高考數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)專題2.5點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系【六大題型】(原卷版+解析)

專題2.5點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】 1【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】 3【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】 5【題型4直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】 7【題型5光線反射問(wèn)題】 8【題型6將軍飲馬問(wèn)題】 12【知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱】1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】【例1】（2023·四川·高二專題練習(xí)）若A(4，0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,6)．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A（5，8），B（4，1），則A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為．【變式1-3】（2023·江西·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對(duì)稱點(diǎn)為(?2,?3)，則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是.【知識(shí)點(diǎn)2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱】1．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l:x+2y?1=0關(guān)于點(diǎn)(1,?1)對(duì)稱的直線l′的方程為（

A．2x?y?5=0 B．x+2y?3=0 C．x+2y+3=0 D．2x?y?1=0【變式2-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P(1,2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，則一定在直線l1上的點(diǎn)為（A．(12,32) B．(?1,【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線2x+3y?6=0關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的直線方程是（

）A．3x?2y?10=0 B．3x?2y?23=0C．2x+3y?4=0 D．2x+3y?2=0【變式2-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a,b的值是A．a(chǎn)=?1，b=?9 B．a(chǎn)=?1，b=9C．a(chǎn)=1，b=?9 D．a(chǎn)=1，b=9【知識(shí)點(diǎn)3直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱】1．兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(4)幾種特殊位置的對(duì)稱：點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】【例3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）點(diǎn)P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

A．?3,5 B．?1,?4 C．4,1 D．2,3【變式3-1】（2023秋·吉林白城·高二?？计谀c(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．(?1,?3) B．(?1,?4) C．(4,1) D．(2,3)【變式3-2】（2022秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對(duì)稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【變式3-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，﹣2），B（m，n），關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對(duì)稱，則m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【知識(shí)點(diǎn)4直線關(guān)于直線的對(duì)稱】【題型4直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線2x+3y+4=0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為（

）A．2x+3y?4=0 B．2x?3y+4=0C．2x?3y?4=0 D．3x+2y?4=0【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【變式4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果直線y=ax+2與直線y=3x?b關(guān)于直線y=x對(duì)稱，那么（

）A．a(chǎn)=13,b=6 B．a(chǎn)=13,b=?6【變式4-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l1：ax?y+3=0與直線l2關(guān)于直線l：x+y?1=0對(duì)稱，直線l2與直線l3：A．?13 B．13 C．3【題型5光線反射問(wèn)題】【例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一條光線從點(diǎn)A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23=0C．3x+y+4?23=0【變式5-1】（2022秋·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P?4,8和Q?3,6，然后被直線y=x?3反射，則反射光線所在的直線方程為（A．x+2y?3=0 B．2x+y?15=0C．x?2y?5=0 D．x+2y+3=0【變式5-2】（2022秋·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知A4,0，B0,6，從點(diǎn)P2,0射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)PA．126513 B．813013 C．【變式5-3】（2023春·山東東營(yíng)·高二校考開(kāi)學(xué)考試）已知：A0,4，B0,?4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,?2，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?14 B．?14【題型6將軍飲馬問(wèn)題】【例6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．27 B．5 C．15 D．29【變式6-1】（2022秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期中）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河，“詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路最短？試求x2+1+A．5 B．10 C．1+5 D．【變式6-2】（2022秋·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)關(guān)兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題—“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)A(3,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y=4，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．1453 B．37 C．1353 【變式6-3】（2022秋·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在位置為B3,4，若將軍從點(diǎn)A?2,0處出發(fā)，河岸線所在直線方程為y=x，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

A．5 B．35 C．4 D．

專題2.5點(diǎn)、線間的對(duì)稱關(guān)系【六大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】 1【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】 3【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】 5【題型4直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】 7【題型5光線反射問(wèn)題】 8【題型6將軍飲馬問(wèn)題】 12【知識(shí)點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱】1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱【題型1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】【例1】（2023·四川·高二專題練習(xí)）若A(4，0)與B點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，1)對(duì)稱，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A．(0,4) B．(0,2) C．(?2,4) D．(4,?2)【解題思路】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【解答過(guò)程】解：設(shè)Ba,b，由題知，點(diǎn)A和點(diǎn)B的中點(diǎn)為2,14+a2=20+b2所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2故選：B.【變式1-1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,6)．【解題思路】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)為B(x,y)，則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．∴3=解得x=5y=6∴點(diǎn)A(1,2)關(guān)于點(diǎn)P(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,6)．故答案為：(5,6)．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A（5，8），B（4，1），則A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為3,?6．【解題思路】設(shè)出A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后直接代入中點(diǎn)坐標(biāo)公式計(jì)算．【解答過(guò)程】設(shè)C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點(diǎn)是A，C的中點(diǎn)，所以x+52=4y+8所以C的坐標(biāo)為3,?6．故答案為：3,?6.【變式1-3】（2023·江西·高二階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)A(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1,y)的對(duì)稱點(diǎn)為(?2,?3)，則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離是17.【解題思路】根據(jù)對(duì)稱性，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得x?22=1，且解得x=4，y=1，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,1)，則點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離d=(4?0)故答案為：17.【知識(shí)點(diǎn)2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱】1．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱【題型2直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題】【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線l:x+2y?1=0關(guān)于點(diǎn)(1,?1)對(duì)稱的直線l′的方程為（

A．2x?y?5=0 B．x+2y?3=0 C．x+2y+3=0 D．2x?y?1=0【解題思路】根據(jù)直線關(guān)于直線外一點(diǎn)(1,?1)的對(duì)稱直線互相平行可知其斜率，再取l上一點(diǎn)求其關(guān)于點(diǎn)(1,?1)的對(duì)稱點(diǎn)，即可求出l′【解答過(guò)程】由題意得l′//l，故設(shè)在l上取點(diǎn)A(1,0)，則點(diǎn)A(1,0)關(guān)于點(diǎn)(1,?1)的對(duì)稱點(diǎn)是A′所以1+2×(?2)+c=0，即c=3，故直線l′的方程為x+2y+3=0故選：C.【變式2-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P(1,2)在直線l上，直線l1與l關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，則一定在直線l1上的點(diǎn)為（A．(12,32) B．(?1,【解題思路】根據(jù)兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，利用中點(diǎn)公式即可求直線l上P(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線l1【解答過(guò)程】由題設(shè)，P(1,2)關(guān)于(0,1)對(duì)稱的點(diǎn)必在l1上，若該點(diǎn)為(x,y)∴{1+x2=02+y2=1，解得故選：C.【變式2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線2x+3y?6=0關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的直線方程是（

）A．3x?2y?10=0 B．3x?2y?23=0C．2x+3y?4=0 D．2x+3y?2=0【解題思路】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y,則其關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2?x,4?y)，代入已知直線即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y，則其關(guān)于點(diǎn)?1,2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(?2?x,4?y)，因?yàn)辄c(diǎn)(?2?x,4?y)在直線2x+3y?6=0上，所以2?2?x+34?y故選：D.【變式2-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）直線ax+3y?9=0與直線x?3y+b=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a,b的值是A．a(chǎn)=?1，b=?9 B．a(chǎn)=?1，b=9C．a(chǎn)=1，b=?9 D．a(chǎn)=1，b=9【解題思路】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點(diǎn)（m，n），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n），分別代入已知的直線方程，即可求得結(jié)論．【解答過(guò)程】直線ax+3y﹣9＝0上任意取點(diǎn)（m，n），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣m，﹣n），則am+3n?9=0∵點(diǎn)（m，n）是直線ax+3y﹣9＝0上任意一點(diǎn)∴a＝﹣1，b＝﹣9故選A．【知識(shí)點(diǎn)3直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱】1．兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(4)幾種特殊位置的對(duì)稱：點(diǎn)對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a,b)x軸(a,-b)y軸(-a,b)y=x(b,a)y=-x(-b,-a)x=m(m≠0)(2m-a,b)y=n(n≠0)(a,2n-b)【題型3點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】【例3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）點(diǎn)P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

A．?3,5 B．?1,?4 C．4,1 D．2,3【解題思路】利用中點(diǎn)和斜率來(lái)求得Q點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)P2,0關(guān)于直線l:x?y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為a,b則b?0a?2×1=?1a+2所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?3,5.故選：A.【變式3-1】（2023秋·吉林白城·高二?？计谀c(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線l:x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

）A．(?1,?3) B．(?1,?4) C．(4,1) D．(2,3)【解題思路】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的特點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及兩直線垂直的斜率的關(guān)系即可求解.【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)P(2,0)關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)，則{b?0a?2×(?1)=?1所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(?1,?3)故選：A.【變式3-2】（2022秋·高二校考課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）關(guān)于直線4x+3y=11對(duì)稱，則a，b的值為（）.A．a(chǎn)=-1，b=2 B．a(chǎn)=4，b=-2C．a(chǎn)=2，b=4 D．a(chǎn)=4，b=2【解題思路】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】點(diǎn)A，B關(guān)于直線4x+3y=11對(duì)稱，則kAB即b+2?(?b)a+2?(b?a)且AB中點(diǎn)(b+2代入得2(b+2)+3=11，②聯(lián)立①②組成的方程組，解得a=4b=2故選：D.【變式3-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)A（1，﹣2），B（m，n），關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對(duì)稱，則m+n的值是（）A．﹣2 B．3 C．5 D．7【解題思路】先利用線段的中點(diǎn)公式求出線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，再把中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線x+2y﹣2＝0，結(jié)合斜率關(guān)系列方程組，求得m,n，從而求得m+n的值．【解答過(guò)程】∵A（1，﹣2）和B（m，n）關(guān)于直線x+2y﹣2＝0對(duì)稱，∴線段AB的中點(diǎn)C（1+m2，?2+n2）在直線x+2∴1+m2?2+∴m+2n＝7，而n+2m?1×（?12）＝﹣1，得2解方程組m+2n=72m?n=4，可得m＝3，n∴m+n＝5.故選：C.【知識(shí)點(diǎn)4直線關(guān)于直線的對(duì)稱】【題型4直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題】【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直線2x+3y+4=0關(guān)于y軸對(duì)稱的直線方程為（

）A．2x+3y?4=0 B．2x?3y+4=0C．2x?3y?4=0 D．3x+2y?4=0【解題思路】利用對(duì)稱性質(zhì)可得原直線上的點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，代入對(duì)稱點(diǎn)，即可得到答案.【解答過(guò)程】設(shè)點(diǎn)Px,y是所求直線上任意一點(diǎn)，則P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P?x,y，且在直線2x+3y+4=0上，代入可得?2x+3y+4=0，即故選：C.【變式4-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求直線x＋2y－1＝0關(guān)于直線x＋2y＋1＝0對(duì)稱的直線方程（

）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【解題思路】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項(xiàng).【解答過(guò)程】設(shè)對(duì)稱直線方程為x+2y+c=0，1+11+22=c?1所以所求直線方程為x+2y+3=0.故選：B.【變式4-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果直線y=ax+2與直線y=3x?b關(guān)于直線y=x對(duì)稱，那么（

）A．a(chǎn)=13,b=6 B．a(chǎn)=13,b=?6【解題思路】由題意在y=ax+2上任取一點(diǎn)(0,2)，其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)在y=3x?b上，代入可求出b，然后在y=3x?b上任取一點(diǎn)，其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)在y=ax+2上，代入可求出a.【解答過(guò)程】在y=ax+2上取一點(diǎn)(0,2)，則由題意可得其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)(2,0)在y=3x?b上，所以0=6?b，得b=6，在y=3x?6上取一點(diǎn)(0,?6)，則其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)(?6,0)在y=ax+2上，所以0=?6a+2，得a=1綜上a=1故選：A.【變式4-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l1：ax?y+3=0與直線l2關(guān)于直線l：x+y?1=0對(duì)稱，直線l2與直線l3：A．?13 B．13 C．3【解題思路】利用直線l2與直線l3：x+3y?1=0垂直，求得l2的斜率，然后求得l1與l的交點(diǎn)坐標(biāo)，在直線l1上取點(diǎn)0,3【解答過(guò)程】解：直線l2與直線l3：x+3y?1=0垂直，則kl∵直線l1：ax?y+3=0與直線l2關(guān)于直線∵由ax?y+3=0x+y?1=0得x=?2a+1在直線l1上取點(diǎn)0,3，設(shè)該點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為Pm,n，則m2+n+32?1=0故選：B.【題型5光線反射問(wèn)題】【例5】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一條光線從點(diǎn)A2,4射出，傾斜角為60°，遇x軸后反射，則反射光線的直線方程為（A．3x?y+4?23=0C．3x+y+4?23=0【解題思路】根據(jù)對(duì)稱關(guān)系可求得反射光線斜率和所經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′【解答過(guò)程】點(diǎn)A2,4關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A又反射光線傾斜角為180°?60°=∴反射光線所在直線方程為：y+4=?3x?2，即故選：C.【變式5-1】（2022秋·山東濟(jì)南·高二統(tǒng)考期中）一條沿直線傳播的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P?4,8和Q?3,6，然后被直線y=x?3反射，則反射光線所在的直線方程為（A．x+2y?3=0 B．2x+y?15=0C．x?2y?5=0 D．x+2y+3=0【解題思路】首先根據(jù)兩點(diǎn)式求得入射光線的直線方程，求得入射光線和直線y=x?3的交點(diǎn)，再根據(jù)反射光線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱求得對(duì)稱點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)式即可得解.【解答過(guò)程】入射光線所在的直線方程為y?68?6=x?聯(lián)立方程組x?y?3=0,2x+y=0,解得x=1,y=?2,即入射點(diǎn)的坐標(biāo)為設(shè)P關(guān)于直線y=x?3對(duì)稱的點(diǎn)為P′則a?42?b+82?3=0,因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線經(jīng)過(guò)入射點(diǎn)和P′所以反射光線所在直線的斜率為?7??2所以反射光線所在的直線方程為y+2=?1即x+2y+3=0．故選：D.【變式5-2】（2022秋·河北邢臺(tái)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知A4,0，B0,6，從點(diǎn)P2,0射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)PA．126513 B．813013 C．【解題思路】求出P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P1和它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P2，則【解答過(guò)程】解：直線AB的方程為x4+y設(shè)點(diǎn)P2,0關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為P則ba?2=233?又點(diǎn)P2,0關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P由光的反射規(guī)律以及幾何關(guān)系可知，光線所經(jīng)過(guò)的路程長(zhǎng)P1故選：B.【變式5-3】（2023春·山東東營(yíng)·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知：A0,4，B0,?4，C4,0，E0,2，F(xiàn)0,?2，一束光線從F點(diǎn)出發(fā)射到BC上的D點(diǎn)經(jīng)BC反射后，再經(jīng)AC反射，落到線段AEA．?∞,?14 B．?14【解題思路】根據(jù)光線的入射光線和反射光線之間的規(guī)律，可先求F點(diǎn)關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P，再求P關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M,由此可確定動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上的變動(dòng)范圍，進(jìn)而求的其斜率的取值范圍.【解答過(guò)程】由題意可知：直線BC的方程為y=x?4，直線AC的方程為y=?x+4，如圖：設(shè)F0,?2關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為P(a,b)，則b解得a=2b=?4，故P同理可求P2,?4關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為M(8,2)連接MA,ME,ME交AC于N，而MN方程為y=2,聯(lián)立y=2y=?x+4得N點(diǎn)坐標(biāo)為N(2,2)連接PA,PN，分別交BC于H,G,PA方程為：y=?4x+4，和直線BC方程y=x?4聯(lián)立，解得H點(diǎn)坐標(biāo)為H(8PN的方程為x=2,和直線BC方程y=x?4聯(lián)立解得G(2,?2)，連接FG,FH,則H,G之間即為動(dòng)點(diǎn)D點(diǎn)的變動(dòng)范圍，而kFG故FD斜率的取值范圍是(?1故選B.【題型6將軍飲馬問(wèn)題】【例6】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為B(?2,0)，若將軍從山腳下的點(diǎn)A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為x+y=3，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．27 B．5 C．15 D．29【解題思路】設(shè)B(?2,0)關(guān)于x+y=3的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)，列方程求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求“將軍飲馬”的最短總路程.【解答過(guò)程】由B(?2,0)關(guān)于x+y=3的對(duì)稱點(diǎn)為(x,y)，所以{x?22+y2=3所以“將軍飲馬”的最短總路程為(3?1)2故選：D.【變式6-1】（2022秋·河北石家莊·高