上點距離最小值為，則實數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)點的坐標為，根據(jù)直線與曲線在點處的切線垂直，得到關(guān)于的表達式，再利用兩點間的距離公式結(jié)合的最小值為，求出的值，即可得出實數(shù)的值.設(shè)點的坐標為，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可知，直線與曲線在點處的切線垂直，則，得，由兩點間的距離公式得，由于的最小值為，即，，解得，因此，.故選：C.例6．（2023·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測）設(shè)點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數(shù)t的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，記，，易知是增函數(shù)，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．題型三：曲線與圓的距離例7．（2023·福建龍巖·高三統(tǒng)考期末）已知為函數(shù)圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為___．【答案】【解析】由圓的對稱性可知，只需滿足圓心（0，）到圖象上一點的距離最小值設(shè)圖象上的一點為則即有切線斜率為可得,設(shè),遞增又可得處點（e,1）到的距離最小，為則線段長度的最小值為例8．（2023·上海·高二專題練習(xí)）對于平面曲線S上任意一點P和曲線T上任意一點Q，稱的最小值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線和曲線，則曲線S與曲線T的距離為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由題意得：設(shè)則根據(jù)柯西不等式：于是于是令，則故故故選：A例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，圓心為，設(shè)點的坐標為，則，設(shè)，，令，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故，所以時，且，所以時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以時，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，所以，故當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，故的最小值為，則線段的長度的最小值為．故選：B．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)圖像上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，又圓的圓心為，令，，．令，，令，，時，，在上單調(diào)遞增，，即所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，而．，解得；，解得，在遞減，在遞增，，，則線段的長度的最小值為，故選：A．變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點的距離的最小值．設(shè)圖象上一點，令圖象上一點的切線為由的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為，當時，圓心到函數(shù)圖象上一點的距離最小，此時，即有，由，可得，遞增，又，所以，，所以點到點的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為，故選：A．題型四：曲線與拋物線的距離例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，當a，b變化時，的最小值為_______.【答案】.【解析】，函數(shù)表示點和的距離加上的縱坐標，畫出和的圖像，如圖所示：故，當共線時等號成立.設(shè)，則，，當時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，故，函數(shù)單調(diào)遞減.，故.綜上所述：的最小值是.故答案為：.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè),其中，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由表示兩點與點的距離，而點在拋物線上，拋物線的焦點，準線為，則表示與的距離和與準線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫出圖象，當三點共線時，可求得最小值.由題意，，由表示兩點與點的距離，而點在拋物線上，拋物線的焦點，準線為，則表示與的距離和與準線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，由圖象可知三點共線時，且為曲線的垂線，此時取得最小值，即為切點，設(shè)，由，可得，設(shè)，則遞增，且，可得切點，即有，則的最小值為，故選C.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè).，則的最小值為A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題可得：設(shè)，所以為上任意一點到上任一點及拋物線焦點的距離之和，所以距離表達式為,令，，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為題型五：曲線與曲線的距離例13．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為___________.【答案】【解析】由于曲線是由向右平移1個單位得到的，是由現(xiàn)右平移1個單位得到的，所以的最小值可以看成曲線上的點與上的點間的最小值，因為與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，所以所求的最小值為曲線上的點到直線的最小距離的2倍，設(shè)與直線平行的直線與曲線相切于點，因為，由，得，所以切點，所以點到直線的最小距離為，所以的最小值為，故答案為：例14．（2023·四川成都·高二棠湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________．【答案】【解析】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.函數(shù)上的點到直線的距離為.設(shè)函數(shù)，則因為當時，，當時，所以當時，所以所以最小值為.故答案為：例15．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O(shè)點在曲線上，點曲線上，則的最小值為________．【答案】【解析】因為曲線與曲線互為反函數(shù)，所以其圖象關(guān)于對稱，所以可先求點到直線的距離的最小值，設(shè)曲線上斜率為1的切線方程為，由，可得，令，解得，所以切線的坐標為，所以切線到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_____.【答案】【解析】令、分別向上平移一個單位可得、，而與關(guān)于對稱，∴當兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時，P、Q關(guān)于對稱，|PQ|有最小，對應(yīng)曲線平移到、后，P、Q關(guān)于對稱即可，∴令，則，∴有，則，即，∴到的距離，∴.故答案為：.變式9．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________.【答案】【解析】由,得：,.所以,與互為反函數(shù)．它們的圖像關(guān)于對稱．P在曲線上,點Q在曲線上，設(shè)，要使|PQ|的距離最小,則P應(yīng)在上，又P，Q的距離為P或Q中一個點到的最短距離的兩倍．以Q點為例，Q點到直線的最短距離所以當,即時,d取得最小值，則|PQ|的最小值等于.變式10．（2023·黑龍江大興安嶺地·高三校考階段練習(xí)）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，若，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由函數(shù)和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，可先求得點點到直線的距離為，設(shè)曲線上斜率為1的切線方程為，因為，令，可得，即，即切線的坐標為又由切點到直線距離為，因為，所以，即，即，因為，可得，所以，即，即，令，則，令，可得，所以在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以不等式等價于，則，即，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.變式11．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）分別是函數(shù)和圖象上的點，若與x軸平行，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為與x軸平行，設(shè)方程為，由，可得，即，由，可得，即，所以，設(shè)，則，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，故，故選：B變式12．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于對稱.所以與的圖象可以看成是由，這兩個函數(shù)圖象向右平移一個單位得到的.所以的最小值即為曲線與上兩點的最小值.曲線上的點到直線的距離為設(shè)，則.由可得，由可得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以當時，函數(shù)，所以由圖象關(guān)于對稱得：的最小值為.故選：B題型六：橫向距離例16．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因為函數(shù)的圖像與直線分別交于兩點，所以，，其中，且，所以，令，則，令得：；所以易得：時，；時，；即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，即的最小值為.故答案為：B.例17．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直線分別與直線，曲線交于A，B兩點，則的最小值為A． B．1 C． D．4【答案】A【解析】設(shè)，則，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴時，函數(shù)的最小值為，故選A．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：在點處的切線與曲線：相切，若動直線分別與曲線、相交于、兩點，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)恒成立，故單調(diào)遞增，又故故，令，選D變式13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學(xué)校?？既＃┮阎瘮?shù)，函數(shù)，直線分別與兩函數(shù)交于、兩點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】設(shè)，，則，，消去得．所以，其中.令，，則，當時，，當時，．故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，所以的最小值為．故選：A．變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，的圖像分別與直線交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，其中，且，所以，令，，則時，解得，所以時，；時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，，故選：C．變式15．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）函數(shù)，的圖象與直線分別交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由可得，由可得，所以設(shè)，，則，記，則恒成立，所以即在上單調(diào)遞增，且，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為，故選：C.變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線與函數(shù)，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點，，，，其中，且，，設(shè)函數(shù)，，，令，解得，當，即時，函數(shù)在，單調(diào)遞增，當，即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，故時，函數(shù)有最小值，最小值為，故線段的長度的最小值為．故選：D．題型七：縱向距離例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線分別與曲線和曲線交于，兩點，則的最小值為A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可設(shè)，，即可表示出，構(gòu)造函數(shù)并求得，令求得極值點并判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求得的最小值.直線分別與曲線和曲線交于，兩點，設(shè)，，且，，，．，，，令解得，（舍），當時，則在上單調(diào)遞減，當時，，則在上單調(diào)遞增．所以，綜上