高考數學一輪復習講練測(新教材新高考)重難點突破12導數中的“距離”問題(七大題型)(原卷版+解析)

重難點突破12導數中的“距離”問題目錄導數中的“距離”問題，利用化歸轉化和數形結合的思想可把問題轉化為點到直線的距離、兩點間的距離問題，再利用導數法來求距離的最值．方法之一是轉化化歸，將動點間的距離問題轉化為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導數求得的切點；方法之二是構造函數，求出導數，利用導數求解最值．題型一：曲線與直線的距離例1．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數，其中，若存在，使得成立，則實數的值為_________.例2．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中階段練習）已知實數滿足，則的最小值______.例3．（2023·遼寧錦州·高二校聯(lián)考期中）若實數滿足，則的最小值為_____．變式1．（2023·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）若實數，，，滿足，則的最小值為___．變式2．（2023·江蘇蘇州·高二蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學?？茧A段練習）實數滿足：，則的最小值為________變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的最小值是，則的值是_______變式4．（2023·湖南常德·高二臨澧縣第一中學?？茧A段練習）已知函數，其中，存在，使得成立，則實數=_______.變式5．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習）設，當，變化時，則的最小值______．題型二：曲線與點的距離例4．（2023·全國·高三專題練習）若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數的值為A． B． C． D．例5．（2023·全國·高三專題練習）若點與曲線上點距離最小值為，則實數為A． B． C． D．例6．（2023·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預測）設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數t的值為（

）A． B． C． D．題型三：曲線與圓的距離例7．（2023·福建龍巖·高三統(tǒng)考期末）已知為函數圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為___．例8．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）對于平面曲線S上任意一點P和曲線T上任意一點Q，稱的最小值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線和曲線，則曲線S與曲線T的距離為（

）A． B． C． D．2例9．（2023·全國·高三專題練習）已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．C． D．變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知點為函數圖像上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為（

）A． B．C． D．變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．題型四：曲線與拋物線的距離例10．（2023·全國·高三專題練習）設，當a，b變化時，的最小值為_______.例11．（2023·全國·高三專題練習）設,其中，則的最小值為A． B． C． D．例12．（2023·全國·高三專題練習）設.，則的最小值為A． B．1 C． D．2題型五：曲線與曲線的距離例13．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為___________.例14．（2023·四川成都·高二棠湖中學?？茧A段練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________．例15．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期中）設點在曲線上，點曲線上，則的最小值為________．變式8．（2023·全國·高三專題練習）設點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_____.變式9．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________.則|PQ|的最小值等于.變式10．（2023·黑龍江大興安嶺地·高三校考階段練習）設點在曲線上，點在曲線上，若，則的取值范圍是___________.變式11．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預測）分別是函數和圖象上的點，若與x軸平行，則的最小值是（

）A． B．C． D．變式12．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預測）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．題型六：橫向距離例16．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校?？计谥校┮阎瘮?，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．例17．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┲本€分別與直線，曲線交于A，B兩點，則的最小值為A． B．1 C． D．4例18．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：在點處的切線與曲線：相切，若動直線分別與曲線、相交于、兩點，則的最小值為A． B． C． D．變式13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學校?？既＃┮阎瘮担瘮?，直線分別與兩函數交于、兩點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，的圖像分別與直線交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．變式15．（2023·江蘇·高二專題練習）函數，的圖象與直線分別交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2變式16．（2023·全國·高三專題練習）設直線與函數，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型七：縱向距離例19．（2023·全國·高三專題練習）直線分別與曲線和曲線交于，兩點，則的最小值為A． B．2 C． D．例20．（2023·高二課時練習）動直線（）與函數，的圖象分別交于點A，B，則的最小值為（

）A． B． C． D．例21．（2023·高一課時練習）已知函數，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若動直線與函數和的圖象分別交于，兩點，則的最大值為A．2 B． C．1 D．變式17．（2023·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知直線與函數，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式18．（多選題）（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預測）若直線與兩曲線、分別交于、兩點，且曲線在點處的切線為，曲線在點處的切線為，則下列結論正確的有（

）A．存在，使 B．當時，取得最小值C．沒有最小值 D．變式19．（2023·全國·高三專題練習）直線分別與直線，曲線交于、兩點，則的最小值為__________．

重難點突破12導數中的“距離”問題目錄導數中的“距離”問題，利用化歸轉化和數形結合的思想可把問題轉化為點到直線的距離、兩點間的距離問題，再利用導數法來求距離的最值．方法之一是轉化化歸，將動點間的距離問題轉化為點到直線的距離問題，而這個“點”一般就是利用導數求得的切點；方法之二是構造函數，求出導數，利用導數求解最值．題型一：曲線與直線的距離例1．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知函數，其中，若存在，使得成立，則實數的值為_________.【答案】10【解析】設，則可看做圖象上任意一點與圖象上點的距離的平方，設函數過點的切線平行于直線．則，令，解得，∴切點．點P到直線的距離，此時，∴存在，使，過點P且與直線垂直的直線方程為：.聯(lián)立，解得．即，時，存在使得為成立，此時.故答案為：10例2．（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中階段練習）已知實數滿足，則的最小值______.【答案】【解析】由題意可得可以表示兩點與之間距離的平方故，可以看成是函數，即函數在的切線與函數平行時求出最小值則，解得此時故的最小值為例3．（2023·遼寧錦州·高二校聯(lián)考期中）若實數滿足，則的最小值為_____．【答案】8【解析】實數、、、滿足：，，設，，則有：，且，設，，則有：，就是曲線與直線之間的最小距離的平方值，對曲線求導：，與平行的切線斜率，解得：或（舍，把代入，得：，即切點為，切點到直線的距離：，的最小值就是8．故答案為：8.變式1．（2023·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）若實數，，，滿足，則的最小值為___．【答案】【解析】由，得，所以表示直線上點到曲線上點距離的平方，由，令，解得或（舍），得，所以所求最小值為，故答案為：.變式2．（2023·江蘇蘇州·高二蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學?？茧A段練習）實數滿足：，則的最小值為________【答案】/4.5【解析】由題設可得，，故，設，，則，即函數的圖象的點與直線上的點的連線段的平方，而，令，則，此時對應的函數值為1，故函數的圖象在處的切線為，的最小值即為平行線，之間的距離，此距離為，故的最小值為，故答案為：變式3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數的最小值是，則的值是_______【答案】/【解析】函數，可得表示兩點，的距離的平方，即有函數，圖象上的兩點距離的最小值的平方為，設直線與函數的圖象相切，，設切點為，可得，解得，則，即有切點為，則，解得，則的值為．故答案為：．變式4．（2023·湖南常德·高二臨澧縣第一中學?？茧A段練習）已知函數，其中，存在，使得成立，則實數=_______.【答案】/【解析】設，設，則，而點P在曲線，點Q在直線上，當過曲線上的一點的切線與直線平行時，點到直線的距離取得最小值由，可得，所以，到直線的距離，則，即恒成立，由題意可知存在，使得，則過點垂直于的直線為由，可得，則，則故答案為：變式5．（2023·湖北孝感·高二校聯(lián)考階段練習）設，當，變化時，則的最小值______．【答案】【解析】由可知，此式表示點與點間的距離，而點在曲線上，點在直線上，所以問題轉化為求直線與曲線間的最小距離，將直線向下平移恰好與曲線相切時，所平移的距離為所求的距離，設直線向下平移與曲線相切時的直線方程為，設切點為，，則，得，所以，切點為，所以切線方程為，此時直線與間的距離為，故答案為：題型二：曲線與點的距離例4．（2023·全國·高三專題練習）若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】先設切點B，再根據導數幾何意義以及最值列式解得實數的值.因為,所以由題意得以A為圓心，為半徑的圓與曲線相切于點B,設,則在B點處切線的斜率為，所以，選D.例5．（2023·全國·高三專題練習）若點與曲線上點距離最小值為，則實數為A． B． C． D．【答案】C【解析】設點的坐標為，根據直線與曲線在點處的切線垂直，得到關于的表達式，再利用兩點間的距離公式結合的最小值為，求出的值，即可得出實數的值.設點的坐標為，對函數求導得，由題意可知，直線與曲線在點處的切線垂直，則，得，由兩點間的距離公式得，由于的最小值為，即，，解得，因此，.故選：C.例6．（2023·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預測）設點，P為曲線上動點，若點A，P間距離的最小值為，則實數t的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，則，記，，易知是增函數，且的值域是，∴的唯一解，且時，，時，，即，由題意，而，，∴，解得，．∴．故選：C．題型三：曲線與圓的距離例7．（2023·福建龍巖·高三統(tǒng)考期末）已知為函數圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為___．【答案】【解析】由圓的對稱性可知，只需滿足圓心（0，）到圖象上一點的距離最小值設圖象上的一點為則即有切線斜率為可得,設,遞增又可得處點（e,1）到的距離最小，為則線段長度的最小值為例8．（2023·上?！じ叨ｎ}練習）對于平面曲線S上任意一點P和曲線T上任意一點Q，稱的最小值為曲線S與曲線T的距離.已知曲線和曲線，則曲線S與曲線T的距離為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由題意得：設則根據柯西不等式：于是于是令，則故故故選：A例9．（2023·全國·高三專題練習）已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，圓心為，設點的坐標為，則，設，，令，則，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以，故，所以時，且，所以時，，函數單調遞減，當時，令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，則，即，所以時，單調遞增，即單調遞增，所以，故當時，函數單調遞增，所以，故的最小值為，則線段的長度的最小值為．故選：B．變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知點為函數圖像上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設，又圓的圓心為，令，，．令，，令，，時，，在上單調遞增，，即所以在上單調遞增，即在上單調遞增，而．，解得；，解得，在遞減，在遞增，，，則線段的長度的最小值為，故選：A．變式7．（2023·全國·高三專題練習）已知點為函數的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數圖象上一點的距離的最小值．設圖象上一點，令圖象上一點的切線為由的導數為，即切線的斜率為，當時，圓心到函數圖象上一點的距離最小，此時，即有，由，可得，遞增，又，所以，，所以點到點的距離最小，且為，則線段的長度的最小值為，故選：A．題型四：曲線與拋物線的距離例10．（2023·全國·高三專題練習）設，當a，b變化時，的最小值為_______.【答案】.【解析】，函數表示點和的距離加上的縱坐標，畫出和的圖像，如圖所示：故，當共線時等號成立.設，則，，當時，，故，函數單調遞增；當時，，故，函數單調遞減.，故.綜上所述：的最小值是.故答案為：.例11．（2023·全國·高三專題練習）設,其中，則的最小值為A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由表示兩點與點的距離，而點在拋物線上，拋物線的焦點，準線為，則表示與的距離和與準線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫出圖象，當三點共線時，可求得最小值.由題意，，由表示兩點與點的距離，而點在拋物線上，拋物線的焦點，準線為，則表示與的距離和與準線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，由圖象可知三點共線時，且為曲線的垂線，此時取得最小值，即為切點，設，由，可得，設，則遞增，且，可得切點，即有，則的最小值為，故選C.例12．（2023·全國·高三專題練習）設.，則的最小值為A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題可得：設，所以為上任意一點到上任一點及拋物線焦點的距離之和，所以距離表達式為,令，，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為題型五：曲線與曲線的距離例13．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為___________.【答案】【解析】由于曲線是由向右平移1個單位得到的，是由現右平移1個單位得到的，所以的最小值可以看成曲線上的點與上的點間的最小值，因為與互為反函數，其圖象關于直線對稱，所以所求的最小值為曲線上的點到直線的最小距離的2倍，設與直線平行的直線與曲線相切于點，因為，由，得，所以切點，所以點到直線的最小距離為，所以的最小值為，故答案為：例14．（2023·四川成都·高二棠湖中學?？茧A段練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________．【答案】【解析】函數與函數互為反函數，圖象關于對稱.函數上的點到直線的距離為.設函數，則因為當時，，當時，所以當時，所以所以最小值為.故答案為：例15．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谥校┰O點在曲線上，點曲線上，則的最小值為________．【答案】【解析】因為曲線與曲線互為反函數，所以其圖象關于對稱，所以可先求點到直線的距離的最小值，設曲線上斜率為1的切線方程為，由，可得，令，解得，所以切線的坐標為，所以切線到直線的距離為，所以的最小值為.故答案為：.變式8．（2023·全國·高三專題練習）設點P在曲線上，點Q在曲線上，則|PQ|的最小值為_____.【答案】【解析】令、分別向上平移一個單位可得、，而與關于對稱，∴當兩條曲線在P、Q處的切線均與平行時，P、Q關于對稱，|PQ|有最小，對應曲線平移到、后，P、Q關于對稱即可，∴令，則，∴有，則，即，∴到的距離，∴.故答案為：.變式9．（2023·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為__________.【答案】【解析】由,得：,.所以,與互為反函數．它們的圖像關于對稱．P在曲線上,點Q在曲線上，設，要使|PQ|的距離最小,則P應在上，又P，Q的距離為P或Q中一個點到的最短距離的兩倍．以Q點為例，Q點到直線的最短距離所以當,即時,d取得最小值，則|PQ|的最小值等于.變式10．（2023·黑龍江大興安嶺地·高三?？茧A段練習）設點在曲線上，點在曲線上，若，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由函數和互為反函數，其圖像關于直線對稱，可先求得點點到直線的距離為，設曲線上斜率為1的切線方程為，因為，令，可得，即，即切線的坐標為又由切點到直線距離為，因為，所以，即，即，因為，可得，所以，即，即，令，則，令，可得，所以在區(qū)間上為單調遞增函數，因為，所以不等式等價于，則，即，所以，解得，故實數的取值范圍是.故答案為：.變式11．（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預測）分別是函數和圖象上的點，若與x軸平行，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為與x軸平行，設方程為，由，可得，即，由，可得，即，所以，設，則，當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，故，故選：B變式12．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預測）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，這兩個函數互為反函數，圖象關于對稱.所以與的圖象可以看成是由，這兩個函數圖象向右平移一個單位得到的.所以的最小值即為曲線與上兩點的最小值.曲線上的點到直線的距離為設，則.由可得，由可得所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以當時，函數，所以由圖象關于對稱得：的最小值為.故選：B題型六：橫向距離例16．（2023·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校?？计谥校┮阎瘮?，的圖象分別與直線交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因為函數的圖像與直線分別交于兩點，所以，，其中，且，所以，令，則，令得：；所以易得：時，；時，；即函數在上單調遞減，在上單調遞增，因此，即的最小值為.故答案為：B.例17．（2023·黑龍江佳木斯·高二佳木斯一中?？计谥校┲本€分別與直線，曲線交于A，B兩點，則的最小值為A． B．1 C． D．4【答案】A【解析】設，則，∴，∴，令，則，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，∴時，函數的最小值為，故選A．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程．例18．（2023·全國·高三專題練習）已知拋物線：在點處的切線與曲線：相切，若動直線分別與曲線、相交于、兩點，則的最小值為A． B． C． D．【答案】D【解析】設恒成立，故單調遞增，又故故，令，選D變式13．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一中學校?？既＃┮阎瘮担瘮?，直線分別與兩函數交于、兩點，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】設，，則，，消去得．所以，其中.令，，則，當時，，當時，．故在上為減函數，在上為增函數，所以，所以的最小值為．故選：A．變式14．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，的圖像分別與直線交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，其中，且，所以，令，，則時，解得，所以時，；時，，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，，故選：C．變式15．（2023·江蘇·高二專題練習）函數，的圖象與直線分別交于，兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】由可得，由可得，所以設，，則，記，則恒成立，所以即在上單調遞增，且，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以的最小值為，故選：C.變式16．（2023·全國·高三專題練習）設直線與函數，的圖像分別交于A，B兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線與函數，的圖象分別交于，兩點，，，，其中，且，，設函數，，，令，解得，當，即時，函數在，單調遞增，當，即時，函數在單調遞減，故時，函數有最小值，最小值為，故線段的長度的最小值為．故選：D．題型七：縱向距離例19．（2023·全國·高三專題練習）直線分別與曲線和曲線交于，兩點，則的最小值為A． B．2 C． D．【答案】D【解析】根據題意可設，，即可表示出，構造函數并求得，令求得極值點并判斷函數的單調性，即可求得的最小值.直線分別與曲線和曲線交于，兩點，設，，且，，，．，，，令解得，（舍），當時，則在上單調遞減，當時，，則在上單調遞增．所以，綜上